Пример готовой дипломной работы по предмету: Высшая математика
Содержание
Содержание
ВВЕДЕНИЕ 4
1. НЕФОРМАЛЬНАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ 6
1.1. Цель работы 6
1.2. Методы решения обратных задач 7
1.2.1. Метод оптимизации 7
1.2.2. Метод продолжения 7
1.2.3. Метод граничного управления 8
2. МЕТОД ГРАНИЧНОГО УПРАВЛЕНИЯ 9
2.1. Прямая задача 9
2.2. Связывающий оператор 11
2.3. Управляемость 14
3. ФОРМАЛЬНО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ 15
3.1. Задача фокусировки волн 15
3.2. Наблюдение и задача с глубинными источниками 16
4. ДИСКРЕТНАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. 19
4.1. Задача фокусировки волн 19
4.2. Задача наблюдения 22
5. ЧИСЛЕННЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ. 23
5.1. Задача фокусировки волн 23
5.2. Задача наблюдения 27
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 29
ЛИТЕРАТУРА 30
ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ 32
Выдержка из текста
Обратные задачи – это тип задач, который часто возникает во многих разделах науки, когда значения параметров должны быть получены из наблюдаемых данных. Сфера применения обратных задач очень обширна: геофизика (сейсморазведка, электроразведка, каротаж, магнитотеллурическое зондирование), медицина (ЯМР-томография, УЗИ, рентгеновская томография), физика (квантовая механика, акустика, электродинамика), экология (диагностика состояния воздуха, воды, космический мониторинг), экономика (теория оптимального управления, финансовая математика), астрономия, компьютерная томография, дефектоскопия и т.д.
Сам термин предполагает, что имеется некоторая прямая задача. Как правило, прямые задачи – это обычные корректно поставленные задачи, для которых решение существует, единственно и устойчиво к малым вариациям данных в подходящих функциональных пространствах. Большинство обратных задач, наоборот являются некорректными в связи с неустойчивостью их решения. Вследствие этого существующие методы решения не всегда дают хороший результат.
Обратная задача называется одномерной, если неизвестные функции зависят, лишь от одной переменной, и многомерной, если они являются функциями нескольких переменных. Наиболее полно изучены одномерные задачи [4-7].
По многомерным задачам результатов существенно меньше, особенно в части, касающейся конструктивных методов и алгоритмов. В непереопределенных постановках, когда требуется определить, скажем, скорость звука в области по одному измерению на ее границе наиболее полные результаты (теоремы единственности и оценки условной устойчивости) получены в работах В.Г. Романова [1,8].
Они получены в предположении либо аналитичности искомой функции по части переменных, либо в предположении регулярности поля лучей (когда любые две точки области соединяет единственная кратчайшая римановой метрики ).
В переопределенных постановках, когда имеется много граничных измерений естественным и эффективным методом оказывается метод граничного управления [16,17].
Он дает конструктивные процедуры однозначного восстановления коэффициентов волнового уравнения, системы Максвелла и т.д. без каких-либо существенных ограничений на искомые коэффициенты.
В данной работе приведено решение обратных динамических задач для волнового уравнения: фокусировки волн внутри среды и наблюдения волн на границе, с помощью метода граничного управления. Описан метод численного решения данных задач, а также приведены численные эксперименты по решению задач для однородной среды.
Список использованной литературы
ЛИТЕРАТУРА
1. Романов В. Г. Обратные задачи математической физики. М.: Наука, 1984. 263 с.
2. Белишев М. И., Благовещенский А. С. Динамические обратные задачи теории волн. СПб: изд-во Санкт-Петербургского университета, 1999. 265 с.
3. Kabanikhin S. I. Definitions and examples of inverse and ill-posed problems // Journal of inverse and ill-posed problems. 2008. 16. № 4. P. 317-357.
4. Гельфанд И. М., Левитан Б. М. Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1951. 15. № 4. С. 309-360.
5. Марченко В. А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. Киев: Наукова думка, 1987. 332 с.
6. Крейн М. Г. Об одном методе эффективного решения обратной краевой задачи // Докл. АН СССР. 1954. 94. № 6. С.767-770.
7. Благовещенский А. С. О локальном методе решения нестационарной обратной задачи для неоднородной струны // Тр. мат. ин-та АН СССР. 1971. 65. С. 28-38.
8. Романов В. Г. Устойчивость в обратных задачах. М.: Научный мир, 2004. 304 с.
9. Natterer F, Wubbeling F. A propagation-backpropagation method for ultrasound tomography // Inverse Problems. 1995. 11. P. 1225-1232.
10. Natterer F. Reectors in wave equation imaging // Wave Motion. 2008. 45. P. 776-784.
11. Кабанихин С. И. Проекционно-разностные методы определения коэффициентов гиперболических уравнений. Новосибирск: Наука (Сиб. отд.), 1988. 166 с.
12. Beilina L. Adaptive element/difference method for inverse lastic scattering waves // Appl. Comput. Math. 2002. 1. № 2. P. 158-174.
13. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1974. 222 с.
14. Klibanov M. V., Timonov A. Carleman estimates for coefficient inverse problems and numerical applications. Utrecht (The Netherlands): VSP, 2004. 279 p.
15. Clason C., Klibanov M.V. The quasi-reversibility method for thermoacoustic tomography in a heterogeneous medium // SIAM J. SCI. COMPUT. 2007. 30. № 2. P. 1-23.
16. Belishev M.I. Boundary control in reconstruction of manifolds and metrics (the BC-method) // Inverse Problems. 1997. 13. P. 1-45.
17. Belishev M.I. Recent progress in the boundary control method // Inverse Problems. 2007. 23. № 5. P. 1-67.
18. Pestov L. N. On reconstruction of the speed of sound from a part of boundary // Journal of inverse and ill-posed problems. 1999. 7. № 5. P. 481-486.
19. Lasiecka I., Lions J-L., Triggiani R. Non homogeneous boundary value problems for second order hyperbolic operators // J. Math. Pures Appl. 1986. 65. P. 149-192.
20. Bardos C., Lebeau G., Rauch J. Sharp sufficient conditions for the observation control and stabilization of the waves from the boundary // SIAM J. Contr. Opt. 1992. 30. P. 1024-1065.
21. Аниконов Ю.Е., Пивоварова Н.Б., Славина Л.Б. Трехмерное поле скоростей фокальной зоны Камчатки. – В кн.: Математические проблемы геофизики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1974, вып. 5, ч. 1, C 92-117.
22. Segerlind L.J., Applied Finite Element Analysis. New York/ London/ Sydney/ Toronto: John Willey and Sons Inc, 1976. 392 p.
23. Стренг Г. Линейная алгебра и ее применения. М.: Мир, 1980. 454 с.
