Содержание
ВВЕДЕНИЕ.. ……………………………………………………….3
1 ФУНКЦИИ КОНЕЧНОГО ИЗМЕНЕНИЯ……………………………………….5
1.1 Определение функции с ограниченным изменением………………..………5
1.2 Классы функций с ограниченным изменением….……………………..……7
1.3 Свойства функций с ограниченным изменением……………………………8
2 ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА……………………………………………………….11
2.1 Определение интеграла Стилтьеса………………………………………….…11
2.2 Общие условия существования интеграла Стилтьеса………………..……13
2.3 Классы случаев существования интеграла Стилтьеса………………….….14
2.4 Свойства интеграла Стилтьеса………………………………………………17
2.5 Применение интеграла Стилтьеса…………………………………………….22
2.5.1 Применение интеграла Стилтьеса в теории вероятностей…………………22
2.5.2 Применение интеграла Стилтьеса в функциональном анализе………..….24
2.5.3 Применение интеграла Стилтьеса в квантовой механике…………………..25
3 ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ………………………………………………….…..28
3.1 Задачи для функции конечного изменения……………………………..…..28
3.2 Задачи к главе 2………………………………………………………………35
3.3 Элективный курс для студентов среднеспециальных учебных учрежден…44
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ………………………………………………………64
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ………………………………..66
Выдержка из текста
История понятия интеграла теснейшим образом связана с историей математики вообще. Каждый шаг в расширении понятия функции пробуждал потребность в обобщении понятия интеграла. Интеграл стал необходимым инструментом исследования свойств функций, и изъятие этого орудия из арсенала теории функций мало что оставляет от последней.
Возникновение интеграла Римана теснейшим образом связано с теорией тригонометрических рядов. От интеграла Римана ведет свое начало идея меры множеств, выросшая в большую самостоятельную теорию. Но идея меры множеств помогла выразить само понятие интеграла Стилтьеса, а также исследовать многие его свойства. Обобщение понятия меры, с одной стороны, приводило к более общим интегралам, а с другой – обогащалось само понятие о мере [12, c. 4]. В каждом отдельном случае сложно определить, что чему предшествовало в историческом развитии – мера или интеграл, настолько эти определения оказались взаимосвязанными.
Выбор темы обусловлен тем, что определение интеграла Стилтьеса шире классического и в некотором отношении удобнее его, изучению интеграла Т. Стилтьеса уделяется меньше внимания, чем интегралам Б. Римана и А. Лебега, хотя именно идея стилтьесовского интегрирования богаче и плодотворней предыдущих [4].
Стилтьес Томас Иоаннес (29.12.1856 – 31.12.1894) – нидерландский математик и астроном. Член Нидерландской Академии наук (1886). Родился в Зволле. Окончил Политехническую школу в Делфте. В 1877-1883 гг. работал в Лейденской обсерватории, с 1886 г. – профессор Тулузского университета. Научные исследования Т. Стилтьеса в основном касаются теории функциональных непрерывных дробей, проблемы моментов, теории ортогональных многочленов, приближенного интегрирования и других вопросов классического анализа. Обобщенное Т. Стилтьесом понятие интеграла Б. Римана играет немаловажную роль в современной математике. Известно также интегральное преобразование Т. Стилтьеса.
Целью исследования является систематизация теоретических сведений по данной теме и изучение практического приложения интеграла Т. Стилтьеса.
Объект исследования – теория интегрального исчисления и практические применения интегрального исчисления.
Предмет исследования – различные сферы приложений интеграла Т. Стилтьеса.
При написании работы ставились следующие задачи:
1. Рассмотреть понятие интеграла Т. Стилтьеса и его свойства;
2. Привести примеры практического вычисления и приложения интеграла Т. Стилтьеса с подробными решениями в различных областях науки.
Теоретическая и практическая значимость результатов исследования. Полученные результаты могут быть использованы в образовательных целях: для углубленного изучения интегрального исчисления в среднеспециальных учебных учреждений (дисциплина по выбору).
Структура квалификационной работы. Работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованной литературы. Общий объем работы составляет 67 страниц, работа содержит 7 рисунков, список использованной литературы содержит 22 источника.
Список использованной литературы
1. Александров П. С., Колмогоров А. Н. Введение в теорию функций действительного переменного. 3-е изд., перераб. М. ; Л. : ГОНТИ. Ред.техн.теоретич.лит-ры, 1938 . 268 с.
2. Брудно А. Л. Теория функций действительного переменного. М. : Наука, 1971. 119 с.
3. Гливенко В. И. Интеграл Стилтьеса. М., 1936. 216 с.
4. Гохман Э. Х. Интеграл Стилтьеса и его применения. М. : Физматгиз, 1958. 192 с.
5. Дьяченко М. И., Ульянов П. Л. Мера и интеграл. М. : Издательство «Факториал Пресс», 2002. 160 с.
6. Камке Э. Интеграл Лебега-Стилтьеса / Перевод с немецкого Г. П. Сафроновой ; Под ред. И. П. Натансона. М. : Государственное издательство физ.-мат. литературы, 1959. 328 с.
7. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа : учебник для вузов. 6-е изд., испр. М. : Наука, Главная редакция физ.-мат. Литературы, 1989. 624 с.
8. Ларин А. А., Половинкин И. П. Функции с ограниченным изменением и интеграл Стилтьеса : методическое пособие. Воронеж : Изд-во ВГУ, 2002. 24 с.
9. Леонтьева Т. А. Задачи по теории функций действительного переменного : учеб. пособие по спец. «Математика». М. : Изд-во МГУ, 1997. 208 с.
10. Ляшко И. И. Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл : справочное пособие по высшей математике. Т. 1. М. : Едиториал УРСС, 2001. 360 с.
11. Макаров И. П. Теория функций действительной переменной / Под ред. И. Я. Верченко. М. : Государственное издательство «Высшая школа», 1965. 366 с.
12. Медведев Ф. А. Развитие понятия интеграла. М. : Наука, 1974. 425 с.
13. Песин И. Н. Развитие понятия интеграла. М. : Наука, 1966. 207 с.
14. Садовничая И. В., Хорошилова Е. В. Определённый интеграл: теория и практика вычислений : учеб. пособие для студентов университетов. М. : Издательский отдел факультета ВМиК МГУ им. М. В. Ломоносова ; МАКС Пресс, 2008. 528 с.
15. Самородницкий А. А. Теория меры. Л. : Издательство ЛГУ, 1990. 267 с.
16. Теория функций вещественной переменной / И. П. Натансон. М. : Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1974. 399 с.
17. Теория функций и функциональный анализ : сборник статей / Науч. ред. проф. Б. М. Гагаев. Казань : Издательство Казанского университета, 1976. 98 с.
18. Тимофеев А. Ф. Интегрирование функций. М.-Л. : Издательство технико-теоретической литературы, 1948. 432 с.
19. Толстов Г. П. Мера и интеграл. М. : Главная редакция физ.-мат. литературы «Наука», 1976. 392 с.
20. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. ІІІ. М. : Наука, 1956. 656 с.
21. Фролов Н. А. Теория функций действительного переменного : учебное пособие для пединститутов. Изд-во 2-е. М. : Учпедгиз, 1961. 173 с.
22. Эйлер Л. Интегральное исчисление. Т. 2. М. : Гостехтеориздат, 1957. 368 с.