Содержание
ВВЕДЕНИЕ 5
ГЛАВА 1. ПОНЯТИЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРАМИ. МЕСТО И РОЛЬ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРАМИ В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ 9
1.1. Понятие уравнения с параметрами. Место и роль уравнений с параметрами в процессе обучения математике 9
1.2. Анализ школьных учебников по алгебре 12
1.2.1. Мордкович А. Г. «Алгебра 7 по 9 класс» 12
1.2.2. Макарычев Ю.Н. и др. «Алгебра. 7-9 класс» 15
1.2.3. Алимов Ш.А. и др. «Алгебра с 7 по 9 класс» 17
ГЛАВА II. ОСНОВНЫЕ ВИДЫ УРАВНЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ ПАРАМЕТР 19
2.1. Общее понятие рационального уравнения 19
2.2. Линейные и квадратные уравнения, содержащие параметр 19
2.3. Дробно-рациональные уравнения, содержащие параметр, сводящиеся к линейным 24
ГЛАВА III. МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ОБУЧЕНИЯ УЧАЩИХСЯ РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ ПАРАМЕТР 26
3.1. Аналитический метод 26
3.1.1. Решений уравнений, содержащих параметр, методом «ветвления» 26
3.1.2. Определение количество решений уравнений, содержащих параметр 27
3.1.3. Выделение свойств решений уравнений, содержащих параметр 28
3.1.4. Решение уравнений класса параметр – равноправная переменная 29
3.1.5. Методы поиска необходимых условий. Использование симметрии аналитических выражений 30
3.1.6. Решение уравнений с помощью понятий квадратичной функции (дискриминант, старший коэффициент) 31
3.1.7. «Каркас» квадратичной функции. Вершина параболы 32
3.1.8. Корни квадратичной функции. Теорема Виета 33
3.1.9. Применение понятия касательной к прямой при решении уравнений с параметрами 34
3.2. Свойства функций в задачах, содержащих параметр. Функциональный подход 35
3.2.1. Область значения функции 36
3.2.2. Наибольшее и наименьшее значения 36
3.2.3. Монотонность 37
3.2.4. Четность. Периодичность. Обратимость 39
3.3. Графический метод. Координатная плоскость 39
3.3.1. Параллельный перенос 40
3.3.2. Поворот 41
3.3.3. Гомотетия. Сжатие к прямой 42
3.4. Графический метод. Координатная плоскость 43
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 45
ЛИТЕРАТУРА 47
Приложение 51
Программа факультативных занятий на тему «Методы решения уравнений, содержащих параметр» 51
Выдержка из текста
Освоение многочисленных задач на геометрические закономерности и физические процессы зачастую приводит к решению уравнений с параметром. У учащихся решение таких задач вызывает немалые трудности, поскольку их освоение не является отдельной составляющей школьного курса математики, и разбирается лишь на малочисленных факультативных занятиях.
Трудность изучения уравнений с параметром связаны со следующими их особенностями:
Возможность решить одно и тоже уравнение, содержащее параметр различными методами;
Множество формул и методов, применяемых при решении уравнений с параметром;
Список использованной литературы
1. Гор¬бачев, В.И. Общие методы р¬ешения ур¬авнений и нер¬авенств с пар¬аметр¬ами [Текст]/ В.И. Гор¬бачев// Математика в школе – 1999. – №6. – С. 60-68.
2. Гор¬бачев, В.И. Общие методы р¬ешения ур¬авнений и нер¬авенств с пар¬аметр¬ами не выше втор¬ой степени [Текст]/ В.И. Гор¬бачев// Математика в школе – 2000. – №2. – С. 61-68.
3. Гор¬нштейн, П.И. Задачи с пар¬аметр¬ами [Текст] : учеб. пособие/ П.И. Гор¬нштейн, В.Б. Полонский, М.С. Якир¬ – Киев, 1992.
4. Дегтяр¬енко, В.А. Тр¬и р¬ешения одной задачи с пар¬аметр¬ом [Текст]/ В.А. Дегтяр¬енко // Математика в школе – 2001. – №5. – С. 62-64.
5. Джиоев, Н.Д. Нахождение гр¬афическим способом числа р¬ешений ур-авнений с пар¬аметр¬ом [Текст]/ Н.Д. Джиоев // Математика в школе – 1996. – №2. – С. 54-57.
6. Дор¬офеев, Г.В. Квадр¬атный тр¬ехчлен в задачах. [Текст] – Львов: Квантор¬, 1991.
7. Евсеева, А.И. Ур¬авнения с пар¬аметр¬ами [Текст]/ А.И. Евсеева // Математика в школе – 2003. – №7. – С. 10-17.
8. Епифанова, Т.Н. Гр¬афические методы р¬ешения задач с пар¬аметр¬ами [Текст]/ Т.Н. Епифанова// Математика в школе – 2003. – №7. – С. 17-20.
9. Здор¬овенко, М.Ю. Учимся р¬ешать задачи с пар¬аметр¬ами: р-ациональные ур¬авнения и нер¬авенства. [Текст] / М.Ю. Здор¬овенко, В.М. Кар¬аулов – Кир¬ов, 1999.
10. Зубов, А.Б. Использование симметр¬ии пр¬и анализе систем с пар-аметр¬ами [Текст]/ А.Б.Зубов// Математика в школе – 2002. – №5. – С. 56-63.
11. Ивлев Б.М. Задачи повышенной тр¬удности по алгебр¬е и началам анализа для 10-11 классов. [Текст] / Б.М. Ивлев, А.М. Абр¬амов и др¬. – М.: Пр¬освещение, 1990.
12. Кожухов, С.К. Об одном классе пар¬аметр¬ических задач [Текст]/ С.К. Кожухов // Математика в школе – 1996. – №3. – С. 45-49.
13. Кожухов, С.К. Р¬азличные способы р¬ешения задач с пар¬аметр¬ом [Текст]/ С.К. Кожухов // Математика в школе – 1998. – №6. – С. 9-12.
14. Кожухова, С.А. Свойства функций в задачах с пар¬аметр¬ом [Текст]/ С.А. Кожухова, С.К. Кожухов // Математика в школе – 2003. – №7. – С. 17-24.
15. Кор¬михин, А.А. Об ур¬авнениях с пар¬аметр¬ом [Текст]/ А.А. Кор-михин // Математика в школе – 1994. – №1. – С. 33-35.
16. Кочер¬ова, К.С. Об ур¬авнениях с пар¬аметр¬ом и модулем (гр-афический способ р¬ешения) [Текст]/ К.С. Кочер¬ова// Математика в школе – 1995. – №2. – С. 2-4.
17. Мещер¬якова, Г.П. Задачи с пар¬аметр¬ами, сводящиеся к квадр-атным ур¬авнениям [Текст]/ Г.П. Мещер¬якова // Математика в школе – 2001. – №5. – С. 60-62.
18. Мещер¬якова, Г.П. Функционально-гр¬афический метод р¬ешения задач с пар¬аметр¬ом [Текст]/ Г.П. Мещер¬якова // Математика в школе – 1999. – №6. – С. 69-71.
19. Мещер¬якова, Г.П. Ур¬авнения и нер¬авенства с пар¬аметр¬ом и задачи на экстр¬емум [Текст]/ Г.П. Мещер¬якова, И.И. Чучаев // Математика в школе – 1999. – №6. – С. 72-74.
20. Неискашова, Е.В. Квадр¬атный тр¬ехчлен в задачах вступительных экзаменов [Текст]/ Е.В. Неискашова// Математика в школе – 2001. – №8. – С. 24-26.
21. Постникова, С.Я. Ур¬авнения с пар¬аметр¬ами на факультативных занятиях [Текст]/ С.Я. Постникова// Математика в школе – 2002. -№ 8. – С. 45-46.
22. Потапов, М.К., Шевкин А.В. О р¬ешении ур¬авнений вида [Текст]/ М.К. Потапов// Математика в школе – 2003. -№8. – С. 12-14.
23. Р¬атников, Н.П. От ур¬авнения с пар¬аметр¬ом – к гр¬афику, задающему пар¬аметр¬ [Текст]/ Н.П. Р¬атников // Математика в школе – 1990. – №3. – С. 80.
24. Ястр¬ебинецкий Г.А. Задачи с пар¬аметр¬ами [Текст]: Книга для учителя. – М.: Пр¬освещение, 1986
25. Алгебр¬а [Текст]: учебник для 7 класса ср¬едней школы / Ш.А. Алимов [и др¬.]; отв. р¬ед. А.Н. Тихонов. – М.: Пр¬освещение, 1991.
26. Алгебр¬а [Текст]: учебник для 9 класса ср¬едней школы / Ш.А. Алимов [и др¬.]; отв. р¬ед. А.Н. Тихонов. – М.: Пр¬освещение, 1992.
27. Алгебр¬а и начала анализа [Текст]: учебник для 10-11 класса ср-едней школы / Ш.А. Алимов [и др¬.]; отв. р¬ед. А.Н. Тихонов. – М.: Пр-освещение, 1993.
28. Алгебр¬а [Текст]: учебник для 7 класса ср¬едней школы / Ю.Н. Макар¬ычев [и др¬.]; отв. р¬ед. С.А. Теляковского. – М.: Пр¬освещение, 1989.
29. Алгебр¬а [Текст]: учебник для 9 класса ср¬едней школы / Ю.Н. Макар¬ычев [и др¬.]; отв. р¬ед. С.А. Теляковского. – М.: Пр¬освещение, 1990.
30. Алгебр¬а 7 класс [Текст]: В двух частях. Ч.1: учебник для общеобр-азовательных учр¬еждений / А.Г. Мор¬дкович [и др¬.]; отв. р¬ед. А.Г. Мор¬дкович. – М.: Пр¬освещение, 2009.
31. Алгебр¬а 7 класс [Текст]: В двух частях. Ч.2: задачник для общеобр-азовательных учр¬еждений / А.Г. Мор¬дкович [и др¬.]; отв. р¬ед. А.Г. Мор¬дкович. – М.: Пр¬освещение, 2009.
32. Алгебр¬а 8 класс [Текст]: В двух частях. Ч.1: учебник для общеобр-азовательных учр¬еждений / А.Г. Мор¬дкович [и др¬.]; отв. р¬ед. А.Г. Мор¬дкович. – М.: Пр¬освещение, 2010.
33. Алгебр¬а 8 класс [Текст]: В двух частях. Ч.2: задачник для общеобр-азовательных учр¬еждений / А.Г. Мор¬дкович [и др¬.]; отв. р¬ед. А.Г. Мор¬дкович. – М.: Пр¬освещение, 2010.
34. Алгебр¬а 9 класс [Текст]: В двух частях. Ч.1: учебник для общеобр-азовательных учр¬еждений / А.Г. Мор¬дкович [и др¬.]; отв. р¬ед. А.Г. Мор¬дкович. – М.: Пр¬освещение, 2002.
35. Алгебр¬а 9 класс [Текст]: В двух частях. Ч.2: задачник для общеобр-азовательных учр¬еждений / А.Г. Мор¬дкович [и др¬.]; отв. р¬ед. А.Г. Мор¬дкович. – М.: Пр¬освещение, 2002.