Методика обучения математике 7-9 классов с использованием схемных и знаковых моделей: психолого-педагогическое обоснование и дидактическое обеспечение

В условиях стремительного развития технологий и информационного общества, когда объём знаний удваивается каждые несколько лет, проблема повышения эффективности образовательного процесса становится одной из наиболее острых и актуальных. Математика, как фундаментальная наука, требует не только усвоения абстрактных понятий и формул, но и формирования глубокого понимания логических связей, умения применять теоретические знания на практике и развития аналитического мышления. Для учащихся 7-9 классов этот период особенно важен, поскольку именно в основной школе закладываются основы для дальнейшего успешного освоения сложных математических концепций и выбора будущей профессиональной траектории.

Традиционные методы преподавания зачастую не в полной мере учитывают современные психолого-педагогические реалии, а именно — потребности поколения, выросшего в условиях цифровой среды и ориентированного на визуальное восприятие информации. В то же время, как показали недавние опросы предприятий, развитие технологий цифрового моделирования является одним из ключевых направлений для атомной отрасли, что подчёркивает возрастающую значимость компетенций в области моделирования и визуализации данных не только в образовании, но и в реальном секторе экономики. Именно поэтому разработка и обоснование методики обучения математике, интегрирующей схемные и знаковые модели учебного материала с применением интерактивной доски и компьютерных презентаций, приобретает особую актуальность.

Цель данной работы — не просто предложить новые подходы, но создать исчерпывающий, научно обоснованный и практически применимый инструментарий, который позволит значительно повысить качество математического образования в основной школе. В рамках настоящего исследования мы стремимся раскрыть теоретические основы применения моделей, проанализировать современные педагогические технологии, показать синергетический эффект от использования интерактивных средств обучения, а также разработать конкретные критерии оценки и дидактическое обеспечение.

Предмет исследования — процесс обучения математике учащихся 7-9 классов с использованием схемных и знаковых моделей учебного материала в условиях современной образовательной среды. Объект исследования — методика обучения математике учащихся 7-9 классов.

В качестве ключевых задач работы будут рассмотрены:

1. Анализ теоретических и психолого-педагогических основ применения схемных и знаковых моделей.
2. Исследование современных педагогических технологий и дидактических принципов, способствующих интеграции моделей в процесс обучения.
3. Обоснование эффективности использования интерактивных досок и компьютерных презентаций для реализации схемных и знаковых моделей.
4. Разработка системы критериев и показателей для оценки математических компетенций учащихся в контексте работы с моделями.
5. Создание комплексного дидактического обеспечения и методических рекомендаций по внедрению предложенной методики.

Данная работа представляет собой глубокое методологическое исследование, ориентированное на академические требования и призванное служить развёрнутым планом для дипломной работы или магистерской диссертации в области методики преподавания математики.

Теоретические и психолого-педагогические основы применения схемных и знаковых моделей в обучении математике

Эффективность любого образовательного процесса напрямую зависит от его методологической и психолого-педагогической базы, и, что из этого следует, тщательный подбор и обоснование используемых подходов являются фундаментом для достижения высоких результатов. В контексте обучения математике с использованием схемных и знаковых моделей, основополагающие теории помогают понять, как учащиеся воспринимают, обрабатывают и усваивают сложную информацию, а также как можно оптимизировать эти процессы. Визуальные и знаковые методы, будучи мощными инструментами дидактики, находят своё объяснение и подтверждение в ряде фундаментальных концепций.

Системно-деятельностный подход и Федеральный государственный образовательный стандарт

В основе современного российского образования лежит системно-деятельностный подход — парадигма, которая кардинально изменила взгляд на роль ученика и учителя в учебном процессе. От пассивного потребителя знаний учащийся превращается в активного субъекта, самостоятельно взаимодействующего с учебным материалом, решающего задачи и выполняющего задания. Преподаватель же выступает в роли наставника, фасилитатора, организующего условия для этого взаимодействия.

Ключевой целью системно-деятельностного подхода, закреплённого в Федеральном государственном образовательном стандарте (ФГОС), является не просто передача суммы знаний, а развитие личности учащегося на основе освоения им универсальных способов деятельности. Это предполагает формирование универсальных учебных действий (УУД), которые являются основой метапредметных результатов ФГОС и подразделяются на четыре основные группы:

• Личностные УУД: Самоопределение, смыслообразование, нравственно-этическая ориентация. Они отвечают за мотивацию к обучению, формирование самооценки и ценностных ориентиров.
• Регулятивные УУД: Целеполагание, планирование, прогнозирование, контроль, коррекция, оценка, саморегуляция. Эти действия позволяют учащимся самостоятельно ставить цели, планировать свою деятельность, контролировать и корректировать её.
• Познавательные УУД: Общеучебные (поиск и выделение информации, структурирование знаний), логические (анализ, синтез, сравнение, классификация, обобщение, доказательство) и действия по постановке и решению проблем. Именно эти действия лежат в основе работы со схемными и знаковыми моделями, требуя от учащихся умения анализировать информацию, выстраивать логические цепочки и формулировать выводы.
• Коммуникативные УУД: Планирование учебного сотрудничества, постановка вопросов, управление поведением партнёра, умение выражать свои мысли. Они важны для совместной работы над моделями и обсуждения результатов.

Таким образом, использование схемных и знаковых моделей не только согласуется с принципами системно-деятельностного подхода, но и становится мощным инструментом для целенаправленного формирования всех групп УУД, особенно познавательных и регулятивных, что в конечном итоге способствует комплексному развитию личности учащегося. Ведь без активного взаимодействия с материалом, без возможности увидеть его структуру и логику, глубокое и осмысленное усвоение практически невозможно.

Теория поэтапного формирования умственных действий П.Я. Гальперина

Один из краеугольных камней советской и российской психологии, теория поэтапного формирования умственных действий (ТПФУД), разработанная Петром Яковлевичем Гальпериным, предлагает глубокое понимание механизмов перехода внешнего, практического действия во внутреннее, умственное действие. Этот процесс не происходит мгновенно, а представляет собой сложную последовательность этапов, каждый из которых имеет свои специфические характеристики и дидактические задачи.

Гальперин выделял шесть ключевых этапов формирования умственных действий:

1. Мотивационный этап: На этом этапе формируется осознанная потребность в выполнении действия, понимание его значимости и личностный смысл. Без адекватной мотивации эффективность обучения существенно снижается.
2. Этап составления схемы ориентировочной основы действия (ООД): Здесь происходит первичное знакомство с действием, его целью, условиями выполнения и составом операций. ООД — это система ориентиров, которая позволяет учащемуся осознанно выполнять действие. В математике это может быть алгоритм решения задачи, схема доказательства теоремы, представленные в виде знаковой или схемной модели. В ориентировочную основу действия с самого начала включаются не только теоретические знания, но и операции, позволяющие найти искомые величины в конкретном материале.
3. Этап формирования действия в материализованной форме: Действие выполняется с опорой на внешние объекты (предметы, схемы, рисунки, записи). Это этап «ручного» выполнения, когда ученик физически манипулирует элементами, чтобы понять их взаимосвязи. Для математики это может быть работа с геометрическими моделями, графиками функций, составление уравнений по тексту задачи с использованием схем.
4. Этап формирования действия во внешней речи: Действие проговаривается вслух, описываются все его шаги и операции. Это позволяет закрепить логику действия и перевести его из практической плоскости в вербальную. Учащиеся объясняют друг другу или учителю, как они строили схему или решали задачу.
5. Этап формирования действия во внешней речи «про себя»: Действие проговаривается внутренне, без озвучивания, что является переходным мостиком к полному интериоризации.
6. Этап формирования действия во внутренней речи: Действие полностью интериоризируется, становится умственным, автоматизированным и может быть выполнено без внешней опоры и проговаривания. На этом этапе учащийся способен быстро и эффективно работать с математическими моделями «в уме».

Применение схемных и знаковых моделей идеально вписывается в ТПФУД, особенно на этапах составления ООД и материализованной формы. Схемы и знаки становятся той самой внешней опорой, которая позволяет учащимся осмысленно выполнять действия, а затем постепенно интериоризировать их, превращая в устойчивые умственные операции. Например, при изучении функций, графическое представление (схемная модель) на этапе материализованной формы позволяет наглядно увидеть зависимость между переменными, а затем, по мере формирования умственного действия, учащиеся уже «видят» график функции, анализируя её аналитическое выражение. Ведь именно наглядность позволяет преодолеть первоначальные трудности и построить прочные ментальные конструкции.

Психологические аспекты визуализации и моделирования в обучении

Современная психология образования подчеркивает, что визуальное восприятие является одним из наиболее мощных каналов получения и обработки информации. Визуализация, как метод обучения, — это не просто демонстрация картинок, а глубокое преобразование информации в зрительно воспринимаемую форму: диаграммы, графики, рисунки, структурно-логические схемы, таблицы. Её основная цель — не только упростить восприятие сложных данных, но и предоставить средства для их эффективной обработки, стимулируя аналитическую деятельность.

Исследования показывают, что применение различных средств визуализации значительно активизирует учащихся, способствует возбуждению их внимания и более прочному усвоению материала. Это происходит благодаря тому, что зрительные образы обрабатываются мозгом быстрее и эффективнее, чем чисто текстовая информация. Более того, визуализация позволяет экономить учебное время, поскольку сложная концепция, представленная в виде схемы, может быть усвоена гораздо быстрее, чем её текстовое описание.

Грамотно построенная методика визуализации способна создать оптимальную стратегию дидактики познания, обеспечивая продуктивный, творческий и личностно-ориентированный процесс обучения. Она позволяет ученику не просто запоминать информацию, но и выстраивать ментальные связи, видеть общую структуру темы, что особенно важно в математике.

Понятие и функции учебной модели в математике

В контексте обучения математике особое место занимает понятие модели. Модель — это некая мысленно представляемая или материально реализованная система, которая, отображая или воспроизводя объект исследования, способна замещать его таким образом, что её изучение предоставляет новую информацию об этом объекте. В математике моделирование — это процесс абстрагирования математических понятий для упрощения их представления и решения задач, который также связывает математические знания с реальным миром.

Процесс математического моделирования включает три основных этапа:

1. Построение модели (формализация): На этом этапе реальная проблема переводится на язык математики. Это может быть составление уравнения, системы уравнений, построение графика, геометрической фигуры или таблицы. Например, текстовая задача о движении может быть формализована в виде системы уравнений или графика зависимости расстояния от времени.
2. Работа с моделью (решение): На этом этапе используются математические методы для анализа и решения построенной модели. Это может быть решение уравнений, анализ функций, проведение геометрических преобразований.
3. Интерпретация полученных математических результатов: На этом заключительном этапе математические результаты переводятся обратно на язык исходной проблемы, даётся ответ на поставленный вопрос, оценивается адекватность модели и её ограничений.

Моделирование играет ключевую роль в развитии познавательных процессов ученика, поскольку требует от него не только знания математических фактов, но и умения применять их в нестандартных ситуациях, анализировать, синтезировать, обобщать. Учебная модель, построенная с помощью визуальных средств, является чрезвычайно эффективным инструментом усвоения математических понятий учащимися различных возрастных групп. Даже в начальном обучении математике визуальная учебная модель необходима из-за возрастных особенностей младших школьников, таких как наглядно-образное мышление и потребность в практических действиях. Для учащихся 7-9 классов, находящихся на этапе перехода от конкретно-образного к абстрактно-логическому мышлению, модели становятся мостом, помогающим преодолеть трудности в освоении абстрактных математических концепций. Они позволяют «увидеть» то, что изначально воспринимается как сложная и сухая абстракция.

Таким образом, визуализация и моделирование, опирающиеся на фундаментальные психолого-педагогические теории, являются не просто вспомогательными элементами, а центральными компонентами эффективной методики обучения математике, способными значительно улучшить качество усвоения материала и развитие когнитивных способностей учащихся. Каков же наиболее важный нюанс, который часто упускается? То, что моделирование — это не самоцель, а средство для развития метапредметных навыков, которые выходят за рамки математики и применимы в любой сфере жизни, формируя гибкость мышления и способность к решению проблем.

Современные педагогические технологии и дидактические принципы применения схемных и знаковых моделей

В условиях динамично меняющегося мира образования, где постоянно появляются новые вызовы и возможности, применение схемных и знаковых моделей не остаётся статичным. Оно интегрируется в современные педагогические технологии, которые стремятся не только к передаче знаний, но и к формированию устойчивых компетенций, а также к интенсификации самого процесса обучения. Педагогическая технология, по своей сути, — это упорядоченная совокупность действий, операций и процедур, инструментально обеспечивающих достижение прогнозируемого результата в изменяющихся условиях образовательного процесса. Рассмотрим, как схемные и знаковые модели вписываются в наиболее актуальные из них, давая ответ на вопрос, каким образом мы можем существенно улучшить процесс усвоения материала.

Технология интенсификации обучения В.Ф. Шаталова

Одним из ярчайших примеров применения схемных и знаковых моделей для интенсификации образовательного процесса является технология, разработанная выдающимся советским педагогом В.Ф. Шаталовым. Его методика, получившая широкое признание, основана на идее «опорных конспектов» — кратких, условных, наглядных схем, кодирующих учебный материал. Эти конспекты представляют собой комплексную знаково-схемную модель, которая позволяет учащимся систематизировать огромные объёмы информации и легко воспроизводить их.

Основные принципы технологии В.Ф. Шаталова включают:

1. Изучение материала крупными блоками (укрупнённые единицы содержания): Вместо дробления на мелкие темы, материал подаётся целостно, что позволяет увидеть общую картину и взаимосвязи. Опорные конспекты служат инструментом для такого блочного представления.
2. Многократное повторение: Информация не просто заучивается, а активно повторяется в различных формах (устная проработка опорных конспектов, работа в парах, индивидуальное воспроизведение).
3. Обязательный поэтапный контроль: Проверка знаний осуществляется постоянно, что позволяет выявлять пробелы и своевременно их устранять.
4. Динамический стереотип деятельности: Формирование устойчивых навыков работы с информацией через регулярное выполнение определённых действий.
5. Гуманизм и гласность успехов каждого ученика: Создание поддерживающей атмосферы и открытость в оценке достижений.
6. Высокий уровень трудности: Шаталов считал, что обучение должно быть выстроено на достаточно высоком уровне сложности, чтобы стимулировать развитие мыслительных способностей.

Применение опорных конспектов Шаталова в обучении математике 7-9 классов позволяет, например, представить сложные алгебраические формулы, геометрические теоремы или алгоритмы решения задач в сжатом, визуально понятном формате. Учащиеся не просто заучивают правила, а учатся «читать» и «декодировать» информацию, представленную графически, что способствует развитию не только памяти, но и логического, образного мышления. Такая методика значительно ускоряет процесс усвоения, освобождая время для решения более сложных, творческих задач и углублённого изучения отдельных аспектов.

Технология укрупнения дидактических единиц (УДЕ) П.М. Эрдниева

Другим значимым направлением в интенсификации обучения математике является технология укрупнения дидактических единиц (УДЕ), разработанная П.М. Эрдниевым. В отличие от традиционного линейного изложения материала, УДЕ предполагает совместное и одновременное изучение взаимосвязанных действий, операций, функций или теорем. Это позволяет видеть не отдельные фрагменты, а целостную систему знаний, что способствует более глубокому пониманию и осмыслению.

Ключевые методы технологии УДЕ включают:

• Совместное и одновременное изучение взаимосвязанных элементов: Например, при изучении квадратных уравнений одновременно рассматриваются различные методы их решения (формула, теорема Виета, графический метод), а также связь между корнями и коэффициентами.
• Методы деформированных упражнений: Задания, в которых необходимо не просто решить задачу, но и восстановить её условие, исправить ошибку, что требует более глубокого анализа.
• Решение прямой задачи с последующим преобразованием её в обратные или аналогичные: Это формирует умение видеть проблему с разных сторон и развивает вариативность мышления.
• Усиление доли творческих заданий: Задания, требующие не просто воспроизведения, а создания нового знания или применения его в нестандартной ситуации.

Применение схемных и знаковых моделей в технологии УДЕ становится естественным и органичным. Например, при изучении различных видов функций (линейная, квадратичная, показательная) можно использовать одну общую схему для анализа их свойств (область определения, область значений, монотонность, нули функции), а затем для каждой конкретной функции заполнять эту схему соответствующими знаковыми обозначениями и графическими представлениями. Этот подход позволяет сократить учебное время до 20% при одновременном обогащении учащихся информацией и углублении их понимания. Он также способствует преодолению дефицита профессиональных компетенций педагогов, связанных с адаптацией к современным образовательным технологиям. Так почему же не использовать эти методы для достижения максимальной эффективности?

Роль визуализации в современных педагогических технологиях

Интенсификация обучения, будь то через методику Шаталова или УДЕ Эрдниева, неразрывно связана с эффективным использованием визуализации. Визуализация не просто иллюстрирует материал, она стимулирует аналитическую деятельность, превращая пассивное созерцание в активный процесс познания. Это происходит потому, что зрительные образы напрямую обращаются к образному мышлению, которое, в свою очередь, может стать основой для формирования абстрактных понятий.

Использование иллюстраций, диаграмм, таблиц и графиков на уроках математики помогает ученику лучше воспринимать материал и запоминать формулы и теоремы. Например:

• Диаграммы Венна для иллюстрации операций над множествами.
• Графики функций для наглядного представления их свойств и решения уравнений.
• Блок-схемы для алгоритмов решения задач или доказательства теорем.
• Таблицы для систематизации данных или свойств математических объектов.

Эффективность визуализации проявляется не только в улучшении запоминания, но и в развитии навыков решения проблем. Когда учащийся видит схематическое представление задачи, он может быстрее выстроить логику её решения, выявить ключевые элементы и отношения между ними. Визуализация становится своеобразным «каркасом» для построения умственных моделей, способствуя формированию целостной картины изучаемого предмета и развитию критического мышления. Это подтверждает, что визуализация является не просто дидактическим приёмом, а фундаментальным принципом, пронизывающим многие современные педагогические технологии, направленные на интенсификацию и повышение качества образования.

Интеграция интерактивных досок и компьютерных презентаций в методику обучения математике с использованием моделей

Современная цифровая эпоха привнесла в образование мощные инструменты, которые могут кардинально изменить подходы к преподаванию. Интерактивные доски и компьютерные презентации, будучи неотъемлемой частью цифровой образовательной среды, открывают новые горизонты для применения схемных и знаковых моделей, позволяя не только демонстрировать их, но и активно манипулировать ими, создавая динамичный и вовлекающий учебный процесс. Именно в синергии этих технологий с проверенными методиками кроется неиспользованный потенциал, который может закрыть «слепые зоны» конкурентов. Например, насколько эффективно мы используем возможности цифровых инструментов для индивидуализации обучения?

Интерактивная доска как средство визуальной наглядности

Интерактивная доска (ИД) — это гораздо больше, чем просто большой экран. Это мультимедийный инструмент, который позволяет учителю и ученикам взаимодействовать с цифровым контентом в реальном времени. В контексте обучения математике с использованием схемных и знаковых моделей, ИД предлагает уникальные возможности:

• Динамическое построение моделей: Вместо статичных рисунков на обычной доске, на ИД можно поэтапно строить геометрические фигуры, графики функций, блок-схемы алгоритмов, добавляя или удаляя элементы, изменяя их параметры. Это позволяет учащимся наблюдать за процессом формирования модели и понимать логику её построения.
• Совместная работа и вовлечение: ИД позволяет нескольким ученикам одновременно взаимодействовать с контентом. Например, один ученик может строить график, другой — заполнять таблицу значений, третий — записывать формулу, а четвёртый — выделять ключевые элементы схемы. Такая совместная деятельность значительно повышает интерес к уроку и способствует глубокому освоению материала.
• Использование мультимедийных ресурсов: На ИД можно интегрировать видео, анимации, аудиофайлы, что обогащает схемные и знаковые модели дополнительным контекстом и делает их более запоминающимися. Например, анимация движения объекта может сопровождаться графиком его скорости, демонстрируемым на ИД.
• Аннотирование и комментирование: Учитель и ученики могут делать пометки, выделять важные моменты, дописывать комментарии прямо на демонстрируемых схемах и моделях, что способствует активному обсуждению и глубокому пониманию.
• Сохранение и повторное использование: Все созданные на ИД материалы, включая динамические модели и аннотации, могут быть сохранены и использованы на последующих уроках или предоставлены учащимся для самостоятельной работы и повторения.

Пример методического приёма: при изучении темы «Квадратичная функция» на ИД можно построить график y = ax² + bx + c. Затем, изменяя значения коэффициентов a, b, c с помощью ползунков, демонстрировать, как меняется форма и положение параболы, и как это коррелирует с аналитическим выражением функции. Учащиеся могут делать свои предположения, а затем проверять их на ИД, что способствует развитию гипотетико-дедуктивного мышления.

Компьютерные презентации и цифровой образовательный контент

Компьютерные презентации являются ещё одним мощным инструментом для эффективного представления схемных и знаковых моделей. Они позволяют структурировать учебный материал, выделять ключевые моменты, использовать анимацию для последовательного раскрытия информации. Однако их потенциал значительно расширяется при интеграции с современными цифровыми образовательными ресурсами.

Один из таких ресурсов – Библиотека цифрового образовательного контента, созданная в соответствии с ФГОС по всем предметам школьной программы. С 1 января 2023 года эта библиотека стала общедоступной и бесплатной, предлагая тысячи цифровых уроков и материалов, использующих самые современные способы визуализации. Для методики обучения математике с использованием схемных и знаковых моделей это открывает огромные возможности:

• Готовые высококачественные модели: Учителя могут использовать уже разработанные и апробированные цифровые материалы, содержащие интерактивные схемы, графики, анимированные модели, что значительно сокращает время на подготовку к уроку.
• Адаптация и модификация: Многие платформы позволяют адаптировать готовые материалы под конкретные цели урока, добавляя или изменяя элементы, создавая новые связки между схемами и текстовым пояснением.
• Индивидуальное обучение: Учащиеся могут самостоятельно работать с цифровым контентом, повторяя пройденный материал, выполняя интерактивные задания, устраняя образовательные дефициты в своём темпе.
• Развитие дополнительных навыков: Работа с цифровыми моделями способствует развитию цифровой грамотности, навыков работы с информацией в интерактивной среде, что является требованием современного мира.

Для учителей использование материалов Библиотеки цифрового образовательного контента не только сокращает время на подготовку к уроку и проверку работ, но и оптимизирует трудозатраты на разработку рабочих программ и тематического планирования. Это позволяет педагогам сосредоточиться на творческом аспекте преподавания и индивидуальной работе с учащимися.

Методические аспекты создания интерактивного дидактического обеспечения

Эффективность применения интерактивных технологий для работы со схемными и знаковыми моделями зависит от качества разработанного дидактического обеспечения. Важно не просто перенести традиционные схемы на интерактивную доску, а создать по-настоящему динамичные и интерактивные элементы, учитывающие специфику цифровой среды и требования ФГОС.

Рекомендации по разработке интерактивных элементов:

1. Принцип динамического формирования: Модели должны не просто демонстрироваться в готовом виде, а формироваться поэтапно. Например, при изучении построения графиков функций по точкам, интерактивная доска позволяет «шаг за шагом» отмечать точки, проводить линии, демонстрируя, как из дискретных данных получается непрерывный график.
2. Возможность манипулирования элементами: Учащиеся должны иметь возможность «перетаскивать» элементы схем, изменять их размеры, цвета, соединять их между собой, чтобы наглядно понять их взаимосвязи. Например, при работе с уравнениями, интерактивная модель позволяет учащимся самостоятельно перемещать члены уравнения, демонстрируя правила переноса и приведения подобных.
3. Интеграция с автоматической проверкой: В интерактивные презентации и задания на ИД можно встраивать элементы с автоматической проверкой правильности построения или заполнения схем. Это обеспечивает немедленную обратную связь и позволяет учащимся самостоятельно корректировать свои действия.
4. Разнообразие форм представления: Использовать различные формы схемных и знаковых моделей — ментальные карты для обобщения тем, блок-схемы для алгоритмов, диаграммы для сравнения, интерактивные таблицы для систематизации данных.
5. Учёт когнитивных особенностей: При разработке интерактивного дидактического обеспечения необходимо учитывать, что современные дети быстрее воспринимают информацию в цифровой среде. Поэтому дизайн должен быть интуитивно понятным, а интерактивные элементы — логичными и привлекательными.

Примером такого интерактивного дидактического обеспечения может быть модуль для изучения геометрических преобразований. На интерактивной доске учитель может показать исходную фигуру, а затем, с помощью интерактивных инструментов, демонстрировать её поворот, смещение, отражение, растяжение, а учащиеся могут сами «пробовать» эти преобразования, изменяя параметры и наблюдая за результатом. Это позволяет не только усвоить теоретические основы преобразований, но и развить пространственное мышнение и интуицию.

Таким образом, интеграция интерактивных досок и компьютерных презентаций с методикой обучения математике, основанной на схемных и знаковых моделях, не только повышает интерес к урокам, но и создаёт условия для глубокого, осмысленного и эффективного изучения предмета, формируя у учащихся компетенции, необходимые в современном цифровом мире.

Критерии и показатели оценки сформированности математических компетенций учащихся 7-9 классов при использовании схемных и знаковых моделей

Разработка эффективной методики обучения невозможна без адекватной системы оценки, которая способна не только фиксировать уровень усвоения предметных знаний, но и выявлять сформированность метапредметных компетенций, особенно в контексте использования инновационных подходов, таких как применение схемных и знаковых моделей. Именно здесь кроется одна из ключевых «слепых зон» существующих методик, которую мы стремимся закрыть.

Система оценки предметных, метапредметных и личностных результатов согласно ФГОС

Федеральный государственный образовательный стандарт основного общего образования (ФГОС ООО) предъявляет комплексные требования к системе оценки, которая должна быть не только объективной и справедливой, но и отражать содержание и критерии оценки, а также формы представления результатов оценочной деятельности. Согласно ФГОС, система оценки должна охватывать три группы результатов:

1. Предметные результаты: Отражают освоение конкретных знаний, умений и навыков по учебному предмету. Для математики это умение решать уравнения, выполнять геометрические построения, применять формулы, знать определения понятий. Критерии оценки предметных результатов могут использовать терминологию «оперировать понятием» (распознавать примеры, выполнять операции по определению, конкретизировать примерами, использовать свойства при решении задач) и «свободно оперировать понятием» (знать определение, доказывать свойства и признаки, характеризовать связи).
2. Метапредметные результаты: Включают универсальные учебные действия (УУД) — регулятивные, познавательные и коммуникативные. Эти результаты отражают способность учащихся к самостоятельному планированию учебной деятельности, поиску информации, логическому мышлению, взаимодействию с другими.
3. Личностные результаты: Отражают сформированность системы ценностных отношений, мотивацию к обучению, самоопределение и нравственно-этическую ориентацию.

Обеспечение комплексного подхода к оценке, позволяющего осуществлять оценку как предметных, так и метапредметных результатов, является краеугольным камнем современного образования. Применение схемных и знаковых моделей, безусловно, влияет на формирование всех трёх групп результатов, но особенно — на метапредметные, требуя от учащихся активного использования познавательных и регулятивных УУД.

Критерии оценки компетенции математического моделирования

Компетенция математического моделирования введена в педагогическую теорию сравнительно недавно, но играет значительную роль в «компетентностном портрете» современного выпускника. Она является необходимым компонентом математической подготовки, обеспечивающим формирование научного мировоззрения и универсальных компетенций. Для оценки этой компетенции, особенно при работе со схемными и знаковыми моделями, необходимо разработать специфические критерии.

Мы предлагаем следующие критерии оценки способности учащихся к построению, интерпретации и оперированию математическими моделями:

1. Построение модели:
   • Критерий: Способность адекватно и полно переводить реальные или проблемные ситуации на язык математики с использованием схемных и знаковых моделей.
   • Показатели:
     • Умение выбрать подходящий тип модели (график, таблица, блок-схема, уравнение, геометрическая фигура) для конкретной задачи.
     • Точность и корректность построения модели (например, правильное изображение графика, безошибочное составление уравнения, логически верная блок-схема).
     • Полное отражение всех существенных элементов исходной задачи в модели.
     • Творческий подход к построению (предложение нескольких вариантов моделирования).
2. Интерпретация модели:
   • Критерий: Способность считывать информацию, заложенную в модели, и переводить её обратно в контекст исходной проблемы.
   • Показатели:
     • Умение «читать» схему или график, извлекая из них необходимую информацию.
     • Корректное объяснение смысла каждого элемента модели в рамках исходной задачи.
     • Умение формулировать выводы на основе анализа модели.
     • Распознавание ограничений и допущений, сделанных при моделировании.
3. Оперирование моделью:
   • Критерий: Способность использовать модель для решения задачи, проведения анализа, прогнозирования или доказательства, а также к соотнесению различных типов моделей (текстовой, предметной, схематической, символической).
   • Показатели:
     • Эффективное применение математических методов к построенной модели для получения результата.
     • Умение модифицировать модель для решения схожих или усложнённых задач.
     • Навык перевода информации между различными формами представления: из текстовой задачи в схематическую модель, из схемы в символическую запись, из таблицы в график и обратно.
     • Аргументированное обоснование выбора конкретных операций над моделью.

Формирование учебных компетенций, включая компетенцию математического моделирования, у школьников 7-9 классов можно эффективно осуществлять, используя интегративную основу в процессе обучения математике, где схемные и знаковые модели выступают одним из ключевых связующих звеньев.

Показатели эффективности использования схемных и знаковых моделей

Помимо критериев оценки компетенции моделирования, необходимо разработать показатели, которые позволят измерить общую эффективность предложенной методики и её влияние на различные аспекты учебной деятельности учащихся.

Предлагаемые показатели:

1. Успеваемость:
   • Количественные: Средний балл по математике, процент выполнения контрольных работ, процент учащихся, достигших высокого уровня освоения предмета.
   • Качественные: Динамика роста успеваемости, сокращение количества ошибок, особенно при решении задач, требующих комплексного подхода.
2. Мотивация к обучению:
   • Количественные: Частота добровольного участия в дополнительных математических активностях (кружки, олимпиады), процент учащихся, проявляющих стойкий интерес к математике.
   • Качественные: Положительные отзывы учащихся о методике, повышение активности на уроках, стремление к самостоятельному поиску решений.
3. Развитие пространственного мышления:
   • Количественные: Результаты выполнения специальных тестов на пространственное мышление (например, вращение фигур, визуализация трёхмерных объектов по плоским проекциям).
   • Качественные: Улучшение способности к выполнению геометрических построений, более лёгкое восприятие стереометрических задач.
4. Развитие аналитических способностей:
   • Количественные: Результаты тестов на логическое мышление, скорость решения нестандартных задач.
   • Качественные: Умение учащихся выстраивать логические цепочки, аргументировать свои выводы, проводить глубокий анализ условий задач.
5. Освоение универсальных учебных действий (УУД):
   • Количественные: Результаты оценки сформированности познавательных, регулятивных и коммуникативных УУД с использованием стандартизированных методик.
   • Качественные: Наблюдение за самостоятельностью учащихся в планировании, контроле и коррекции своей учебной деятельности, эффективностью работы в группах.

Сбор и анализ данных по этим критериям и показателям позволит объективно оценить влияние предложенной методики на образовательный процесс и подтвердить её практическую значимость.

Разработка дидактического обеспечения и методические рекомендации по созданию и внедрению моделей учебного материала

Эффективная методика обучения, использующая схемные и знаковые модели, требует соответствующего дидактического обеспечения – комплекса материалов, которые станут рабочими инструментами как для учителя, так и для ученика. Именно в этой области, в создании целостного и структурированного дидактического обеспечения, наши конкуренты часто проявляют «слепые зоны», ограничиваясь лишь общими рекомендациями. Мы же предлагаем конкретные разработки и пошаговые инструкции.

Структура и компоненты дидактического обеспечения

Дидактическое обеспечение – это не просто набор учебных пособий, а комплекс связанных по дидактическим целям и задачам образования различных видов учебной информации, соответствующих требованиям психологии, педагогики, информатики и других наук. Оно призвано обеспечить всестороннюю поддержку учебного процесса, сделать его более целенаправленным и результативным.

В контексте обучения математике учащихся 7-9 классов с использованием схемных и знаковых моделей, дидактическое обеспечение должно включать следующие ключевые компоненты:

1. Учебные программы: Адаптированные или дополненные программы, которые явно предусматривают использование схемных и знаковых моделей в различных темах курса математики.
2. Учебно-методические издания:
   • Пособия для учителей: Содержащие подробное описание методики, примеры использования моделей, рекомендации по работе с интерактивной доской и компьютерными презентациями.
   • Рабочие тетради для учащихся: С заданиями на построение, интерпретацию и оперирование схемными и знаковыми моделями, с разделами для самостоятельной работы.
3. Дидактический материал:
   • Опорные конспекты: Разработанные в соответствии с принципами В.Ф. Шаталова, представляющие собой сжатые, визуализированные схемы по ключевым темам.
   • Компьютерные презентации: Интерактивные презентации, содержащие динамические схемы, графики, анимации для объяснения нового материала и повторения.
   • Наборы задач: Специально разработанные задачи, требующие применения различных видов моделей (текстовые, предметные, схематические, символические) для их решения.
   • Раздаточные материалы: Карточки с заданиями, шаблоны для построения схем, таблицы для заполнения.
4. Средства обучения:
   • Электронные ресурсы: Ссылки на Библиотеку цифрового образовательного контента, интерактивные онлайн-доски (например, Miro, Jamboard) для совместной работы.
   • Программное обеспечение: Рекомендации по использованию математических программ (например, GeoGebra, Desmos) для построения графиков и геометрических моделей.
   • Физические модели: Наборы геометрических фигур, счётные палочки (например, палочки Кюизенера), «Дары Фрёбеля» для наглядно-образного представления математических понятий, особенно на начальных этапах введения темы.

Все эти компоненты должны быть взаимосвязаны и работать как единая система, поддерживая целостность и последовательность образовательного процесса.

Примеры дидактических материалов со схемными и знаковыми моделями

Для демонстрации применимости и эффективности предложенной методики приведём конкретные примеры дидактического обеспечения, разработанные для различных тем курса математики 7-9 классов.

1. Опорный конспект по теме «Линейная функция и её график» (7 класс)

Представляет собой схему, где в центре – формула y = kx + b. От неё отходят стрелки к следующим блокам:

• Коэффициент k: Под ним подпись: «Угол наклона графика к оси Ox». Стрелка к графику: «Если k > 0, график ↑; если k < 0, график ↓; если k = 0, график || Ox".
• Коэффициент b: Под ним подпись: «Точка пересечения с осью Oy». Стрелка к графику: «Значение y при x = 0».
• График: Изображение координатной плоскости с типичными примерами графиков линейных функций (возрастающая, убывающая, параллельная Ox).
• Свойства: Область определения, область значений, нули функции, пересечения с осями.
• Применение: Примеры задач (графическое решение систем уравнений, задачи на движение).

2. Интерактивная презентация по теме «Решение квадратных уравнений» (8 класс)

Создаётся в PowerPoint или аналогичной программе с элементами анимации и гиперссылок:

• Слайд 1: Введение. Определение квадратного уравнения, виды (полные, неполные).
• Слайд 2: Метод дискриминанта. Формула D = b2 - 4ac. Далее анимированное появление условий: «Если D > 0 → 2 корня», «Если D = 0 → 1 корень», «Если D < 0 → нет корней". Каждый блок сопровождается формулой корней и примером.
• Слайд 3: Теорема Виета. Формулы x1 + x2 = -b/a, x1 · x2 = c/a. Интерактивный пример: при нажатии на коэффициенты уравнения появляются соответствующие суммы и произведения корней.
• Слайд 4: Графический метод. Изображение параболы y = ax2 + bx + c и её пересечений с осью Ox. Анимированное изменение положения параболы в зависимости от корней (2 корня, 1 корень, нет корней).
• Слайд 5: Решение неполных уравнений. Блок-схема с тремя ветвями в зависимости от отсутствующего коэффициента (b=0, c=0).

3. Задачи на математическое моделирование по теме «Прогрессии» (9 класс)

• Задача 1 (текстовая): «В первый день бригада собрала 10 кг яблок, а каждый следующий день собирала на 3 кг больше. Сколько кг яблок собрала бригада за 7 дней?»
  • Задание к задаче:
    1. Составьте числовую модель задачи.
    2. Определите тип прогрессии и запишите формулу n-го члена и суммы n первых членов.
    3. Постройте график зависимости количества собранных яблок от дня.
    4. Решите задачу, используя выбранную модель.
• Задача 2 (схематическая): Дана схема последовательности действий по решению задачи на геометрическую прогрессию (пропущены некоторые шаги).
  • Задание к задаче:
    1. Восстановите пропущенные шаги в схеме.
    2. Придумайте текстовую задачу, которая может быть решена с помощью этой схемы.
    3. Предложите альтернативный способ решения (например, табличный).

Помимо этого, в качестве дидактического обеспечения можно использовать разнообразные игры (например, «Математическая рыбалка» для тренировки формул, «Цепочка примеров» для отработки алгоритмов), упражнения с геометрическими фигурами, логические задачи, активно внедряя в них элементы схемного и знакового моделирования.

Методические рекомендации для педагогов по созданию и внедрению моделей учебного материала

Эффективное внедрение методики требует не только качественного дидактического обеспечения, но и готовности педагогов к его использованию. Обучение будущих учителей математики использованию средств визуальной наглядности происходит в рамках дисциплины «ИКТ в обучении математике и информатике», что включает создание интерактивных плакатов, ментальных карт и подготовку материалов для интерактивных онлайн досок. Однако для действующих учителей необходимы конкретные методические рекомендации.

1. Начинайте с простых моделей: При введении новой темы используйте сначала простейшие схемы (например, опорные слова, стрелки) для структурирования информации. Постепенно усложняйте модели, добавляя новые элементы и связи.
2. Поэтапное формирование: Следуйте принципам теории П.Я. Гальперина. На первых этапах активно используйте материализованные формы моделей (рисование на доске, работа с раздаточными схемами), затем переходите к проговариванию и внутренней речи.
3. Вовлекайте учащихся в процесс создания моделей: Не только демонстрируйте готовые схемы, но и предлагайте учащимся самостоятельно строить модели (в тетрадях, на интерактивной доске, в онлайн-редакторах). Это развивает критическое мышление и глубокое понимание.
4. Используйте интерактивную доску как динамический инструмент:
   • Для демонстрации процесса: Показывайте, как шаг за шагом преобразуется модель (например, как меняется график функции при изменении параметров).
   • Для совместной работы: Предлагайте учащимся выходить к доске и вместе достраивать, изменять, комментировать схемы.
   • Для мгновенной обратной связи: Применяйте встроенные инструменты для проверки правильности построения.
5. Интегрируйте цифровой контент: Активно используйте материалы Библиотеки цифрового образовательного контента. Адаптируйте их под свои уроки, создавайте на их основе интерактивные презентации и задания.
6. Развивайте компетенцию математического моделирования: Включайте в уроки задачи, требующие перехода между текстовой, предметной, схематической и символической моделями. Учите анализировать, синтезировать, сравнивать и обобщать информацию, представленную в разных форматах.
7. Обучайте «чтению» и «декодированию» схем: Регулярно проводите упражнения, где учащимся необходимо интерпретировать готовую схему, объяснять её смысл, делать выводы.
8. Систематизация и повторение: Используйте опорные конспекты и схемы для систематизации изученного материала перед контрольными работами, при повторении крупных блоков тем. Это позволяет укрепить знания и преодолеть возможные дефициты.
9. Обучение цифровой гигиене: В условиях широкого распространения ИИ и цифровых инструментов, важно обучать детей критической оценке информации, распознаванию сгенерированных ИИ текстов (например, по отсутствию специальных математических знаков или характерным штампам), и проверке источников.

Применение на уроках опорных конспектов, схем и других моделей изучаемого материала, а также использование заданий на изложение информации в письменной и устной форме, позволяет не только систематизировать, но и значительно укрепить знания теоретического материала, делая процесс обучения математике более продуктивным и увлекательным для учащихся 7-9 классов.

История развития методики преподавания математики с акцентом на визуальные и знаковые методы

Чтобы по-настоящему оценить инновационность и значимость современных подходов к использованию схемных и знаковых моделей в обучении математике, важно взглянуть на их исторический контекст. Идея визуализации и моделирования в педагогике не является нововведением последних десятилетий; она уходит корнями в глубокое прошлое, эволюционируя вместе с развитием самой науки и методов её преподавания. Каков же важный нюанс здесь упускается? То, что понимание исторической преемственности позволяет увидеть не разрыв, а естественное развитие педагогической мысли, направленной на повышение эффективности обучения.

Истоки и развитие визуализации в методике преподавания

Методика преподавания математики, как отдельная научная дисциплина, начала формироваться ещё в XVII веке благодаря трудам великого чешского педагога Яна Амоса Коменского. В своём фундаментальном труде «Великая дидактика» он отстаивал принцип наглядности, утверждая, что «все, что может быть представлено чувствам, должно быть представлено чувствам». Хотя в его время не существовало ни интерактивных досок, ни компьютерных презентаций, идеи Коменского заложили основу для понимания важности визуального восприятия в обучении.

В России одной из первых значимых работ, демонстрирующих практическое применение дидактических принципов, стала «Арифметика» Леонтия Филипповича Магницкого, изданная в 1703 году. Этот учебник служил основным пособием по математике на протяжении первой половины XVIII века и, хотя в нём ещё не было сложных схем в современном понимании, он активно использовал иллюстрации для объяснения числовых операций и геометрических понятий, что было прорывным для своего времени.

В первой половине XIX века в России появляются первые систематические труды по методике арифметики, одним из основоположников которой был П.С. Гурьев. Его работы способствовали развитию более структурированного подхода к преподаванию, однако визуальные методы всё ещё оставались довольно примитивными.

Настоящий расцвет использования иллюстраций и графических упражнений в арифметике начался во второй половине XIX века. Этот период ознаменовался появлением большого количества задачников с картинками и графическими задачами. Одной из значимых тенденций того времени стало распространение так называемого «метода Грубе» (монографического метода), при котором арифметический материал изучался по числам, а не по действиям. В рамках этого метода активно использовались наглядные пособия (счётные палочки, кубики), а также рисунки для демонстрации состава числа и арифметических операций. Среди работ, отражавших эту тенденцию, были «Арифметика по способу Грубе» И.И. Паульсона и «Методика арифметики» В.А. Евтушевского. Эти авторы понимали, что даже на уровне арифметики визуализация помогает детям осмыслить абстрактные числовые понятия, переходя от конкретных предметов к символической записи.

Современные тенденции и вклад Пьера Ван Хиеля

В XX веке, с развитием психологии и педагогики, понимание роли визуализации углубилось. Особое значение в этом контексте имеют работы, касающиеся развития геометрического мышления. Значимым этапом в развитии визуальных методов стало появление в 1957 году модели обучения геометрии Пьера Ван Хиеля. Голландский учёный предложил пятиуровневую модель развития геометрического мышления, которая основывалась на идее поэтапного формирования понимания геометрических концепций:

1. Уровень 0 (Визуализация/Распознавание): Учащиеся воспринимают фигуры как целое, без выделения их свойств. На этом уровне ключевую роль играют наглядные образы.
2. Уровень 1 (Анализ): Учащиеся начинают выделять свойства фигур, но не видят взаимосвязи между ними. Здесь важны схемы, таблицы, систематизирующие свойства.
3. Уровень 2 (Абстракция/Отношение): Учащиеся понимают логические взаимосвязи ме��ду свойствами и могут формулировать определения. Начинается работа с более абстрактными знаковыми моделями.
4. Уровень 3 (Дедукция): Учащиеся способны строить дедуктивные доказательства, понимают роль аксиом и теорем. Знаковые системы (формулы, символы) становятся основным инструментом.
5. Уровень 4 (Строгость): Учащиеся работают с различными аксиоматическими системами, понимают формальную природу геометрии.

Модель Ван Хиеля чётко показала, что визуальное мышление является фундаментом, на котором строится более сложное, абстрактное геометрическое понимание. Она подчеркнула необходимость систематического использования визуальных средств на начальных этапах обучения, постепенно переходя к более формальным знаковым системам по мере развития когнитивных способностей учащихся.

Таким образом, современные подходы к применению схемных и знаковых моделей в обучении математике не являются революционным разрывом с прошлым, а скорее логическим продолжением и развитием идей, зародившихся столетия назад. Интерактивные доски и компьютерные презентации предоставляют лишь новые, более мощные инструменты для реализации тех же фундаментальных дидактических принципов, которые были сформулированы Коменским и развиты методистами последующих эпох, включая работы Ван Хиеля, Гальперина, Шаталова и Эрдниева. Понимание этой исторической преемственности позволяет глубже осознать значимость и обоснованность предлагаемой методики.

Выводы

Настоящая работа посвящена разработке и всестороннему обоснованию методики обучения математике учащихся 7-9 классов с использованием схемных и знаковых моделей учебного материала, интегрированной с возможностями интерактивной доски и компьютерных презентаций. В ходе исследования были последовательно решены все поставленные задачи, что позволило достичь главной цели — представить комплексный, научно обоснованный и практически применимый инструментарий для повышения эффективности образовательного процесса.

Мы установили, что теоретические и психолого-педагогические основы применения моделей глубоко укоренены в фундаментальных концепциях. Системно-деятельностный подход, являющийся основой ФГОС, находит своё развитие в активном использовании схемных и знаковых моделей для формирования универсальных учебных действий. Теория поэтапного формирования умственных действий П.Я. Гальперина детально объясняет, как внешние, наглядные модели способствуют интериоризации знаний и формированию устойчивых умственных операций. Психологические аспекты визуализации и моделирования подтверждают их ключевую роль в активизации познавательной деятельности, стимулировании аналитического мышления и повышении прочности усвоения материала. Было показано, что учебная модель — это не просто иллюстрация, а мощный инструмент, способный замещать объект исследования и способствовать развитию познавательных процессов на всех этапах математического моделирования.

Анализ современных педагогических технологий выявил, что методика В.Ф. Шаталова с её опорными конспектами и блочной подачей материала, а также технология укрупнения дидактических единиц (УДЕ) П.М. Эрдниева, являются мощными платформами для интеграции схемных и знаковых моделей. Эти технологии позволяют интенсифицировать обучение, сократить учебное время и обогатить учащихся информацией, а визуализация выступает в них как катализатор аналитической деятельности и эффективного запоминания.

Особое внимание было уделено интеграции интерактивных досок и компьютерных презентаций. Исследование показало, что интерактивные доски не просто демонстрируют модели, но и позволяют динамически строить их, вовлекать учащихся в совместную работу, использовать мультимедийные ресурсы и обеспечивать мгновенную обратную связь. Компьютерные презентации, обогащённые материалами Библиотеки цифрового образовательного контента, открывают новые возможности для индивидуального обучения и оптимизации подготовки к урокам. Предложенные методические аспекты создания интерактивного дидактического обеспечения позволяют максимально эффективно использовать потенциал цифровых технологий.

Ключевым вкладом работы является разработка специфических критериев и показателей оценки сформированности математических компетенций учащихся 7-9 классов, учитывающих применение схемных и знаковых моделей. Эти критерии охватывают способность к построению, интерпретации и оперированию моделями, а также к соотнесению различных типов моделей. Разработанные показатели позволяют измерять влияние методики на успеваемость, мотивацию, развитие пространственного мышления и аналитических способностей, закрывая тем самым существующие «слепые зоны» конкурентных методик.

Наконец, была представлена комплексная структура дидактического обеспечения, включающая учебные программы, учебно-методические издания, дидактические материалы (опорные конспекты, интерактивные презентации, задачи) и средства обучения. Приведены конкретные примеры дидактических материалов и пошаговые методические рекомендации для педагогов по созданию и эффективному внедрению моделей учебного материала, что делает предложенную методику готовой к практическому применению. Исторический обзор развития визуальных и знаковых методов в методике преподавания математики, от Я.А. Коменского до Пьера Ван Хиеля, подчёркивает преемственность и эволюционный характер предложенных подходов.

Практическая значимость разработанной методики заключается в предоставлении учителям математики 7-9 классов научно обоснованного и детально проработанного инструментария, который позволит:

• Повысить познавательную активность и мотивацию учащихся.
• Улучшить качество усвоения сложных математических понятий и алгоритмов.
• Развить метапредметные компетенции, включая умение работать с информацией, анализировать и синтезировать данные.
• Эффективно использовать современные цифровые технологии в образовательном процессе.

Перспективы дальнейших исследований могут включать:

• Проведение широкомасштабного педагогического эксперимента для эмпирического подтверждения эффективности методики в различных образовательных учреждениях.
• Разработку специализированного программного обеспечения или интерактивных онлайн-курсов, полностью интегрирующих схемные и знаковые модели с цифровыми инструментами.
• Исследование влияния методики на формирование специфических профессиональных компетенций в старших классах и высшем образовании, особенно в инженерных и IT-специальностях, где навыки моделирования являются критически важными.

Таким образом, данная работа не только представляет собой глубокое методологическое исследование, но и закладывает основу для дальнейшего развития методики преподавания математики в условиях динамично меняющегося мира.

Список использованной литературы

1. Некрасов В.Б., Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. Материалы по подготовке к новому учебному году // Математика в школе. 1991. № 4. С. 22-37.
2. Резник Н.А. Методические основы обучения математике в средней школе с использованием средств развития визуального мышления: дис. … докт. пед. наук. СПб., 1997. 350 с.
3. Резник Н.А., Ежова Н.М. Отдельные проблемы интерфейса компьютерных средств обучения. Мурманск: МИЭП, 2003. 33 с.
4. Резник Н.А., Иванчук Н.В. Визуальная геометрия. «Замечательные углы и числа. Синус и косинус, тангенс и котангенс. Отношения в прямоугольном треугольнике»: Сборник визуальных дидактических материалов для учителя и ученика (8-9 классы). СПб, 2001. 64 с.
5. Черемных Г.В. Приемы визуализации в педагогических технологиях. ФИО, 2003. URL: http://center.fio.ru/vio/VIO_01/Present/ITO/1999/II/5/5137.html.
6. Понятие «педагогическая технология». URL: https://cito-web.ru/pedagogicheskaya-tehnologiya/ponyatie-pedagogicheskaya-tehnologiya.
7. Интенсификация обучения как основа развития образования в аспекте глобализации. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/intensifikatsii-obucheniya-kak-osnova-razvitiya-obrazovaniya-v-aspekte-globalizatsii.
8. Методы деятельностного подхода в обучении математике. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/metody-deyatelnostnogo-podhoda-v-obuchenii-matematike.
9. Что такое Интенсификация обучения? Основы духовной культуры (энциклопедический словарь педагога). URL: https://pedagogical_culture.academic.ru/209/%D0%98%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%BD%D1%81%D0%B8%D1%84%D0%B8%D0%BA%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%BE%D0%B1%D1%83%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F.
10. Интенсификация обучения. Приемы цифровизации. Информио. URL: https://informio.ru/publications/id6559/intensifikaciya-obucheniya-priemy-cifrovizacii.
11. Педагогическая технология: продуманная система вопл. URL: https://obrazovanie.bobrodobro.ru/18288.
12. Понятие педагогической технологии в педагогике. Издательство СибАК. URL: https://sibac.info/journal/pedagog/78/143534.
13. Визуализация как метод обучения на уроках математики. Новости кафедры ТМОМИ МПГУ. URL: https://mpgu.su/novosti/vizualizatsiya-kak-metod-obucheniya-na-urokah-matematiki/.
14. Визуализация и ее роль в обучении математике как одно из актуальных направлений в современном образовании. КиберЛенинка. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/vizualizatsiya-i-ee-rol-v-obuchenii-matematike-kak-odno-iz-aktualnyh-napravleniy-v-sovremennom-obrazovanii.
15. Муртазина Н.А. Схематические модели как средство обучения младших школьников решению задач различными способами. URL: https://www.dissercat.com/content/skhematicheskie-modeli-kak-sredstvo-obucheniya-mladshikh-shkolnikov-resheniyu-zadach-razlichny.
16. Влияние визуальных средств обучения на эффективность усвоения математических концепций. Дом Знания. URL: https://domznaniy.com/articles/vliyanie-vizualnyh-sredstv-obucheniya-na-effektivnost-usvoeniya-matematicheskih-koncepcij.html.
17. Поэтапное формирование умственных действий и понятий. КиберЛенинка. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/poetapnoe-formirovanie-umstvennyh-deystviy-i-ponyatiy.
18. Визуализация в обучении математике: из опыта преподавания в начальной школе. КиберЛенинка. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/vizualizatsiya-v-obuchenii-matematike-iz-opyta-prepodavaniya-v-nachalny.
19. Развитие методики преподавания математики в России во второй половине XIX века. КиберЛенинка. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/razvitie-metodiki-prepodavaniya-matematiki-v-rossii-vo-vtoroy-polovine-xix.
20. Современные технологии обучения математике. Направление подготовки 44.03.05 «Педагогическое образование». Реализуемые образовательные программы. URL: https://www.sfu-kras.ru/education/courses/3159.
21. Власова А.В. Выпускная квалификационная работа (магистерская диссертация). Тольяттинский государственный университет. URL: https://www.tltsu.ru/upload/iblock/c38/mag_dissert_vlasova_av.pdf.
22. Использование графических моделей в обучении решению задач на целые числа. URL: https://akademiki.online/stati/ispolzovanie-graficheskih-modeley-v-obuchenii-resheniyu-zadach-na-tselye-chisla.
23. Графическое моделирование в курсе математики начальной школе. КиберЛенинка. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/graficheskoe-modelirovanie-v-kurse-matematiki-nachalnoy-shkole.
24. История и развития предмет математика. КиберЛенинка. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/istoriya-i-razvitiya-predmet-matematika.
25. Виды учебных моделей. Пачатковая школа. URL: https://elib.bspu.by/bitstream/doc/52084/1/%D0%A3%D1%80%D0%B1%D0%B0%D0%BD.pdf.
26. Из истории развития методики начального обучения математике. URL: https://studfile.net/preview/7926120/page:3/.
27. Визуализация как средство эффективного формирования математических знаний у студентов технических вузов. КиберЛенинка. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/vizualizatsiya-kak-sredstvo-effektivnogo-formirovaniya-matematicheskih-znaniy-u-studentov-tehnicheskih-vuzov.
28. Эффективность метода визуализации в решении учебных задач. Мир науки. Педагогика и психология. URL: https://mir-nauki.com/PDF/02PDMN422.pdf.
29. Использование средств визуальной наглядности в обучении математике. КиберЛенинка. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/ispolzovanie-sredstv-vizualnoy-naglyadnosti-v-obuchenii-matematike.
30. Методика преподавания математики. URL: https://www.twirpx.com/file/113840/.
31. Методы обучения математике. Оренбургский государственный университет. URL: http://osu.ru/docs/training_manual/2126/Metody_obucheniya_matematike.pdf.
32. Библиотека цифрового образовательного контента. URL: https://educont.ru/.
33. Понятия дидактическое обеспечения и дидактическое средство, их назначение, структура и характеристика. Гуманитарные научные исследования. URL: https://human.snauka.ru/2019/11/26296.
34. Дидактическое обеспечение. Современные научные исследования и инновации. URL: https://web.snauka.ru/keywords/дидактическое-обеспечение.
35. Сравнительный анализ понятий «дидактическое обеспечение» и «методическое обеспечение». Сибирский федеральный университет. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/sravnitelnyy-analiz-ponyatiy-didakticheskoe-obespechenie-i-metodicheskoe-o.
36. Облако знаний – образовательный сервис для учащихся и преподавателей школ. URL: https://obuchonok.ru/.
37. Методика преподавания математики. Yangi Asr Universiteti. URL: https://newageuniversity.uz/wp-content/uploads/2024/02/%D0%9C%D0%95%D0%A2%D0%9E%D0%94%D0%98%D0%9A%D0%90-%D0%9F%D0%A0%D0%95%D0%9F%D0%9E%D0%94%D0%90%D0%92%D0%90%D0%9D%D0%98%D0%AF-%D0%9C%D0%90%D0%A2%D0%95%D0%9C%D0%90%D0%A2%D0%98%D0%9A%D0%98-1.pdf.
38. Рекомендации по совершенствованию преподавания учебных предметов для всех обучающихся, а также по организации дифференцированного обучения учащихся с выраженной предметной одаренностью и с низким уровнем предметных результатов по учебным предметам Русский язык, Литература, Математика, Информатика. Курский институт развития образования. URL: https://kiro46.ru/wp-content/uploads/2023/06/Рекомендации-по-совершенствованию-преподавания-учебных-предметов-для-всех-обучающихся-а-также-по-организации-дифференцированного-обучения-учащихся-с-выраженной-предметной-одаренностью-и-с-низким-уровнем-предметных-результатов-по-учебным-предметам-Русский-язык-Литература-Математика-Информатика.pdf.
39. Система оценки достижений планируемых предметных результатов освоения учебного предмета «Математика». Единое содержание общего образования. URL: https://edsoo.ru/Рекомендации_по_оценке_предметных_результатов_Математика_2023.pdf.
40. Математическое моделирование как метод формирования познавательных универсальных учебных действий и компетенций обучающихся в условиях холистичной образовательной среды. КиберЛенинка. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/matematicheskoe-modelirovanie-kak-metod-formirovaniya-poznavatelnyh-universalnyh-uchebnyh-deystviy-i-kompetentsiy-obuchayuschihsya-v-usloviyah-holistichnoy-obrazovatelnoy-sredy.
41. Формирование учебных компетенций у школьников 7-9 классов при использовании интегративной основы в процессе обучения математике. КиберЛенинка. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/formirovanie-uchebnyh-kompetentsiy-u-shkolnikov-7-9-klassov-pri-ispolzovanii-integrativnoy-osnovy-v-protsesse-obucheniya-matematike.
42. Компетенция математического моделирования в контексте современной образовательной парадигмы. Научное обозрение. Педагогические науки. URL: https://science-pedagogy.com/ru/article/view?id=457.
43. Критериальное внутреннее оценивание учебных достижений учащихся 7-9 классов в обучении геометрии: дис. … канд. пед. наук. URL: https://www.dissercat.com/content/kriterialnoe-vnutrennee-otsenivanie-uchebnykh-dostizhenii-uchashchikhsya-7-9-klassov-v-obuc.
44. Математика. Алгебра. Методические рекомендации. 7-9 классы. (к учебным пособиям Колягина Ю.М. и др.). Просвещение. URL: https://shop.prosv.ru/product/matematika-algebra-metodicheskie-rekomendatsii-7-9-klassy-k-uchebnym-posobiyam-kolyagina-yu-m-i-dr.