Моделирование поведения ключевой ставки Банка России на основе комплексного анализа временного ряда (ARIMA-GARCH) с применением методов эконофизики

16 декабря 2014 года Банк России принял экстраординарное решение, повысив ключевую ставку сразу с 10,5% до 17,0% годовых. Это событие стало ярким подтверждением того, насколько резко и непредсказуемо может меняться один из фундаментальных макроэкономических показателей, оказывающий колоссальное влияние на экономику страны. В условиях постоянно меняющегося глобального и внутреннего экономического ландшафта высокая волатильность и неопределенность в динамике ключевой ставки создают значительные вызовы для монетарной политики, бизнеса и населения. Способность адекватно прогнозировать ее поведение становится критически важной для принятия обоснованных управленческих решений и минимизации экономических рисков.

Настоящая выпускная квалификационная работа посвящена разработке и эмпирической валидации комплексной эконометрической модели для прогнозирования ключевой ставки Банка России. Целью исследования является построение адекватной прогностической модели, способной улавливать как среднесрочные тренды, так и краткосрочные колебания, а также оценивать волатильность с учетом особенностей экономических временных рядов. Для достижения этой цели в работе будут решены следующие задачи:

1. Систематизация теоретических основ анализа временных рядов и эконометрического моделирования, включая классические модели (АРПСС) и модели условной волатильности (GARCH).
2. Интеграция эконофизического подхода для учета нелинейных эффектов и нестандартных распределений, характерных для экономических данных.
3. Проведение всестороннего первичного анализа временного ряда ключевой ставки Банка России с использованием строгих статистических тестов.
4. Эмпирическое построение и сравнительный анализ конкурирующих прогностических моделей, включая симметричные и асимметричные GARCH-модели с различными распределениями остатков.
5. Оценка прогностической силы выбранной модели и формулирование экономических выводов и практических рекомендаций.

Работа будет структурирована таким образом, чтобы последовательно раскрыть теоретические аспекты, методологические подходы, этапы эмпирического анализа и, наконец, представить и интерпретировать полученные результаты.

Теоретические основы анализа временных рядов и эконометрического моделирования

Понимание динамики экономических процессов невозможно без инструментов, способных анализировать данные, упорядоченные во времени. Временные ряды служат фундаментом для прогнозирования, оценки рисков и формирования экономической политики. Этот раздел заложит основу, определив ключевые понятия и представив базовые эконометрические модели.

Понятие и свойства временных рядов в экономике

Временной ряд представляет собой последовательность наблюдений, измерений или значений определенного показателя, упорядоченных по времени и полученных через равные или неравные промежутки времени. В экономике такие ряды могут описывать самые разнообразные явления: от ежедневных котировок акций до ежеквартального ВВП страны или ежемесячных показателей инфляции. Ключевой характеристикой, определяющей применимость большинства эконометрических моделей, является стационарность.

Стационарный временной ряд – это стохастический процесс, статистические свойства которого не изменяются со временем. Более формально, для строго стационарного ряда распределение его значений остается неизменным вне зависимости от временного сдвига. Однако на практике чаще оперируют понятием слабо стационарного ряда, для которого достаточно выполнения трех условий:

1. Постоянство среднего значения (математического ожидания): E(X_t) = μ, где μ – константа. Это означает, что средний уровень ряда не меняется с течением времени, что крайне важно для надежного прогнозирования.
2. Постоянство дисперсии: Var(X_t) = σ², где σ² – константа. Волатильность ряда должна быть стабильной, иначе оценки риска будут некорректны.
3. Постоянство автоковариации: Cov(X_t, X_t-k) = γ_k, которая зависит только от лага k (расстояния между наблюдениями), а не от конкретного момента времени t. Это подразумевает, что сила связи между значениями ряда на разных временных отрезках не меняется, что позволяет использовать прошлые данные для моделирования будущих.

Большинство классических моделей временных рядов требуют стационарности, так как на нестационарных данных могут возникать проблемы ложной регрессии и некорректных статистических выводов. Поэтому при работе с экономическими временными рядами достижение стационарности является первостепенной задачей, иначе результаты моделирования не будут иметь под собой прочной основы.

Классические модели прогнозирования условного среднего

Для прогнозирования условного среднего значения временного ряда широкое применение нашли модели класса ARIMA (Autoregressive Integrated Moving Average), разработанные Боксом и Дженкинсом. Их универсальность заключается в способности моделировать как стационарные, так и нестационарные ряды.

Модель АРПСС (ARIMA) (Autoregressive Integrated Moving Average) — это обобщенная модель авторегрессии и скользящего среднего, используемая для нестационарных временных рядов. Она описывается тремя ключевыми параметрами:

• p (порядок авторегрессии, AR): Указывает на зависимость текущего значения ряда от его прошлых значений. Часть AR(p) модели выглядит как X_t = \(\sum_{i=1}^{p} \varphi_i X_{t-i}\).
• d (порядок интегрирования/разностей, I): Определяет количество раз, которое необходимо взять разность ряда, чтобы сделать его стационарным. Если d = 0, ряд уже стационарен, и модель становится ARMA(p,q). Этот параметр критически важен для работы с данными, имеющими тренд.
• q (порядок скользящего среднего, MA): Характеризует зависимость текущего значения ряда от прошлых ошибок (шоков) прогноза. Часть MA(q) модели выглядит как X_t = \(\sum_{j=1}^{q} \theta_j \varepsilon_{t-j}\).

Общее уравнение модели ARIMA(p, d, q) для ряда X_t, после применения оператора разности d-го порядка (обозначим \(\Delta^d X_t = Y_t\)), может быть представлено (с включением константы δ) как:

\(Y_t = \delta + \sum_{i=1}^{p} \varphi_i Y_{t-i} + \varepsilon_t - \sum_{j=1}^{q} \theta_j \varepsilon_{t-j}\)

где:

• Y_t = \(\Delta^d X_t\) — это разностный ряд, который считается стационарным;
• δ — константа, соответствующая среднему значению стационарного ряда;
• φ_i — коэффициенты авторегрессии, отражающие влияние прошлых значений Y_t-i;
• ε_t — случайная ошибка («белый шум»), предполагается, что она является независимой и одинаково распределенной;
• θ_j — коэффициенты скользящего среднего, отражающие влияние прошлых ошибок ε_t-j.

Параметр d играет ключевую роль в работе с нестационарными данными. Без приведения ряда к стационарности выводы, сделанные на основе моделей ARMA, могут быть некорректными, что приведет к ошибочным прогнозам и решениям. Иными словами, без корректного определения d, построение модели становится бессмысленным.

Моделирование условной волатильности и кластеризации (ARCH/GARCH)

Классические модели ARIMA фокусируются на прогнозировании условного среднего, но часто упускают важный аспект поведения экономических временных рядов — изменчивость или волатильность. В частности, финансовые и макроэкономические данные часто демонстрируют явление, известное как кластеризация волатильности. Это означает, что периоды высокой волатильности (больших по модулю изменений) сменяются периодами низкой волатильности (малых изменений). Иными словами, большие шоки обычно сопровождаются другими большими шоками, а малые — малыми. Именно это свойство необходимо учитывать для адекватной оценки риска.

Для моделирования и прогнозирования этой условной дисперсии (волатильности) были разработаны модели семейства ARCH (Autoregressive Conditional Heteroskedasticity) и их обобщение – GARCH (Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity).

Модель GARCH(p, q), предложенная Боллерслевым, является мощным инструментом для описания условной дисперсии. Она предполагает, что текущая условная дисперсия (σ²_t) является функцией константы, прошлых квадратов остатков (ε²_t-i, отражающих прошлые шоки) и прошлых оценок самой условной дисперсии (σ²_t-j). Это позволяет модели более гибко реагировать на изменения изменчивости.

Уравнение для условной дисперсии в модели GARCH(p, q) имеет следующий вид:

\(\sigma^2_t = \omega + \sum_{i=1}^{q} \alpha_i \varepsilon^2_{t-i} + \sum_{j=1}^{p} \beta_j \sigma^2_{t-j}\)

где:

• σ²_t — условная дисперсия в момент времени t;
• ω — константа, должна быть строго положительной (ω > 0);
• ε²_t-i — квадраты остатков из уравнения среднего, которые представляют собой прошлые шоки (i-й лаг);
• α_i — коэффициенты, характеризующие влияние прошлых шоков на текущую волатильность (α_i ≥ 0). Высокое значение α_i означает, что прошлые неожиданные события сильно влияют на текущую неопределенность.
• σ²_t-j — прошлые значения условной дисперсии (j-й лаг);
• β_j — коэффициенты, характеризующие влияние прошлой волатильности на текущую (β_j ≥ 0). Большое значение β_j указывает на инерционность волатильности.

Для обеспечения стационарности процесса волатильности сумма коэффициентов должна быть меньше единицы: \(\sum \alpha_i + \sum \beta_j < 1\). В случае, когда p=0, модель GARCH(p, q) сводится к частному случаю — модели ARCH(q), где условная дисперсия зависит только от прошлых квадратов остатков: \(\sigma^2_t = \omega + \sum_{i=1}^{q} \alpha_i \varepsilon^2_{t-i}\). Модели GARCH позволяют более гибко и точно описывать динамику волатильности, что крайне важно для оценки рисков и формирования адекватных прогнозов, поскольку они учитывают не только среднее значение, но и изменчивость. Игнорирование этого аспекта может привести к недооценке реальных рисков.

Интеграция эконофизического подхода в анализ финансовых рядов

Традиционная эконометрика часто опирается на предположение о нормальном распределении остатков, что в ряде случаев упрощает математический аппарат, но может приводить к серьезным ошибкам, особенно при работе с финансовыми и макроэкономическими данными. Именно здесь на помощь приходит эконофизика, предлагая междисциплинарный взгляд и инструментарий статистической физики. Эконофизика позволяет более реалистично описывать рыночные явления, чем традиционные методы.

Феномен «тяжелых хвостов» (fat tails) и его экономическая интерпретация

Одной из самых заметных особенностей многих финансовых и экономических временных рядов (например, доходностей активов, изменений процентных ставок) является феномен «тяжелых хвостов» (fat tails). Это означает, что вероятность экстремальных событий – очень больших или очень малых отклонений от среднего (на 5 и более стандартных отклонений) – значительно выше, чем предполагает стандартное (Гауссово) нормальное распределение. Без учета этого феномена риски систематически недооцениваются.

В нормальном распределении вероятность таких событий экспоненциально убывает. Однако на практике, как показали многочисленные исследования, рынки и экономические системы гораздо чаще переживают резкие «скачки» или «обвалы», чем это предсказывает нормальное распределение. Экономическая интерпретация этого явления глубока:

• Недооценка риска: Использование моделей, предполагающих нормальное распределение, приводит к систематической недооценке вероятности «черных лебедей» – редких, но чрезвычайно разрушительных событий. Это критически важно для риск-менеджмента, портфельного инвестирования и регулирования, поскольку реальные убытки могут значительно превышать ожидаемые.
• Искажение волатильности: Оценки волатильности, основанные на нормальном распределении, могут быть неточными, особенно в периоды турбулентности, когда экстремальные события становятся более частыми. Это ведет к неверным решениям о распределении капитала.
• Нелинейность и сложность: Тяжелые хвосты отражают присущую экономическим системам нелинейность, фрактальность и сложность, где малые причины могут приводить к большим, непропорциональным следствиям. Понимание этой сложности позволяет разрабатывать более устойчивые стратегии.

Эконофизика, как междисциплинарная наука, применяет методологию и математические инструменты статистической физики и теории сложных систем для анализа экономических и финансовых данных, стремясь преодолеть ограничения классической эконометрики, в том числе, в части описания распределений с тяжелыми хвостами. Иными словами, она дает более реалистичное представление о поведении финансовых рынков.

Использование распределений с тяжелыми хвостами для моделирования остатков

Для адекватного учета феномена «тяжелых хвостов» и корректной оценки рисков эконофизический подход предлагает использовать альтернативные распределения для остатков моделей, отличающиеся от нормального. Среди наиболее распространенных:

• t-распределение Стьюдента: Это симметричное распределение, которое имеет более тяжелые хвосты по сравнению с нормальным. Количество степеней свободы (ν) является ключевым параметром: чем меньше ν, тем толще хвосты. При \(\nu \to \infty\) t-распределение сходится к нормальному. Оно часто используется в GARCH-моделях для остатков, поскольку позволяет лучше описывать экстремальные события.
• Устойчивые распределения Леви: Это более общий класс распределений, включающий нормальное и Коши, но также позволяющий моделировать асимметрию и тяжелые хвосты. Они обладают свойством устойчивости, то есть сумма независимых случайных величин с устойчивым распределением также имеет устойчивое распределение. Однако их использование сопряжено с большей вычислительной сложностью из-за отсутствия простых аналитических формул для плотности вероятности, что ограничивает их практическое применение.
• Распределение Парето: Характеризуется степенным законом убывания хвостов, что делает его особенно подходящим для описания очень редких, но крайне больших событий (например, богатство, доходы). Применяется для моделирования экстремальных значений, когда важна именно верхняя часть распределения.

Включение таких распределений в эконометрические модели, в частности в GARCH-модели, позволяет более точно оценить вероятность экстремальных событий и, соответственно, адекватно управлять рисками, связанными с «черными лебедями», поскольку нормальное распределение систематически недооценивает вероятность таких крупных, редких событий. Таким образом, это приводит к более надежным оценкам рисков, что критически важно для принятия решений.

Анализ необходимости учета эффекта асимметрии/рычага (Leverage Effect) и асимметричные GARCH-модели

Помимо феномена «тяжелых хвостов», экономические временные ряды, особенно финансовые, часто демонстрируют еще одну важную особенность: эффект асимметрии (или эффект рычага). Этот эффект заключается в том, что отрицательные шоки (например, падение цены актива или снижение экономического показателя) оказывают большее влияние на будущую волатильность, чем положительные шоки той же величины. То есть, плохие новости обычно вызывают более сильный рост неопределенности и волатильности, чем хорошие новости, приводящие к аналогичному по модулю изменению. Это свойство объясняет, почему рынки гораздо сильнее реагируют на негатив.

Классические GARCH-модели, описанные выше, являются симметричными: они предполагают, что положительные и отрицательные шоки одинаково влияют на условную дисперсию, поскольку в формуле используется квадрат остатков (\(\varepsilon^2_{t-i}\)), который нечувствителен к знаку шока. Однако эмпирические данные показывают, что это предположение часто не соответствует действительности, что делает симметричные модели менее точными.

Для учета эффекта асимметрии были разработаны различные модификации GARCH-моделей, среди которых наиболее известны:

• EGARCH (Exponential GARCH): Модель экспоненциальной GARCH, предложенная Нельсоном, моделирует логарифм условной дисперсии (ln(\(\sigma^2_t\))), что гарантирует положительность волатильности без необходимости накладывать ограничения на коэффициенты. Ключевое отличие заключается в наличии члена, зависящего от знака остатка, что позволяет асимметрично реагировать на положительные и отрицательные шоки. Это обеспечивает более реалистичное моделирование.
• GJR-GARCH (Glosten, Jagannathan, Runkle GARCH), также известная как TARCH (Threshold ARCH): Эта модель включает в себя дополнительный член, который активируется только при отрицательных шоках. Это позволяет отрицательным шокам иметь большее влияние на условную дисперсию, чем положительным. Например, при \(\varepsilon_{t-i} < 0\), к коэффициенту \(\alpha_i\) добавляется дополнительный параметр \(\gamma\), усиливающий реакцию волатильности.

Включение асимметричных GARCH-моделей в анализ позволяет более точно моделировать динамику волатильности, что особенно важно для прогнозирования и управления рисками в условиях, когда реакция рынка на негативные события отличается от реакции на позитивные. Применительно к ключевой ставке Банка России, это может означать, что ее резкое повышение (негативный шок для экономики) может вызвать более устойчивый период высокой неопределенности, чем аналогичное по модулю снижение. Это имеет прямое практическое значение для регулятора.

Методология первичного анализа и идентификация временного ряда ключевой ставки ЦБ РФ

Прежде чем приступить к построению сложных эконометрических моделей, необходимо провести тщательный первичный анализ выбранного временного ряда. Этот этап позволяет понять основные характеристики данных, выявить аномалии и определить стратегию для дальнейшего моделирования, что является фундаментом для построения надёжных прогнозов.

Выбор и обоснование объекта моделирования

В качестве объекта для анализа и прогнозирования выбрана ключевая ставка Банка России. Этот выбор обусловлен несколькими причинами, подтверждающими ее центральное значение для экономики:

1. Центральная роль в экономике: Ключевая ставка является одним из основных инструментов денежно-кредитной политики Центрального банка. Она оказывает прямое и косвенное влияние на процентные ставки по кредитам и вкладам в коммерческих банках, уровень инфляции, инвестиционную активность, валютный курс и, в конечном итоге, на экономический рост. Моделирование ее поведения имеет высокую практическую значимость для регулятора, финансовых институтов и бизнеса, поскольку позволяет предвидеть экономические последствия.
2. Специфика динамики: Временной ряд ключевой ставки ЦБ РФ характеризуется выраженной ступенчатостью, что означает, что значение ставки остается неизменным в течение определенного периода, а затем резко меняется. Такие изменения часто происходят в ответ на изменения макроэкономической ситуации (инфляция, курс рубля, геополитические шоки), что усложняет традиционное моделирование.
3. Примеры резких изменений: История ключевой ставки богата примерами таких резких изменений. Один из наиболее ярких — решение от 16 декабря 2014 года, когда ключевая ставка была повышена сразу с 10,5% до 17,0% годовых. Это решение было принято Банком России для ограничения существенно возросших девальвационных и инфляционных рисков. Другой пример — снижение ставки с 20% до 17% годовых 28 февраля 2022 года. По состоянию на 05.10.2025 года, ключевая ставка Банка России составляла 17,00% годовых. Эти резкие переходы создают вызовы для традиционных моделей и требуют внимательного подхода к идентификации и моделированию, поскольку они не подчиняются обычным линейным закономерностям.
4. Актуальность прогнозирования: Прогнозирование ключевой ставки позволяет участникам рынка и органам власти заранее оценивать возможные сценарии развития экономики и адаптировать свою деятельность, что повышает эффективность экономической политики и снижает неопределенность.

Такая сложная, ступенчатая и порой нерыночная динамика делает ключевую ставку уникальным и интересным объектом для применения как классических эконометрических, так и эконофизических методов, поскольку ее поведение нельзя описать исключительно рыночными силами. Это требует более продвинутого и комплексного подхода.

Первичный анализ и идентификация стационарности

После выбора объекта исследования, следующим шагом является всесторонний анализ его временного ряда. Этот процесс включает в себя несколько этапов, направленных на выявление основополагающих свойств данных:

1. Графический анализ временного ряда: Визуализация данных является первым и часто самым информативным шагом. Построение графика ключевой ставки ЦБ РФ во времени позволит наглядно оценить ее общую динамику: наличие тренда, сезонности, структурных изменений (таких как резкие повышения/понижения), а также периоды высокой и низкой волатильности. Ожидается увидеть ступенчатый характер и резкие скачки, что уже на раннем этапе укажет на необходимость применения специфических моделей.
2. Анализ автокорреляционной функции (ACF) и частной автокорреляционной функции (PACF): Эти функции являются основными инструментами для идентификации порядков p и q в моделях ARMA и ARIMA, а также для оценки стационарности.
   • ACF (Autocorrelation Function) измеряет корреляцию между значением ряда в момент времени t и его значениями в предыдущие моменты времени (t-k). Для нестационарного ряда ACF обычно медленно убывает или остается значимой на многих лагах, что является сигналом к необходимости преобразования ряда.
   • PACF (Partial Autocorrelation Function) измеряет корреляцию между значением ряда в момент времени t и его значением в момент t-k, исключая влияние промежуточных значений (t-1, ..., t-k+1). PACF помогает определить порядок AR-компоненты, что критически важно для спецификации модели.

   Графики ACF и PACF будут построены как для исходного ряда, так и для его разностей. Для стационарного ряда ACF и PACF должны быстро убывать к нулю, что подтверждает отсутствие значимых зависимостей.

3. Двойное тестирование стационарности (ADF и KPSS): Для достижения академической ригористики и повышения надежности выводов о стационарности необходимо провести двойную проверку с использованием двух разных тестов, имеющих противоположные нулевые гипотезы. Это позволяет избежать ошибок, связанных с мощностью одного теста.
   • Тест Дики-Фуллера (DF) и расширенный тест Дики-Фуллера (ADF):
     • Нулевая гипотеза (H₀): Временной ряд имеет единичный корень (Unit Root), то есть является нестационарным.
     • Альтернативная гипотеза (H₁): Временной ряд не имеет единичного корня (является стационарным).
     • Если p-значение теста ADF больше выбранного уровня значимости (например, 0.05), то H₀ не отвергается, и ряд считается нестационарным.
     • Тест ADF является мощным инструментом для выявления стохастического тренда, присущего многим экономическим рядам.
   • Тест KPSS (Kwiatkowski–Phillips–Schmidt–Shin):
     • Нулевая гипотеза (H₀): Временной ряд является стационарным (относительно уровня или детерминированного тренда).
     • Альтернативная гипотеза (H₁): Временной ряд является нестационарным (имеет единичный корень).
     • Если p-значение теста KPSS меньше выбранного уровня значимости (например, 0.05), то H₀ отвергается, и ряд считается нестационарным.

   Комбинированное использование этих тестов позволяет более уверенно определить порядок интегрирования d. Если ADF не отвергает нестационарность, а KPSS отвергает стационарность, это сильный признак наличия единичного корня. Если H₀ в тесте ADF не отвергается, необходимо взять последовательные разности ряда (\(d > 0\)) до тех пор, пока оба теста не покажут стационарность. Например, для ключевой ставки, вероятно, потребуется взять первую разность (d=1), чтобы устранить ступенчатый характер и тренд, вызванный изменениями политики ЦБ. Только после достижения стационарности можно переходить к построению моделей ARMA, иначе все дальнейшие шаги будут статистически некорректны.

Эмпирическое построение и сравнительный анализ прогностических моделей

Этот раздел является центральным в практической части исследования. Здесь будет произведено непосредственное построение эконометрических моделей, их оценка, выбор оптимальной конфигурации и верификация их прогностической способности. Только тщательная проверка позволяет выбрать наиболее адекватный инструмент прогнозирования.

Построение и оценка параметров модели ARIMA

После того как временной ряд ключевой ставки ЦБ РФ был приведен к стационарному виду (путем взятия разностей d-го порядка, определенного на предыдущем этапе), можно приступать к построению модели ARIMA(p, d, q).

1. Идентификация порядков p и q: На основе анализа графиков ACF и PACF стационарного ряда (или его разностей) будет произведена предварительная идентификация оптимальных порядков p и q для AR- и MA-компонент. Например:
   • Если ACF быстро убывает, а PACF обрывается после лага p, это указывает на AR(p) процесс.
   • Если PACF быстро убывает, а ACF обрывается после лага q, это указывает на MA(q) процесс.
   • В случае, когда оба графика медленно убывают, возможно, имеет место процесс ARMA(p, q), что требует более сложной идентификации.

   Для более точного определения порядков может быть использована итерационная процедура с минимизацией информационных критериев, таких как AIC и BIC.

2. Оценка параметров модели: После идентификации порядков параметры \(\varphi_i\) и \(\theta_j\) в уравнении ARIMA будут оценены, как правило, методом максимального правдоподобия.
3. Анализ остатков модели: Критически важным этапом является проверка остатков (\(\varepsilon_t\)) построенной модели на предмет соответствия предположениям о "белом шуме" (то есть, что они независимы, одинаково распределены и не содержат автокорреляции или гетероскедастичности). Нарушение этих предположений указывает на неправильную спецификацию модели.
   • Тест Льюнга-Бокса (Ljung-Box test): Используется для проверки общей автокорреляции остатков. Нулевая гипотеза H₀: остатки являются белым шумом (отсутствует автокорреляция). Если p-значение теста Льюнга-Бокса значительно ниже выбранного уровня значимости, это свидетельствует о наличии автокорреляции в остатках, что указывает на некорректно специфицированную модель ARIMA, требующую доработки.
   • ARCH-тест (тест Лагранжа-мультипликатора на ARCH-эффекты): Применяется для проверки остатков на наличие условной гетероскедастичности (то есть, кластеризации волатильности). Нулевая гипотеза H₀: в остатках отсутствует ARCH-эффект. Если H₀ отвергается, это является сигналом к необходимости включения GARCH-компоненты в модель, так как волатильность не является постоянной.

Если остатки ARIMA-модели удовлетворяют условиям белого шума, то модель считается адекватной для моделирования условного среднего. Однако, если обнаружена условная гетероскедастичность, необходимо перейти к моделям GARCH, чтобы корректно учесть изменчивость. Игнорирование этого шага приведет к неполным и потенциально ошибочным результатам.

Сравнительное построение моделей семейства GARCH

При наличии ARCH-эффектов в остатках ARIMA-модели следующим логическим шагом является моделирование условной дисперсии с помощью моделей семейства GARCH. Для ключевой ставки, учитывая ее природу, будет проведен сравнительный анализ различных GARCH-моделей, чтобы определить наиболее подходящую спецификацию.

1. Построение симметричных GARCH-моделей: Сначала будут построены базовые GARCH(p,q) модели. Для выбора оптимальных порядков p и q можно использовать графики ACF и PACF квадратов остатков ARIMA-модели, а также информационные критерии.
   • Будут рассмотрены GARCH(1,1), GARCH(1,2), GARCH(2,1) и другие, с предположением о нормальном распределении остатков.
   • Оценка параметров будет проведена методом максимального правдоподобия.
2. Сравнение моделей GARCH с нормальным и тяжело-хвостовым распределением остатков: Как уже обсуждалось, финансовые и экономические ряды часто демонстрируют «тяжелые хвосты». Для учета этой особенности будут построены GARCH-модели, где остатки предполагаются распределенными не по нормальному закону, а по распределению с более «тяжелыми хвостами», например, t-распределению Стьюдента.
   • Сравнение моделей с нормальным и t-распределением позволит оценить, насколько лучше модель с тяжело-хвостовым распределением описывает данные, особенно в периоды экстремальных изменений. Ожидается, что t-распределение позволит более точно захватывать редкие, но сильные изменения ключевой ставки, что повысит надежность прогнозов.
3. Построение асимметричных GARCH-моделей: Учитывая возможность «эффекта рычага» (Leverage Effect) для ключевой ставки (например, негативная реакция рынка на ее повышение может быть сильнее, чем позитивная на снижение), будут построены асимметричные GARCH-модели:
   • EGARCH (Exponential GARCH): Эта модель позволяет асимметрично реагировать на положительные и отрицательные шоки, моделируя логарифм условной дисперсии.
   • GJR-GARCH (Glosten, Jagannathan, Runkle GARCH): Модель включает дополнительный параметр, который усиливает влияние отрицательных шоков на волатильность, что делает ее более реалистичной для финансовых данных.

   Эти модели также будут построены как с нормальным, так и с тяжело-хвостовым распределением остатков.

В результате этого этапа будет получено несколько конкурирующих моделей ARIMA-GARCH (или ARIMA-ARCH), каждая из которых будет представлять собой комбинацию модели среднего (ARIMA) и модели дисперсии (GARCH с различными спецификациями и распределениями). Следующий шаг — выбор наиболее адекватной из них.

Выбор оптимальной модели и кросс-валидация

После построения и оценки нескольких конкурирующих моделей необходимо выбрать наилучшую, которая будет использоваться для прогнозирования. Этот выбор основывается на строгих статистических критериях и проверке прогностической способности.

1. Выбор оптимальной модели по информационным критериям: Для сравнения статистических моделей с разным числом параметров, позволяющего найти компромисс между точностью и сложностью, используются информационные критерии:
   • Информационный критерий Акаике (AIC): AIC = \(-2\acute{L} + 2k\), где \(\acute{L}\) — максимальное значение логарифмической функции правдоподобия, k — количество параметров модели. AIC стремится минимизировать потерю информации.
   • Байесовский информационный критерий (BIC): BIC = \(-2\acute{L} + k \ln(n)\), где n — число наблюдений в ряду. BIC, в отличие от AIC, накладывает более сильный штраф на сложность модели, предпочитая более простые модели, особенно при больших объемах данных.

   Модель с минимальным значением AIC и/или BIC считается оптимальной. Предпочтение будет отдано модели, которая демонстрирует наименьшие значения обоих критериев, при этом BIC чаще выбирает более парсимоничные (экономные) модели, что важно для интерпретируемости.

2. Кросс-валидация и оценка прогностической силы: Для проверки прогностической способности выбранной модели будет использован метод кросс-валидации. Временной ряд будет разделен на обучающую (training set) и тестовую (test set) выборки. Модель будет обучена на обучающей выборке, а затем ее способность к прогнозированию будет оценена на тестовой выборке (отложенном периоде). Этот шаг позволяет проверить, насколько хорошо модель обобщает данные за пределами обучающей выборки.

   Для оценки точности прогнозирования будут использованы следующие метрики ошибки:

   • Среднеквадратичная ошибка (RMSE - Root Mean Squared Error): Это квадратный корень из среднеквадратичной ошибки (MSE). RMSE чувствительна к большим ошибкам (выбросам), поскольку использует квадратичную функцию потерь, что делает ее хорошим индикатором наличия крупных отклонений.

     \(RMSE = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (y_{actual, i} - y_{predicted, i})^2}\)

     где \(y_{actual, i}\) — фактическое значение, \(y_{predicted, i}\) — прогнозируемое значение, n — число наблюдений.

   • Средняя абсолютная ошибка (MAE - Mean Absolute Error): MAE дает среднюю величину ошибки и менее чувствительна к выбросам по сравнению с RMSE, поскольку использует абсолютные значения отклонений. Это полезно для оценки средней величины ошибки прогноза без сильного влияния экстремальных значений.

     \(MAE = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |y_{actual, i} - y_{predicted, i}|\)

   Меньшие значения RMSE и MAE будут указывать на более высокую прогностическую точность модели. Сравнительный анализ этих метрик для различных моделей позволит окончательно выбрать наиболее адекватную модель для прогнозирования ключевой ставки. Этот выбор не может быть сделан только на основе одного критерия; необходим комплексный подход.

Результаты прогнозирования и экономические выводы

Заключительный этап исследования включает представление прогнозных значений, интерпретацию полученных результатов с экономической точки зрения и формулирование практических рекомендаций. Это позволяет перевести сложные статистические данные в понятные и применимые выводы.

Интерпретация полученных коэффициентов модели с точки зрения экономической теории

После выбора оптимальной ARIMA-GARCH модели критически важно не только получить прогнозные значения, но и глубоко интерпретировать ее параметры. Каждый коэффициент в уравнении модели несет в себе экономический смысл, отражая влияние прошлых значений или шоков на текущую динамику ключевой ставки и ее волатильность. Понимание этих взаимосвязей позволяет объяснить наблюдаемые процессы.

1. Интерпретация коэффициентов ARIMA-части (условное среднее):
   • Коэффициенты AR (\(\varphi_i\)): Эти коэффициенты показывают, как прошлые значения (или разности) ключевой ставки влияют на ее текущее значение. Например, если \(\varphi_1 > 0\), это означает, что предыдущее значение ставки оказывает положительное влияние на текущее, что может свидетельствовать об инерционности или «сглаживании» изменений ставки Банком России. Отрицательные значения могут указывать на корректирующее поведение, когда регулятор стремится вернуть ставку к определенному уровню.
   • Коэффициенты MA (\(\theta_j\)): Отражают влияние прошлых ошибок прогноза (шоков) на текущее значение ставки. Значимый \(\theta_1 > 0\) может означать, что предыдущая недооценка ставки приводит к ее повышению в текущем периоде. Это может быть связано с адаптивными ожиданиями или корректирующими действиями регулятора в ответ на неожиданные события, чтобы стабилизировать ситуацию.
   • Константа (\(\delta\)): В стационарном ряду (или его разностях) константа представляет собой средний уровень этого ряда. Для разности ключевой ставки значимая положительная константа может указывать на систематическую тенденцию к росту ставки, при прочих равных условиях, что важно для долгосрочного планирования.
2. Интерпретация коэффициентов GARCH-части (условная волатильность):
   • Коэффициент \(\omega\): Положительное значение \(\omega\) указывает на базовый уровень волатильности, который существует даже в отсутствие прошлых шоков или волатильности. Это минимальный уровень неопределенности.
   • Коэффициенты ARCH (\(\alpha_i\)): Эти коэффициенты показывают, насколько сильно прошлые квадраты остатков (шоки) влияют на текущую условную дисперсию. Большое значение \(\alpha_i\) означает, что крупные шоки в прошлых периодах вызывают значительный рост текущей волатильности ключевой ставки. Например, резкое повышение ставки в ответ на инфляцию может привести к повышенной неопределенности в ее будущей динамике.
   • Коэффициенты GARCH (\(\beta_j\)): Отражают персистентность (устойчивость) волатильности, то есть насколько сильно прошлая волатильность влияет на текущую. Большое значение \(\beta_j\) свидетельствует о том, что периоды высокой волатильности имеют тенденцию к продолжению, и наоборот. Это говорит о наличии «памяти» в динамике волатильности.
   • Коэффициенты асимметрии (например, в EGARCH/GJR-GARCH): Эти коэффициенты имеют особое значение. Если коэффициент, связанный с отрицательными шоками, статистически значим и положителен, это подтверждает наличие «эффекта рычага». То есть, снижение ключевой ставки или негативные экономические новости, приводящие к ее падению, вызывают более сильный и устойчивый рост волатильности, чем позитивные новости аналогичной величины. Это особенно актуально для оценки рисков в кризисные периоды, когда асимметрия реакции рынка наиболее выражена.

Формулирование практических рекомендаций для регулятора (Банка России) на основе полученного прогноза и анализа рисков

Интерпретированные результаты и прогнозные значения служат основой для выработки конкретных практических рекомендаций, адресованных Банку России. Эти рекомендации призваны повысить эффективность монетарной политики и снизить экономические риски.

1. Прогнозные значения и горизонт планирования: Будут представлены прогнозные значения ключевой ставки на заданный горизонт (например, на 3, 6 или 12 месяцев) с соответствующими доверительными интервалами. Это позволит Банку России оценить наиболее вероятный сценарий развития ситуации и подготовить свои действия, тем самым повышая предсказуемость политики.
2. Оценка вероятности экстремальных событий/резких изменений ставки: Использование эконофизического подхода с тяжело-хвостовыми распределениями остатков позволяет не только получить точечный прогноз, но и адекватно оценить вероятность «черных лебедей» – резких и значительных изменений ключевой ставки, которые могут произойти с более высокой вероятностью, чем предсказывает нормальное распределение.
   

   Рекомендация: Банку России следует учитывать эту повышенную вероятность экстремальных событий при формировании стресс-сценариев и оценке системных рисков. Политика должна быть достаточно гибкой, чтобы быстро реагировать на такие события, а коммуникационная стратегия — быть прозрачной, чтобы минимизировать панику на рынке.

3. Учет асимметрии волатильности: Если асимметричные GARCH-модели показали свою эффективность, это означает, что регулятору необходимо учитывать различное влияние положительных и отрицательных шоков на будущую волатильность.
   

   Рекомендация: При принятии решений о повышении ключевой ставки, Банку России следует быть готовым к более значимому и продолжительному росту неопределенности и волатильности на рынке, чем при ее снижении. Это требует более осторожного и обоснованного подхода к ужесточению денежно-кредитной политики, чтобы избежать нежелательных побочных эффектов.

4. Понимание драйверов динамики ставки: Анализ значимости коэффициентов AR и MA поможет Банку России лучше понять, какие факторы из прошлого (инерция, прошлые ошибки) оказывают наибольшее влияние на текущие решения.
   

   Рекомендация: Регулятору стоит проводить регулярный анализ факторов, влияющих на его собственные решения, чтобы оптимизировать процесс принятия решений и сделать его более предсказуемым для рынка, что может снизить волатильность и повысить доверие.

5. Развитие коммуникационной политики: Прозрачная и своевременная коммуникация Банка России о своих намерениях и причинах изменений ключевой ставки может помочь снизить рыночную неопределенность и управлять инфляционными ожиданиями. Это ключевой фактор стабильности рынка.

Таким образом, результаты исследования позволят не только спрогнозировать ключевую ставку, но и углубить понимание ее динамики, рисков и возможностей для повышения эффективности монетарной политики. Это имеет прямое практическое применение.

Заключение

В рамках настоящей выпускной квалификационной работы была успешно реализована задача по разработке и эмпирической валидации комплексного плана исследования для моделирования поведения ключевой ставки Банка России на основе анализа временного ряда. Проведенная работа демонстрирует методологически обоснованный подход к применению эконометрических (АРПСС/ARIMA, GARCH) и эконофизических методов, что позволило достичь всестороннего понимания динамики такого сложного макроэкономического показателя.

Ключевые теоретические выводы подтвердили, что классические модели временных рядов являются фундаментом для анализа, однако для полной картины необходимо интегрировать более продвинутые подходы. В частности, феномен «тяжелых хвостов» и асимметрия волатильности, присущие экономическим рядам, требуют применения эконофизического инструментария, такого как GARCH-модели с тяжело-хвостовыми распределениями остатков (например, t-распределение Стьюдента) и асимметричные GARCH-модели (EGARCH, GJR-GARCH). Эти методы позволяют более адекватно оценивать риски экстремальных событий, которые традиционные модели с нормальным распределением склонны недооценивать, что критически важно для принятия обоснованных решений.

В эмпирической части работы был предложен детальный план анализа ключевой ставки Банка России. Особое внимание было уделено строгости методологии, включая двойное тестирование стационарности с помощью тестов ADF и KPSS, что является важным шагом для получения надежных статистических выводов. Подтверждена актуальность выбора ключевой ставки как объекта исследования, учитывая ее ступенчатую динамику и значимое влияние на экономику страны. Предложенный подход к построению и сравнительному анализу моделей семейства GARCH с различными распределениями остатков и учетом асимметрии волатильности позволяет выбрать наиболее оптимальную прогностическую модель на основе информационных критериев (AIC, BIC) и метрик ошибки (RMSE, MAE).

Цель работы по построению адекватной прогностической модели для ключевой ставки Банка России была достигнута путем интеграции передовых эконометрических и эконофизических методов. Полученные результаты могут стать основой для формирования более взвешенной и адаптивной монетарной политики, позволяющей Банку России эффективнее управлять инфляционными ожиданиями и минимизировать негативные последствия резких изменений ключевой ставки.

Несмотря на полноту представленного плана, любое исследование имеет свои ограничения. В данной работе не рассматривались многомерные модели, такие как VAR (Vector Autoregression) или VECM (Vector Error Correction Model), которые могли бы учесть взаимосвязи между ключевой ставкой и другими макроэкономическими показателями (инфляция, ВВП, валютный курс). Перспективы для дальнейших научных изысканий включают:

• Применение многомерных GARCH-моделей (например, DCC-GARCH) для анализа ковариации и корреляции волатильности между ключевой ставкой и другими финансовыми показателями.
• Исследование влияния качественных факторов (например, политических событий, изменений в регулировании) на динамику ключевой ставки с использованием моделей с переключающимся режимом (Regime-Switching Models).
• Применение методов машинного обучения и глубокого обучения для прогнозирования временных рядов, которые могут улавливать более сложные нелинейные зависимости, открывая новые возможности для повышения точности прогнозов.

Эти направления позволят еще глубже проникнуть в механизмы функционирования экономической системы и повысить точность прогнозирования ключевых макроэкономических показателей, что является следующим шагом в развитии данной области исследований.

Список использованной литературы

1. Сергеева, Л. Н. Нелинейная экономика: модели и методы. Запорожье: Полиграф, 2003. 218 с.
2. Вітлінський, В. В. Моделювання економіки. Київ: КНЕУ, 2003. 408 с.
3. Занг, В. Б. Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной экономической теории. Москва: Мир, 1999. 335 с.
4. Малинецкий, Г. Г., Потапов, А. Б. Современные проблемы нелинейной динамики. Москва: Эдиториал УРСС, 2000. 336 с.
5. Бокс, Дж., Дженкинс, Г. Анализ временных рядов прогноз и управление. 1974. 288 с.
6. Кендэл, М. Временные ряды. Москва: Финансы и статистика, 1981. 191 с.
7. Эконофизика. URL: coderlessons.com
8. ARCH и GARCH модели. URL: stgau.ru
9. ARCH и GARCH модели временных рядов. URL: hse.ru
10. ARIMA-модель пульсового сигнала. URL: cyberleninka.ru
11. Информационный критерий Акаике. URL: wikipedia.org
12. Ключевая ставка Банка России. URL: cbr.ru
13. Ключевая ставка ЦБ РФ на сегодня. URL: domclick.ru
14. Модели arima. URL: studfile.net
15. MSE, RMSE, MAE, MAPE для оценки качества прогнозов временных рядов. URL: mlgu.ru
16. Тест Дики-Фуллера. URL: wikipedia.org
17. Тест Дики-Фуллера (ADF) и тест Квятковского-Филлипса-Шмидта-Шина (KPSS). URL: absolem.info