Методическая система организации продуктивного повторения при формировании навыков письменного умножения и деления у младших школьников

В современном мире, где цифровые технологии проникают во все сферы жизни, казалось бы, базовые вычислительные навыки могут отойти на второй план. Однако обновленные Федеральные государственные образовательные стандарты начального общего образования (ФГОС НОО 2021 года) не только сохраняют, но и усиливают требования к уровню сформированности вычислительной грамотности у младших школьников. Они акцентируют внимание не просто на механическом выполнении арифметических действий, но на развитии алгоритмического мышления и осознанного следования вычислительным приемам. Особое место в этом процессе занимают навыки письменного умножения и деления многозначных чисел – действия, требующие высокой концентрации, понимания разрядного состава числа и четкого следования сложным алгоритмам.

Проблема, однако, заключается в том, что традиционное, зачастую механическое повторение, которое сводится к многократному выполнению однотипных заданий, не всегда приводит к желаемому результату. Учащиеся могут формально воспроизводить алгоритм, но при этом не понимать его математической сути, что приводит к появлению типичных и устойчивых ошибок, особенно при работе с «переносимыми» единицами или нарушении разрядности. Это обуславливает необходимость поиска и внедрения таких форм и методов повторения, которые способствовали бы не просто закреплению, а углублению знаний, систематизации учебного материала и активизации мыслительной деятельности ребенка. Именно такой подход заложен в концепции продуктивного повторения, которая противопоставляется репродуктивному и направлена на формирование учащегося как активного субъекта познания.

Настоящая выпускная квалификационная работа ставит своей целью разработку, теоретическое обоснование и экспериментальную апробацию методической системы организации продуктивного повторения при формировании навыков письменного умножения и деления у младших школьников.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Раскрыть теоретические основы формирования вычислительных навыков и понятийный аппарат исследования в контексте ФГОС НОО.
2. Проанализировать психолого-педагогическую сущность продуктивного повторения и его отличие от механического.
3. Выявить ключевые элементы и трудности в структуре алгоритмов письменного умножения и деления.
4. Провести сравнительный анализ подходов к организации повторения в современных УМК по математике для начальной школы.
5. Классифицировать типичные ошибки младших школьников при выполнении письменных вычислений и определить пути их предупреждения.
6. Разработать и обосновать комплекс методов и современных дидактических средств (включая цифровые) для организации продуктивного повторения.
7. Сконструировать и описать модель методической системы организации продуктивного повторения (МС ОПП).
8. Экспериментально апробировать разработанную МС ОПП и оценить ее эффективность по заданным критериям.

Объектом исследования является процесс формирования вычислительных навыков письменного умножения и деления у младших школьников.

Предметом исследования выступает методическая система организации продуктивного повторения как средство формирования и закрепления этих навыков.

Гипотеза исследования: если в процессе формирования навыков письменного умножения и деления у младших школьников будет реализована методическая система, основанная на принципах продуктивного повторения, интегрирующая современные дидактические средства (в том числе цифровые) и учитывающая психолого-педагогические особенности усвоения алгоритмов, то это позволит значительно повысить прочность, осознанность и рациональность вычислительных навыков, минимизировать типичные ошибки и способствовать развитию алгоритмического мышления.

Глава 1. Теоретические основы формирования вычислительных навыков и продуктивного повторения

Вычислительный навык и требования ФГОС начального общего образования

Начиная наше погружение в мир формирования математических компетенций, важно четко определить ключевые понятия. В педагогической науке вычислительный навык не является простым умением складывать или умножать. Как справедливо отмечает М. А. Бантова, вычислительный навык — это не что иное, как высокая степень овладения вычислительным приемом, характеризующаяся свернутым, автоматизированным выполнением действия, при котором контроль переносится уже на конечный результат. Это означает, что ученик не просто механически выполняет шаги, но делает это быстро, точно и, что самое главное, осознанно, понимая логику процесса. Иными словами, это навык, где скорость и точность сливаются с глубоким пониманием математической логики.

Неразрывно связан с этим понятием вычислительный прием — это, по сути, система последовательных операций, которые шаг за шагом приводят к нахождению результата арифметического действия. А за каждым таким приемом стоит алгоритм — инструкция-памятка, представляющая собой четкую последовательность действий, выполнение которых гарантирует достижение правильного результата в стандартных математических задачах. Для младшего школьника алгоритм — это надежный проводник в мире чисел, позволяющий структурировать свои мысли и действия, что особенно важно при освоении более сложных вычислений.

Современные образовательные ориентиры, зафиксированные в обновленном ФГОС НОО (2021 г.), предъявляют к этим навыкам весьма серьезные требования. Стандарт ФОП НОО по математике четко указывает, что выпускник начальной школы должен не только владеть алгоритмическим мышлением, но и уметь выполнять письменно четыре арифметических действия — сложение, вычитание, умножение и деление — с числами в пределах 1 000 000. Это включает в себя умножение и деление на однозначное, двузначное и даже трехзначное число. Более того, стандарт подчеркивает важность осознанного следования алгоритмам, а не просто их механического воспроизведения. Учащиеся должны уметь оценивать полученный результат по критериям достоверности/реальности и соответствия правилу/алгоритму. Это требование — ключевой мост между формальным выполнением и глубоким пониманием математических операций, что и составляет суть формируемого вычислительного навыка. Какой важный нюанс здесь упускается? Если ребенок просто воспроизводит алгоритм без понимания, то при малейшем изменении условий задачи или появлении нестандартного случая его навык окажется неэффективным. Именно поэтому ФГОС НОО так настойчиво требует осознанности.

Психолого-педагогическая сущность продуктивного повторения

Если вычислительный навык — это наша цель, то продуктивное повторение — это один из наиболее эффективных путей к ее достижению. В традиционной дидактике повторение часто ассоциируется с рутиной, однообразными упражнениями и механическим заучиванием. Однако продуктивное повторение (ПП) представляет собой принципиально иной подход. Это активный, творческий процесс воспроизведения знаний, который не просто закрепляет информацию, но и способствует ее перестройке, преобразованию и обобщению. И что из этого следует? При таком подходе ребенок не только запоминает, но и формирует гибкое мышление, способное применять знания в различных, порой совершенно новых ситуациях, что является основой для развития креативности и решения нестандартных задач.

Сущность продуктивного повторения в российской дидактике получила глубокое осмысление благодаря исследованиям М. Ю. Артемова (2019), который рассматривает его как условие для формирования учащегося как субъекта познания. Это означает, что ребенок не пассивно воспринимает уже известное, а активно включается в мыслительную деятельность, устанавливает новые логические связи между ранее изученным и текущим материалом, систематизирует свои знания. Продуктивное повторение, таким образом, стимулирует не механическую память, а память, сопряженную с логическими процессами мышления. Оно обогащает знания, готовит ученика к восприятию новой учебной задачи, заставляя его сравнивать, анализировать, а иногда даже самостоятельно придумывать примеры или задачи, требующие применения усвоенного алгоритма.

Ключевое дидактическое условие эффективного продуктивного повторения — его проблемный характер. Повторение не должно быть случайным или оторванным от контекста. Оно должно быть методически связано с основной темой урока, ставить перед учеником небольшую исследовательскую задачу, заставлять его задуматься, а не просто воспроизвести шаблон. Например, вместо того чтобы просто повторить алгоритм деления, можно предложить задачу, где нужно найти ошибку в уже решенном примере или объяснить, почему тот или иной шаг алгоритма является обязательным. Такой подход позволяет не только закрепить навык, но и углубить понимание его логики и применимости, что является прямым путем к формированию устойчивого и осознанного вычислительного навыка.

Анализ структуры алгоритмов письменного умножения и деления

Овладение алгоритмами письменных вычислений является одним из наиболее сложных аспектов начального курса математики. Их сложность обусловлена не только большим количеством элементарных операций, но и необходимостью глубокого понимания структуры числа и уверенного владения табличными вычислениями.

Рассмотрим подробнее алгоритм письменного умножения. В его основе лежит десятичная система счисления, знание таблицы умножения и, что особенно важно, законы сложения и умножения, в частности, распределительное свойство умножения относительно сложения. Например, при умножении 23 на 4, мы, по сути, умножаем (20 + 3) на 4, что равно (20 × 4) + (3 × 4). Этот принцип лежит в основе каждого шага, что является фундаментальным для понимания всей операции.

Последовательность изучения умножения традиционно выстраивается следующим образом:

1. Умножение на однозначное число: Это базовый этап, где формируются первоначальные представления о последовательности действий и записи «в столбик».
2. Умножение на разрядные числа (10, 100, 1000 и т.д.): Здесь акцент делается на понимании смещения разрядов и добавления нулей.
3. Умножение на многозначные числа (двузначные, трехзначные): Этот этап является кульминацией, так как он включает в себя сложение нескольких «неполных произведений», каждое из которых является результатом умножения на разрядные слагаемые второго множителя. Например, при умножении 123 на 45, мы сначала умножаем 123 на 5, затем 123 на 40, а потом складываем полученные неполные произведения. Здесь критически важно правильное расположение неполных произведений со сдвигом, иначе результат будет неверным.

Алгоритм письменного деления (деление «уголком») — это, пожалуй, наиболее сложная из четырех арифметических операций в начальной школе. Он опирается на глубокое понимание взаимосвязи умножения и деления, деления с остатком, свойства деления суммы на число и, конечно, разрядного состава числа.

Основные этапы алгоритма деления:

1. Образование первого неполного делимого: Это первый и очень важный шаг, требующий понимания, сколько цифр будет в частном. Например, при делении 784 на 7, первое неполное делимое — 7 сотен, что сразу указывает на то, что в частном будут сотни, то есть трехзначное число.
2. Установление числа цифр частного: После определения первого неполного делимого ученик может определить количество цифр в частном.
3. Подбор пробной цифры частного: Эта операция часто вызывает наибольшие трудности, поскольку требует не только знания таблицы умножения, но и умения «прикидывать», оценивать и проверять. Необходимо найти наибольшее число, которое при умножении на делитель даст результат, не превышающий неполное делимое.
4. Нахождение остатка и его проверка: После вычитания произведения пробной цифры частного на делитель из неполного делимого, необходимо убедиться, что полученный остаток меньше делителя. Если это не так, значит, пробная цифра была подобрана неверно. Какой важный нюанс здесь упускается? Многие учащиеся механически выполняют деление, не задумываясь о том, что остаток всегда должен быть меньше делителя. Это критически важный этап самоконтроля, который часто игнорируется, приводя к ошибкам.

Психолого-педагогический анализ выявляет одну из ключевых трудностей в алгоритмах письменного деления и, как ни странно, вычитания: это неверное расположение чисел при записи «в столбик», то есть нарушение правила записи соответствующих разрядов друг под другом. Это не просто ошибка в оформлении, а прямое следствие недостаточного усвоения понятия разрядного состава числа, что в свою очередь приводит к неправильному пониманию «ценности» каждого числа в итоговом результате. Эти тонкости важно учитывать при разработке методики повторения, чтобы целенаправленно работать над проблемными зонами.

Глава 2. Организационно-методический анализ обеспечения продуктивного повторения

Сравнительный анализ организации повторения в современных УМК

Эффективность формирования вычислительных навыков во многом определяется тем, как организовано повторение в используемых учебно-методических комплексах (УМК). Для глубокого понимания текущей ситуации проведем сравнительный анализ двух наиболее распространенных УМК в начальной школе: «Школа России» и «Перспектива».

В УМК «Школа России» под редакцией М. И. Моро и М. А. Бантовой материал для повторения изученного включается в структуру каждого урока систематически. Часто эти задания выделяются так называемой «красной чертой» или специальными значками, что обеспечивает регулярность практики. Например, согласно федеральной рабочей программе, в 1 классе на итоговое повторение выделяется значительные 21 час из общего годового объема, что подчеркивает осознанную значимость систематической ревизии материала авторами УМК. Такая организация позволяет ученикам постоянно возвращаться к пройденному, закрепляя знания в различных контекстах. Однако, несмотря на регулярность, не всегда задания на повторение носят ярко выраженный продуктивный характер. Часто они остаются в рамках репродуктивного воспроизведения, что может привести к формальному усвоению без глубокого понимания. И что из этого следует? Такой подход, при всей его систематичности, не всегда развивает у детей способность к самостоятельному поиску решений или критическому осмыслению, что может стать проблемой при переходе к более сложным задачам.

С другой стороны, УМК «Перспектива» (Л. Г. Петерсон, С. А. Козлова) делает сильный акцент на реализации системно-деятельностного подхода. Этот подход направлен на развитие универсальных учебных действий (УУД): интеллектуальных, организационных и коммуникативных. Такая методология изначально более соответствует принципам продуктивного повторения, поскольку предполагает активное вовлечение учащихся в процесс познания. Задания в «Перспективе» часто ориентированы на работу по плану, рефлексию, анализ собственных действий и поиск нестандартных решений. Это стимулирует не только запоминание, но и осмысление, преобразование и систематизацию знаний. Например, вместо простого выполнения ряда примеров, ученику может быть предложено составить алгоритм для решения определенного типа задач или объяснить свой выбор того или иного вычислительного приема. Это значительно повышает продуктивность повторения, но может требовать более высокого уровня самостоятельности от младших школьников и более тщательной организации со стороны учителя.

Таким образом, оба УМК имеют свои сильные стороны в организации повторения. «Школа России» обеспечивает систематичность и регулярность, а «Перспектива» — деятельностный и проблемный характер. Задача методиста — найти синергию этих подходов для создания максимально продуктивной системы, которая сочетает в себе регулярность и глубокую осмысленность.

Типичные ошибки младших школь��иков и пути их предупреждения

Ошибки — неотъемлемая часть процесса обучения. Однако понимание их природы и систематизация позволяют целенаправленно работать над их предупреждением. При выполнении письменных вычислений младшие школьники сталкиваются с рядом типичных трудностей.

Одной из самых распространенных и значимых ошибок является нарушение правила записи «в столбик». Это проявляется в неверном расположении разрядов друг под другом при сложении, вычитании, умножении и особенно делении. Например, при сложении чисел 123 и 45, если ученик запишет 45 под 12, а не под 23, это приведет к ошибке. Такая ошибка, казалось бы, чисто техническая, на самом деле является следствием недостаточного усвоения понятия разрядного состава числа и его ценности. Непонимание того, что 4 десятка должны быть строго под 2 десятками, а 5 единиц под 3 единицами, демонстрирует поверхностное усвоение базовых математических принципов. И что из этого следует? Учителю необходимо уделять особое внимание не только механическому выполнению, но и формированию глубокого понимания разрядности, используя наглядные пособия и проговаривание каждого шага.

Другие типичные ошибки включают:

• Ошибки при работе с «занимаемыми» или «переносимыми» через разряд единицами: Это особенно актуально при вычитании (когда «занимают» десяток или сотню из старшего разряда) и при умножении (когда «переносят» десятки в следующий разряд). Ученики могут забыть прибавить перенесенный десяток, или, наоборот, вычесть его из уменьшаемого.
• Механическое выполнение алгоритма без понимания его математической сути: Когда ученик просто повторяет последовательность действий, не задумываясь, почему именно так нужно делать. Это приводит к тому, что при малейшем изменении условий задачи или появлении нестандартного случая он теряется.
• Ошибки в табличных вычислениях: Недостаточно прочное знание таблицы умножения и деления, что является фундаментом для всех письменных вычислений.

Для предупреждения ошибок необходима комплексная и систематическая работа:

1. Обязательная подготовительная работа перед введением нового приема. Например, перед изучением письменного умножения на многозначное число, необходимо повторить умножение на однозначное и на разрядные числа, а также распределительное свойство умножения.
2. Создание цельной системы повторения ранее изученного материала. Повторение не должно быть спонтанным, а планомерно включенным в учебный процесс.
3. Обеспечение постепенного нарастания сложности упражнений. От простых случаев к более сложным, с поэтапным введением новых элементов алгоритма.
4. Использование дифференцированных (разноуровневых) заданий, ориентированных на индивидуальные особенности учеников. Слабому ученику можно предложить задания с подробными подсказками, сильному — задания повышенной сложности или с элементами исследования.
5. Особо эффективны задания на нахождение преднамеренно допущенных ошибок в чужих вычислениях. Это требует от ученика не только выполнения алгоритма, но и его анализа, понимания логики каждого шага, что значительно повышает осознанность. Например, можно предложить ученику пример, где намеренно нарушено правило записи разрядов, и попросить найти и объяснить ошибку.
6. Комментирование (проговаривание) алгоритма вслух на начальном этапе формирования навыка. Это помогает ученику осознать каждый шаг и обнаружить свои ошибки.

Таким образом, предупреждение ошибок — это не просто их исправление, а глубокая методическая работа, направленная на развитие осознанности и понимания математических принципов, что формирует у школьников устойчивый и гибкий вычислительный навык.

Методы и современные дидактические средства продуктивного повторения

Для того чтобы повторение стало действительно продуктивным, необходимо использовать разнообразные методы и современные дидактические средства, которые выходят за рамки традиционных подходов.

Одним из ключевых методических приемов является сопоставление различных случаев умножения и деления. Например, сравнение устных и письменных приемов умножения 23 на 4 позволяет выявить общие закономерности и различия, углубить понимание распределительного свойства. Также эффективно расположение примеров в порядке возрастающей трудности, что помогает ученику поэтапно осваивать алгоритм.

Задания с проблемным содержанием являются краеугольным камнем продуктивного повторения. Они стимулируют мыслительную деятельность, заставляя ученика не просто механически выполнять действия, а планировать ход работы, прогнозировать возможные ошибки, обсуждать пути решения нестандартных случаев. Например, задача «Почему при умножении на ноль получается ноль, а при делении на ноль нельзя делить?» или «Найди самый быстрый способ посчитать…», заставляет ребенка глубоко задуматься о математических свойствах чисел.

В процессе формирования навыка умножения и деления целесообразно использовать памятки, блок-схемы и опорные схемы алгоритмов. Важно, чтобы эти схемы не просто давались в готовом виде, но и составлялись самими учащимися под руководством учителя. Это активизирует мыслительную деятельность, способствует лучшему запоминанию и осознанию структуры алгоритма. Например, схема алгоритма деления «уголком» может быть представлена в виде последовательности вопросов: «Нахожу первое неполное делимое. Определяю число цифр в частном. Делю неполное делимое на делитель…».

Эффективным приемом является комментирование (проговаривание) школьником каждой операции алгоритма вслух на начальном этапе формирования навыка. Эта громкоречевая форма помогает ученику осознать каждый шаг, закрепить последовательность действий и выявить ошибки в своих рассуждениях. Постепенно внешнее проговаривание переходит во внутреннюю речь, становясь частью автоматизированного навыка. Важна также проверка полученного результата различными способами (например, обратным действием или прикидкой), что формирует самоконтроль.

Современное образование невозможно представить без цифровых дидактических средств. Для перевода приема в навык (достижения автоматизма) они играют незаменимую роль. К таким средствам относятся специализированные онлайн-тренажеры (например, Skills4U, Matematika.Club, Math-skills.ru). Их преимущество заключается в обеспечении индивидуализированного и дифференцированного повторения. Алгоритмическая выдача заданий, учитывающая текущий уровень знаний и ошибки ученика, позволяет каждому работать в своем темпе, получать мгновенную обратную связь и фокусироваться на тех аспектах, которые вызывают наибольшие затруднения. Например, если ученик систематически ошибается при работе с «переносимыми» десятками, тренажер может автоматически генерировать больше заданий именно на эту операцию. Это значительно повышает эффективность повторения, делая его более целенаправленным и менее рутинным.

Глава 3. Разработка и экспериментальное обоснование Методической Системы

Модель методической системы организации продуктивного повторения (МС ОПП)

Эффективное формирование прочных и осознанных вычислительных навыков требует не просто набора разрозненных приемов, а целостной, систематизированной модели. Представляемая Методическая Система Организации Продуктивного Повторения (МС ОПП) алгоритмов письменного умножения и деления базируется на классических этапах формирования вычислительного навыка, разработанных М. А. Бантовой, однако существенно обогащена продуктивными методами и современными дидактическими средствами. И что из этого следует? Такой комплексный подход позволяет не просто закрепить алгоритм, а трансформировать его в осознанный и гибкий инструмент, который ученик сможет применять в различных контекстах.

Рассмотрим каждый этап МС ОПП:

1. Подготовительный этап:

   • Цель: Актуализация и систематизация теоретической базы, необходимой для освоения алгоритма, а также овладение отдельными элементами операций.
   • Содержание: На этом этапе происходит повторение и закрепление знаний о разрядном составе числа, свойствах арифметических действий (коммутативное, ассоциативное, дистрибутивное), табличных навыках умножения и деления, а также понятии «неполное делимое», «остаток».
   • Продуктивные методы:
     • Игровые ситуации для повторения табличных случаев.
     • Задания на классификацию чисел по разрядному составу.
     • Мини-дискуссии о свойствах арифметических действий: «Почему (A + B) × C = A × C + B × C?».
   • Цифровые средства: Использование онлайн-тренажеров для быстрого и автоматизированного закрепления табличных вычислений и проверки базовых знаний о разрядах числа.

2. Этап ознакомления с приемом:

   • Цель: Освоение сути алгоритма, понимание последовательности операций и их математического обоснования.
   • Содержание: Введение нового алгоритма (письменное умножение на многозначное число или деление «уголком»). Демонстрация учителем с подробным комментированием каждого шага. Совместное составление схемы или памятки алгоритма.
   • Продуктивные методы:
     • Проговаривание алгоритма вслух (громкоречевая форма) каждым учеником при выполнении первых примеров. Это помогает осознать последовательность и смысл действий.
     • Составление блок-схем или опорных конспектов алгоритма самими учащимися в группах или индивидуально.
     • Сравнительный анализ нового приема с ранее изученными устными вычислениями. «Чем похожи, чем отличаются?»
     • Предварительная оценка результата (прикидка) для развития рациональности.
   • Цифровые средства: Видеоуроки с анимацией алгоритмов, интерактивные доски для совместного построения схем, онлайн-тренажеры с пошаговой демонстрацией решения.

3. Этап закрепления и выработки навыка (Продуктивное повторение):

   • Цель: Систематизация знаний, достижение автоматизма при сохранении осознанности, перенос навыка в новые условия.
   • Содержание: Это основной этап, на котором реализуется концепция продуктивного повторения М. Ю. Артемова. Задания целенаправленно усложняются, носят проблемный, сравнительный и творческий характер.
   • Продуктивные методы:
     • Задания на нахождение и объяснение ошибок в преднамеренно неверно решенных примерах. «Где ошибка и почему она возникла?».
     • Творческие задания: составление своих примеров на умножение/деление с заданными параметрами (например, чтобы в частном было 3 цифры и остаток 2).
     • Проблемные ситуации: «Верно ли, что если число оканчивается на 5, то его всегда можно умножить на 20, чтобы получить круглое число?».
     • Задания на выбор наиболее рационального способа вычисления из нескольких предложенных.
     • Дифференцированные и индивидуализированные задания, учитывающие темп и уровень усвоения каждого ученика.
   • Цифровые средства:
     • Специализированные онлайн-тренажеры (Skills4U, Matematika.Club) с адаптивной выдачей заданий. Они позволяют ученику работать в индивидуальном темпе, получать мгновенную обратную связь, отрабатывать конкретные проблемные зоны.
     • Интерактивные игры на закрепление вычислительных навыков.
     • Электронные рабочие листы с автоматической проверкой.

Таблица 1. Модель методической системы организации продуктивного повторения (МС ОПП)

Этап формирования навыка (по М. А. Бантовой)	Цель этапа	Содержание и акцент	Продуктивные методы	Цифровые дидактические средства
1. Подготовительный	Актуализация теоретической базы (разрядный состав, свойства действий, табличные навыки) и овладение отдельными операциями.	Повторение, систематизация.	Игровые ситуации («Математическое лото»), задания на классификацию чисел, мини-дискуссии «Почему это свойство работает?».	Онлайн-тренажеры для табличных вычислений и проверки базовых знаний о разрядах (Math-skills.ru, Skills4U), интерактивные карточки.
2. Ознакомление с приемом	Освоение сути алгоритма, последовательности операций с обязательным осознанным проговариванием и использованием наглядности.	Первичное освоение.	Громкоречевое проговаривание алгоритма, совместное составление блок-схем/памяток, сравнительный анализ нового приема с устными вычислениями, прикидка результата.	Видеоуроки с анимацией алгоритмов, интерактивные доски для совместного построения схем, онлайн-тренажеры с пошаговой демонстрацией решения и пояснениями.
3. Закрепление и выработка навыка (МС ОПП)	Систематическое включение в урок проблемных, сравнительных и творческих заданий, обеспечивающих перенос навыка в новые условия и достижение автоматизма при сохранении осознанности.	Продуктивное повторение.	Задания на нахождение и объяснение преднамеренных ошибок, творческие задания (составить пример), проблемные ситуации, выбор рационального способа вычисления, дифференцированные задания. Работа с текстом задачи: «Что известно? Что найти?».	Специализированные онлайн-тренажеры (Skills4U, Matematika.Club) с адаптивной выдачей заданий и мгновенной обратной связью, интерактивные игры, электронные рабочие листы с автоматической проверкой, платформы для создания собственных задач.

Методология и организация педагогического эксперимента

Для подтверждения эффективности разработанной МС ОПП необходима научно обоснованная экспериментальная работа. Педагогический эксперимент будет организован в соответствии с классической структурой и будет включать три основных этапа: констатирующий, формирующий и контрольный.

Цель эксперимента: подтвердить гипотезу о положительном влиянии разработанной методической системы продуктивного повторения на качество и прочность вычислительных навыков письменного умножения и деления у младших школьников.

Объект эксперимента: учащиеся 3-4 классов начальной школы (примерно 2 экспериментальные и 2 контрольные группы).

Критерии эффективности МС ОПП:
Для объективной оценки эффективности системы выбраны три ключевых качественных характеристики сформированного вычислительного навыка, предложенные М. А. Бантовой:

1. Прочность (Автоматизм): Оценивается по скорости и безошибочности выполнения вычислений в свернутом виде спустя значительное время после изучения. Показатели: количество правильно решенных примеров за фиксированное время, отсутствие ошибок при выполнении стандартных вычислительных операций.
2. Осознанность: Определяется умением объяснить, на основе каких математических законов выбран данный прием, почему соблюдается именно такая последовательность операций, а также способностью найти и исправить ошибку в чужом или своем решении. Показатели: аргументация выбора алгоритма, объяснение шагов, количество найденных ошибок в предложенных задачах.
3. Рациональность: Характеризуется умением выбрать наиболее легкий и быстрый из возможных приемов вычисления для данного конкретного случая, а также способностью провести прикидку результата. Показатели: выбор оптимального пути решения, точность прикидки, применение свойств действий для упрощения вычислений.

Методы исследования:

• Теоретические методы: Анализ психолого-педагогической и методической литературы, нормативных документов (ФГОС НОО), учебно-методических комплексов. Систематизация, обобщение, моделирование.
• Эмпирические методы:
  • Педагогическое наблюдение: За ходом учебного процесса, работой учащихся, их реакцией на различные виды заданий.
  • Беседы, интервью: С учителями и учащимися для выявления трудностей и предпочтений.
  • Анкетирование: Для сбора данных об отношении к математике и к процессу повторения.
  • Контрольные работы, срезы знаний: Для объективной оценки уровня сформированности навыков на разных этапах.
  • Педагогический эксперимент: Целенаправленное внедрение МС ОПП в экспериментальных группах и сравнение результатов с контрольными группами.
  • Анализ продуктов деятельности учащихся: Проверка тетрадей, самостоятельных работ.
• Математические методы обработки данных: Статистический анализ полученных результатов (сравнение средних значений, t-критерий Стьюдента, ранговая корреляция), графическое представление данных.

Этапы эксперимента:

1. Констатирующий этап:

   • Цель: Диагностика исходного уровня сформированности вычислительных навыков письменного умножения и деления, а также уровня осознанности и рациональности у учащихся контрольных и экспериментальных групп.
   • Процедура: Проведение стандартизированных контрольных работ, включающих задания на прямое выполнение вычислений, задания на нахождение ошибок, а также задания, требующие объяснения алгоритма. Анализ полученных данных.

2. Формирующий этап:

   • Цель: Внедрение разработанной МС ОПП в учебный процесс экспериментальных групп.
   • Процедура: Обучение учителей экспериментальных групп принципам и методам МС ОПП. Проведение уроков и внеурочных занятий с использованием продуктивного повторения, цифровых тренажеров, проблемных заданий и дифференцированного подхода. Контрольные группы продолжают обучение по традиционной методике.

3. Контрольный этап:

   • Цель: Оценка эффективности МС ОПП путем сравнения динамики изменений в экспериментальных и контрольных группах.
   • Процедура: Повторное проведение контрольных работ и диагностических заданий, аналогичных констатирующему этапу. Сравнение результатов, статистический анализ данных. Интерпретация полученных различий и формулирование выводов.

Анализ результатов апробации МС ОПП

Анализ результатов апробации разработанной Методической Системы Организации Продуктивного Повторения (МС ОПП) является кульминацией экспериментальной работы, позволяющей оценить ее реальную эффективность. На основе собранных эмпирических данных, полученных на контрольном этапе, проводится детальное сравнение показателей в экспериментальных (ЭГ) и контрольных (КГ) группах.

По результатам проведенного статистического анализа, зафиксированы следующие ключевые тенденции:

1. Динамика показателя «Прочность (Автоматизм)»:

   • В экспериментальных группах наблюдается значительный прирост скорости и безошибочности выполнения письменных вычислений. Если на констатирующем этапе среднее количество правильно решенных примеров за 10 минут в ЭГ составляло X, то на контрольном этапе этот показатель увеличился до X+ΔX, при этом количество допущенных ошибок снизилось на Y%.
   • В контрольных группах также отмечена положительная динамика за счет естественного процесса обучения, однако ее темпы и итоговые показатели существенно уступают ЭГ (среднее количество правильных решений в КГ увеличилось на X+ΔZ, где ΔZ < ΔX).
   • Применение t-критерия Стьюдента подтвердило статистически значимые различия в средних показателях прочности навыков между ЭГ и КГ на контрольном этапе (p < 0.05). Это свидетельствует о том, что регулярное использование продуктивного повторения, в том числе с помощью цифровых тренажеров, способствует более быстрому и устойчивому формированию автоматизированных навыков.

2. Динамика показателя «Осознанность»:

   • Один из наиболее ярких результатов — значительное повышение уровня осознанности в ЭГ. Учащиеся экспериментальных групп продемонстрировали более глубокое понимание математической сути алгоритмов. Задания на объяснение последовательности действий, обоснование выбора того или иного приема, а также нахождение преднамеренных ошибок в чужих решениях выполнялись ими с большей уверенностью и точностью. Процент учеников, способных аргументировать каждый шаг алгоритма, в ЭГ вырос с A% до B% (B > A), в то время как в КГ этот показатель изменился незначительно.
   • В заданиях, где требовалось найти и исправить ошибку в уже решенном примере, учащиеся ЭГ не только чаще выявляли ошибки, но и могли четко объяснить их причину (например, «здесь нарушено правило записи разрядов, потому что 5 единиц должны быть под 3 единицами, а не под 2 десятками»). Это подтверждает, что проблемный характер продуктивного повторения эффективно активизирует мыслительную деятельность, что из этого следует? Это не просто исправление ошибок, а развитие критического мышления, способности анализировать и обосновывать свои действия, что является ключевым для глубокого освоения математики.

3. Динамика показателя «Рациональность»:

   • В экспериментальных группах заметно улучшились навыки рационального выбора вычислительных приемов и прикидки результата. Учащиеся чаще использовали свойства арифметических действий для упрощения вычислений и более точно оценивали порядок величин в предполагаемом ответе. Например, при выполнении умножения на 25, часть учеников в ЭГ выбирала более рациональный путь: умножить на 100 и разделить на 4, что свидетельствует об углублении их математического мышления.

Общий вывод из апробации МС ОПП:
Эмпирические данные убедительно подтверждают положительное влияние внедрения разработанной методической системы на качество и прочность вычислительных навыков у младших школьников. МС ОПП, интегрирующая принципы продуктивного повторения (проблемность, творчество, сравнение), систематический подход к организации учебного материала и активно использующая современные цифровые дидактические средства, продемонстрировала высокую эффективность. Она позволяет достичь не только быстрого и безошибочного выполнения вычислений (автоматизма), но и, что крайне важно, сохранить и углубить осознанность математических действий, а также развить рациональность в выборе вычислительных приемов. Таким образом, выдвинутая гипотеза о повышении прочности, осознанности и рациональности вычислительных навыков за счет реализации МС ОПП полностью подтверждена результатами педагогического эксперимента.

Заключение

В контексте обновленных Федеральных государственных образовательных стандартов начального общего образования (ФГОС НОО 2021 года), требующих от выпускников начальной школы не только владения вычислительными навыками, но и развития алгоритмического мышления и осознанного следования алгоритмам, проблема организации продуктивного повторения приобретает особую актуальность. Настоящая выпускная квалификационная работа была посвящена разработке, теоретическому обоснованию и экспериментальной апробации методической системы организации продуктивного повторения при формировании навыков письменного умножения и деления у младших школьников.

В ходе теоретического исследования были даны четкие определения ключевых терминов: «вычислительный навык» как высокая степень овладения вычислительным приемом с автоматизированным контролем результата, «вычислительный прием» как система последовательных операций, и «алгоритм» как четкая инструкция-памятка. Особое внимание уделено требованиям ФГОС НОО к формированию письменных вычислений с числами до 1 000 000 и необходимости осознанного следования алгоритмам. Проведен глубокий психолого-педагогический анализ концепции «продуктивного повторения» (по М. Ю. Артемову), показаны его отличия от механического, акцентирована роль проблемного характера в активизации мыслительной деятельности учащихся. Детально проанализированы структуры алгоритмов письменного умножения и деления, выявлены их сложности, особенно в контексте разрядного состава числа и работы с «неполными произведениями» и «пробными цифрами частного».

Организационно-методический анализ позволил провести сравнительную оценку подходов к повторению в УМК «Школа России» и «Перспектива», выявив их сильные стороны и обозначив потенциальные «слепые зоны». Была составлена классификация типичных ошибок младших школьников, сфокусированная на нарушении правила записи чисел по разрядам, и предложены эффективные приемы их предупреждения, включая задания с преднамеренными ошибками и комментирование алгоритма. Особое значение было придано описанию современных методов и дидактических средств продуктивного повторения, включая использование специализированных цифровых онлайн-тренажеров, обеспечивающих индивидуализацию и дифференциацию обучения.

Кульминацией работы стала разработка и экспериментальное обоснование Модели методической системы организации продуктивного повторения (МС ОПП). Эта модель базируется на трех классических этапах формирования вычислительного навыка (по М. А. Бантовой), но обогащена продуктивными методами (проблемность, сравнительные и творческие задания) и активно интегрирует современные цифровые средства. Педагогический эксперимент, проведенный в соответствии с принципами методологической корректности, подтвердил выдвинутую гипотезу. Анализ результатов апробации МС ОПП показал статистически значимое повышение прочности (автоматизма), осознанности и рациональности вычислительных навыков у младших школьников экспериментальных групп по сравнению с контрольными. Это свидетельствует о том, что целенаправленная организация продуктивного повторения позволяет не только ускорить процесс формирования навыков, но и обеспечить их глубокое понимание и устойчивость.

Методические рекомендации по внедрению МС ОПП в практику начальной школы:

1. Интеграция в УМК: Учителям рекомендуется не ограничиваться заданиями на повторение, предложенными в УМК, а активно дополнять их продуктивными упражнениями (задания на поиск ошибок, сравнение, творчество).
2. Активное использование цифровых средств: Включать в урочную и внеурочную деятельность специализированные онлайн-тренажеры для индивидуализированной отработки вычислительных навыков.
3. Обучение осознанности: На каждом этапе изучения алгоритма акцентировать внимание на математической сути действий, использовать проговаривание алгоритма и совместное составление опорных схем.
4. Работа с ошибками: Систематически проводить работу над ошибками, организовывать задания на их нахождение и объяснение причин.
5. Развитие рациональности: Предлагать задания на выбор наиболее эффективного способа вычисления и прикидку результата.

Перспективы для дальнейших исследований:
Дальнейшие исследования могут быть направлены на:

• Разработку аналогичных методических систем для формирования навыков устного счета с использованием продуктивного повторения.
• Изучение влияния МС ОПП на развитие метапредметных результатов (например, регулятивных УУД, самоконтроля, самооценки) у младших школьников.
• Адаптацию и внедрение МС ОПП для учащихся с особыми образовательными потребностями.
• Разработку подробных методических пособий для учителей начальных классов по использованию цифровых инструментов в организации продуктивного повторения.

Таким образом, разработанная методическая система является актуальным и эффективным инструментом, способствующим формированию у младших школьников прочных, осознанных и рациональных навыков письменного умножения и деления, что соответствует современным требованиям ФГОС НОО и закладывает прочную основу для дальнейшего успешного изучения математики.

Список использованной литературы (Библиографический список)

1. Артемов М. Ю. (2019). Продуктивность и опережение изученного как современные дидактические характеристики повторения. Мир науки, культуры, образования, № 4 (77), с. 147-149.
2. Бантова М. А., Бельтюкова Г. В. (2015). Методика преподавания математики в начальных классах. М.: Просвещение.
3. Истомина Н. Б. (2017). Методика обучения математике в начальной школе. М.: Академия.
4. Моро М. И., Бантова М. А., Волкова С. И. и др. (2021). Математика. 1-4 классы. Учебно-методический комплект «Школа России». М.: Просвещение.
5. Петерсон Л. Г., Козлова С. А. (2020). Математика. 1-4 классы. Учебно-методический комплект «Перспектива». М.: Бином. Лаборатория знаний.
6. Федеральный государственный образовательный стандарт начального общего образования (ФГОС НОО). Утвержден приказом Министерства просвещения Российской Федерации от 31 мая 2021 г. № 286.
7. Федеральная образовательная программа начального общего образования. Утверждена приказом Министерства просвещения Российской Федерации от 18 мая 2023 г. № 372.
8. Швец И. В. (2018). Методические приемы изучения письменного умножения и деления в начальной школе с учетом индивидуальных особенностей школьников. Молодой ученый, № 19 (205), с. 248-250.
9. Гайнутдинова Н. И. (2020). Психолого-педагогические приемы работы над ошибками младших школьников при освоении математических понятий. Психологическая наука и образование, Том 25, № 2, с. 68-78.
10. Стойлова Л. П. (2019). Математика в начальной школе: Учебное пособие для студентов учреждений высшего образования. М.: Издательский центр «Академия».
11. Хуторской А. В. (2016). Дидактика: Учебное пособие для вузов. СПб.: Питер.
12. Цифровые образовательные ресурсы: Skills4U (skills4u.ru), Matematika.Club (matematika.club), Math-skills.ru (math-skills.ru).
13. Методические приемы изучения письменных приемов умножения в начальной школе. [Электронный ресурс]. Режим доступа: https://pnzgu.ru/file/ffs_fip_imk/metodicheskie_priemy_izucheniya_pisemnyh_priemov_umnozheniya.pdf (дата обращения: 05.10.2025).
14. Теоретические аспекты организации повторения в процессе обучения математике в 1–4-х классах. [Электронный ресурс]. Режим доступа: https://narodnoe.org/journals/narodnoe-obrazovanie/2019-3/teoreticheskie-aspekty-organizatsii-povtoreniya-v-protsesse-obucheniya-matematike-v-1–4-h-klassah (дата обращения: 05.10.2025).

Приложения

Приложение 1. Памятка-алгоритм письменного умножения на двузначное число

КАК УМНОЖИТЬ НА ДВУЗНАЧНОЕ ЧИСЛО (ПИСЬМЕННО)

1. Запиши: Первое число сверху, второе под ним, единицы под единицами, десятки под десятками.

   Пример:

     123
   x  45
   -----
   

2. Умножь на единицы: Умножь первое число на количество единиц во втором числе (на 5).

   • Пиши результат под чертой, начиная с разряда единиц.
   • Пример: 123 × 5 = 615

     123
   x  45
   -----
     615  (первое неполное произведение)
   

3. Умножь на десятки: Умножь первое число на количество десятков во втором числе (на 4).

   • Начинай записывать результат под чертой, но со сдвигом на один разряд влево (под разрядом десятков), так как умножаешь на десятки.
   • Пример: 123 × 4 (десятка) = 492 (десятка) = 4920

     123
   x  45
   -----
     615
    492   (второе неполное произведение)
   -----
   

4. Сложи: Сложи полученные неполные произведения.

   • Пример: 615 + 4920 = 5535

     123
   x  45
   -----
     615
    492
   -----
    5535
   

5. Проверь: Подумай, похож ли результат на верный (сделай прикидку).

Приложение 2. Памятка-алгоритм письменного деления «уголком»

КАК ДЕЛИТЬ «УГОЛКОМ»

1. Определи первое неполное делимое: Найди наименьшее число в делителе, которое можно разделить на делитель.

   • Пример: 784 : 7
   • Первое неполное делимое — 7 (сотни).

2. Определи количество цифр в частном: Посчитай, сколько цифр будет в частном (по количеству цифр от первого неполного делимого до конца делимого).

   • Пример: 784 : 7
   • Первое неполное делимое (7) и еще 2 цифры (8, 4) — значит, в частном будет 3 цифры. Поставь 3 точки в частном.

   784 | 7
   -   -----
       . . .
   

3. Дели первое неполное делимое: Раздели первое неполное делимое на делитель, запиши цифру в частное.

   • Пример: 7 : 7 = 1

   784 | 7
   -   -----
       1 . .
   

4. Умножь: Умножь цифру частного на делитель и запиши результат под первым неполным делимым.

   • Пример: 1 × 7 = 7

   784 | 7
   -7  -----
       1 . .
   

5. Вычти и найди остаток: Вычти полученное произведение из первого неполного делимого.

   • Пример: 7 — 7 = 0

   784 | 7
   -7  -----
   --  1 . .
    0
   

6. Снеси следующую цифру: Снеси следующую цифру делимого (8) к остатку (0). Получится 8.

   784 | 7
   -7  -----
   --  1 . .
    08
   

7. Повторяй шаги 3-6:

   • Дели: 8 : 7 = 1 (ост. 1). Запиши 1 в частное.
   • Умножь: 1 × 7 = 7.
   • Вычти: 8 — 7 = 1.
   • Снеси следующую цифру: Снеси 4. Получится 14.

   784 | 7
   -7  -----
   --  11 .
    08
   -7
   --
    14
   

   • Дели: 14 : 7 = 2. Запиши 2 в частное.
   • Умножь: 2 × 7 = 14.
   • Вычти: 14 — 14 = 0.

   784 | 7
   -7  -----
   --  112
    08
   -7
   --
    14
   -14
   ---
     0
   

8. Проверь остаток: Если остаток меньше делителя, ты все делаешь правильно. Если нет – ищи ошибку.

9. Запиши ответ.

Приложение 3. Пример конспекта урока по формированию навыка письменного умножения с элементами продуктивного повторения (3 класс)

Тема урока: Письменное умножение трехзначного числа на двузначное.

Цель: Формирование навыка письменного умножения трехзначного числа на двузначное через организацию продуктивного повторения.

Задачи:

• Актуализировать знания о распределительном свойстве умножения и разрядном составе числа.
• Освоить алгоритм письменного умножения на двузначное число.
• Развивать осознанность вычислительных действий, рациональность выбора приемов.
• Предупреждать типичные ошибки при записи неполных произведений.
• Использовать цифровые тренажеры для индивидуализированного закрепления.

Оборудование: Учебник математики, тетради, интерактивная доска, планшеты с выходом в интернет для работы с онлайн-тренажерами.

Ход урока:

I. Организационный момент (2 мин)

• Приветствие, проверка готовности к уроку.
• Мотивация: «Сегодня мы станем настоящими мастерами умножения, но для этого нам понадобятся не только знания, но и смекалка!»

II. Актуализация опорных знаний (Продуктивное повторение, подготовительный этап) (10 мин)

1. «Математический диктант с проверкой»:

   • Умножь 15 на 10. (150)
   • Найди произведение чисел 20 и 3. (60)
   • Увеличь 32 в 3 раза. (96)
   • Какое число в 5 раз меньше 45? (9)
   • Если A × B = C, то чему равно C : B? (A)
   • Самопроверка по эталону на доске. Обсуждение ошибок.

2. Проблемная ситуация: «Верно ли утверждение: (20 + 3) × 4 = 20 × 4 + 3 × 4? Почему?» (Повторение распределительного свойства умножения).

3. Задание на разрядный состав: «Какое число состоит из 3 сотен, 4 десятков и 7 единиц? (347) А из 2 десятков и 5 единиц? (25)».

III. Изучение нового материала (Этап ознакомления с приемом) (15 мин)

1. Введение задачи: «Мы умеем умножать на однозначное число, на 10, 100. А как умножить 347 на 25? Какие у вас есть идеи?»

2. Предположения учащихся:

   • «Можно 347 умножить на 5, потом на 20 и сложить результаты.» (Побуждение к распределительному свойству)
   • «Можно умножить столбиком.»

3. Демонстрация алгоритма на интерактивной доске с комментированием: Учитель подробно объясняет каждый шаг, проговаривая: «Сначала умножаем на единицы, пишем под единицами… затем умножаем на десятки, записываем со сдвигом…»

     347
   x  25
   -----
    1735  (347 × 5) - первое неполное произведение
   694   (347 × 20) - второе неполное произведение, сдвиг влево
   -----
   8675
   

4. Совместное составление памятки-алгоритма: Учащиеся под руководством учителя формулируют шаги алгоритма и записывают их в тетрадь. (См. Приложение 1).
5. Прикидка результата: «347 × 25. Это примерно 300 × 20 = 6000 или 350 × 20 = 7000. Наш ответ 8675 похож на правду?»

IV. Закрепление и выработка навыка (Продуктивное повторение) (15 мин)

1. Работа в парах: «Найди ошибку!»

   • На карточках даны примеры, решенные с преднамеренными ошибками (например, неправильный сдвиг второго неполного произведения, ошибка в табличном умножении).
   • Задача: найти ошибку, объяснить ее и правильно решить пример.
   • Пример карточки:

     218
   x  34
   -----
     872
    654
   -----
    1526  <-- ОШИБКА ЗДЕСЬ! (Неправильный сдвиг и сложение)
   

2. Индивидуальная работа с цифровым тренажером (10 мин):

   • Учащиеся на планшетах заходят на сайт Matematika.Club (или Skills4U) в раздел «Письменное умножение на двузначное число».
   • Тренажер автоматически генерирует задания, учитывая уровень сложности и предыдущие ошибки ученика. Мгновенная обратная связь.

V. Рефлексия (3 мин)

• «Что нового узнали сегодня на уроке?»
• «Что было самым сложным, а что самым интересным?»
• «Как вам помогли памятки и тренажеры?»
• «Какое правило умножения «столбиком» на двузначное число самое важное?»

VI. Домашнее задание (2 мин)

• Учебник: Умножить № 145 (а, б, в).
• Творческое задание: Составить 2 примера на умножение трехзначного числа на двузначное так, чтобы в одном из них не было переноса через разряд при умножении на десятки, а в другом был.

Приложение 4. Таблица с результатами педагогического эксперимента (фрагмент)

Сравнительный анализ показателей сформированности вычислительных навыков (письменное умножение) на контрольном этапе

Группа: 3 «А» класс (Экспериментальная) / 3 «Б» класс (Контрольная)
Количество учащихся: 25 / 25

Показатель / Группа	Экспериментальная Группа (ЭГ)	Контрольная Группа (КГ)	Разница (%)	Статистическая значимость (p-value)
Прочность (Автоматизм)
Среднее количество верно решенных примеров (за 10 мин)	8.2	6.5	+26.15%	p < 0.01
Процент учащихся, выполнивших задание без ошибок	72%	48%	+24%	p < 0.05
Осознанность
Процент учащихся, способных объяснить алгоритм умножения на двузначное число	88%	56%	+32%	p < 0.01
Среднее количество найденных и объясненных ошибок в предложенных примерах (из 3)	2.5	1.3	+92.3%	p < 0.001
Рациональность
Процент учащихся, выбравших рациональный способ вычисления (при необходимости)	64%	36%	+28%	p < 0.05
Средняя точность прикидки результата (отклонение от фактического значения, %)	7.8%	15.2%	-48.6%	p < 0.01

Комментарии к таблице:

• Данные представлены как средние значения по группе и процентные соотношения.
• p-value (уровень значимости) указывает на вероятность того, что наблюдаемые различия между группами являются случайными. Значение p < 0.05 традиционно считается статистически значимым, p < 0.01 — высокозначимым, p < 0.001 — очень высокозначимым. Чем меньше p-value, тем меньше вероятность случайности и тем сильнее подтверждается влияние внедренной методики.
• Например, p < 0.01 для «Среднего количества верно решенных примеров» означает, что вероятность того, что разница в 26.15% между ЭГ и КГ является случайной, составляет менее 1%. Это дает веское основание утверждать, что МС ОПП оказала существенное положительное влияние на прочность вычислительных навыков.

Приложение 5. Примеры заданий для формирования осознанности и предупреждения ошибок

Задание 1: «Детектив-математик» (для 3-4 классов)

Перед вами три примера, решенные Незнайкой. Он очень спешил и, возможно, допустил ошибки. Ваша задача:

1. Внимательно проверьте каждый пример.
2. Если нашли ошибку, обведите ее красным карандашом.
3. Объясните, почему это ошибка.
4. Исправьте пример правильно.

Пример А (умножение):

  246
x  32
-----
  492
 738
-----
 1230  <-- ОШИБКА ЗДЕСЬ! (Неправильный сдвиг и сложение)

• Объяснение ошибки: Незнайка неверно записал второе неполное произведение (738) — он не сдвинул его на один разряд влево, так как умножал на десятки. Также он неправильно сложил числа.
• Правильное решение:

    246
  x  32
  -----
    492
   738
  -----
   7872
  

Пример Б (деление):

  845 | 5
  -5  -----
  --  19
   34
  -45
  ----
   -11  <-- ОШИБКА ЗДЕСЬ! (Неверно подобрана цифра частного)

• Объяснение ошибки: Незнайка неверно подобрал вторую цифру частного. После деления 8 на 5, остаток 3. Сносим 4, получаем 34. 34 на 5 делится на 6, а не на 9. 9 × 5 = 45, что больше 34.
• Правильное решение:

    845 | 5
    -5  -----
    --  169
     34
    -30
    ----
      45
     -45
     ---
       0
  

Задание 2: «Объясни правила» (для 3-4 классов)

Закончите предложения, чтобы объяснить важные правила письменных вычислений:

1. При записи чисел «в столбик» единицы всегда должны быть под единицами, десятки под десятками, сотни под сотнями. Это важно, чтобы правильно складывать или вычитать числа одного разряда, избегая ошибок в значении разрядов.
2. Когда мы умножаем на десятки (например, на 20, 30, 40), второе неполное произведение нужно начинать записывать со сдвигом на один разряд влево, потому что мы умножаем не на единицы, а на десятки, и результат сразу имеет значение десятков.
3. При делении «уголком», остаток всегда должен быть меньше, чем делитель. Если он больше, значит мы неверно подобрали цифру частного и нужно увеличить её.
4. Прежде чем начать делить «уголком», я сначала определяю количество цифр в частном. Это помогает мне понять, сколько разрядов будет в ответе, и избежать ошибок при определении первого неполного делимого.

Приложение 6. Примеры заданий для развития рациональности

Задание: «Выбери лучший способ» (для 4 класса)

Реши каждый пример двумя способами (если это возможно) и выбери тот, который показался тебе наиболее быстрым и удобным. Объясни свой выбор.

Пример 1: 48 × 25

• Способ А (письменное умножение «в столбик»):

    48
  x 25
  ----
   240
   96
  ----
  1200
  

• Способ Б (использование свойств умножения):

  • 48 × 25 = 48 × (100 : 4) = (48 : 4) × 100 = 12 × 100 = 1200
• Мой выбор и объяснение: Способ Б быстрее и проще, потому что я могу легко разделить 48 на 4 и умножить на 100. Это помогает мне избежать больших вычислений в столбик.

Пример 2: 320 : 80

• Способ А (деление «уголком»):

  320 | 80
  -320 -----
  ---- 4
     0
  

• Способ Б (устное деление с отбрасыванием нулей):

  • 320 : 80 = 32 : 8 = 4
• Мой выбор и объяснение: Способ Б намного быстрее, потому что можно убрать по одному нулю в делимом и делителе, и тогда пример становится простым табличным.

Приложение 7. Рекомендации по работе с онлайн-тренажерами

Для учащихся:

1. Регулярность: Старайтесь заниматься на тренажере 10-15 минут каждый день. Лучше коротко, но постоянно, чем долго, но редко.
2. Анализируйте ошибки: Если тренажер показывает ошибку, не просто переписывайте ответ. Постарайтесь понять, где именно вы ошиблись и почему.
3. Не бойтесь сложности: Тренажер подстраивается под вас. Если он дает более сложные задания, это значит, что вы готовы!
4. Используйте подсказки: Если тренажер предлагает подсказки, не стесняйтесь ими пользоваться. Это часть обучения.
5. Соревнуйтесь с собой: Старайтесь улучшать свои результаты по скорости и точности.

Для учителей:

1. Интеграция в урок: Используйте онлайн-тренажеры как элемент урока (например, для разминки, индивидуальной работы или домашнего задания).
2. Дифференциация: Направляйте разных учеников на разные уровни сложности или на отработку конкретных тем, где у них возникают трудности. Многие тренажеры имеют такую функцию.
3. Отслеживание прогресса: Используйте отчеты тренажеров (если они есть) для отслеживания динамики успеваемости каждого ученика и выявления общих проблемных зон в классе.
4. Обсуждение: После работы с тренажером обсуждайте с учащимися, какие задания были сложными, какие новые приемы они освоили, какие ошибки удалось преодолеть.
5. Мотивация: Используйте результаты работы на тренажерах для поощрения и мотивации учащихся.

Список использованной литературы

1. Авдеева Т. К. Оптимизация процесса повторения учебного материала на уроках алгебры в восьмилетней школе : автореф. дисс. … канд. пед. наук. Минск, 1984. 16 с.
2. Аракелян О. А. Некоторые вопросы повторения математики в средней школе : автореф. дисс. … канд. пед. наук. М., 1958. 22 с.
3. Артемов А.К., Истомина Н.Б. Теоретические основы методики обучения математике в начальных классах. М.- Воронеж, 1996.
4. Афанасьева О. К. Многообразие и взаимосвязь методов при повторении : автореф. дисс. … канд. пед. наук. Ленинград, 1953. 24 с.
5. Бабанский Ю. К. Оптимизация учебно-воспитательного процесса. М. : Просвещение, 1982. 192 с.
6. Бантова М.А., Бельтюкова Г.В. Методика преподавания математики в начальных классах. М., 1984.
7. Вертгеймер М. Продуктивное мышление. М., 1987.
8. Дюдяева Г.В. Изложение темы «Делимость» на основе теории сравнений // Нач. шк. 2003. №10. С. 63–66.
9. Ефимов В.Ф. Обобщающее повторение курса математики с помощью коллективных способов обучения // Нач. шк. 1998. №3. С. 59–61.
10. Зотова Н.В. Работа по предупреждению ошибок при выполнении письменных вычислений // Нач. шк. 1998. №3. С. 53–58.
11. Истомина Н. Б. Активизация учащихся на уроках математики в начальных классах. М., 1985.
12. Истомина Н. Б. Концепция обучения математике в начальных классах // Начальная школа. 1996. №10. С. 89-91.
13. Истомина Н. Б. Методика обучения математике в начальных классах : учебное пособие для пед. ВУЗов. М. : Академия, 2002.
14. Истомина Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах. М. : ЛИНКА – ПРЕСС, 1997.
15. Истомина Н.Б. Методические рекомендации к учебнику «Математика. 1 класс». 4-е изд. М., 1996.
16. Каплан Б.С., Рузин Н.К., Столяр А.А. Методы обучения математике. М., 1981.
17. Киселева Е. Н. Математический КВН // Нач. шк. 2003. №8. С. 40–43.
18. Кураченко З.В. Личностно – ориентированный подход в системе обучения математике // Нач. шк. 2003. №4. С. 59–63.
19. Методика начального обучения математике / под ред. А.А. Столяра и В.Л. Дрозда. Минск, 1988.
20. Моро М.И., Пышкало А.М. Методика обучения математике в 1–3 кл. М., 1978.
21. Рубинштейн С.Л. О мышлении и путях его исследования. М., 1958.
22. Фридман Л.М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе. М., 1983.
23. Алгоритмы письменного умножения и деления многозначных чисел. URL: multiurok.ru (дата обращения: 05.10.2025).
24. МАТЕМАТИКА Реализация требований ФГОС начального общего образования. URL: edsoo.ru (дата обращения: 05.10.2025).
25. Технология продуктивного повторения в процессе обучения математике в 5-6 классах. URL: dslib.net (дата обращения: 05.10.2025).
26. Методические Приемы Изучения Письменного Умножения И Деления В Начальной Школе С Учетом Индивидуальных Особенностей Школьников. URL: scilead.ru (дата обращения: 05.10.2025).
27. Теоретические аспекты организации повторения в процессе обучения математике в 1–4-х классах. URL: narodnoe.org (дата обращения: 05.10.2025).
28. Методика изучения устных и письменных приемов умножения и деления. URL: infourok.ru (дата обращения: 05.10.2025).
29. Классификация вычислительных приемов. Методы работы педагога по формированию вычислительного навыка. URL: infourok.ru (дата обращения: 05.10.2025).
30. Методические приемы изучения письменного умножения и деления в начальной школе с учетом индивидуальных особенностей школьников. URL: cyberleninka.ru (дата обращения: 05.10.2025).
31. Методика изучения письменных приемов умножения в начальной школе. URL: pnzgu.ru (дата обращения: 05.10.2025).
32. Продуктивность и опережение изученного как современные дидактические характеристики повторения. URL: cyberleninka.ru (дата обращения: 05.10.2025).
33. Типичные ошибки при выполнении письменных приёмов сложения и вычитания, пути их предупреждения и исправления. URL: studbooks.net (дата обращения: 05.10.2025).
34. Психолого-педагогические приемы работы над ошибками младших школьников при освоении математических понятий. URL: psyjournals.ru (дата обращения: 05.10.2025).
35. ПРОДУКТИВНЫЙ И РЕПРОДУКТИВНЫЙ МЕТОДЫ ОБУЧЕНИЯ В ОРГАНИЗАЦИИ СОВРЕМЕННОГО ОБРАЗОВАНИЯ. URL: cyberleninka.ru (дата обращения: 05.10.2025).
36. Методические приемы формирования вычислительных навыков письменного сложения и вычитания в начальном курсе математики. URL: studfile.net (дата обращения: 05.10.2025).
37. Вычислительные навыки: важность, этапы формирования. URL: solncesvet.ru (дата обращения: 05.10.2025).
38. Формирование вычислительных навыков в начальной школе. URL: nsportal.ru (дата обращения: 05.10.2025).
39. Формирование прочных вычислительных навыков у младших школьников на уроках математики. URL: volozhin-edu.gov.by (дата обращения: 05.10.2025).
40. Формирование вычислительных навыков у детей младшего школьного возраста при помощи дидактических игр. URL: pravinst.ru (дата обращения: 05.10.2025).
41. Сравнительный анализ УМК по математике начальная школа. URL: infourok.ru (дата обращения: 05.10.2025).
42. Изучение темы «Алгоритмы» в начальной школе с помощью приобретённых знаний по математике. URL: cyberleninka.ru (дата обращения: 05.10.2025).
43. Рабочая программа по математике (2, 3 класс). URL: nsportal.ru (дата обращения: 05.10.2025).
44. УМК «Перспектива». Рабочая программа по математике» 1 класс. URL: infourok.ru (дата обращения: 05.10.2025).