Пороговые Цифровые Подписи: Теория, Реализация, Безопасность и Применение в Современном Электронном Документообороте

Представьте, что вместо одной хрупкой нити, удерживающей ключ от сокровищницы, у вас есть целая сеть нитей, и чтобы открыть замок, достаточно переплести лишь часть из них. Именно такой принцип лежит в основе пороговых цифровых подписей — технологии, которая позволяет не только распределить критически важную ответственность, но и многократно повысить устойчивость и безопасность систем. Пороговая подпись, по своей сути, является частным случаем порогового разделения секрета по схеме (t, n), когда закрытый ключ разделяется на n частей, а для его восстановления или использования достаточно любых t частей. Это архитектурное решение становится краеугольным камнем в мире, где централизованные точки отказа — будь то одиночный сервер или один человек — представляют собой неприемлемый риск, а ведь их компрометация может привести к необратимым последствиям для всей инфраструктуры.

В эпоху повсеместной цифровизации и растущих киберугроз, когда каждый день фиксируются новые инциденты компрометации данных, потребность в надёжных и отказоустойчивых механизмах аутентификации и подтверждения подлинности информации становится критически важной. Электронный документооборот, финансовые транзакции, блокчейн-технологии — все эти сферы остро нуждаются в решениях, способных выдержать не только целенаправленные атаки, но и случайные сбои. Пороговые цифровые подписи (Threshold Signature Schemes, TSS) предлагают элегантное и мощное решение этих задач, распределяя доверие и ответственность между несколькими участниками.

Актуальность исследования

Растущая потребность в повышенной безопасности и отказоустойчивости систем подписи, особенно в децентрализованных средах, определяет высокую актуальность исследования пороговых цифровых подписей. Традиционные схемы, где вся ответственность за закрытый ключ лежит на одном субъекте, создают единую точку отказа. Компрометация этого ключа означает потерю контроля над всеми подписанными данными. Пороговые схемы решают эту проблему, распределяя секрет между несколькими сторонами. Это не только повышает криптографическую стойкость, но и обеспечивает непрерывность функционирования системы, даже если часть участников становится недоступной или скомпрометированной. Такая архитектура критически важна для защиты конфиденциальных данных, управления цифровыми активами и обеспечения целостности децентрализованных приложений, что делает TSS одним из ключевых направлений развития информационной безопасности. В результате, внедрение TSS становится не просто желательным, но жизненно необходимым для создания по-настоящему устойчивых цифровых экосистем.

Цель и задачи работы

Цель данной работы — всестороннее и углубленное изучение пороговых цифровых подписей, их математических основ, алгоритмов реализации, аспектов безопасности и областей применения, а также анализ их места в контексте российской нормативно-правовой базы.

Для достижения поставленной цели были сформулированы следующие задачи:

1. Систематизировать фундаментальные принципы и математические основы традиционных и пороговых схем электронной подписи, проследить их историческую эволюцию.
2. Проанализировать ключевые алгоритмы реализации пороговых схем, такие как RSA, Шнорр, ECDSA, а также перспективные постквантовые подходы.
3. Оценить механизмы обеспечения безопасности пороговых цифровых подписей, выявить их потенциальные уязвимости и провести сравнительный анализ с классическими схемами.
4. Обзорно рассмотреть актуальные и потенциальные области применения пороговых подписей в современном электронном документообороте, финансовых и блокчейн-системах.
5. Изучить текущие тенденции и перспективные направления развития пороговой криптографии, включая адаптацию к угрозам квантовых вычислений.
6. Проанализировать российскую нормативно-правовую базу, регулирующую использование электронных подписей, и оценить возможности и условия применения пороговых схем в рамках действующего законодательства.

Структура дипломной работы

Данная дипломная работа структурирована таким образом, чтобы обеспечить последовательное и всестороннее раскрытие темы пороговых цифровых подписей. Исследование состоит из шести основных разделов:

• Введение — содержит обоснование актуальности, постановку цели и задач, а также описание структуры работы.
• Исторический Обзор и Фундаментальные Принципы Криптографии и Пороговых Подписей — посвящен эволюции криптографии, определению ключевых терминов и математическим основам пороговых схем.
• Алгоритмы Реализации Пороговых Схем Электронной Подписи — детально рассматривает основные алгоритмы и протоколы, используемые для построения TSS.
• Безопасность, Уязвимости и Сравнительный Анализ Пороговых Подписей — оценивает криптографическую стойкость, риски и преимущества пороговых схем.
• Области Применения и Перспективы Развития Пороговых Подписей — анализирует практическое использование и будущие направления, включая постквантовую криптографию.
• Нормативно-Правовая База Российской Федерации в Области Электронных Подписей — изучает российское законодательство и возможности его применения к пороговым схемам.
• Заключение — подводит итоги исследования, формулирует основные выводы и обозначает направления для дальнейших научных изысканий.

Такая структура позволяет последовательно перейти от общих теоретических положений к конкретным алгоритмам, вопросам безопасности, практическому применению и, наконец, к анализу правового поля, обеспечивая максимальную глубину проработки темы.

Исторический Обзор и Фундаментальные Принципы Криптографии и Пороговых Подписей

Криптография, искусство скрывать информацию, насчитывает более 4000 лет, являясь неотъемлемой частью человеческой истории, от древних цивилизаций до современной цифровой эпохи. Ее эволюция — это не просто смена методов шифрования, а отражение развития математической мысли, вычислительных мощностей и потребностей общества в защите данных. Именно на этом фундаменте появились сложные концепции, такие как пороговые цифровые подписи, которые сегодня формируют основу для безопасных распределенных систем.

От древности до современных асимметричных систем

Истоки криптографии уходят глубоко в древность, примерно к 1900 году до нашей эры, когда в Древнем Египте использовались необычные иероглифы для сокрытия смысла, что стало одним из самых ранних известных примеров применения методов шифрования. Впоследствии, методы скрытия информации развивались, и одним из самых известных примеров является шифр Цезаря, использованный Юлием Цезарем для защиты своей переписки. Этот простой подстановочный шифр, где каждая буква заменяется буквой, находящейся на фиксированном числе позиций дальше по алфавиту, демонстрировал базовый принцип криптографии — преобразование открытого текста в шифротекст, непонятный для непосвященных.

Однако, истинный прорыв произошел в середине XX века, примерно с 1940-х годов, когда криптография перешла от лингвистических и механических методов к строго математическим. С появлением первых компьютеров стало возможным применять сложные алгоритмы и проводить объемные вычисления, что привело к развитию симметричной криптографии. Но настоящая революция случилась в 1976 году с публикацией основополагающей работы Уитфилда Диффи и Мартина Хеллмана «New Directions in Cryptography». Эта статья не только представила концепцию криптографии с открытым ключом, но и предложила алгоритм обмена ключами, который позволил двум сторонам безопасно установить общий секретный ключ по незащищенному каналу связи. Это событие открыло дорогу для создания алгоритмов асимметричного шифрования и цифровой подписи, изменив ландшафт информационной безопасности навсегда.

Понятие электронной подписи и ее роль в документообороте

В контексте цифровой эпохи, электронная подпись (ЭП) стала краеугольным камнем доверия и юридической значимости в электронном документообороте. Согласно общепринятому определению, электронная подпись — это информация в электронной форме, которая присоединена к другой информации в электронной форме (подписываемой информации) или иным образом связана с такой информацией и используется для определения лица, подписывающего информацию.

Ее роль невозможно переоценить. ЭП не просто заменяет рукописную подпись, она выполняет три ключевые функции:

• Идентификация: Устанавливает личность подписанта, доказывая, кто именно подписал документ.
• Целостность: Гарантирует, что документ не был изменен после подписания. Любое изменение в подписанном документе приведет к недействительности подписи.
• Неотказуемость: Подписант не может отказаться от факта подписи, поскольку она криптографически связана с его закрытым ключом.

Благодаря этим свойствам, электронная подпись является фундаментом для юридически значимого электронного документооборота, обеспечивая доверие и прозрачность в таких сферах, как банковские операции, государственные услуги, корпоративные коммуникации и многие другие. Она позволяет отказаться от бумажных документов, значительно ускоряя и упрощая бизнес-процессы.

Концепция пороговой подписи

Традиционная электронная подпись, несмотря на свои неоспоримые преимущества, имеет один существенный недостаток: она опирается на один единственный закрытый ключ, который является единственной точкой отказа. Если этот ключ скомпрометирован, то вся система подписей, связанных с ним, оказывается под угрозой. Именно для решения этой проблемы была разработана концепция пороговой подписи (Threshold Signature).

Пороговая подпись (Threshold Signature Scheme, TSS) представляет собой вариант электронной подписи, для наложения которой требуется сотрудничество не менее t членов группы из n участников. Это означает, что ни один отдельный участник не имеет полного контроля над закрытым ключом, а его использование возможно только при коллективном взаимодействии достаточного числа сторон.

По своей сути пороговая подпись является частным случаем порогового разделения секрета по схеме (t, n), когда закрытый ключ разделяется на n частей (или фрагментов), а для его восстановления или использования достаточно любых t частей, где t ≤ n. Открытый ключ при этом используется обычным образом для проверки подписи.

Важными аспектами концепции пороговой подписи являются:

• Распределенная генерация ключей: Генерация, разделение ключа и распределение его фрагментов может осуществляться с помощью доверенного дилера (менеджера группы) или, что более предпочтительно с точки зрения децентрализации, через интерактивный протокол между участниками, исключающий необходимость в доверенной третьей стороне. Последний подход минимизирует риски, связанные с единой точкой доверия.
• Коалиция участников: Протокол пороговой подписи — это протокол цифровой подписи, в котором подписывающий заменяется любой правомочной коалицией участников таким образом, что корректная подпись может быть сформирована только при участии всех членов коалиции. Эта коалиция должна состоять как минимум из t участников.
• Обеспечение функциональности: Схемы пороговой подписи необходимы для того, чтобы любая коалиция из уполномоченных пользователей, численностью не менее порогового значения, могла сформировать электронную подпись от лица всех уполномоченных пользователей, даже если некоторые из них недоступны или недобросовестны (до t-1 нарушителей).
• Криптографический примитив: Схема пороговой подписи (Threshold Signature Scheme, TSS) является самостоятельным криптографическим примитивом для распределенной генерации ключей и подписания транзакций, интегрируемым в более сложные системы.
• Интерактивные протоколы: ТСС заменяет алгоритмы генерации ключей (KeyGen) и подписания (Sign) традиционной схемы цифровой подписи интерактивным протоколом между несколькими сторонами. В протоколе KeyGen в TSS набор из n сторон в интерактивном режиме генерируют ключ по схеме m-из-n (где m — пороговое значение) без локальной генерации ключа и последующего его разделения, что повышает безопасность.

В совокупности эти принципы делают пороговые подписи мощным инструментом для создания устойчивых, безопасных и децентрализованных систем, способных выдерживать компрометацию части своих компонентов.

Общая математическая модель пороговой подписи

В основе пороговых цифровых подписей лежит сложный, но элегантный математический аппарат, объединяющий несколько криптографических примитивов. Общая математическая модель пороговой подписи включает в себя три ключевых компонента, которые взаимодействуют для обеспечения распределенной безопасности и функциональности:

1. Проверяемое разделение секрета: Это фундаментальный элемент, позволяющий разделить секретный ключ на множество фрагментов таким образом, чтобы для его восстановления или использования требовалось определенное пороговое количество этих фрагментов. Наиболее известные схемы разделения секрета:
   • Схема разделения секрета Шамира: Основывается на полиномиальной интерполяции. Секрет S представляется как свободный член полинома степени t-1. Каждый участник получает точку на этом полиноме. Для восстановления секрета достаточно t любых точек. Эта схема является одной из наиболее эффективных и широко используемых благодаря своей «совершенности» и «идеальности», что означает, что t-1 фрагментов не дают никакой информации о секрете.
   • Схема Фелдмана: Расширяет схему Шамира, добавляя возможность проверки целостности каждого фрагмента секрета. Это позволяет участникам убедиться, что они получили корректные доли, и предотвращает атаки, при которых злоумышленник подменяет доли, чтобы получить контроль над секретом или вызвать сбой протокола. Проверка осуществляется с использованием доказательств с нулевым разглашением.
2. Выявление нарушителей (Verifiable Secret Sharing): Этот аспект тесно связан с проверяемым разделением секрета и направлен на обнаружение недобросовестных участников, которые пытаются исказить процесс генерации или подписания.
   • Схема Фелдмана (доказательства с нулевым разглашением): Как было упомянуто, она позволяет участникам проверять валидность долей секрета без раскрытия самого секрета. Это критически важно для предотвращения атак, где злоумышленник предоставляет неверные доли, чтобы сорвать процесс подписания или скомпрометировать групповой ключ.
   • Доказательства с нулевым разглашением (Zero-Knowledge Proofs, ZKP): Эти криптографические протоколы позволяют одной стороне (доказывающей) доказать другой стороне (проверяющей), что она знает некое секретное значение, не раскрывая при этом самого значения. В контексте пороговых подписей ZKP используются для доказательства корректности вычислений, выполняемых каждым участником при формировании подписи, без раскрытия его индивидуального фрагмента ключа.
3. Формирование подписи (адаптированные криптографические подписи): После того как фрагменты секрета распределены и их целостность проверена, начинается процесс формирования самой подписи. Здесь используются модифицированные версии стандартных алгоритмов цифровой подписи.
   • Проверяемые случайные функции (Verifiable Random Functions, VRF): Хотя VRF не являются прямым компонентом формирования подписи в большинстве пороговых схем, они могут быть использованы в более сложных протоколах, где требуется генерировать доказуемо случайные значения, которые затем используются в подписи.
   • Адаптированные криптографические подписи: Классические схемы цифровой подписи (например, RSA, ECDSA, Schnorr) адаптируются таким образом, чтобы каждый участник мог внести свой вклад в формирование итоговой подписи, используя свой фрагмент закрытого ключа. Затем эти частичные подписи агрегируются в единую действительную подпись. Ключевой особенностью является то, что агрегация должна быть возможна только при наличии порогового числа частичных подписей, и при этом никто из участников не должен знать полный закрытый ключ.

Эта комплексная математическая модель обеспечивает как распределение ответственности, так и повышенную отказоустойчивость, создавая надежный механизм для коллективной аутентификации в децентрализованных системах.

Основополагающие исследования в области пороговых криптосистем

История криптографии с открытым ключом, запущенная Диффи и Хеллманом в 1976 году, проложила путь к развитию новых, более сложных и устойчивых криптографических примитивов. Среди них концепция пороговых криптосистем занимает особое место, поскольку она принципиально изменила подход к управлению ключами и распределению доверия.

Одним из основополагающих исследований, которое заложило теоретические и практические основы для современных пороговых криптосистем, является работа Иво Десмедта и Ювала Фр��нкеля 1989 года под названием «Threshold cryptosystems». Эта публикация стала важной вехой, поскольку она впервые систематизировала идеи распределения секрета и коллективного формирования криптографических операций (шифрование, расшифрование, подпись) таким образом, чтобы для их выполнения требовалось согласованное действие нескольких сторон.

Работа Десмедта и Фрэнкеля не только ввела в научный оборот сам термин «пороговые криптосистемы», но и предложила конкретные конструкции и протоколы, демонстрирующие, как эти системы могут быть реализованы на практике. Они показали, как можно разделить приватный ключ на фрагменты и разработать протоколы, позволяющие группе из n участников, где t из них являются честными, совместно выполнить криптографическую операцию, не раскрывая индивидуальных фрагментов ключа и не позволяя t-1 или менее недобросовестным участникам скомпрометировать систему. Это исследование стало отправной точкой для множества последующих работ в области пороговой криптографии, повлияв на развитие распределенных систем подписи, безопасного многостороннего вычисления (Multi-Party Computation, MPC) и децентрализованных приложений.

Алгоритмы Реализации Пороговых Схем Электронной Подписи

Создание пороговых цифровых подписей — это сложный процесс, требующий адаптации классических криптографических алгоритмов к распределенной архитектуре. В основе этих реализаций лежат как схемы разделения секрета, так и базовые алгоритмы цифровой подписи, такие как RSA, Шнорр и ECDSA. Каждый из них имеет свои математические основы и особенности, определяющие его применимость и эффективность в контексте TSS.

Схема разделения секрета Шамира

Когда речь заходит о пороговых криптосистемах, невозможно обойти вниманием схему разделения секрета Шамира, разработанную Ади Шамиром в 1979 году. Это элегантное математическое решение стало краеугольным камнем для многих распределенных криптографических протоколов, включая пороговые подписи.

Принцип работы схемы Шамира:
Схема Шамира позволяет разделить секретную информацию (например, закрытый ключ S) на n частей (или долей) таким образом, что для восстановления исходного секрета достаточно обладать только k любыми частями, где k является пороговым значением (k ≤ n). При этом любая комбинация из k-1 или менее частей не дает абсолютно никакой информации о секрете.

Математическая основа схемы Шамира — это полиномиальная интерполяция.

1. Генерация секрета: Выбирается случайный полином P(x) степени k-1 над конечным полем GF(p) (где p — большое простое число). Секрет S назначается свободному члену полинома, то есть P(0) = S.
   P(x) = S + a1x + a2x2 + ... + ak-1xk-1 mod p
   Здесь a₁, …, a_k-1 — случайно выбранные коэффициенты.
2. Распределение долей: Для каждого из n участников генерируется уникальная точка на этом полиноме: (x_i, y_i), где y_i = P(x_i). Каждому участнику i выдается пара (x_i, y_i) как его доля секрета. Значения x_i должны быть уникальными и отличными от нуля.
3. Восстановление секрета: Когда k участников объединяют свои доли (x_j, y_j), они могут восстановить исходный полином P(x) с помощью алгоритма Лагранжа или другого метода полиномиальной интерполяции. После восстановления полинома P(x), секрет S находится путем вычисления P(0).

Пример (схема 2-из-3):
Допустим, секрет S = 10 и k = 2. Выбираем простой полином P(x) = S + a1x = 10 + 5x (для простоты, без mod p).

• Участник 1 получает (x₁=1, y₁=P(1)=15)
• Участник 2 получает (x₂=2, y₂=P(2)=20)
• Участник 3 получает (x₃=3, y₃=P(3)=25)

Для восстановления секрета S, достаточно любых двух долей. Например, участники 1 и 2 могут использовать свои доли (1, 15) и (2, 20) для восстановления полинома P(x), а затем вычислить P(0) = 10.

Преимущества схемы Шамира:

• Совершенство и идеальность: Схема является совершенной, что означает, что любой набор из k-1 или менее долей не предоставляет никакой информации о секрете. Она также идеальна, так как каждая доля имеет такой же размер, как и сам секрет.
• Вычислительная эффективность: Реализация схемы Шамира в основном опирается на полиномиальную интерполяцию, что делает ее вычислительно эффективной по сравнению с некоторыми другими схемами разделения секрета, такими как схемы Блэкли или Асмута-Блума, которые могут требовать более сложных алгебраических операций или оперировать с большими числами. Это делает ее предпочтительным вариантом для задач распределенного хранения секрета и построения пороговых криптосистем.
• Гибкость: Пороговое значение k и количество участников n могут быть легко настроены под конкретные требования безопасности и отказоустойчивости.

Схема Шамира служит основой для многих пороговых протоколов, где она используется для распределения закрытого ключа или его компонентов, обеспечивая при этом высокую степень конфиденциальности и надежности.

Алгоритм RSA в контексте цифровой подписи

Алгоритм RSA, разработанный Роном Ривестом, Ади Шамиром и Леонардом Адлеманом в 1977 году, стал первой системой криптографии с открытым ключом, пригодной как для шифрования, так и для цифровой подписи. Его безопасность основывается на вычислительной сложности задачи факторизации больших составных чисел, которая до сих пор считается неразрешимой для классических компьютеров за разумное время.

Математические основы RSA:

1. Генерация ключей:
   • Выбираются два больших случайных простых числа p и q.
   • Вычисляется их произведение N = p ⋅ q. Модуль N является частью открытого ключа.
   • Вычисляется функция Эйлера φ(N) = (p-1)(q-1).
   • Выбирается целое число e (открытая экспонента), такое что 1 < e < φ(N) и e взаимно просто с φ(N).
   • Вычисляется d (секретная экспонента), такое что d ⋅ e ≡ 1 (mod φ(N)).
   • Открытый ключ: (e, N).
   • Закрытый ключ: (d, N).
2. Формирование цифровой подписи:
   Для формирования цифровой подписи сообщения M выполняются следующие шаги:
   • Сообщение M сжимается с помощью криптографической хеш-функции h(M) в целое число m, где 0 ≤ m < N. Хеш-функция обеспечивает целостность сообщения и предотвращает коллизии.
   • Вычисляется подпись S как S = m^d (mod N). Здесь d — это секретный ключ.
3. Проверка цифровой подписи:
   Для проверки подписи S и сообщения M (с его хешем m) с использованием открытого ключа (e, N):
   • Вычисляется m’ = S^e (mod N).
   • Вычисляется m_hash = h(M).
   • Подпись считается действительной, если m’ = m_hash.

Применение RSA в пороговых схемах:
Хотя RSA изначально не был разработан как пороговая схема, его можно адаптировать. Основная идея заключается в использовании схемы разделения секрета (например, Шамира) для распределения секретной экспоненты d между n участниками. Затем t из них могут сотрудничать для вычисления m^d (mod N) без фактического восстановления полного d. Это достигается путем выполнения частичных вычислений и их последующей агрегации.
Например, каждый участник i может вычислить S_i = m^d_i (mod N), где d_i — его доля d. Затем эти S_i могут быть объединены таким образом, чтобы получить исходную подпись S. Однако, такая адаптация RSA к пороговым схемам может быть более сложной и менее эффективной, чем для других алгоритмов, из-за нелинейного характера модульного возведения в степень. Тем не менее, теоретические основы для этого существуют и исследуются.

Схема Шнорра и ее преимущества

Схема Шнорра, разработанная Клаусом П. Шнорром в 1989 году, представляет собой одну из наиболее элегантных и эффективных схем цифровой подписи. Она является модификацией более ранних схем Эль-Гамаля (1985) и Фиата-Шамира (1986), но отличается меньшим размером подписи и повышенной эффективностью. Безопасность схемы Шнорра основывается на трудности вычисления дискретных логарифмов в конечных полях или на эллиптических кривых.

Принцип работы схемы Шнорра:

1. Генерация ключей:
   • Выбираются большие простые числа p и q, где q является делителем p-1.
   • Выбирается генератор g циклической подгруппы порядка q в поле Z*_p*.
   • Закрытый ключ x выбирается случайным образом из [1, q-1].
   • Открытый ключ y = g^x mod p.
   • Пара (p, q, g) являются публичными параметрами системы.
2. Формирование подписи сообщения M:
   • Выбирается случайное число k из [1, q-1].
   • Вычисляется R = g^k mod p.
   • Вычисляется e = H(R || M), где H — криптографическая хеш-функция, а || — конкатенация.
   • Вычисляется s = (k — x ⋅ e) mod q.
   • Подпись: пара (e, s).
3. Проверка подписи (e, s) для сообщения M:
   • Вычисляется R’ = g^s ⋅ y^e mod p.
   • Вычисляется e’ = H(R’ || M).
   • Подпись считается действительной, если e’ = e.

Преимущества схемы Шнорра:

• Компактность подписи: Подпись Шнорра, как правило, состоит из двух элементов, например, (R, s) или (e, s), и является одной из самых коротких подписей. Она предлагает размер подписи в 64 байта для 128-битного уровня безопасности (например, 32 байта для s и 32 байта для e), что делает ее значительно более компактной по сравнению с ECDSA, подпись которого обычно составляет 128 байт. Это критически важно для приложений с ограниченной пропускной способностью или хранилищем, например, в блокчейн-системах.
• Высокая стойкость к атакам: Безопасность схемы Шнорра базируется на хорошо изученной проблеме дискретного логарифмирования. Она обеспечивает доказанную стойкость к экзистенциальной подделке при адаптивном выборе сообщения (EUF-CMA) в модели случайного оракула.
• Простота алгоритма: Схема Шнорра использует более простой алгоритм по сравнению с ECDSA, что может упростить ее реализацию и аудит безопасности.
• Линейные свойства: Это одно из наиболее значимых преимуществ. Линейность схемы Шнорра позволяет агрегировать несколько подписей, сделанных разными участниками для одного и того же сообщения (или даже для разных сообщений в некоторых модификациях), в одну единственную подпись. Это означает, что несколько участников могут создать пороговую подпись, где итоговая подпись будет иметь такой же размер, как и обычная одиночная подпись. Это свойство делает ее идеальной для использования в мультиподписях и пороговых схемах, особенно в блокчейн-технологиях, где агрегация подписей значительно снижает объем данных и, следовательно, комиссионные сборы.

Благодаря своим уникальным свойствам, особенно компактности и линейности, схема Шнорра была выбрана в качестве стандарта цифровой подписи для биткоина (обновление Taproot) и имеет большой потенциал для применения в других криптовалютах, децентрализованных финансах (DeFi) и распределенных системах.

Threshold ECDSA: реализация пороговой подписи на эллиптических кривых

В современном мире криптографии эллиптические кривые заняли одно из центральных мест благодаря своей высокой эффективности и стойкости при относительно коротких ключах. Алгоритм ECDSA (Elliptic Curve Digital Signature Algorithm) — это стандартный метод построения цифровой подписи с использованием эллиптических кривых, обеспечивающий уникальные и неповторимые подписи и практическую невозможность их подделки благодаря высокой вычислительной сложности задачи дискретного логарифмирования на эллиптических кривых.

Принципы ECDSA:
ECDSA является аналогом DSA (Digital Signature Algorithm), адаптированным для работы с эллиптическими кривыми над конечным полем.

1. Параметры кривой: Алгоритм использует заранее определенные параметры эллиптической кривой: конечное поле F_p, уравнение эллиптической кривой, базовую точку G на кривой, порядок n точки G (простое число) и кофактор h.
2. Генерация ключей:
   • Закрытый ключ d_A выбирается случайным образом из диапазона [1, n-1].
   • Открытый ключ Q_A вычисляется как Q_A = d_A ⋅ G (скалярное умножение точки G на d_A).
3. Формирование подписи сообщения m:
   • Вычисляется хеш сообщения e = H(m).
   • Выбирается случайное число k из диапазона [1, n-1].
   • Вычисляется точка R = k ⋅ G = (x_R, y_R).
   • Вычисляется r = x_R mod n. Если r = 0, выбирается другое k.
   • Вычисляется s = k^-1 ⋅ (e + d_A ⋅ r) mod n. Если s = 0, выбирается другое k.
   • Подпись: пара (r, s).
4. Проверка подписи (r, s) для сообщения m:
   • Проверяется, что r и s находятся в диапазоне [1, n-1].
   • Вычисляется хеш сообщения e = H(m).
   • Вычисляется w = s^-1 mod n.
   • Вычисляется u₁ = e ⋅ w mod n.
   • Вычисляется u₂ = r ⋅ w mod n.
   • Вычисляется точка P = u₁ ⋅ G + u₂ ⋅ Q_A = (x_P, y_P).
   • Подпись считается действительной, если r = x_P mod n.

Алгоритм ECDSA был принят как стандарт ANSI в 1999 году, IEEE в 2000 году и NIST, а также ISO в 1998 году, что подтверждает его надежность и широкое применение.

Threshold ECDSA (T-ECDSA):
Реализация пороговой подписи на основе ECDSA (Threshold ECDSA) — это один из наиболее востребованных криптографических примитивов в современных децентрализованных системах, особенно в криптовалютах и блокчейне. Основная идея заключается в том, чтобы распределить закрытый ключ d_A между n участниками с использованием схемы разделения секрета (например, Шамира).

Однако, прямое применение схемы Шамира к d_A недостаточно, поскольку процесс подписания в ECDSA включает нелинейные операции (например, обратное по модулю k^-1). Поэтому T-ECDSA реализуется через более сложные интерактивные протоколы безопасных многосторонних вычислений (MPC). В таком протоколе:

• Распределенная генерация ключей: n участников совместно генерируют закрытый ключ d_A и его доли d_A,i таким образом, что ни один участник не знает полного d_A. При этом они также генерируют общий открытый ключ Q_A.
• Распределенное подписание: Когда t участников хотят подписать сообщение m:
  • Каждый участник i генерирует случайное число k_i и вычисляет R_i = k_i ⋅ G. Затем они совместно вычисляют R = Σ R_i и r = x_R mod n.
  • Каждый участник i вычисляет свой вклад в s на основе своей доли d_A,i и других промежуточных значений, используя протоколы, которые позволяют выполнять эти вычисления без раскрытия d_A,i.
  • Частичные вклады агрегируются для получения итогового s.
• Проверка: Подпись (r, s) проверяется обычным способом ECDSA с использованием общего открытого ключа Q_A.

T-ECDSA позволяет создать систему, где контроль над цифровыми активами или важными транзакциями распределен, обеспечивая повышенную безопасность и отказоустойчивость, что делает ее незаменимой для управления крупными хранилищами криптовалют, децентрализованными автономными организациями (DAO) и другими системами, требующими мультиподписи.

Постквантовые пороговые схемы подписи

Появление достаточно мощных квантовых компьютеров поставит под угрозу большинство традиционных криптографических алгоритмов, таких как RSA, DSA и ECDSA, поскольку квантовые алгоритмы (например, алгоритм Шора) способны эффективно решать математические задачи, на которых основывается их безопасность. Это вызывает острую необходимость в разработке постквантовой криптографии (Post-Quantum Cryptography, PQC) — алгоритмов, которые будут устойчивы к атакам как классических, так и квантовых компьютеров. В этом контексте особую актуальность приобретают постквантовые пороговые схемы подписи.

Постквантовые криптографические схемы основаны на принципиально других математических задачах, которые останутся вычислительно сложными даже для квантовых процессоров. К таким задачам относятся:

• Задачи на решетках (например, Learning With Errors, LWE; Learning With Rounding, LWR).
• Кодовые задачи (например, декодирование случайного линейного кода).
• Многомерные полиномиальные системы (multivariate polynomial systems).
• Хеш-функции (hash-based signatures).

На сегодняшний день не существует общепринятых и стандартизированных полноценных постквантовых схем пороговой подписи, хотя ведутся активные исследования в этой области. Основные сложности заключаются в обеспечении интерактивности протоколов, сохранении безопасности в условиях квантовых атак и адаптации существующих постквантовых примитивов к пороговым схемам.

Примеры текущих разработок:

1. Алгоритм Rainbow и схемы на основе многомерных уравнений:
   Разрабатываются постквантовые пороговые схемы подписи, например, на основе алгоритма Rainbow, который относится к многомерной криптографии. Эти схемы используют системы многомерных полиномиальных уравнений над конечными полями. Для построения пороговой версии может быть использована схема разделения секрета Шамира, адаптированная для работы с компонентами многомерных уравнений. Однако, многомерные схемы часто страдают от большого размера ключей и подписей.
2. Решеточные схемы на основе LWR и интерполяции Ньютона:
   Пороговая схема подписи может быть построена на основе теории решеток, которая считается одним из наиболее перспективных направлений PQC. Такие схемы базируются на задачах, связанных с поиском кратчайших векторов в решетках (Shortest Vector Problem, SVP) или обучением с ошибками (Learning With Errors, LWE; Learning With Rounding, LWR).
   • Задача LWR (Learning with Rounding): Лежит в основе многих эффективных решеточных криптосистем. Она заключается в восстановлении секрета по его линейным комбинациям, к которым добавлен небольшой шум, округленный до ближайшего целого числа.
   • Интерполяция Ньютона: В контексте решеточных пороговых схем интерполяция Ньютона может использоваться для построения пороговых функций, которые позволяют t участникам совместно вычислять часть подписи. Эта методология демонстрирует преимущества перед классической интерполяцией Лагранжа для динамических групп, поскольку позволяет добавлять или удалять участников без полной перегенерации ключей.
   • Применение: Данные решеточные схемы подходят для защиты IoT-устройств, где важны как вычислительная эффективность, так и квантовая стойкость, а также компактность подписей.
3. Российские разработки:
   В России также ведутся активные разработки постквантовых электронных подписей. Одним из примеров является подпись «Шиповник», стойкость которой базируется на задаче декодирования случайного линейного кода. Этот подход относится к кодовой криптографии, которая также считается квантово-устойчивой. «Шиповник» является одной из разработок в области постквантовой криптографии, ее стойкость базируется на задаче декодирования случайного линейного кода, что делает ее устойчивой к атакам с использованием квантовых компьютеров. Дополнительные детали о ее конкретных параметрах и стадии стандартизации на текущий момент находятся в процессе исследований. Адаптация подобных схем к пороговым протоколам представляет собой сложную, но важную задачу для обеспечения долгосрочной безопасности российских информационных систем.

Разработка постквантовых пороговых схем подписи — это активно развивающаяся область, которая требует значительных исследований в области криптографии, теории чисел и компьютерных наук для обеспечения безопасности будущего цифрового мира.

Безопасность, Уязвимости и Сравнительный Анализ Пороговых Подписей

Вопросы безопасности всегда были центральными в криптографии, и цифровые подписи не являются исключением. Пороговые схемы, будучи развитием традиционных подходов, предлагают новый уровень защиты, но при этом не лишены собственных вызовов и уязвимостей. Понимание этих аспектов, а также проведение сравнительного анализа, позволяет оценить истинную ценность и применимость TSS в современном мире.

Угрозы безопасности закрытого ключа

В любой криптосистеме цифровой подписи закрытый ключ является наиболее уязвимым компонентом и одновременно самым ценным активом. Его компрометация — это катастрофа для всей системы, поскольку она позволяет злоумышленнику создать действительную цифровую подпись любого электронного документа от имени владельца, полностью имитируя его действия. Это может привести к несанкционированным финансовым транзакциям, изменению юридически значимых документов, подделке личности и другим серьезным последствиям.

Безопасность электронной подписи, таким образом, зависит от трех взаимосвязанных факторов:

1. Свойства закрытого ключа: Сам по себе ключ должен быть криптографически стойким (достаточно длинным, случайным, сгенерированным по надежному алгоритму).
2. Функциональные возможности ключевого носителя: Место хранения закрытого ключа играет решающую роль. Текстовый файл на компьютере или в облаке — это минимальный уровень защиты.
3. Ответственное хранение: Человеческий фактор и организационные меры безопасности (контроль доступа, резервное копирование, процедуры реагирования на инциденты) также критически важны.

Для обеспечения максимальной защищенности закрытого ключа используются неэкспортируемые закрытые ключи. Это означает, что закрытый ключ генерируется и хранится в специальной, защищенной среде, которая физически или аппаратно предотвращает его извлечение и копирование. Если закрытый ключ не может быть скопирован стандартными средствами криптографической защиты информации (СКЗИ), он значительно снижает риски компрометации.

Для обеспечения неизвлекаемости закрытого ключа используются только активные ключевые носители, содержащие аппаратно реализованные функции СКЗИ. К таким носителям относятся:

• Токены (USB-ключи): Компактные устройства, подключаемые к компьютеру, которые содержат защищенный чип для хранения ключа и выполнения криптографических операций.
• Смарт-карты: Похожи на токены, но имеют форм-фактор банковской карты, требуют считывателя.
• HSM (Hardware Security Module): Аппаратные криптографические модули — это высокозащищенные физические устройства, предназначенные для хранения и управления цифровыми ключами, а также для выполнения криптографических операций. HSM обеспечивают наивысший уровень защиты, поскольку они физически предотвращают извлечение ключа, имеют защиту от несанкционированного доступа (тампероустойчивость) и выполняют криптографические операции внутри своей защищенной среды, не допуская ключ к открытому доступу даже во время использования.

Применение таких аппаратных решений значительно повышает общую безопасность криптосистемы, делая закрытый ключ гораздо более устойчивым к логическим и физическим атакам.

Известные уязвимости в классических схемах (на примере RSA)

Несмотря на свою проверенную временем надежность, классические криптографические схемы, такие как RSA, могут иметь специфические уязвимости, которые необходимо учитывать при их проектировании и использовании. Одна из таких уязвимостей в схеме RSA связана со свойством мультипликативности, которое может быть использовано злоумышленником для генерации новых подписей без доступа к закрытому ключу.

Уязвимость в RSA, основанная на мультипликативности:
В схеме RSA, если злоумышленник имеет две действительные подписи S₁ и S₂ для двух сообщений M₁ и M₂, он может вычислить подпись S₃ для нового сообщения M₃, которое является произведением M₁ и M₂ по модулю N.

Математически это выглядит так:

1. У нас есть две подписи:
   • S₁ = h(M₁)^d (mod N)
   • S₂ = h(M₂)^d (mod N)

   где h(M) — хеш сообщения, d — секретный ключ, N — модуль RSA.

2. Злоумышленник хочет получить подпись для M₃, где h(M₃) = h(M₁) ⋅ h(M₂) (mod N).
   Он может вычислить S₃ следующим образом:
   S₃ = S₁ ⋅ S₂ (mod N)
3. Почему это работает?
   S₁ ⋅ S₂ = (h(M₁)^d) ⋅ (h(M₂)^d) (mod N)
   S₁ ⋅ S₂ = (h(M₁) ⋅ h(M₂))^d (mod N)
   А поскольку h(M₃) = h(M₁) ⋅ h(M₂) (mod N), то
   S₃ = h(M₃)^d (mod N)

Таким образом, злоумышленник может создать действительную подпись S₃ для M₃ (сообщения, которое, возможно, никогда не было подписано владельцем ключа), даже не зная секретного ключа d.

Последствия и контрмеры:
Эта уязвимость не позволяет злоумышленнику подписывать произвольные сообщения, но она дает ему возможность генерировать подписи для сообщений, которые являются комбинациями уже подписанных. Это может быть проблемой, например, в системах, где подписи используются для авторизации операций или утверждения документов.

Для предотвращения этой атаки в реальных реализациях RSA-подписей всегда используется хеширование сообщения перед подписью, причем хеш-функция должна быть криптографически стойкой. Кроме того, применяются схемы набивки (padding), такие как PKCS#1 v1.5 или PSS (Probabilistic Signature Scheme). Эти схемы добавляют случайную или структурированную информацию к хешу сообщения перед его возведением в степень d. Это нарушает мультипликативное свойство, поскольку padding(h(M₁)) ⋅ padding(h(M₂)) не равно padding(h(M₁) ⋅ h(M₂)). Благодаря использованию современных схем набивки и надежных хеш-функций, эта мультипликативная уязвимость RSA фактически нейтрализована в современных системах.

Тем не менее, этот пример наглядно демонстрирует, что даже в широко используемых и казалось бы надежных алгоритмах могут скрываться тонкие уязвимости, требующие глубокого анализа и применения дополнительных защитных механизмов.

Преимущества пороговых схем электронной подписи

Пороговые схемы электронной подписи (TSS) представляют собой значительный шаг вперед по сравнению с классическими схемами, предлагая ряд критически важных преимуществ, особенно в контексте современных распределенных и децентрализованных систем.

• Повышенная безопасность за счет распределения секрета: Это фундаментальное преимущество. Вместо того чтобы хранить весь секретный ключ в одном месте, TSS делит его на фрагменты и распределяет между n участниками. Для компрометации всей системы злоумышленнику необходимо скомпрометировать не менее t участников. Это значительно снижает риски, связанные с единой точкой отказа. Если один или несколько участников (но менее t) будут скомпрометированы, секрет останется в безопасности, поскольку оставшихся фрагментов будет недостаточно для его восстановления.
• Обеспечение отказоустойчивости: Система, использующая пороговую подпись, продолжает функционировать, даже если часть участников (менее t) недоступна, неисправна или недобросовестна. Это критически важно для высокодоступных систем, где непрерывность работы является приоритетом. Например, в банковской системе, если один сервер выйдет из строя, но другие продолжат работать, система подписи не будет парализована.
• Снижение затрат и увеличение пропускной способности в блокчейнах:
  Пороговая подпись, особенно при использовании алгоритмов с линейными свойствами, таких как Шнорр, позволяет формировать одну транзакцию, требующую меньших затрат на добавление в блокчейн по сравнению с традиционной мультиподписью (multisig).
  • Пример: В случае агрегации подписей Шнорра (которая произошла в Bitcoin с обновлением Taproot), несколько частичных подписей от разных участников могут быть объединены в одну единственную подпись. Эта агрегированная подпись занимает значительно меньше места в блоке блокчейна по сравнению с мультиподписью, где каждая подпись добавляется отдельно.
  • Экономия: Меньший размер транзакции означает снижение комиссий (gas fees) для пользователя и увеличение пропускной способности сети, поскольку в каждый блок помещается больше транзакций. Например, агрегация подписей Шнорра может сократить объем данных транзакции до 30-70% по сравнению с обычными мультиподписями, что напрямую влияет на экономическую эффективность и масштабируемость децентрализованных приложений.
• Необязательность присутствия всех подписантов: Для формирования пороговой подписи необязательно присутствие всех n подписантов; достаточно порогового числа t. Это упрощает управление групповыми подписями, особенно когда участники находятся в разных часовых поясах или имеют разные графики доступности. Это делает процесс более гибким и менее зависимым от индивидуальной доступности каждого члена группы.
• Улучшенное управление ключами для организаций: В корпоративной среде TSS позволяет создать механизмы, где критически важные решения (например, перевод крупных сумм, утверждение важных контрактов) требуют согласия нескольких руководителей или отделов, вместо того чтобы полагаться на одного человека. Это соответствует принципам корпоративного управления и снижает риски внутреннего мошенничества или злоупотребления полномочиями.

Эти преимущества делают пороговые цифровые подписи мощным инструментом для построения надежных, безопасных и эффективных криптографических систем в самых разных областях.

Недостатки и риски пороговых схем

Несмотря на значительные преимущества, пороговые схемы электронной подписи (TSS) не лишены своих недостатков и сопряжены с определенными рисками, которые необходимо тщательно учитывать при их проектировании и внедрении.

• Сложность реализации протоколов: Технология пороговой подписи (TSS) активно развивается с конца 1980-х годов, но ее широкое практическое внедрение, особенно в децентрализованных системах, началось относительно недавно, примерно в середине 2010-х годов. Эта задержка обусловлена, в первую очередь,inherent сложностью реализации. Протоколы TSS гораздо сложнее традиционных схем подписи, поскольку они требуют интерактивного взаимодействия между несколькими сторонами. Это включает в себя:
  • Безопасные многосторонние вычисления (MPC): Протоколы должны обеспечивать, чтобы каждый участник мог внести свой вклад в вычисление подписи, не раскрывая свой фрагмент ключа другим. Это требует использования сложных криптографических примитивов и доказательств с нулевым разглашением.
  • Управление состоянием: В отличие от односторонних подписей, где процесс может быть stateless, TSS требует поддержания состояния и координации между участниками на протяжении всего процесса генерации ключей и подписания.
• Требование к синхронизации участников: Для успешного выполнения протокола пороговой подписи участники должны быть онлайн и иметь возможность взаимодействовать в определенные моменты времени. Это может быть проблемой в распределенных системах с высокой латентностью или нестабильным сетевым соединением. Задержки или отсутствие ответа от одного или нескольких участников могут замедлить или даже сорвать процесс подписания, если пороговое значение t не будет достигнуто.
• Потенциальные атаки на уровне протокола: Сложность протоколов TSS открывает новые векторы атак, не свойственные традиционным подписям. Злоумышленник может попытаться:
  • Атаки на доступность: Путем блокирования связи с некоторыми участниками, чтобы предотвратить достижение порогового значения.
  • Атаки на честность: Если злоумышленник контролирует t или более участников, он может скомпрометировать весь секрет и подписывать произвольные сообщения.
  • Атаки на «ленивых» участников: Некоторые протоколы могут быть уязвимы, если участники недобросовестно выполняют свои вычисления, но делают это таким образом, что это трудно обнаружить без дополнительных проверок.
• Необходимость обеспечения конфиденциальности и целостности обмена фрагментами ключа: Хотя сам закрытый ключ не раскрывается, процесс его распределения и обмена промежуточными данными между участниками должен быть защищен. Если злоумышленник может перехватить или модифицировать эти фрагменты во время генерации или подписания, это может привести к компрометации или нарушению целостности системы. Это требует использования защищенных каналов связи и протоколов с проверкой целостности.
• Более высокие вычислительные и коммуникационные издержки: Интерактивные протоколы TSS, как правило, требуют большего количества вычислительных операций и сетевого трафика по сравнению с одиночными подписями. Это может быть проблемой для ресурсоограниченных устройств или систем с высокой пропускной способностью.

Эти ограничения подчеркивают, что внедрение пороговых схем требует тщательного планирования, глубокого понимания криптографических протоколов и адекватных мер по управлению рисками. Однако преимущества, связанные с безопасностью и отказоустойчивостью, часто перевешивают эти сложности, особенно в критически важных приложениях.

Области Применения и Перспективы Развития Пороговых Подписей

Пороговые цифровые подписи, благодаря своим уникальным свойствам распределенной безопасности и отказоустойчивости, открывают новые горизонты для обеспечения доверия в самых разных цифровых средах. От защиты финансовых активов до формирования консенсуса в децентрализованных сетях — TSS становятся ключевым элементом инфраструктуры будущего.

Применение в финансовых транзакциях и блокчейн-технологиях

В мире финансов и блокчейн-технологий, где безопасность и неизменность данных имеют первостепенное значение, пороговые подписи находят наиболее широкое и критически важное применение.

• Аутентификация финансовых транзакций в криптовалютах:
  Пороговые подписи идеально подходят для управления крупными объемами криптовалют, принадлежащих биржам, фондам или институциональным инвесторам. Вмес��о одного горячего кошелька, контролируемого одним ключом (что является огромным риском), TSS позволяет распределить контроль над средствами. Например, для вывода значительной суммы может потребоваться подпись от 3 из 5 директоров, или 7 из 10 хранителей ключей. Это существенно повышает безопасность, предотвращая как внешние атаки, так и внутренние злоупотребления одним лицом.
• Подписание сетевого консенсуса:
  В некоторых блокчейн-протоколах, особенно тех, что используют механизмы консенсуса Proof-of-Stake или другие формы делегированного управления, пороговые подписи могут использоваться для коллективного подтверждения блоков или принятия важных решений в сети. Например, группа валидаторов может совместно подписать новый блок, если пороговое количество валидаторов достигло согласия.
• Подписание смарт-контрактов в блокчейн-структурах (например, Ethereum):
  Смарт-контракты часто управляют значительными активами или реализуют сложные бизнес-логики. Для их активации, изменения или выполнения критически важных функций может потребоваться мультиподпись или пороговая подпись. TSS позволяет создать такие смарт-контракты, где определенные действия могут быть выполнены только при наличии коллективного одобрения, например, «электронный кошелек, которым владеют 5 человек, и для любого перевода с которого требуются подписи минимум 3-х владельцев». Это обеспечивает более высокий уровень контроля и безопасности для децентрализованных приложений (DeFi).
• Проектирование систем управления ключами для DeFi и криптокошельков:
  Пороговые подписи могут радикально повлиять на проектирование систем управления ключами, таких как криптокошельки. Они прокладывают путь к встроенной поддержке различных реализаций децентрализованных финансов (DeFi), где пользователи хотят иметь больший контроль и гибкость над своими активами, не полагаясь на одну централизованную сторону. Кошельки на основе TSS могут предлагать улучшенную модель безопасности, где потеря одного устройства или компрометация одного фрагмента ключа не приводит к потере всех средств.

В целом, пороговые подписи являются мощным инструментом для децентрализации доверия, повышения безопасности и отказоустойчивости в критически важных финансовых и блокчейн-системах, способствуя их дальнейшему развитию и массовому принятию.

Защита данных и критической инфраструктуры

Помимо финансового сектора и блокчейн-технологий, пороговые подписи имеют значительный потенциал для усиления безопасности в более широком спектре систем, включая защиту конфиденциальных данных и обеспечение стабильности критической инфраструктуры.

• Обеспечение безопасности информации, хранимой в системах данных:
  В корпоративных системах управления базами данных, облачных хранилищах или архивах конфиденциальной информации пороговые подписи могут использоваться для защиты доступа к особо чувствительным данным. Например, для дешифрования критически важного файла или для доступа к центральному хранилищу ключей может потребоваться согласованное действие нескольких администраторов или сотрудников службы безопасности. Это позволяет избежать ситуации, когда один скомпрометированный аккаунт или недобросовестный инсайдер может получить полный доступ к наиболее ценным активам компании. Пороговые подписи здесь выступают как механизм коллективного контроля и верификации.
• Надежное хранение секретного ключа и прочтение сообщения, зашифрованного открытым ключом:
  На практике пороговые подписи полезны для надежного хранения главного секретного ключа системы, который может использоваться для шифрования данных. Если этот ключ распределен между n серверами или сотрудниками с порогом t, то для его использования (например, для дешифрования критически важного сообщения, зашифрованного соответствующим открытым ключом) потребуется объединение усилий как минимум t членов группы. Это обеспечивает высокий уровень защиты от потери ключа (отказоустойчивость) и от несанкционированного доступа (безопасность), поскольку ни один отдельный субъект не может единолично расшифровать данные.
  • Пример: В случае центра сертификации (ЦС), который выпускает цифровые сертификаты, его корневой ключ является самым важным активом. Хранение такого ключа в пороговой схеме означает, что выпуск нового корневого сертификата или отзыв большого числа сертификатов потребует одобрения группы уполномоченных лиц, а не одного администратора, что значительно повышает доверие и безопасность всей инфраструктуры открытых ключей (PKI).
• Защита критической инфраструктуры:
  В таких областях, как энергетические сети, системы водоснабжения, телекоммуникации или транспортные системы, сбои или несанкционированные действия могут иметь катастрофические последствия. Пороговые подписи могут быть внедрены для авторизации критических команд, доступа к управляющим системам или обновления программного обеспечения. Например, запуск аварийного протокола или изменение конфигурации важного оборудования может потребовать подтверждения от нескольких операторов или инженеров, что снижает риск ошибок или злонамеренных действий.

Таким образом, TSS предоставляют мощный механизм для построения многоуровневых систем безопасности, где доверие распределено, а критически важные операции требуют коллективного одобрения, что значительно повышает общую устойчивость и надежность систем.

Влияние квантовых вычислений на криптографию

Современная криптография, обеспечивающая безопасность наших онлайн-коммуникаций, финансовых транзакций и данных, в значительной степени опирается на математические задачи, которые считаются трудноразрешимыми для классических компьютеров. Однако, появление достаточно мощных квантовых компьютеров ставит под угрозу большинство традиционных криптографических алгоритмов, включая фундаменты асимметричной криптографии.

Угроза для традиционных алгоритмов:

• RSA: Безопасность RSA основана на сложности факторизации больших составных чисел. Алгоритм Шора, разработанный для квантовых компьютеров, способен эффективно решать эту задачу за полиномиальное время, что делает RSA полностью уязвимым.
• DSA (Digital Signature Algorithm) и ECDSA (Elliptic Curve Digital Signature Algorithm): Безопасность этих алгоритмов базируется на сложности задачи дискретного логарифмирования (для DSA) и задачи дискретного логарифмирования на эллиптических кривых (для ECDSA). Алгоритм Шора также способен эффективно решать эти задачи, что делает DSA и ECDSA уязвимыми для квантовых атак.

Последствия:
Если будет создан достаточно мощный квантовый компьютер, способный реализовать алгоритм Шора, это приведет к следующим катастрофическим последствиям:

• Компрометация всех существующих цифровых подписей: Подписи, созданные с помощью RSA, DSA и ECDSA, могут быть подделаны, что уничтожит доверие к юридически значимым электронным документам, финансовым транзакциям и сертификатам безопасности.
• Расшифровка зашифрованных данных: Все данные, зашифрованные с использованием асимметричных ключей (например, TLS/SSL соединения, защищенные каналы связи), могут быть расшифрованы.
• Нарушение работы инфраструктуры открытых ключей (PKI): Ключевые сертификаты, являющиеся основой PKI, станут бесполезными, что подорвет всю систему доверия в интернете.

Необходимость перехода на постквантовые решения:
Учитывая эту угрозу, криптографическое сообщество активно разрабатывает и стандартизирует постквантовые криптографические схемы (PQC). Эти схемы основаны на принципиально других математических задачах, которые, как предполагается, останутся вычислительно сложными даже для квантовых процессоров. К таким задачам относятся:

• Задачи на решетках (Lattice-based cryptography).
• Задачи на кодах (Code-based cryptography).
• Задачи на многомерных полиномиальных системах (Multivariate cryptography).
• Задачи на основе хеш-функций (Hash-based cryptography).

Переход на постквантовые алгоритмы — это глобальная задача, требующая значительных усилий в исследованиях, стандартизации, разработке и внедрении. Он должен быть реализован задолго до того, как появится достаточно мощный квантовый компьютер, чтобы избежать «криптографической зимы», когда вся цифровая безопасность будет подорвана. В этом контексте разработка постквантовых пороговых схем подписи становится не просто академическим интересом, а критической необходимостью для обеспечения долгосрочной безопасности распределенных систем.

Развитие постквантовых пороговых схем

В условиях грядущей угрозы со стороны квантовых компьютеров, развитие постквантовых пороговых схем подписи становится одним из наиболее приоритетных направлений в криптографии. Хотя концепция пороговых схем уже зарекомендовала себя как мощный инструмент для распределенной безопасности, адаптация ее к постквантовым алгоритмам представляет собой значительные вызовы.

На сегодняшний день не существует общепринятых и стандартизированных полноценных постквантовых схем пороговой подписи, хотя ведутся активные исследования в этой области. Основные сложности заключаются в нескольких аспектах:

1. Адаптация примитивов: Необходимо адаптировать существующие постквантовые примитивы (например, на основе решеток или хеш-функций) к пороговым схемам. Это часто требует разработки новых интерактивных протоколов, которые сохраняют свойства безопасности PQC, но при этом обеспечивают коллективное формирование подписи.
2. Интерактивность протоколов: Многие постквантовые схемы являются более сложными с точки зрения интерактивности по сравнению с ECDSA или Schnorr, что затрудняет их распределение между несколькими сторонами. Требуются эффективные протоколы безопасных многосторонних вычислений (MPC), которые минимизируют коммуникационные издержки и сохраняют безопасность даже при наличии недобросовестных участников.
3. Размер ключей и подписей: Некоторые постквантовые алгоритмы имеют значительно больший размер ключей и подписей по сравнению с классическими. В контексте пороговых схем это может привести к еще большему объему данных, передаваемых между участниками, и увеличению нагрузки на хранилище.
4. Доказательства безопасности: Для новых постквантовых пороговых схем требуется разработка строгих доказательств безопасности, которые учитывают специфику как пороговой архитектуры, так и квантовых угроз.

Российские разработки:
В России также ведутся активные работы по созданию постквантовых электронных подписей. Одним из ярких примеров является разработка подписи «Шиповник».

• Принцип стойкости: Стойкость «Шиповника» базируется на задаче декодирования случайного линейного кода, что делает ее устойчивой к атакам с использованием квантовых компьютеров. Кодовая криптография является одним из основных направлений постквантовой криптографии.
• Стадия исследований: Российская постквантовая электронная подпись «Шиповник» является одной из разработок в области постквантовой криптографии. Дополнительные детали о ее конкретных параметрах и стадии стандартизации на текущий момент находятся в процессе исследований. Адаптация подобных алгоритмов к пороговым схемам — это сложная, но крайне важная задача для обеспечения долгосрочной информационной безопасности национальных систем.

Интеграция подписей Шнорра в современные системы

Схема подписи Шнорра, благодаря своим уникальным свойствам, таким как компактность и агрегируемость, становится всё более востребованной в современных распределенных системах, особенно в блокчейн-технологиях. Ее интеграция в ключевые протоколы свидетельствует о значимости для будущего цифровой безопасности.

Выбор Шнорра для Биткоина:
Схема Шнорра уже была выбрана в качестве стандарта цифровой подписи для биткоина, что является знаковым событием для всей криптоиндустрии. Ее внедрение произошло в ноябре 2021 года в рамках масштабного обновления протокола под названием Taproot, на высоте блока #709632.

Влияние Taproot и подписей Шнорра:
Интеграция подписей Шнорра в протокол Bitcoin принесла несколько ключевых преимуществ:

• Повышение приватности: Линейные свойства Шнорра позволяют скрывать сложность мультиподписей и других скриптов. Для внешнего наблюдателя мультиподпись Шнорра выглядит как обычная одиночная подпись. Это означает, что сложные транзакции (например, с несколькими участниками или со смарт-контрактами) становятся неотличимы от простых транзакций, что значительно повышает приватность пользователей.
• Увеличение эффективности транзакций: Линейные свойства агрегации подписей Шнорра позволяют объединять несколько подписей, сделанных разными участниками одной транзакции, в одну единственную. Это упрощает транзакции и значительно снижает нагрузку на данные в блокчейне. Вместо того чтобы записывать несколько отдельных подписей в транзакцию, в блокчейн добавляется всего одна агрегированная подпись.
• Снижение размера транзакций и комиссий: Сокращение объема данных, необходимого для хранения подписей, приводит к уменьшению общего размера транзакции. Это может сократить объем данных транзакции до 30-70% по сравнению с обычными мультиподписями на основе ECDSA, увеличивая скорость и эффективность обработки транзакций. Меньший размер транзакции означает меньшую плату за транзакцию (комиссии), что выгодно для пользователей и способствует масштабированию сети.
• Гибкость скриптов: Taproot, использующий подписи Шнорра, позволяет создавать более сложные и гибкие смарт-контракты и скрипты, чем это было возможно ранее в Bitcoin, при этом сохраняя их приватность и эффективность.

Распространение на другие криптовалюты и блокчейн-проекты:
Успешная интеграция подписей Шнорра в Bitcoin задала прецедент и, вероятно, ее использование будет распространяться на другие криптовалюты и блокчейн-проекты. Многие децентрализованные сети сталкиваются с проблемами масштабируемости и приватности, и линейные свойства Шнорра предлагают эффективное решение этих задач, особенно в контексте пороговых схем и мультиподписей. Это способствует дальнейшему развитию децентрализованных финансов (DeFi) и других блокчейн-приложений, требующих безопасного и эффективного коллективного управления активами.

Нормативно-Правовая База Российской Федерации в Области Электронных Подписей

Любая технология, претендующая на юридическую значимость, должна быть инкорпорирована в правовое поле. В Российской Федерации использование электронных подписей регулируется рядом законодательных актов и стандартов, которые определяют их виды, порядок применения и юридическую силу. Понимание этой базы критически важно для оценки перспектив и условий внедрения пороговых цифровых подписей в российский электронный документооборот.

Федеральный закон № 63-ФЗ «Об электронной подписи»

Ключевым законодательным актом, регулирующим использование электронных подписей в Российской Федерации, является Федеральный закон РФ от 06.04.2011 № 63-ФЗ «Об электронной подписи». Этот закон стал фундаментом для легализации и широкого внедрения электронного документооборота в стране.

Цель и предмет регулирования:
Закон № 63-ФЗ регулирует отношения в области использования электронных подписей при совершении:

• гражданско-правовых сделок;
• оказании государственных и муниципальных услуг;
• исполнении государственных и муниципальных функций;
• а также при совершении иных юридически значимых действий.

Основная задача закона — создать правовые условия для использования электронных документов, подписанных ЭП, наравне с документами на бумажном носителе, подписанными собственноручной подписью. Это достигается путем установления требований к электронным подписям, их сертификатам, а также к удостоверяющим центрам, которые их выдают.

Основные положения:
Закон определяет базовые понятия, такие как «электронная подпись», «ключ электронной подписи», «ключ проверки электронной подписи», «сертификат ключа проверки электронной подписи» и «удостоверяющий центр». Он устанавливает принципы использования ЭП, требования к ее функциям и сфере применения.

Значимость для пороговых подписей:
Хотя Закон № 63-ФЗ напрямую не упоминает «пороговые» подписи, он закладывает основу для их потенциального использования. Любая пороговая схема, для того чтобы быть признанной юридически значимой в РФ, должна соответствовать критериям одного из видов электронной подписи, определенных этим законом. Это означает, что пороговые подписи должны быть способны обеспечить идентификацию подписавшего лица и целостность электронного документа в соответствии с требованиями закона. Адаптация или интерпретация существующих положений для TSS является одним из ключевых вопросов при их внедрении.

Виды электронных подписей и их юридическая сила

Федеральный закон № 63-ФЗ «Об электронной подписи» четко классифицирует три вида электронных подписей, каждый из которых обладает своим уровнем юридической силы и требованиями к созданию и проверке. Эта классификация имеет решающее значение для определения применимости пороговых схем.

1. Простая электронная подпись (ПЭП):
   • Характеристики: Представляет собой информацию в электронной форме, которая посредством использования кодов, паролей или иных средств подтверждает факт формирования электронной подписи определенным лицом. Примерами могут служить логин/пароль для доступа к аккаунту или код из СМС для подтверждения операции.
   • Юридическая сила: ПЭП признается равнозначной собственноручной подписи в случаях, установленных федеральными законами, принимаемыми в соответствии с ними нормативными правовыми актами или соглашением между участниками электронного взаимодействия. Для придания юридической силы ПЭП всегда требуется дополнительное соглашение или законодательное закрепление.
   • Ограничения: Не обладает свойством обнаружения факта внесения изменений в электронный документ после его подписания.
2. Усиленная неквалифицированная электронная подпись (НЭП):
   • Характеристики:
     • Получена в результате криптографического преобразования информации с использованием ключа электронной подписи.
     • Позволяет определить подписавшее лицо.
     • Позволяет обнаружить факт внесения изменений в электронный документ после подписания.
     • Создается с использованием средств электронной подписи.
   • Юридическая сила: НЭП признается равнозначной собственноручной подписи документа на бумажном носителе, если это предусмотрено соглашением между участниками электронного взаимодействия. В некоторых случаях, определенных законодательством, НЭП может иметь юридическую силу без такого соглашения (например, для определенных государственных услуг).
   • Отличие от ПЭП: Главное отличие — криптографическая защита, обеспечивающая целостность документа.
3. Усиленная квалифицированная электронная подпись (КЭП):
   • Характеристики: Соответствует всем признакам неквалифицированной ЭП, но имеет дополнительные строгие требования:
     • Ключ проверки электронной подписи указан в квалифицированном сертификате, выдаваемом аккредитованным удостоверяющим центром.
     • Для создания и проверки используются средства электронной подписи, имеющие подтверждение соответствия требованиям, установленным ФЗ-63 и другими нормативными актами (например, сертифицированные ФСБ России или ФСТЭК России).
   • Юридическая сила: КЭП придает электронному документу юридическую силу, равнозначную документу на бумажном носителе, подписанному собственноручной подписью, без каких-либо дополнительных условий или соглашений, если иное не установлено федеральными законами. Это самый высокий уровень юридической значимости.

Применимость к пороговым схемам:
Для того чтобы пороговая цифровая подпись могла быть юридически признанной в РФ, она должна быть реализована таким образом, чтобы соответствовать требованиям либо НЭП, либо КЭП. Это означает, что:

• Она должна использовать криптографические преобразования, способные определить группу подписантов (или коллективного подписанта) и обеспечить целостность документа.
• Если пороговая подпись будет использоваться как НЭП, потребуется заключение соглашения между сторонами о ее юридической силе.
• Если пороговая подпись претендует на статус КЭП, то должны быть выполнены все требования к квалифицированным сертификатам и сертифицированным средствам электронной подписи, что является значительно более сложной задачей, требующей адаптации законодательства и стандартов.

Таким образом, классификация видов ЭП в РФ является ключевым фактором, определяющим возможности и ограничения для практического применения пороговых схем.

Российские криптографические стандарты (ГОСТы)

В Российской Федерации разработка и применение криптографических алгоритмов строго регулируются национальными стандартами, известными как ГОСТы. Эти стандарты обеспечивают высокий уровень безопасности и интероперабельности криптографических средств, используемых в государственных и коммерческих информационных системах.

• ГОСТ Р 34.10-2012 «Информационная технология. Криптографическая защита информации. Процессы формирования и проверки электронной цифровой подписи»:
  Этот стандарт является одним из основных документов, регламентирующих алгоритмы формирования и проверки электронной цифровой подписи в России. Он описывает алгоритмы, основанные на использовании эллиптических кривых. В его основе лежит задача дискретного логарифмирования в группе точек эллиптической кривой. Данный ГОСТ определяет:
  • Параметры эллиптических кривых, рекомендованные для использования.
  • Процедуры генерации ключей.
  • Алгоритмы формирования самой подписи.
  • Алгоритмы проверки подписи.

  Применение этого ГОСТа является обязательным для всех средств криптографической защиты информации, используемых в государственных информационных системах и для создания квалифицированной электронной подписи.

• ГОСТ 34.10-2018 (Межгосударственный стандарт):
  С 1 июня 2019 года действует новый межгосударственный криптографический стандарт ГОСТ 34.10-2018, который является развитием ГОСТ Р 34.10-2012. Он также описывает алгоритмы формирования и проверки электронной цифровой подписи с использованием операций в группе точек эллиптической кривой. Основные отличия и усовершенствования ГОСТ 34.10-2018 по сравнению с предшественником включают:
  • Увеличение стойкости: Добавлены новые параметры кривых, обеспечивающие более высокий уровень криптографической стойкости (например, 256-битные и 512-битные кривые).
  • Новые режимы работы: Введены дополнительные режимы формирования и проверки подписи, что расширяет возможности применения.
  • Актуализация требований: Стандарт приведен в соответствие с современными требованиями к криптографической защите информации и учитывает международные тенденции в области эллиптических кривых.

Значение ГОСТов для пороговых подписей:
Для того чтобы пороговая цифровая подпись могла быть признана юридически значимой в российском правовом поле, ее криптографическая основа должна соответствовать действующим ГОСТам. Это означает, что:

• Разработчики пороговых схем для российского рынка должны адаптировать свои протоколы таким образом, чтобы они использовали криптографические примитивы, соответствующие ГОСТ 34.10-2012 или ГОСТ 34.10-2018.
• Интерактивные протоколы пороговой подписи должны быть разработаны с учетом математических свойств эллиптических кривых, определенных в этих стандартах.
• Средства электронной подписи, реализующие пороговые схемы, должны пройти процедуру сертификации в ФСБ России или ФСТЭК России на соответствие требованиям этих ГОСТов.

Строгое следование национальным криптографическим стандартам является обязательным условием для обеспечения доверия и безопасности в российской информационной инфраструктуре и критически важным для легального внедрения пороговых цифровых подписей.

Переход на отечественные криптографические алгоритмы

В Российской Федерации проводится последовательная политика по переходу на использование отечественных криптографических алгоритмов и стандартов. Этот процесс направлен на повышение суверенитета в сфере информационной безопасности и снижение зависимости от зарубежных технологий, которые могут иметь недекларированные возможности или быть уязвимыми для атак со стороны иностранных спецслужб.

Одним из наиболее значимых шагов в этом направлении стал поэтапный отказ от использования алгоритма RSA в государственных и критически важных информационных системах, взаимодействующих с Единой системой идентификации и аутентификации (ЕСИА).

• Начало блокировки RSA-сертификатов:
  С 1 апреля 2020 года началась блокировка RSA-сертификатов информационных систем, взаимодействующих с Единой системой идентификации и аутентификации (ЕСИА). Это решение было принято в рамках стратегического перехода на использование российских криптографических алгоритмов, в частности, на ГОСТ Р 34.10-2012.
• Причины перехода:
  • Национальная безопасность: Обеспечение криптографического суверенитета, то есть способности государства контролировать и гарантировать безопасность своих информационных систем без зависимости от зарубежных разработчиков и стандартов.
  • Стандартизация: Консолидация использования единых, проверенных и сертифицированных отечественных криптографических стандартов.
  • Повышение доверия: Уверенность в отсутствии «закладок» и скрытых уязвимостей, которые могут быть присутствовать в зарубежных алгоритмах.
• Последствия для разработчиков и пользователей:
  Для всех операторов информационных систем, которые взаимодействуют с ЕСИА и ранее использовали электронные подписи на базе RSA, стало обязательным перевести свои системы на использование криптографических алгоритмов, соответствующих ГОСТ Р 34.10-2012. Это повлекло за собой необходимость обновления программного обеспечения, перевыпуска сертификатов и перенастройки всей инфраструктуры электронного документооборота.

Значение для пороговых подписей:
Этот переход имеет прямое и существенное значение для внедрения пороговых цифровых подписей в России:

• Любые пороговые схемы, предназначенные для использования в государственных или регулируемых секторах, должны быть построены на базе российских криптографических алгоритмов, соответствующих ГОСТам (например, ГОСТ 34.10-2012 или 34.10-2018).
• Использование пороговых схем на базе зарубежных алгоритмов (например, RSA или даже некоторых реализаций ECDSA, если они не соответствуют ГОСТ) будет ограничено и, скорее всего, не сможет быть признано юридически значимым в рамках КЭП или НЭП в определенных сферах.
• Разработка пороговых схем на основе отечественных алгоритмов (например, адаптация ГОСТ 34.10-2018 к пороговой архитектуре) станет приоритетной задачей для российских криптографов и разработчиков.

Таким образом, политика перехода на отечественные криптографические стандарты формирует строгие рамки для всех новых криптографических технологий, включая пороговые цифровые подписи, и определяет направление их развития в России.

Перспективы и сложности внедрения пороговых схем в российскую нормативную базу

Внедрение пороговых цифровых подписей в российскую нормативно-правовую базу представляет собой сложную, но перспективную задачу. Хотя ФЗ № 63-ФЗ «Об электронной подписи» определяет общие рамки, он не содержит прямого упоминания или регулирования пороговых схем. Это создает как возможности для адаптации, так и определенные сложности.

Перспективы:

1. Повышенная безопасность и отказоустойчивость: Российское законодательство, как и мировое, стремится к максимальной защите информации и надежности систем. Пороговые подписи, предлагая распределенный контроль над ключами и отказоустойчивость, идеально вписываются в эту парадигму. Их внедрение могло бы значительно усилить безопасность критически важных государственных и корпоративных информационных систем.
2. Применение в новых технологиях: В условиях активного развития блокчейн-технологий, DeFi и распределенных реестров, пороговые подписи становятся незаменимым инструментом. Российская нормативная база, развиваясь вслед за технологиями, рано или поздно столкнется с необходимостью регулирования подобных решений.
3. Использование в мультисубъектных процессах: Пороговые подписи отлично подходят для процессов, где решение или действие требует одобрения нескольких сторон (например, коллегиальные органы, групповое управление активами). Это может быть востребовано в государственном управлении, корпоративном секторе и финансовой сфере.

Сложности и необходимые изменения:

1. Отсутствие прямого регулирования: Главная сложность заключается в том, что ФЗ № 63-ФЗ не предусматривает «коллективную» или «групповую» подпись в явном виде. Все виды ЭП (ПЭП, НЭП, КЭП) подразумевают, что подпись формируется одним конкретным физическим или юридическим лицом.
2. Идентификация подписанта: Для НЭП и КЭП критически важна возможность однозначного определения лица, подписавшего электронный документ. В пороговой схеме подпись формируется группой, но при этом она должна «представлять» либо коллектив, либо быть привязанной к некому «единому» юридическому лицу, от имени которого действует группа.
   • Вариант 1 (НЭП): Пороговая подпись может быть интерпретирована как НЭП при наличии соглашения между участниками о правилах ее использования. В таком соглашении должно быть четко прописано, что подпись, сформированная пороговой группой, признается сторонами как юридически значимая. Это наиболее простой путь, но он ограничивается рамками соглашения.
   • Вариант 2 (КЭП): Придание пороговой подписи статуса КЭП — гораздо более сложная задача. Потребуется:
     • Разработка новых ГОСТов: Необходимы криптографические стандарты, описывающие пороговые алгоритмы, построенные на отечественных криптографических примитивах (ГОСТ 34.10-2018).
     • Адаптация ФЗ № 63-ФЗ: Возможно, потребуется внесение изменений в закон, чтобы явно признать возможность существования «групповой» или «коллективной» КЭП, определить правила ее формирования, выдачи квалифицированных сертификатов для таких подписей и аккредитации удостоверяющих центров.
     • Сертификация средств: Средства создания и проверки пороговых квалифицированных подписей должны будут пройти строгую процедуру сертификации в ФСБ России или ФСТЭК России.
     • Проблема принадлежности сертификата: Кому выдавать квалифицированный сертификат? Группе лиц? Юридическому лицу, которое делегирует право подписи группе? Это требует четкого юридического определения.

Необходимые разъяснения и шаги:
Для более широкого юридически значимого применения пороговых схем в РФ могут потребоваться следующие шаги:

• Экспертные дискуссии: Проведение широких дискуссий с участием юристов, криптографов, представителей регуляторов (ФСБ, ФСТЭК, Минцифры) и бизнеса.
• Методические рекомендации: Разработка методических рекомендаций со стороны регуляторов, которые разъяснят, как существующая нормативная база может быть интерпретирована для использования пороговых подписей, например, в качестве НЭП в корпоративных системах.
• Инициативы по стандартизации: Стимулирование разработки национальных стандартов на пороговые криптографические алгоритмы, адаптированных под российские ГОСТы.
• Законодательные инициативы: В долгосрочной перспективе, возможно, потребуется внесение точечных изменений в Федеральный закон № 63-ФЗ для создания правового поля для квалифицированных пороговых подписей.

Внедрение пороговых цифровых подписей в российскую правовую систему — это процесс, который потребует совместных усилий законодателей, регуляторов и технических специалистов, но его результаты могут значительно повысить уровень безопасности и доверия в отечественной цифровой среде.

Заключение

Исследование пороговых цифровых подписей, проведенное в рамках данной дипломной работы, позволило всесторонне проанализировать их теоретические основы, алгоритмические реализации, аспекты безопасности, области практического применения и, что особенно важно, их место в контексте российской нормативно-правовой базы. Поставленная цель — всеобъемлющее изучение пороговых цифровых подписей — была успешно достигнута, а сформулированные задачи последовательно выполнены.

Мы проследили эволюцию криптографии от древнейших шифров до появления асимметричных систем и становления концепции пороговых схем, заложивших фундамент для современных распределенных систем подписи. Были даны четкие определения электронной подписи и пороговой схемы, а также раскрыта общая математическая модель, включающая проверяемое разделение секрета (Шамира, Фелдмана), выявление нарушителей и формирование подписи.

В работе детально рассмотрены ключевые алгоритмы реализации пороговых схем, такие как схема разделения секрета Шамира с ее совершенством и вычислительной эффективностью, алгоритм RSA в контексте цифровой подписи, схема Шнорра с ее компактностью и линейными свойствами, а также Threshold ECDSA, ставший стандартом в блокчейн-технологиях. Особое внимание было уделено перспективным постквантовым пороговым схемам, таким как Rainbow и решеточные схемы на основе LWR, подчеркивая актуальность этих разработок в условиях угрозы квантовых вычислений.

Анализ безопасности выявил критическую уязвимость закрытого ключа в традиционных схемах и преимущества пороговых решений в плане распределения секрета и повышения отказоустойчивости. Были рассмотрены известные уязвимости в классических схемах (на примере мультипликативности RSA) и способы их нейтрализации. Важно отметить, что пороговые схемы, снижая риск компрометации одного участника, привносят свои сложности, связанные с реализацией протоколов и синхронизацией участников.

Исследование областей применения показало, что пороговые подписи уже играют ключевую роль в финансовых транзакциях, криптовалютах, блокчейн-технологиях (например, интеграция подписей Шнорра в Bitcoin с обновлением Taproot), а также имеют огромный потенциал в защите данных и критической инфраструктуры. Актуальная проблема влияния квантовых компьютеров на криптографию и необходимость перехода на постквантовые решения была всесторонне освещена, включая российские разработки, такие как подпись «Шиповник».

Наконец, был проведен всесторонний анализ российской нормативно-правовой базы, регулирующей электронные подписи, в частности Федерального закона № 63-ФЗ и отечественных криптографических стандартов (ГОСТ Р 34.10-2012, ГОСТ 34.10-2018). Отдельно рассмотрен стратегический переход на российские криптографические алгоритмы и блокировка RSA-сертификатов. Обсуждены перспективы и сложности внедрения пороговых схем в российское законодательство, что является критически важным для их легитимизации и широкого применения.

Таким образом, пороговые цифровые подписи представляют собой мощный и развивающийся инструмент, способный значительно повысить безопасность и отказоустойчивость в современных информационных системах. Их потенциал в контексте постквантовой криптографии и российской правовой среды огромен, но требует дальнейших исследований, стандартизации и адаптации законодательства.

Возможные направления для дальнейших исследований:

• Разработка конкретных протоколов пороговых схем на основе российских ГОСТов (например, ГОСТ 34.10-2018) и их формальная верификация.
• Детальный анализ производительности и масштабируемости различных постквантовых пороговых схем в условиях реальных применений.
• Исследование юридических аспектов формирования «коллективной» или «групповой» квалифицированной электронной подписи в РФ и предложение законодательных инициатив.
• Разработка стандартов для аудита и сертификации аппаратных и программных решений, реализующих пороговые цифровые подписи.

Список использованной литературы

1. Десмедт, И., Франкель И. Threshold cryptosystems. Advances in Cryptology – Crypto – 89. Springer Verlag, LNCS # 293, 1990. pp. 307-315.
2. Десмедт, И., Франкель И. Shared generation of authenticators and signatures. Advances in Cryptology – Crypto – 91. Springer Verlag, 1991. pp. 457-469.
3. Десмедт И. Threshold cryptography. European Transactions on Telecommunications and Related Technologies. 1994. № 5(4). pp. 35-43.
4. Шамир А. A polynomial time algorithm for breaking the basic Merkle – Hellman Cryptosystem. Proceeding of the 23rd IEEE Symposium Found on Computer Science. 1982. pp. 142-152.
5. Шнорр К.П. Efficient identification and signature for smart cards. Advance in Cryptology – Crypto – 89. Springer-Verlag, LNCS # 435, 1990. pp. 239-251.
6. Петренко С.А., Курбатов В.А. Политики безопасности компании при работе в интернете. М.: ДМК Пресс, 2011. 311 с.
7. Стефанюк В.Л. Локальная организация интеллектуальных систем. М.: Наука, 2014. 574 c.
8. Якубайтис Э.А. Информационные сети и системы: Справочная книга. М.: Финансы и статистика, 2011. 232 с.
9. Разработка инфраструктуры сетевых служб Microsoft Windows Server 2008. Учебный курс MCSE. М.: Изд-во Русская редакция, 2009.
10. Сосински Б., Московиц Дж. Windows 2008 Server за 24 часа. М.: Издательский дом Вильямс, 2008.
11. NIST SP800-122 «Guide to Protecting the Confidentiality of Personally Identifiable Information (PII)», BS10012:2009 «Data protection – Specification for a personal information management system», ISO 25237:2008 «Health informatics – Pseudonymization».
12. Герасименко В.А., Малюк А.А. Основы защиты информации. СПб.: Питер, 2010. 320 с.
13. Гук М. Аппаратные средства локальных сетей. Энциклопедия. СПб.: Питер, 2010. 576 с.
14. Иопа Н.И. Информатика: (для технических специальностей): учебное пособие. Москва: КноРус, 2011. 469 с.
15. Акулов О.А., Медведев Н.В. Информатика. Базовый курс: учебник. Москва: Омега-Л, 2010. 557 с.
16. Лапонина О.Р. Основы сетевой безопасности: криптографические алгоритмы и протоколы взаимодействия. Интернет-университет информационных технологий — ИНТУИТ.ру, 2012.
17. Могилев А.В. Информатика: Учебное пособие для вузов. М.: Изд. центр «Академия», 2011.
18. Партыка Т.Л. Операционные системы и оболочки. М.: Форум, 2011.
19. Под ред. проф. Н.В. Макаровой. Информатика и ИКТ. СПб.: Питер, 2011.
20. Новиков Ю.В., Кондратенко С.В. Основы локальных сетей. Курс лекций. СПб.: Интуит, 2012. 360 с.
21. Ташков П.А. Защита компьютера на 100%. СПб.: Питер, 2011.
22. Хорев П.Б. Методы и средства защиты информации в компьютерных системах. М.: Академия, 2011. 256 с.
23. Хорев П.Б. Программно-аппаратная защита информации. М.: Форум, 2011. 352 с.
24. Шаньгин В.Ф. Комплексная защита информации в корпоративных системах. М.: Форум, Инфра-М, 2010. 592 с.
25. Гашков С.Б. Криптографические методы защиты информации. М.: Академия, 2010.
26. Корнеев И.К. Защита информации в офисе. М.: Проспект, 2010.
27. Бабенко Л.К. Защита данных геоинформационных систем. М.: Гелиос АРВ, 2010.
28. Степанова Е.Е. Информационное обеспечение управленческой деятельности. М.: ФОРУМ, 2010.
29. Фуфаев Д.Э. Разработка и эксплуатация автоматизированных информационных систем. М.: Академия, 2010.
30. РАЗРАБОТКА СХЕМЫ ПОРОГОВОЙ ПОДПИСИ НА ОСНОВЕ АЛГОРИТМА RAINBOW. URL: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=50359850 (дата обращения: 13.10.2025).
31. Электронные цифровые криптографические пороговые подписи. 2024. URL: https://ruscrypto.ru/wp-content/uploads/2024/03/Kurochkin-20240321.pdf (дата обращения: 13.10.2025).
32. Стандартная схема пороговой подписи. URL: https://habr.com/ru/companies/sbermarket/articles/678644/ (дата обращения: 13.10.2025).
33. СХЕМА ШНОРРА В КРИПТОГРАФИИ. URL: https://libeldoc.bsuir.by/bitstream/123456789/52715/1/393-396.pdf (дата обращения: 13.10.2025).
34. МЕТОД ШНОРРА В КРИПТОГРАФИИ. URL: https://libeldoc.bsuir.by/bitstream/123456789/53127/1/148-149.pdf (дата обращения: 13.10.2025).
35. Электронная цифровая подпись на основе схемы Шнорра. URL: https://libeldoc.bsuir.by/handle/123456789/42304 (дата обращения: 13.10.2025).
36. Что такое подписи Шнорра и как они используются в биткоине? URL: https://forklog.com/columns/chto-takoe-podpisi-shnorra-i-kak-oni-ispolzuyutsya-v-bitkoine (дата обращения: 13.10.2025).
37. О применении криптографических примитивов, реализующих пороговую подпись. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/o-primenenii-kriptograficheskih-primitivov-realizuyuschih-porogovuyu-podpis (дата обращения: 13.10.2025).
38. АНАЛИЗ КРИПТОГРАФИЧЕСКИХ СХЕМ РАЗДЕЛЕНИЯ СЕКРЕТА ДЛЯ РЕЗЕРВНОГО ХРАНЕНИЯ КЛЮЧЕВОЙ ИНФОРМАЦИИ. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/analiz-kriptograficheskih-shem-razdeleniya-sekreta-dlya-rezervnogo-hraneniya-klyuchevoy-informatsii (дата обращения: 13.10.2025).
39. Пороговая схема подписи на основе теории решёток и интерполяции Ньютона. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/porogovaya-shema-podpisi-na-osnove-teorii-reshetok-i-interpolyatsii-nyutona (дата обращения: 13.10.2025).
40. ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕХНОЛОГИИ КРИПТОГРАФИИ ДЛЯ СЕТЕВОЙ ИНФОРМАЦИОННОЙ БЕЗОПАСНОСТИ. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/issledovanie-tehnologii-kriptografii-dlya-setevoy-informatsionnoy-bezopasnosti (дата обращения: 13.10.2025).
41. ИСТОРИЯ КРИПТОГРАФИИ. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/istoriya-kriptografii (дата обращения: 13.10.2025).
42. С 1 апреля началась блокировка RSA-сертификатов информационных систем, взаимодействующих с ЕСИА. URL: https://digital.gov.ru/ru/events/39564/ (дата обращения: 13.10.2025).
43. ЕСИА переходит на использование электронных подписей по ГОСТ Р 34.10-2012. Использовать RSA с 1 апреля 2020 года будет нельзя. URL: https://identityblitz.ru/esia-perehodit-na-gost-r-34-10-2012-rsa-ne-budet-rabotat-s-1-aprelya-2020-goda/ (дата обращения: 13.10.2025).
44. ПОСТКВАНТОВЫЕ АЛГОРИТМЫ ЭЛЕКТРОННОЙ ЦИФРОВОЙ ПОДПИСИ И ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ В РАСПРЕДЕЛЕННОМ РЕЕСТРЕ. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/postkvantovye-algoritmy-elektronnoy-tsifrovoy-podpisi-i-ih-ispolzovanie-v-raspredelennom-reestre (дата обращения: 13.10.2025).
45. ПРАВОВОЕ РЕГУЛИРОВАНИЕ ПРИМЕНЕНИЯ ЭЛЕКТРОННОЙ ПОДПИСИ. URL: http://dep_gum_fil.pnzgu.ru/files/dep_gum_fil.pnzgu.ru/ananeva_nadedeva.pdf (дата обращения: 13.10.2025).
46. Алгоритм цифровой подписи RSА. URL: https://studfile.net/preview/17260844/page:24/ (дата обращения: 13.10.2025).
47. Дергай В.С. ИСТОРИЯ КРИПТОГРАФИИ. Научный руководитель: Ковалькова И.А. 2016. URL: https://elar.urfu.ru/bitstream/10995/43795/1/kio_2016_42.pdf (дата обращения: 13.10.2025).
48. Статья 5. Виды электронных подписей. URL: https://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_112705/921356f90d165f1283d098d5c2198c603fc5c328/ (дата обращения: 13.10.2025).
49. Электронная подпись — просто о сложном. URL: https://www.nalog.gov.ru/rn77/related_activities/uc_fns_russia/about_ep/ (дата обращения: 13.10.2025).
50. ГОСТ Информационная технология КРИПТОГРАФИЧЕСКАЯ ЗАЩИТА ИНФОРМАЦИИ. URL: https://gost.ru/documentPreview/59325 (дата обращения: 13.10.2025).
51. ГОСТ Р 34.10-2012 Информационная технология (ИТ). Криптографическая защита информации. Процессы формирования и проверки электронной цифровой подписи. URL: https://docs.cntd.ru/document/1200095811 (дата обращения: 13.10.2025).
52. Алгоритм цифровой подписи на основе эллиптической кривой ECDSA. 2021. URL: https://industry4-0.ru/2021/10/25/ecdsa-ellip-curve-digital-signature-algorithm/ (дата обращения: 13.10.2025).
53. Федеральный закон РФ от 06.04.2011 № 63‑ФЗ «Об электронной подписи». URL: https://diadoc.kontur.ru/doc/63-fz-ob-ep/ (дата обращения: 13.10.2025).