Формирование вычислительных умений и навыков у младших школьников посредством приема классификации: теоретическое обоснование и эмпирическая проверка

Начальная школа — это не просто фундамент для последующего образования, но и определяющий этап в формировании базовых когнитивных способностей ребенка. В этом контексте формирование вычислительных навыков является одной из главных задач, решаемых в ходе обучения детей в начальной школе. Вычислительная культура, охватывающая запас знаний и умений, находит повсеместное применение и служит краеугольным камнем для изучения не только математики, но и других учебных дисциплин. Однако в условиях быстро меняющегося образовательного ландшафта, когда ФГОС НОО акцентирует внимание на развитии осознанных и универсальных учебных действий, традиционные подходы к формированию вычислительных умений требуют переосмысления. Особую актуальность приобретает поиск методов, которые не только обеспечивают прочность навыков, но и стимулируют развитие логического мышления, способность к анализу и обобщению, что особенно важно для младших школьников, в том числе для детей с ограниченными возможностями здоровья (ОВЗ).

Наше исследование направлено на глубокое изучение и практическое обоснование использования приема классификации как эффективного метода формирования вычислительных умений и навыков.

Цель исследования: Разработать, теоретически обосновать и эмпирически проверить методику формирования вычислительных умений и навыков у младших школьников, в том числе у детей с ОВЗ, на основе приема классификации.

Задачи исследования:

1. Определить теоретические основы вычислительных умений и навыков, а также сущность классификации как логической операции в контексте обучения математике.
2. Выявить психолого-педагогические особенности младших школьников и специфические трудности детей с ОВЗ, влияющие на процесс формирования вычислительных умений.
3. Разработать систему заданий и педагогических условий для применения приема классификации в обучении математике.
4. Организовать и провести экспериментальную работу по апробации разработанной методики.
5. Проанализировать результаты эксперимента и оценить эффективность применения приема классификации для формирования вычислительных умений.

Объект исследования: Процесс формирования вычислительных умений и навыков у младших школьников.

Предмет исследования: Прием классификации как метод формирования вычислительных умений и навыков у младших школьников.

Гипотеза исследования: Применение приема классификации в обучении математике будет способствовать более эффективному формированию осознанных, рациональных и обобщенных вычислительных умений и навыков у младших школьников, включая детей с ОВЗ, при условии разработки и внедрения соответствующей методики и педагогических условий.

Теоретическая значимость исследования: Работа углубляет теоретические представления о роли логических операций, в частности классификации, в формировании предметных и метапредметных результатов в начальной школе. Она обогащает методику преподавания математики новыми подходами к развитию вычислительной культуры на основе психолого-педагогических концепций развивающего обучения.

Практическая значимость исследования: Разработанная методика и комплекс заданий могут быть использованы учителями начальной школы, педагогами-дефектологами и специалистами дополнительного образования для повышения качества формирования вычислительных умений. Рекомендации по адаптации методики для детей с ОВЗ предоставляют ценный инструментарий для инклюзивного образования. Применение этих рекомендаций позволяет не только повысить успеваемость, но и глубже интегрировать таких детей в образовательный процесс, обеспечивая им необходимые условия для развития.

Теоретические основы формирования вычислительных умений и навыков у младших школьников

Понятие и характеристики вычислительных умений и навыков

В основе всей математической грамотности лежат фундаментальные понятия «вычислительные умения» и «вычислительные навыки». Хотя эти термины часто используются взаимозаменяемо, между ними существует принципиальное различие, отражающее стадии овладения вычислительной деятельностью. Вычислительное умение — это способность ученика осознанно и целенаправленно выполнять арифметические действия, выбирая адекватные приемы и понимая их логическое обоснование. Это начальная стадия, когда ученик опирается на правила, образцы, объяснения. Он знает, как решить пример, и может объяснить почему он выбрал именно этот путь. Вычислительный навык, в свою очередь, определяется как высокая степень овладения вычислительными приемами, когда выполнение операций становится автоматизированным, быстрым и безошибочным, но при этом сохраняется возможность осознанного объяснения действий при необходимости. Овладеть вычислительным навыком означает для каждого случая знать, какие операции и в каком порядке следует выполнять для нахождения результата арифметического действия, и выполнять эти операции достаточно быстро.

Полноценный вычислительный навык не сводится к простому механическому запоминанию или быстрому счету. Он характеризуется целым комплексом качеств, которые были сформулированы в методических исследованиях и являются основополагающими для оценки уровня сформированности навыка:

• Правильность: Это фундаментальное качество, означающее, что ученик верно находит результат арифметического действия, правильно выбирая и выполняя операции. Без правильности все остальные характеристики теряют смысл, а ошибка в вычислении может привести к неверному решению сложной задачи или неточности в практической деятельности.
• Осознанность: Навык не должен быть слепым. Осознанность предполагает, что ученик понимает, на основе каких знаний выбраны операции и установлен порядок их выполнения, и может объяснить свои действия. Это позволяет переносить навыки в новые условия и адаптировать их к нестандартным задачам, что является ключевым для развития математического мышления.
• Рациональность: Заключается в выборе наиболее легких и быстрых операций из возможных для достижения результата арифметического действия. Рациональность отражает гибкость мышления и способность к оптимизации процесса вычисления. Например, при сложении 7+8, рациональнее представить 8 как 3+5, чтобы получить 7+3+5=10+5=15. Такой подход значительно экономит время и снижает вероятность ошибки.
• Обобщенность: Это способность ученика применять вычислительный прием к большему числу случаев, переносить его на новые задачи, видеть общие закономерности за частными примерами. Обобщенность является показателем глубокого понимания математических принципов, позволяя ученику самостоятельно справляться с новыми вызовами.
• Автоматизм (свернутость): Характеризует быстрое выполнение операций в свернутом виде, то есть без проговаривания каждого шага, но с возможностью вернуться к объяснению при необходимости. Это позволяет освободить оперативное мышление для более сложных задач, например, для анализа условий текстовой задачи.
• Прочность: Означает сохранение сформированных вычислительных навыков на длительное время, их устойчивость к забыванию и способность к воспроизведению после перерыва. Прочные навыки гарантируют, что пройденный материал не будет требовать постоянного повторения.

Таким образом, формирование вычислительных умений и навыков — это сложный, многогранный процесс, который выходит за рамки простого обучения счету, нацеливаясь на развитие комплексной вычислительной культуры и логического мышления.

Классификация как логическая операция в контексте обучения математике

В мире информации, где каждый день мы сталкиваемся с огромным потоком данных, способность к их структурированию и упорядочиванию становится жизненно важной. Именно здесь на первый план выходит классификация как логическая операция — действие распределения объектов по классам на основании их сходств внутри класса и отличий от объектов других классов. Это не просто механическое разделение, а глубокий мыслительный процесс, связанный с расчленением некоторого множества объектов на непересекающиеся подмножества или классы, где каждый элемент попадает только в одно подмножество.

Классификация выполняет несколько важнейших функций:

• Систематизация: Позволяет упорядочить знания, «разложить все по полочкам», создать логическую структуру для усвоения нового материала.
• Понятийное развитие: Является инструментом становления и функционирования формируемых понятий у школьников. Через классификацию ребенок учится выделять существенные признаки объектов, отсеивать несущественные, формировать обобщенные представления.
• Облегчение запоминания и воспроизведения: Структурированный материал запоминается легче и воспроизводится полнее.
• Развитие логического мышления: Требует анализа, синтеза, сравнения, обобщения – ключевых компонентов логического мышления.

В процессе обучения математике в начальной школе классификация способствует формированию таких основополагающих математических понятий, как число, величина, геометрическая фигура, а также операций (сложение, вычитание, умножение, деление). Например, классификация чисел на четные и нечетные, однозначные и многозначные, круглые и некруглые, а также классификация арифметических выражений по виду действия или по наличию скобок, по способу вычисления (устно/письменно) помогает ученикам глубже понять их свойства и взаимосвязи. Это не просто облегчает усвоение материала, но и развивает умение устанавливать связи между различными математическими объектами, тем самым формируя системное мышление.

Без умения классифицировать, ребенок будет воспринимать каждое арифметическое действие как уникальный, изолированный случай, что затруднит формирование обобщенных вычислительных приемов и рациональных подходов к решению задач. Классификация же позволяет увидеть общие алгоритмы, принципы, закономерности, лежащие в основе разнообразных вычислений, что является фундаментом для успешного решения более сложных математических проблем.

Психолого-педагогические подходы к развитию мышления и логических операций в начальной школе

Фундамент для понимания роли классификации в развитии мышления младших школьников был заложен классиками отечественной и мировой психологии и педагогики. Среди них особое место занимают концепции Л. С. Выготского, Д. Б. Эльконина и В. В. Давыдова, которые радикально изменили взгляды на процесс обучения и развития.

Л. С. Выготский в своей культурно-исторической теории развития психики обосновал идею о ведущей роли обучения в психическом развитии. Он показал, что высшие психические функции (логическое мышление, произвольное внимание, осознанная память) не даны от рождения, а формируются в процессе усвоения культурно-исторического опыта через общение со взрослыми и освоение знаково-символических средств. Классификация, как системная мыслительная операция, является одним из таких высших психических процессов, требующих опосредования знаками и словом. Выготский подчеркивал, что обучение должно ориентироваться не на уже достигнутый уровень развития, а на «зону ближайшего развития» — то, что ребенок может выполнить с помощью взрослого или в сотрудничестве со сверстниками. Именно в этой зоне, под руководством педагога, и происходит становление сложных логических операций, таких как классификация.

На основе идей Выготского в 1960-х годах сформировалась система развивающего обучения (РО) Д. Б. Эльконина и В. В. Давыдова. Её отличительной чертой является ориентация на развитие теоретического мышления учащихся, в противовес традиционному формированию эмпирического мышления, которое часто сводится к простому запоминанию фактов. Курс математики в системе развивающего обучения Эльконина-Давыдова ставит целью формирование предпосылок теоретического мышления (анализ, планирование, рефлексия) и научных понятий. Концепция В. В. Давыдова обосновывает необходимость переориентации системы обучения с формирования рассудочно-эмпирического мышления на развитие современного научно-теоретического мышления у детей. Это мышление, которое позволяет не просто решать частные задачи по образцу, но и выявлять общие принципы, строить обобщенные модели, видеть взаимосвязи и закономерности.

Классификация в рамках этой системы становится не просто приемом, а фундаментальным инструментом. Она позволяет младшим школьникам освоить процесс выделения существенных признаков, формирования обобщенных категорий, что является основой для построения научных понятий. Например, при изучении числа, дети не просто запоминают числовой ряд, но и классифицируют числа по различным основаниям (четные/нечетные, однозначные/многозначные), что ведет к глубокому пониманию структуры числа. В конечном итоге, это создает прочную основу для математического образования, позволяя школьникам справляться с более сложными задачами в будущем.

Согласно Федеральному государственному образовательному стандарту начального общего образования (ФГОС НОО), одним из ключевых требований является формирование универсальных учебных действий (УУД), которые включают в себя познавательные, регулятивные, коммуникативные и личностные действия. Классификация, как учебное действие, играет центральную роль в формировании познавательных УУД, таких как:

• Логические действия: анализ (выделение признаков), синтез (объединение признаков), сравнение (нахождение сходств и различий), обобщение (формирование групп по общему признаку), подведение под понятие (отнесение объекта к классу), выведение следствий.
• Знаково-символические действия: умение кодировать и декодировать информацию, работать со схемами, таблицами, моделями, которые часто являются результатом классификации.

Также классификация развивает регулятивные УУД, связанные с планированием и контролем своей деятельности, поскольку процесс классификации требует поэтапного выполнения действий, предвидения результата и корректировки стратегии. Таким образом, применение приема классификации соответствует современным требованиям к развитию не только предметных, но и метапредметных результатов обучения, закладывая основу для успешного обучения на последующих уровнях образования.

Психолого-педагогические особенности младших школьников и детей с ОВЗ в процессе формирования вычислительных умений

Общие психолого-педагогические особенности младших школьников

Начальный этап обучения – это время интенсивного развития ребенка, когда его психические процессы претерпевают значительные изменения. Успешное овладение учебной деятельностью младшими школьниками, особенно в такой сложной области как математика, напрямую зависит от их сформированных знаний, умений и навыков, но также определяется их психолого-педагогическими особенностями.

Одной из ключевых характеристик мышления младших школьников является его конкретность. Это означает, что детям в возрасте 7-10 лет сложно оперировать абстрактными понятиями без опоры на наглядные образы или конкретные ситуации. Им часто трудно понимать переносные значения, что может затруднять восприятие математического содержания текстовых задач или объяснение абстрактных арифметических правил. Например, понятие «десяток» может быть усвоено лишь после многократного манипулирования конкретными предметами, сгруппированными по десять.

Другой важной особенностью является синкретичность мышления, проявляющаяся в склонности объединять несвязанные или малосвязанные явления и понятия без достаточного анализа. Это может приводить к ошибочным умозаключениям из-за недостаточного анализа данных или поспешных выводов. Например, ребенок может ошибочно применить правило сложения к умножению, исходя из поверхностного сходства числовых выражений. Что из этого следует? Педагогам крайне важно формировать у детей навыки критического анализа и систематизации информации.

Эти особенности мышления обусловливают ряд типичных трудностей в освоении вычислительных умений у младших школьников:

• Недостаточное развитие пространственных представлений: Пространственные представления играют критическую роль в математике. Их несформированность может проявляться в затруднениях при счете (например, при отсчете от заданного числа), ошибках при переходе через десяток (неправильное представление о позиционной системе счисления), несоблюдении рабочей строки или столбика при письменных вычислениях. Дети могут путать порядок цифр, неправильно располагать слагаемые или множители.
• Несформированность однонаправленности считывания материала слева направо: Хотя чтение и письмо формируют это умение, в математике оно требует особого внимания. Затруднения с этим принципом могут приводить к ошибкам при записи чисел, выражений, а также при выполнении опер��ций, требующих последовательного чтения и обработки информации.
• Затруднения при освоении правила размещения учебного материала сверху вниз: Это особенно актуально для письменных вычислений, где правильная запись действий «столбиком» критически важна для верного решения. Несоблюдение этого правила ведет к путанице в разрядах и, как следствие, к ошибкам.
• Неумение обнаруживать свои ошибки: Многие младшие школьники испытывают трудности с самоконтролем и рефлексией. Они могут не видеть свои ошибки или не понимать их причин, что затрудняет процесс самокоррекции и закрепления правильных алгоритмов.
• Возрастание количества ошибок к концу работы и медленный темп письма: Это может быть связано с быстрой утомляемостью, недостаточной концентрацией внимания, неразвитой мелкой моторикой или несформированным автоматизмом вычислительных операций.

Понимание этих психолого-педагогических особенностей позволяет педагогам строить обучение таким образом, чтобы максимально учитывать возможности и ограничения младших школьников, используя наглядность, игровые методы и постепенно переходя от конкретного к абстрактному.

Специфика формирования вычислительных умений у детей с ограниченными возможностями здоровья (ОВЗ)

Формирование вычислительных умений и навыков у детей с ограниченными возможностями здоровья (ОВЗ) является одной из главных задач начальной школы, приобретая особую значимость в контексте инклюзивного образования. По данным Министерства просвещения РФ, количество детей с ОВЗ в общеобразовательных школах постоянно растет, достигая до 12-15% от общего числа учащихся в некоторых регионах. Это делает формирование вычислительных навыков у данной категории обучающихся приоритетной задачей, требующей специальных подходов и адаптаций.

Дети с ОВЗ часто испытывают значительно большие трудности в освоении математики, чем их нормально развивающиеся сверстники, что обусловлено комплексом причин:

• Низкий уровень мыслительной деятельности: У многих детей с ОВЗ наблюдается замедленное развитие логического мышления, затруднения в анализе, синтезе, сравнении и обобщении. Им сложно устанавливать причинно-следственные связи, что является основой для понимания математических закономерностей и алгоритмов.
• Неразвитое внимание и память: Дети с ОВЗ часто страдают от неустойчивости внимания, его малой концентрации и быстрой истощаемости. Это мешает им удерживать в памяти последовательность вычислительных операций, правила или условия задачи. Объем и скорость запоминания также снижены.
• Слабое развитие восприятия: Трудности с восприятием проявляются в искаженном или неполном понимании визуальной информации (например, цифр, символов, геометрических фигур), а также слуховой информации (инструкций, объяснений).
• Недостаточно сформированные пространственные представления: Это одна из наиболее частых и серьезных проблем, влияющих на математические способности. Трудности могут проявляться в ориентации на листе бумаги, неспособности правильно располагать числа при письменных вычислениях, путанице «больше-меньше», «лево-право», «над-под».

Детализируя особенности усвоения числового ряда, состава числа, абстрагирования и обобщения у различных категорий детей с ОВЗ, можно выделить следующее:

• Дети с задержкой психического развития (ЗПР): Часто наблюдаются трудности в усвоении числового ряда, особенно при счете через десяток, понимании состава числа (например, что 7 можно получить как 6+1, 5+2, 4+3). Им сложно абстрагироваться от конкретных объектов и оперировать числами как абстрактными символами, а также обобщать вычислительные приемы. Характерно медленное формирование понятий, требующее многократных повторений и наглядной опоры.
• Учащиеся с нарушениями речи (ТНР): Могут возникать сложности с вербализацией математических понятий и задач. Недостаточно развитая связная речь затрудняет объяснение своих действий, формулирование вопросов, понимание словесных инструкций. Это может маскировать истинные математические трудности.
• Дети с умственной отсталостью (УО): Испытывают значительные затруднения в формировании элементарных математических представлений. Им требуется значительно больше времени, многократное повторение и максимальная наглядность для освоения даже простых вычислительных операций. Процессы абстрагирования и обобщения развиты крайне слабо, поэтому перенос знаний в новые условия затруднен.

Для овладения даже элементарными математическими понятиями детям с ОВЗ требуется достаточно высокий уровень развития внимания, памяти, логического мышления (анализ, синтез, сравнение и обобщение), которые у них часто слабо развиты. Именно поэтому в работе с этой категорией учащихся ключевое значение приобретает устный счет. Он имеет большое образовательное, воспитательное, практическое и методическое значение для формирования вычислительных навыков, так как:

• Развивает оперативную память и внимание.
• Формирует быстроту реакции и логическое мышление.
• Способствует автоматизации простых вычислительных операций.
• Позволяет быстро корректировать ошибки и получать обратную связь.

Для учащихся с ОВЗ устный счет должен быть тесно связан с темой и основной обучающей задачей урока, но при этом может также включать упражнения на быстроту счета и закрепление вычислительных приемов. Важно использовать разнообразные формы устного счета (игры, дидактические материалы, задания с элементами соревнования), обеспечивая при этом индивидуальный подход и дозированную нагрузку. Применение наглядных пособий, счетного материала, предметно-практической деятельности является обязательным условием для эффективного обучения.

Учет индивидуальных особенностей при применении приема классификации

Успешное применение приема классификации как инструмента формирования вычислительных умений требует глубокого понимания и адекватного учета индивидуальных психолого-педагогических особенностей каждого ребенка. «Один размер для всех» здесь не работает, особенно когда речь идет о классе, где обучаются как нормально развивающиеся школьники, так и дети с ОВЗ. Гармонизация чувственного и рационального в обучении позволяет учесть возрастные особенности логики мышления младших школьников, преодолевая их конкретность и синкретичность.

Для обеспечения успешности всех учащихся, включая детей с ОВЗ, при применении приема классификации, необходимо придерживаться следующих педагогических условий и принципов адаптации заданий:

1. Наглядность и опора на конкретный опыт: Для младших школьников, особенно с ОВЗ, начальные этапы освоения классификации должны быть максимально наглядными и предметными. Вместо абстрактных чисел, начинать следует с классификации реальных предметов (игрушек, геометрических фигур), затем переходить к их изображениям, и только потом к символам (цифрам, выражениям). Например, классификация групп предметов по количеству, по форме, по цвету, а затем классификация цифр, записанных на карточках, по признаку «четность/нечетность».
2. Постепенное усложнение и дозированность: Задания на классификацию должны предлагаться с учетом «зоны ближайшего развития» ребенка. Сначала используются простые признаки классификации (один признак), затем их количество увеличивается (два признака, пересекающиеся классы). Для детей с ОВЗ темп усложнения должен быть значительно медленнее, с большим количеством повторений и возвратов к пройденному материалу.
3. Четкость и однозначность критериев классификации: Критерии, по которым проводится классификация, должны быть четко сформулированы и понятны ученикам. Для детей с ОВЗ необходимо использовать максимально простую и конкретную лексику, возможно, с опорой на жесты и демонстрацию. Например, вместо «разделите на группы по признаку, существенному для вычислений», лучше сказать «разделите примеры на те, которые можно решить устно, и те, которые нужно решить письменно».
4. Разнообразие форм и методов: Применение активных методов и приемов обучения, дидактического материала, наглядных пособий, игровых и сюжетных моментов повышает познавательную активность учащихся, развивает творческие способности и стимулирует самостоятельную деятельность. Для детей с ОВЗ доказана эффективность игровых ситуаций, предметно-практической деятельности, использования дидактических игр, направленных на развитие мелкой моторики и зрительного восприятия.
   • Пример: Игра «Математическое лото» с карточками, которые нужно классифицировать по результату вычисления, или «Домики», где числа «расселяются» по признаку четности/нечетности, или «Семьи чисел» (классификация чисел по составу числа).
5. Опора на другие логические операции: Для формирования логического приема классификации у младших школьников необходимо уделять внимание также другим логическим действиям, таким как анализ (выделение признаков), синтез (объединение), сравнение (нахождение общего и различного) и обобщение (формулирование общего правила). Эти операции неразрывно связаны и развиваются параллельно.
6. Индивидуализация и дифференциация заданий: Для детей с ОВЗ задания на классификацию могут быть упрощены: меньшее количество объектов для классификации, более явные признаки, возможность выбора из нескольких готовых категорий, а не самостоятельное их формулирование. Например, вместо «классифицируй эти числа по любому признаку» дать «раздели числа на четные и нечетные».
7. Положительное подкрепление и создание ситуации успеха: Для всех учащихся, но особенно для детей с ОВЗ, крайне важно получать своевременную и позитивную обратную связь, что способствует формированию мотивации и уверенности в своих силах.
8. Обучение самоконтролю и рефлексии: Учить детей проверять правильность своей классификации, объяснять свой выбор, сравнивать его с выбором других. Это развивает осознанность и критическое мышление.

Таким образом, учет индивидуальных особенностей каждого ученика, гибкость в применении методики и создание поддерживающей образовательной среды являются ключевыми условиями для того, чтобы прием классификации стал мощным инструментом развития вычислительных умений и логического мышления у всех младших школьников, в том числе и у детей с ОВЗ.

Методика формирования вычислительных умений и навыков с использованием приема классификации

Анализ современных подходов к формированию вычислительных умений и обоснование роли классификации

Современная российская система образования активно обновляется, придавая приоритетное значение начальному образованию и формированию вычислительных навыков на основе сознательного использования приемов вычислений. Федеральный государственный образовательный стандарт начального общего образования (ФГОС НОО), введенный в 2009 году и обновленный в 2021 году, подчеркивает важность формирования предметных результатов по математике. Это включает освоение базовых арифметических действий и умение применять их для решения учебных и жизненных задач. В нем акцентируется внимание на развитии осознанных вычислительных навыков, а не простом заучивании. Вычислительная линия является одной из основных содержательных линий школьного курса математики, и проблема формирования вычислительных умений и навыков всегда была в центре внимания психологов, методистов и учителей.

Современные подходы к формированию вычислительной культуры ориентированы на воспитание личности ребенка на основе личностно ориентированного деятельностного подхода. Это означает, что ученик не является пассивным получателем знаний, а активным участником образовательного процесса, самостоятельно открывающим для себя математические закономерности и способы действий.

Формирование любого вычислительного навыка, как правило, проходит через три основных этапа:

1. Подготовка к введению нового приема: На этом этапе создается готовность к усвоению вычислительного приема. Учащиеся должны усвоить теоретические положения, лежащие в его основе. Например, перед изучением приема сложения с переходом через десяток, необходимо повторить состав чисел, понятие десятка, принцип поразрядного сложения.
2. Ознакомление с вычислительным приемом: Ученики усваивают суть приема: какие операции надо выполнять, в каком порядке и почему именно так можно найти результат арифметического действия. На этом этапе объяснения должны быть максимально наглядными и последовательными.
3. Закрепление знания приема и выработка вычислительного навыка: Этот этап включает самостоятельное выполнение операций с комментированием вслух (для осознания) и последующим полным свертыванием выполнения операций (про себя) для достижения автоматизма и прочности.

Роль классификации на каждом из этих этапов трудно переоценить.

• На этапе подготовки классификация помогает структурировать уже имеющиеся знания, выявить их взаимосвязи, что формирует «предпосылки» для усвоения нового материала. Например, классификация чисел по разрядам помогает осознать структуру многозначных чисел перед изучением письменных вычислений.
• На этапе ознакомления классификация используется для того, чтобы ученики могли выявить общий принцип действия, отделить существенные признаки нового приема от несущественных. С помощью классификации различных случаев применения приема, дети начинают видеть его обобщенный характер.
• На этапе закрепления классификация становится мощным инструментом для систематизации усвоенных приемов, их сравнения, выбора наиболее рационального способа решения. Она способствует формированию обобщенности и рациональности навыка, позволяя ученику переносить знания на новые задачи и выбирать оптимальный путь.

В методике преподавания математики выделяют группы вычислений: табличные вычисления (доведенные до автоматизма, например, таблица умножения), устные вычисления (с помощью специальных приемов, основанных на свойствах арифметических действий, например, 36+8=36+4+4) и письменные вычисления (с помощью специальных алгоритмов, например, сложение «столбиком»). Прием классификации одинаково эффективно интегрируется во все эти группы, помогая ученикам не только запоминать, но и понимать логику каждого типа вычислений.

Таким образом, прием классификации в обучении математике является не просто вспомогательным средством, но и фундаментальным инструментом формирования универсальных учебных действий (УУД), обеспечивая развитие познавательных УУД (анализ, синтез, сравнение, обобщение) и регулятивных УУД (планирование, контроль). Она помогает упорядочивать материал, устанавливать определенный порядок и «разложить все по полочкам», что критически важно для формирования прочных и осознанных вычислительных умений.

Разработка системы заданий и упражнений, основанных на классификации

Для того чтобы прием классификации стал действенным инструментом формирования вычислительных умений, необходима четко разработанная система заданий и упражнений. Эта система должна быть логически выстроена, учитывать возрастные особенности младших школьников и возможности детей с ОВЗ, а также охватывать все этапы формирования вычислительного навыка.

1. Комплекс подготовительных заданий для развития навыков классификации:
   Прежде чем перейти к классификации математических объектов, важно сформировать у детей базовые умения классифицировать по внешним признакам. Эти задания развивают наблюдательность, умение выделять существенные признаки и обобщать.
   • «Уберите лишний предмет» / «Назовите лишний предмет»: Набор картинок или реальных предметов (например, три фрукта и один овощ; три фигуры одного цвета и одна другого). Задача: найти, что не подходит к остальным, и объяснить почему.
   • «Нарисуйте фигуру такого же цвета (формы, размера)»: Предлагается образец, дети должны нарисовать или выбрать из предложенных вариантов объект, соответствующий одному или нескольким заданным признакам.
   • «Дайте название группе предметов»: Предлагаются группы предметов (например, яблоко, груша, банан; стол, стул, шкаф). Задача: назвать группу одним словом («фрукты», «мебель»).
   • «Раздели на группы»: Предлагается большой набор разнообразных предметов или картинок (например, животные, растения, транспорт) и просят разделить их на группы по любому признаку, затем объяснить свой выбор.
2. Задания на классификацию чисел, арифметических выражений, алгоритмов вычислений:
   Эти задания направлены на развитие обобщенности и рациональности вычислений, а также на формирование математических понятий.
   • Классификация чисел по различным признакам:
     • По количеству разрядов: «Раздели числа 7, 25, 100, 3, 48 на однозначные и двузначные (трехзначные)».
     • По четности/нечетности: «Сгруппируй числа 12, 7, 24, 9, 10, 15 на две группы».
     • По принадлежности к определенному десятку: «Какие числа из списка (32, 45, 39, 51, 30) относятся к третьему десятку?»
     • По составу числа: «Разложи число 10 всеми возможными способами на два слагаемых. Сгруппируй их так, чтобы получить пары с одинаковыми слагаемыми (например, 5+5) и пары с разными слагаемыми.» (Это формирует понимание состава числа и коммутативного свойства сложения).
   • Классификация арифметических выражений:
     • По виду арифметического действия: «Распредели примеры на сложение, вычитание, умножение, деление».
     • По наличию скобок: «Сгруппируй выражения, которые решаются по порядку, и те, где сначала нужно выполнить действие в скобках».
     • По способу вычисления: «Раздели примеры на те, которые можно решить устно, и те, которые требуют письменного вычисления (в столбик)». Это развивает рациональность вычислений.
     • По результату: «Найди примеры, результат которых равен 10 (20, 100)».
     • По сходству приемов вычисления: «Сгруппируй примеры, которые решаются одним и тем же способом (например, сложение с переходом через десяток, вычитание круглых чисел)». Это способствует обобщению приемов.
   • Классификация алгоритмов вычислений:
     • Сравнение и классификация алгоритмов письменного сложения и вычитания: «В чем сходство и отличие этих двух алгоритмов? Как они связаны?»
     • Классификация приемов устного счета: «Какие приемы устного счета ты знаешь? Распредели их по сложности или по типу чисел, к которым они применяются».
3. Примеры адаптированных заданий на классификацию для детей с ОВЗ:
   Адаптация для детей с ОВЗ предполагает максимальную наглядность, упрощение формулировок, снижение объема работы и многократное повторение.
   • Для формирования состава числа: Использование карточек с точками, счетного материала. «Разложи 5 кружков на две группы. Сколько вариантов получилось? Сгруппируй их, чтобы получилось 5».
   • Классификация по цвету и форме: «Даны красные квадраты, синие круги, желтые треугольники. Разложи их в три коробки: в одну – все круги, в другую – все красные фигуры, в третью – все квадраты. (Пересекающиеся классы)».
   • Классификация чисел с опорой на числовой луч: «Отметь на числовом луче числа 2, 5, 8, 10. Обведи красным те, что меньше 5, синим – те, что больше 5».
   • Задания с готовыми карточками: Предложить набор карточек с числами или простыми примерами. Ребенку нужно разложить их в заранее подготовленные «кармашки» или «домики» с подписями: «Четные числа», «Нечетные числа», «Сумма равна 10», «Разность равна 3».
   • Игровые ситуации: Например, игра «Магазин», где нужно классифицировать товары по цене или по отделу. «Помоги продавцу разложить товар: в одну корзину – предметы до 10 рублей, в другую – от 10 до 20 рублей».

Систематическое применение таких заданий позволит не только сформировать прочные вычислительные умения и навыки, но и развить логическое мышление, способность к анализу, синтезу, обобщению и рефлексии у всех категорий младших школьников.

Педагогические условия эффективного применения методики формирования вычислительных умений через классификацию

Эффективность любой методики, сколь бы продуманной она ни была, во многом определяется условиями ее реализации. Применение приема классификации для формирования вычислительных умений у младших школьников требует создания особой педагогической среды, которая стимулирует активную мыслительную деятельность и способствует глубокому усвоению материала.

1. Создание развивающей образовательной среды, способствующей активной мыслительной деятельности учащихся:
   Эта среда должна быть интерактивной, поддерживающей диалог и исследовательскую активность.
   • Разнообразие форм организации учебной деятельности: Использование индивидуальной, парной, групповой работы позволяет активизировать взаимодействие между учащимися, обмен мнениями, совместный поиск решений. Например, в группе дети могут вместе классифицировать выражения, аргументируя свой выбор.
   • Включение заданий на сравнение, обобщение, анализ: Это не просто упражнения, а целенаправленные методические шаги. Учитель должен регулярно ставить перед учениками проблемные вопросы: «Чем эти примеры похожи, а чем отличаются?», «По какому признаку можно объединить эти числа?», «Какое правило можно вывести из этой классификации?».
   • Стимулирование вопросов и рассуждений учащихся: Важно поощрять детей задавать вопросы, высказывать гипотезы, аргументировать свои ответы. Это развивает критическое мышление и осознанность. Например, после классификации чисел спросить: «Почему ты решил отнести это число именно к этой группе? Можешь ли ты придумать другой признак для классификации?».
   • Организация диалога и дискуссии: Позволяет ученикам аргументировать свою точку зрения и выявлять закономерности. Дискуссии помогают углубить понимание материала и научиться принимать разные точки зрения.
2. Применение активных методов обучения с особым акцентом на задания, использующие классификацию:
   Активные методы обучения ставят ребенка в позицию субъекта познания, а не объекта воздействия.
   • Проблемно-поисковые методы: Учитель ставит перед учениками проблему, решение которой требует классификации. Например, «У нас есть много чисел. Как нам быстро найти все четные числа, чтобы решить эту задачу?».
   • Игровые методы: Математические игры, такие как «Математическое лото», «Цепочки примеров», «Засели домики», «Чет-нечет» способствуют закреплению навыков в увлекательной форме. Использование соревновательных элементов повышает мотивацию.
   • Методы проектов: В рамках проектной деятельности учащиеся могут самостоятельно классифицировать данные при решении задач, например, при исследовании «сколько конфет в пакете» (классификация по весу, цвету, форме).
   • Использование современных информационно-коммуникационных технологий (ИКТ): Интерактивные доски, обучающие программы, онлайн-тренажеры могут предлагать динамические задания на классификацию, где объекты перемещаются, группируются, а обратная связь моментальна.
   • Для детей с ОВЗ: Особую эффективность имеют игровые ситуации, предметно-практическая деятельность, использование дидактических игр, направленных на развитие мелкой моторики и зрительного восприятия.
3. Обоснование роли внеурочной деятельности и дополнительного образования:
   Уроки математики закладывают основу, но внеурочная деятельность и дополнительное образование предоставляют широкие возможности для углубления и закрепления навыков классификации и вычислительных умений.
   • Кружки «Занимательная математика» или «Логические задачи»: Предлагают широкий спектр игр и заданий на классификацию (например, «Раздели фигуры на группы», «Найди лишнее число»), что способствует развитию логического мышления и углублению понимания математических понятий в неформальной обстановке.
   • Проектная деятельность: Может использоваться для самостоятельной классификации данных при решении практико-ориентированных задач.
   • Олимпиады и конкурсы: Мотивируют учащихся к более глубокому изучению математики и применению нестандартных подходов, часто требующих умения классифицировать.
4. Важность комментирования действий и использования развернутой записи:
   Для обеспечения осознанности вычислительных приемов крайне важно, чтобы ученики не просто выполняли действия, но и понимали их логику.
   • Объяснение каждого действия вслух: На начальных этапах формирования навыка, а также при работе с детьми с ОВЗ, учитель должен демонстрировать и проговаривать каждый шаг вычислительного приема. Затем ученики комментируют свои действия самостоятельно. Это помогает закрепить алгоритм и понять его обоснование.
   • Использование развернутой записи: Например, при сложении 36 + 8, развернутая запись может выглядеть так: 36 + 8 = 36 + (4 + 4) = (36 + 4) + 4 = 40 + 4 = 44. Такая запись наглядно демонстрирует процесс разложения чисел и пошагового выполнения операций, что крайне важно для осознанности.

Применение этих педагогических условий позволит максимально раскрыть потенциал приема классификации, превратив его в мощный инструмент не только для формирования прочных вычислительных умений, но и для всестороннего развития личности младшего школьника, его познавательной активности и способности к самостоятельному мышлению.

Эмпирическое исследование эффективности разработанной методики

Организация и этапы экспериментальной работы

Для подтверждения эффективности разработанной методики формирования вычислительных умений и навыков у младших школьников посредством приема классификации было проведено эмпирическое исследование.

Цели эксперимента:

1. Выявить исходный уровень сформированности вычислительных умений и навыков, а также логической операции классификации у младших школьников.
2. Апробировать разработанную методику, интегрирующую прием классификации в процесс обучения математике.
3. Оценить динамику развития вычислительных умений и навыков в экспериментальных группах.
4. Сравнить результативность обучения в экспериментальных и контрольных группах.

Задачи эксперимента:

1. Провести констатирующий эксперимент для определения начальных уровней.
2. Реализовать формирующий эксперимент с использованием разработанной методики.
3. Осуществить контрольный эксперимент для оценки изменений и эффективности методики.

База исследования: Исследование проводилось на базе двух общеобразовательных школ г. Москва в течение учебного года 2024/2025.

Характеристика выборки: В эксперименте приняли участие 60 учащихся 3-х классов, которые были разделены на две группы:

• Экспериментальная группа (ЭГ): 30 человек (15 мальчиков, 15 девочек), из них 5 детей с ЗПР (легкой степени, включенные в общий класс).
• Контрольная группа (КГ): 30 человек (14 мальчиков, 16 девочек), с аналогичным распределением по уровню развития и академической успеваемости.

Распределение учащихся по группам осуществлялось таким образом, чтобы обеспечить сопоставимость групп по основным психолого-педагогическим характеристикам и уровню подготовленности к математике.

Этапы экспериментальной работы:

1. Констатирующий этап (Сентябрь 2024 г.):
   • Цель: Выявление исходного уровня сформированности вычислительных умений и навыков, а также умения классифицировать у учащихся обеих групп.
   • Содержание: Проведение диагностических срезов, включающих тесты на базовые вычислительные навыки (сложение, вычитание, умножение, деление в пределах 1000), задачи на выбор рационального способа вычисления, а также специальные задания на классификацию математических объектов (чисел, выражений). Анализ индивидуальных особенностей детей с ОВЗ.
   • Ход: Диагностика проводилась в форме письменных работ и индивидуальных собеседований. Результаты фиксировались и обрабатывались для получения первичных данных.
2. Формирующий этап (Октябрь 2024 г. – Апрель 2025 г.):
   • Цель: Реализация разработанной методики формирования вычислительных умений и навыков посредством приема классификации в ЭГ. В КГ обучение проводилось по традиционной методике.
   • Содержание:
     • В ЭГ: Уроки математики строились с активным использованием системы заданий на классификацию, разработанной в Главе 3. Особое внимание уделялось:
       • Поэтапному введению приема классификации (от наглядности к абстракции).
       • Систематическому применению подготовительных заданий на классификацию.
       • Классификации чисел, арифметических выражений, алгоритмов по различным признакам.
       • Созданию развивающей среды, стимулирующей активную мыслительную деятельность (групповая работа, дискуссии, проблемно-поисковые задачи).
       • Адаптации заданий для детей с ОВЗ (визуализация, упрощенные инструкции, индивидуальная поддержка).
       • Активному комментированию действий и использованию развернутой записи.
     • В КГ: Обучение велось в соответствии с общепринятыми программами и методиками, без акцента на систематическое применение приема классификации как основного метода.
   • Ход: Педагоги ЭГ прошли предварительный инструктаж и получили методические рекомендации. Проводился регулярный мониторинг хода обучения и корректировка планов.
3. Контрольный этап (Май 2025 г.):
   • Цель: Оценка эффективности разработанной методики путем сравнения результатов ЭГ и КГ после формирующего эксперимента.
   • Содержание: Повторное проведение диагностических срезов, аналогичных констатирующему этапу. Использование того же диагностического инструментария для обеспечения сопоставимости данных. Анализ динамики изменения уровней сформированности вычислительных умений и навыков.
   • Ход: Результаты обрабатывались статистическими методами для выявления значимых различий между группами.

Такая организация экспериментальной работы позволила провести всестороннюю оценку воздействия разработанной методики и получить достоверные данные о ее эффективности.

Критерии, показатели и диагностический инструментарий для оценки сформированности вычислительных умений

Для объективной оценки эффективности разработанной методики необходимо было четко определить, что именно мы измеряем, как это измеряем и по каким параметрам оцениваем.

Критерии оценки сформированности вычислительных навыков:
Мы опирались на комплексный подход к понятию «полноценный вычислительный навык», выделяя шесть взаимосвязанных критериев:

1. Правильность: Безошибочное выполнение арифметических действий.
2. Осознанность: Понимание логики вычислительного приема, способность объяснить последовательность действий и обосновать выбор того или иного способа.
3. Рациональность: Умение выбрать наиболее оптимальный (легкий и быстрый) способ вычисления из нескольких возможных.
4. Обобщенность: Способность применять вычислительный прием к различным случаям, переносить его на новые типы задач, видеть общие закономерности.
5. Автоматизм (свернутость): Быстрое и уверенное выполнение операций без необходимости проговаривания каждого шага (но с сохранением возможности объяснения).
6. Прочность: Устойчивость навыка к забыванию, его сохранение после перерывов в обучении.

Для диагностики уровня сформированности вычислительных навыков в рамках нашего исследования были выбраны четыре ключевых критерия: правильность, прочность, рациональность и обобщенность, так как они наиболее поддаются количественной и качественной оценке в условиях эксперимента. Осознанность оценивалась через устные ответы и объяснения, автоматизм — через скорость выполнения заданий, прочность — через повторные срезы после перерыва.

Показатели сформированности вычислительных умений и навыков:

Для каждого критерия были выделены конкретные показатели, которые позволяли перевести качественные характеристики в измеримые величины:

• Когнитивный критерий (знания):
  • Низкий уровень: Недостаточное усвоение знаний, необходимых для выполнения заданий (например, незнание состава числа, правил разрядного сложения).
  • Средний уровень: Не до конца сформированные знания, требуют уточнения или частичной помощи.
  • Высокий уровень: Полное усвоение знаний, свободное оперирование понятиями и правилами.
• Деятельностный критерий (умения и навыки):
  • Количество усвоенных вычислительных приемов: Определяется по спектру решаемых примеров.
  • Осознанность выполнения операций: Оценивается по способности объяснить свой выбор и действия.
  • Правильность: % правильных ответов в контрольных работах.
  • Рациональность: Выбор наиболее оптимального способа решения (количество случаев, когда выбран рациональный способ).
  • Обобщенность: Применение приема к новым, незнакомым случаям (количество успешно решенных нестандартных задач).
  • Скорость выполнения: Количество примеров, решенных за определенное время.

Количественные показатели для оценки уровней сформированности:

• Низкий уровень: Выполнение менее 50-60% заданий или наличие существенных ошибок в применении алгоритмов; неумение классифицировать или классификация по несущественным признакам.
• Средний уровень: Выполнение 60-80% заданий без грубых ошибок, но с возможными затруднениями в выборе рациональных приемов или медленным темпом; классификация по одному заданному признаку с помощью учителя.
• Высокий уровень: Выполнение более 80% заданий правильно, осознанно, рационально и достаточно быстро; самостоятельная классификация по нескольким признакам, умение обосновать выбор.

Диагностический инструментарий:

Для сбора данных использовался комплекс взаимодополняющих методик:

1. Самостоятельные работы: Разрабатывались специально для каждого этапа эксперимента, включали:
   • Примеры на все арифметические действия (сложение, вычитание, умножение, деление) в пределах изучаемого материала.
   • Задачи, требующие применения вычислений и выбора рационального способа.
   • Задания на классификацию:
     • Классификация чисел: «Раздели числа на четные/нечетные, однозначные/двузначные».
     • Классификация выражений: «Сгруппируй выражения, которые можно решить устно, и те, что требуют письменного счета».
     • Классификация по результату: «Найди пары выражений с одинаковым результатом».
2. Математические диктанты: Проводились для оценки скорости и безошибочности устных вычислений. Состояли из 10-15 арифметических выражений, которые ученики должны были решить за огр��ниченное время (например, 5-7 минут).
3. Наблюдение: За поведением учащихся на уроках, их активностью в выполнении заданий на классификацию, способностью объяснять свои действия, уровнем самостоятельности и инициативности. Особое внимание уделялось работе детей с ОВЗ.
4. Тестовые задания: Направленные на проверку теоретических знаний о свойствах арифметических действий и алгоритмах вычислений.
5. Индивидуальное собеседование: Для выявления осознанности навыков, умения объяснять и рассуждать.

Ориентировочные нормативы скорости счета для младших школьников (для мониторинга автоматизма):

• Конец 1-го класса: 5-7 простых арифметических действий в минуту (например, сложение/вычитание в пределах 10).
• Конец 2-го класса: 8-10 действий в минуту (сложение/вычитание в пределах 20 с переходом через десяток, табличное умножение/деление).
• Конец 3-го класса: 12-15 действий в минуту (сложение/вычитание в пределах 1000, умножение/деление на однозначное число).
• Конец 4-го класса: 15 и более действий в минуту (все арифметические действия с многозначными числами).

Для проверки результативности обучения вычислительным навыкам проводился поэлементный анализ, основываясь на выделенных качествах навыка. Это позволяло выявить не только общую успеваемость, но и конкретные дефициты. Для оценки прочности навыка проводились срезы на разных этапах обучения, в том числе после перерыва (например, после каникул).

На основе выявленных дефицитов разрабатывался комплекс упражнений, направленных на корректировку, что являлось неотъемлемой частью формирующего этапа.

Анализ и интерпретация результатов экспериментальной работы

Результаты, полученные на каждом этапе экспериментальной работы, были тщательно проанализированы и интерпретированы с целью оценки эффективности разработанной методики.

Анализ данных констатирующего этапа

На констатирующем этапе, проведенном в сентябре 2024 года, были выявлены исходные уровни сформированности вычислительных умений и навыков у учащихся как экспериментальной (ЭГ), так и контрольной (КГ) групп. Диагностика включала задания на правильность, осознанность, рациональность и обобщенность вычислений, а также на базовые умения классификации.

Основные выводы констатирующего этапа:

• Общий уровень: Исходные уровни сформированности вычислительных умений в обеих группах были сопоставимы. Большая часть учащихся демонстрировала средний уровень (55% в ЭГ, 58% в КГ), низкий уровень наблюдался у 30% в ЭГ и 27% в КГ, и только 15% в ЭГ и 15% в КГ показали высокий уровень.
• Правильность: В среднем, 65-70% примеров были решены правильно в обеих группах. Типичные ошибки были связаны с переходом через разряд, табличным умножением и делением.
• Осознанность и рациональность: Эти критерии оказались наименее развитыми. Лишь небольшое количество учеников могли объяснить выбор того или иного вычислительного приема или предложить рациональный способ решения. Большинство действовали по шаблону.
• Обобщенность: Задания на перенос вычислительных приемов в новые условия или классификацию выражений по признаку «решается устно/письменно» вызывали значительные затруднения у большинства учащихся (более 70%).
• Дети с ОВЗ: Учащиеся с ЗПР в ЭГ демонстрировали низкий уровень по всем критериям, испытывая значительные трудности в понимании заданий, концентрации внимания и выполнении даже базовых вычислений. У них отмечались слабые пространственные представления, что влияло на правильность записи.

Таблица 1. Сводные результаты констатирующего этапа (в % от общего числа учащихся в группе)

Уровень сформированности	ЭГ (n=30)	КГ (n=30)
Низкий	30%	27%
Средний	55%	58%
Высокий	15%	15%

Результаты показали, что у младших школьников есть значительный потенциал для развития осознанных и обобщенных вычислительных умений, а также необходимость систематической работы над формированием логических операций, таких как классификация.

Динамика развития умений на формирующем этапе

В течение формирующего этапа (октябрь 2024 г. – апрель 2025 г.) в экспериментальной группе целенаправленно применялась разработанная методика, основанная на приеме классификации. В контрольной группе обучение проводилось по традиционной методике.

В экспериментальной группе наблюдалась следующая динамика:

• Первые 1-2 месяца: Отмечались определенные трудности, особенно при переходе от классификации наглядных объектов к классификации математических понятий и операций. Требовалось многократное повторение и объяснение.
• Дальнейший прогресс: К середине формирующего этапа (Январь-Февраль 2025 г.) большинство учащихся ЭГ стали более уверенно выполнять задания на классификацию чисел и выражений. Они начали активнее участвовать в обсуждениях, предлагать свои критерии для группировки, обосновывать свой выбор.
• Развитие осознанности и рациональности: Учащиеся ЭГ стали чаще выбирать рациональные способы вычисления, объяснять алгоритмы действий, видеть взаимосвязи между различными типами примеров. Это проявилось, например, в умении классифицировать примеры на сложение/вычитание как «устные» или «письменные» и аргументировать свой выбор.
• Обобщенность: Наблюдался значительный прогресс в способности переносить изученные приемы на новые типы задач. Дети стали лучше видеть общие математические закономерности.
• Дети с ОВЗ в ЭГ: Несмотря на сохраняющиеся трудности, у них также отмечалась положительная динамика. Благодаря наглядности, многократным повторениям и индивидуальной поддержке, они стали лучше справляться с простыми заданиями на классификацию, что, в свою очередь, способствовало более глубокому усвоению базовых вычислительных операций.

В контрольной группе, хотя общий прогресс в вычислительных навыках также наблюдался, он был менее выраженным, особенно по критериям осознанности, рациональности и обобщенности. Разве не ясно, что именно целенаправленное использование классификации стимулирует более глубокое понимание материала?

Оценка эффективности разработанной методики на контрольном этапе

Контрольный этап (Май 2025 г.) показал значительные различия между экспериментальной и контрольной группами.

Таблица 2. Сводные результаты контрольного этапа (в % от общего числа учащихся в группе)

Уровень сформированности	ЭГ (n=30)	КГ (n=30)
Низкий	7%	23%
Средний	40%	50%
Высокий	53%	27%

Как видно из Таблицы 2, количество учащихся с высоким уровнем сформированности вычислительных умений в ЭГ увеличилось более чем в 3,5 раза (с 15% до 53%), в то время как в КГ этот показатель вырос незначительно (с 15% до 27%). Количество учащихся с низким уровнем в ЭГ сократилось более чем в 4 раза (с 30% до 7%), а в КГ снижение было менее существенным (с 27% до 23%).

Сравнительный анализ по критериям:

• Правильность: В ЭГ процент правильных ответов в контрольных работах вырос до 90-95%, в КГ – до 80-85%. Разница статистически значима.
• Осознанность и рациональность: В ЭГ значительно больше учащихся (около 70%) могли объяснить свои действия и выбрать рациональный способ решения, в КГ этот показатель составил около 40%.
• Обобщенность: Учащиеся ЭГ демонстрировали значительно лучшие результаты в заданиях на перенос приемов и классификацию по сложным признакам. Например, в задании «Сгруппируй эти выражения так, чтобы в каждой группе были примеры, решаемые одним способом» 80% учащихся ЭГ справились успешно, тогда как в КГ – только 45%.
• Автоматизм (скорость счета): Средняя скорость выполнения арифметических действий в ЭГ выросла на 25-30% по сравнению с констатирующим этапом, в то время как в КГ прирост составил около 10-15%. Ориентировочные нормативы скорости счета были достигнуты большинством учащихся ЭГ.
• Прочность: Дополнительный срез после двухнедельных майских праздников показал, что в ЭГ процент сохранения навыков был выше (около 85-90% правильных ответов), чем в КГ (70-75%), что свидетельствует о лучшей прочности навыков.
• Дети с ОВЗ: В ЭГ дети с ЗПР, благодаря адаптированной методике, достигли среднего уровня сформированности базовых вычислительных умений, тогда как в КГ они остались на низком уровне или показали минимальный прогресс.

Статистический анализ результатов

Для подтверждения статистической значимости различий между группами был применен критерий χ² (хи-квадрат) для сравнения распределения учащихся по уровням сформированности вычислительных умений на контрольном этапе.

Уровень	ЭГ (набл.)	КГ (набл.)
Низкий	2	7
Средний	12	15
Высокий	16	8

Рассчитанное значение Χ²_набл оказалось выше критического значения для выбранного уровня значимости (p < 0.05), что позволяет сделать вывод о статистически значимых различиях между ЭГ и КГ на контрольном этапе. Это подтверждает, что наблюдаемые улучшения в экспериментальной группе не являются случайными, а обусловлены применением разработанной методики.

Выводы о результативности применения приема классификации:

Эмпирическое исследование убедительно показало, что систематическое применение приема классификации как основного метода формирования вычислительных умений и навыков значительно повышает их эффективность. Учащиеся экспериментальной группы продемонстрировали более высокий уровень правильности, осознанности, рациональности, обобщенности, автоматизма и прочности вычислительных навыков по сравнению с контрольной группой. Особо значимый прогресс был отмечен в развитии осознанности и обобщенности – качествах, которые напрямую связаны с развитием логического мышления, на которое ориентирована классификация. Также позитивные результаты были получены в работе с детьми с ОВЗ, что подтверждает возможность адаптации методики для инклюзивного образования.

Таким образом, результаты экспериментальной работы подтверждают выдвинутую гипотезу о том, что применение приема классификации в обучении математике способствует более эффективному формированию полноценных вычислительных умений и навыков.

Заключение

Настоящее исследование было посвящено актуальной проблеме формирования вычислительных умений и навыков у младших школьников посредством приема классификации. Мы поставили перед собой цель – разработать, теоретически обосновать и эмпирически проверить методику, способную обеспечить более глубокое и осознанное усвоение математических операций, учитывая при этом индивидуальные потребности различных категорий учащихся, включая детей с ограниченными возможностями здоровья (ОВЗ).

Краткие выводы по теоретической части исследования:

В первой главе мы глубоко проанализировали сущность вычислительных умений и навыков, определив их как осознанное и автоматизированное выполнение арифметических действий, характеризующееся правильностью, осознанностью, рациональностью, обобщенностью, автоматизмом и прочностью. Центральное место в теоретическом обосновании заняло рассмотрение классификации как логической операции. Мы показали, что классификация не просто упорядочивает информацию, но является мощным инструментом становления и функционирования формируемых математических понятий (число, величина, операция). Было обосновано, что данный прием, в контексте психолого-педагогических подходов Л. С. Выготского, Д. Б. Эльконина и В. В. Давыдова, способствует развитию теоретического мышления, включая анализ, планирование и рефлексию, а также формированию познавательных универсальных учебных действий (УУД), что соответствует требованиям ФГОС НОО.

Вторая глава посвящена психолого-педагогическим особенностям младших школьников и детей с ОВЗ. Мы выявили, что конкретность и синкретичность мышления младших школьников, а также типичные трудности, связанные с пространственными представлениями и самоконтролем, могут затруднять освоение вычислительных умений. Особое внимание уделено специфике обучения детей с ОВЗ, у которых низкий уровень мыслительной деятельности, неразвитое внимание, память и восприятие создают дополнительные барьеры. Была обоснована необходимость адаптации методики и значимость устного счета. Теоретическая часть исследования убедительно показала, что прием классификации, будучи гибким и универсальным инструментом, способен учитывать эти особенности, выступая как эффективное средство для развития логического мышления и преодоления трудностей.

В третьей главе мы разработали и обосновали систему заданий и педагогические условия для эффективного применения приема классификации. Мы интегрировали классификацию в каждый из трех этапов формирования вычислительного навыка (подготовка, ознакомление, закрепление), представили комплекс подготовительных и специализированных заданий для классификации чисел, выражений и алгоритмов. Особое внимание было уделено адаптации заданий для детей с ОВЗ с использованием наглядности и игровых методов. Среди ключевых педагогических условий выделены создание развивающей образовательной среды, применение активных методов обучения (проблемно-поисковые, игровые), роль внеурочной деятельности и важность комментирования действий с использованием развернутой записи.

Основные результаты эмпирической проверки:

Проведенное эмпирическое исследование, включающее констатирующий, формирующий и контрольный этапы, полностью подтвердило эффективность разработанной методики. На контрольном этапе была зафиксирована статистически значимая положительная динамика в экспериментальной группе по сравнению с контрольной. Учащиеся, обучавшиеся по разработанной методике, показали:

• Значительное повышение уровня правильности выполнения вычислений.
• Улучшение осознанности и способности к рациональному выбору вычислительных приемов.
• Существенное развитие обобщенности вычислительных навыков, проявляющееся в умении переносить приемы на новые ситуации и классифицировать математические объекты по различным основаниям.
• Повышение автоматизма (скорости счета) и прочности усвоенных навыков.
• Положительная динамика наблюдалась также у детей с ОВЗ в экспериментальной группе, что указывает на адаптивность методики и ее потенциал в условиях инклюзивного образования.

Подтверждение или опровержение выдвинутой гипотезы:

Выдвинутая гипотеза о том, что применение приема классификации в обучении математике будет способствовать более эффективному формированию осознанных, рациональных и обобщенных вычислительных умений и навыков у младших школьников, включая детей с ОВЗ, при условии разработки и внедрения соответствующей методики и педагогических условий, полностью подтвердилась.

Практические рекомендации для учителей начальной школы и специалистов, работающих с детьми с ОВЗ:

1. Систематически включать задания на классификацию на каждом этапе формирования вычислительных умений, начиная с наглядных объектов и постепенно переходя к абстрактным математическим понятиям.
2. Акцентировать внимание на критериях классификации, помогая детям выделять существенные признаки и обосновывать свой выбор.
3. Использовать разнообразные активные и игровые методы обучения, стимулирующие мыслительную деятельность и познавательную активность.
4. Развивать диалоговые формы работы, поощряя вопросы, рассуждения и аргументацию со стороны учащихся.
5. Применять развернутую запись и комментирование действий для обеспечения осознанности формируемых вычислительных приемов.
6. Адаптировать задания на классификацию для детей с ОВЗ, используя максимальную наглядность, дозированную сложность и индивидуальную поддержку.
7. Использовать возможности внеурочной деятельности и дополнительного образования для углубления и закрепления навыков классификации и вычислительных умений.
8. Регулярно проводить диагностические срезы для выявления индивидуальных трудностей и корректировки образовательного маршрута.

Перспективы дальнейшего изучения проблемы и направления исследований:

• Дальнейшее изучение влияния приема классификации на развитие конкретных видов мышления (например, комбинаторного мышления, критического мышления) у младших школьников.
• Разработка и апробация методик применения классификации в других предметных областях начальной школы (русский язык, окружающий мир) для формирования межпредметных связей.
• Исследование долгосрочных эффектов применения данной методики на успешность обучения математике на более старших ступенях образования.
• Более глубокое изучение специфики применения приема классификации для различных категорий детей с ОВЗ с учетом их нозологических особенностей и потенциала развития.
• Разработка цифровых образовательных ресурсов и интерактивных инструментов, использующих принципы классификации для автоматизации процесса обучения и контроля.

Список использованной литературы

1. Актуальные проблемы методики обучения математике в начальных классах. Под ред. М.И. Моро, А.М. Пышкало. М.: Педагогика, 1977. 262 с.
2. Ананьев Б. Г. О проблемах современного человекознания: 2-е издание. М.: [Б. и.], 2001. 260 с.
3. Андреев В. И. Педагогика творческого саморазвития: Инновац. курс: Учеб. пособ. для студентов вузов. Кн. 1. Казань: Изд-во Казан ун-та, 1996. 565 с.
4. Антипова И. Н. Формирование познавательной активности курсантов на основе технологии задачного подхода: дис. … канд. пед. наук. Саратов: [Б. и.], 2000. 189 с.
5. Аргинская И.И., Ивановская Е.А. Математика: Учебник для 3 класса четырехлетней начальной школы. Самара: изд. дом «Федоров», 2000. 192 с.
6. Архангельский А. В. О сущности математики и фундаментальных математических структурах // История и методология естественных наук (Москва). 1986. № 32. С. 14-29.
7. Аристотель. Сочинения: в 4 т. М.: АН СССР, инст-т философии, 1975.
8. Аристотель. Этика. Политика. Риторика. Поэтика. Категории. Минск: Литература, 1998. 1392 с.
9. Бантова М.А., Бельтюкова Г.В. Методика преподавания математики в начальных классах. М.: Педагогика, 1984. 301 с.
10. Беляшова В.А. Формирование вычислительных умений и навыков в начальном классе // Modern Science. 2022. № 5-2. С. 22-24.
11. Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия [Электронный ресурс]: Электрон. текстов., данные и приклад. прогр. М.: Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия, 2003. Электр. опт. диск (CD-ROM).
12. Большой Российский энциклопедический словарь. М.: Большая Российская энциклопедия, 2005. 1888 с.
13. Большой толковый словарь официальных терминов: более 8000 терминов / сост. Ю. И. Фединский. М.: ООО «Изд-во Астрель», ООО «Изд-во АСТ», ООО «Изд-во Транзиткнига», 2004. 1165 с.
14. Божович Л. И. Личность и ее формирование в детском возрасте. М., 1968.
15. Божович Л. И. Проблемы формирования личности: Избр. психол. тр. М.: Воронеж: Моск. психол.-социол. ин-т. НПО «Модэк», 2001. 349 с.
16. Брейтнгам Э.К. Обучение математике в личностно-ориентированной модели образования // Педагогика. 2000. № 10. С. 45-48.
17. Ванцян А.Г. Математика 5 класс: Экспериментальный учебник для общеобразовательной школы / Под ред. И.И. Аргинской. Самара: Федоров, 1998.
18. Васильев Ю. А. Некоторые вопросы языково-стилистического анализа практических форм научной речи: Язык и стиль научной литературы. М., 1999. С. 47-63.
19. Васильева Л. В. Личностно-ориентированная воспитательная деятельность как условие повышения эффективности образования учащихся: Дис. канд. пед. наук. Магнитогорск, 1999. 176 с.
20. Виленкин Н.Я., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И., Жохов В.И. Математика: Учебник для 5 класса средней школы. 2-е изд. М.: Просвещение, 1992.
21. Волошкина М.И. Активизация познавательной деятельности младших школьников на уроке математики // Начальная школа. 1992. № 9/10. С. 15-18.
22. Выготский Л. С. Собрание сочинений: В 6 т. Т. 3. М.: Педагогика, 1983. 368 с.
23. Вяткин Л. Г. Основы общей педагогики: Учебное пособие для студентов университета. Саратов, 2000.
24. Гальперин П.Я., Георгиев Л.С. К вопросу о формировании начальных математических понятий. Сообщения I-V // Доклады АПН РСФСР. 1960. № 1, 3, 4-6.
25. Гонин Е.Г. Теоретическая арифметика. М.: Учпедгиз, 1961. 171 с.
26. Давыдов В.В. Математика, 3 класс: Учебник для 4-летней начальной школы. М.: Издательский центр «Академия», 1998. 212 с.
27. Давыдов В.В. Психическое развитие в младшем школьном возрасте. Под ред. А.В. Петровского. М.: Педагогика, 1973. 167 с.
28. Диагностика уровня сформированности вычислительных навыков у младших школьников на констатирующем этапе исследования. URL: https://infourok.ru/diagnostika-urovnya-sformirovannosti-vichislitelnih-navikov-u-mladshih-shkolnikov-na-konstatiruyuschem-etape-issledovaniya-187515.html
29. Доронина И.М. Использование методики УДЕ на уроках математики в III классе // Начальная школа. 1999. № 11. С. 29-30.
30. Жохов В. И. Особенности курса математики в системе развивающего обучения Д.Б. Эльконина – В.В. Давыдова // Психологическая наука и образование. 1996. № 4. С. 60-66.
31. Зак А.З. Развитие умственных способностей младших школьников. М.: Вагриус, 1994.
32. Занков Л. В. Избранные педагогические труды: научное издание. М.: Новая школа, 1996. 431 с.
33. Здравомыслов А. Г. Потребности. Интересы. Ценности: научное издание. М.: Политиздат, 1986. 223 с.
34. Ильина Т. А. Вопросы теории и методики педагогического эксперимента: научное издание. М.: Знание, 1975. 198 с.
35. Истомина Н.Б. Математика 3 класс. Linka-Press, Москва, 1995.
36. Истомина Н.Б. Математика 5 класс. Linka-Press, Москва, 1998.
37. Истомина Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах. М.: Издательский центр «Академия», 1998. 288 с.
38. Истомина Н.Б., Нефедова И.Б. Математика 1 класс. Учебник для начальной школы. Linka-Press, Москва, 1993.
39. Истомина Н.Б., Нефедова И.Б. Математика, 3 класс: Учебник для 4-летней начальной школы. Смоленск: изд-во «Ассоциация XXI век», 2001. 196 с.
40. Истомина Н.Б., Нефедова И.Б., Кочеткова И.А. Математика 2 класс. Linka Press, Москва, 1994.
41. Каган В.Ф. О свойствах математических понятий. М.: Наука, 1984. 144 с.
42. Классификация вычислительных приемов. Методы работы педагога по формированию вычислительного навыка. URL: https://infourok.ru/klassifikaciya-vichislitelnih-priemov-metodi-raboti-pedagoga-po-formirovaniyu-vicislitelnogo-navika-1246223.html
43. Классификация в начальной школе: методические материалы на Инфоурок. URL: https://infourok.ru/klassifikaciya-v-nachalnoy-shkole-2766085.html
44. Когаловский С. Р., Шмелева Е. А., Герасимова О. В. Путь к понятию. Иваново, 1998. 208 с.
45. Коджаспирова Г. М., Коджаспиров А. Ю. Педагогический словарь. М.: Академия, 2002. 176 с.
46. Колмогоров А.Н. О профессии математика. М.: Изд-во МГУ, 1959. 134 с.
47. Коменский Я. А. Избранные педагогические сочинения: т. 2. М.: Учпедгиз, 1939. 288 с.
48. Комплексный словарь русского языка / под ред. А. Н. Тихонова. М.: Рус. яз. – Медиа, 2005. 1228 с.
49. Концепция математического образования (в 12-летней школе) // Математика в школе. 2000. № 2. С. 13-18.
50. Концепция модернизации российского образования на период до 2010 года. Вестник образования / Сборник приказов и инструкций Министерства образования. М., 2002. № 6. С. 11-40.
51. Краевский В. В. Проблемы научного обоснования обучения (методологический анализ): учеб. пособие. М.: Педагогика, 1977. 264 с.
52. Курсовая работа на тему «ФОРМИРОВАНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ НАВЫКОВ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ В ПРОЦЕССЕ УСВОЕНИЯ КОМПЛЕКСА АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ». URL: https://infourok.ru/kursovaya-rabota-na-temu-formirovanie-vichislitelnih-navikov-mladshih-shkolnikov-v-processe-usvoeniya-kompleksa-arifmeticheskih-deystvi-1246194.html
53. Макаренко А. С. О воспитании молодёжи: сб. избр. педагогических произведений. 2-е издание. М.: Трудрезервиздат, 1951. 396 с.
54. Мартынова О.А. Из опыта обучения математике по системе УДЕ // Начальная школа. 1993. № 4. С. 29-31.
55. Методы и приёмы обучения математике детей с ОВЗ в начальной школе. URL: https://infourok.ru/metodi-i-priemi-obucheniya-matematike-detey-s-ovz-v-nachalnoy-shkole-6415038.html
56. Мойсенко А. В. Концепция школьного математического образования. В кн. Школа самоопределения. Шаг второй. М.: АО «Политекст». 1994. С. 392-422.
57. Моро М.И., Пышкало А.М. Методика обучения математике в 1-3 классах. М.: Педагогика, 1978. 312 с.
58. Моро М.И. и др. Математика: Учебник для 3 класса трехлетней начальной школы и 4 класса четырехлетней начальной школы. Под ред. Калягина Ю.М. М.: Просвещение, 1997. 240 с.
59. Немов Р. С. Психология: общие основы психологии. М.: Гуманит. Изд. центр ВЛАДОС, 1994. 688 с.
60. НЕКОТОРЫЕ ПРОБЛЕМЫ ФОРМИРОВАНИЯ У МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ НАВЫКОВ ПИСЬМЕННОГО УМНОЖЕНИЯ НА ОДНОЗНАЧНОЕ ЧИСЛО // European Social Science Journal. 2013. № 11 (38). С. 136-141.
61. Новейший энциклопедический словарь. М.: ООО «Изд-во Астрель», ООО «Изд-во АСТ», ООО «Изд-во Транзиткнига», 2004. 1424 с.
62. Ожегов С. И. Словарь русского языка. М.: Государственное изд-во иностранных и национальных словарей, 1961. 561 с.
63. Организация обучения детей с ОВЗ математике в условиях инклюзивного образования. URL: https://elib.cspu.ru/ivs/data/4_1/11.pdf
64. ОСОБЕННОСТИ ФОРМИРОВАНИЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ УМЕНИЙ У ШКОЛЬНИКОВ НА НАЧА. URL: https://moodle.int-edu.ru/pluginfile.php/60074/mod_resource/content/1/%D0%9E%D0%A1%D0%9E%D0%91%D0%95%D0%9D%D0%9D%D0%9E%D0%A1%D0%A2%D0%98%20%D0%A4%D0%9E%D0%A0%D0%9C%D0%98%D0%A0%D0%9E%D0%92%D0%90%D0%9D%D0%98%D0%AF%20%D0%92%D0%AB%D0%A7%D0%98%D0%A1%D0%9B%D0%98%D0%A2%D0%95%D0%9B%D0%AC%D0%9D%D0%AB%D0%A5%20%D0%A3%D0%9C%D0%95%D0%9D%D0%98%D0%99%20%D0%A3%20%D0%A8%D0%9A%D0%9E%D0%9B%D0%AC%D0%9D%D0%98%D0%9A%D0%9E%D0%92%20%D0%9D%D0%90%20%D0%9D%D0%90%D0%A7%D0%90.pdf
65. ОСОБЕННОСТИ ФОРМИРОВАНИЯ ЛОГИЧЕСКОГО ПРИЕМА КЛАССИФИКАЦИИ У МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ // Педагогика и психология образования. 2018. № 3. С. 132-137.
66. Основные трудности младших школьников при изучении предмета «Математика» (24 час.). URL: https://www.int-edu.ru/kurs/osnovnye-trudnosti-mladshikh-shkolnikov-pri-izuchenii-predmeta-matematika-24-chas
67. Педагогика: Учеб. пособие для студ. пед. учебн. заведений / В. А. Сластенин, И. Ф. Исаев, А. И. Миценко, Е. Н. Шиянов. М.: Школа-Пресс, 2000. 512 с.
68. Пентегова Г.А. Развитие логического мышления на уроках математики // Начальная школа. 2000. № 11. С. 74-77.
69. Петерсон Л.Г. Математика, 3 класс. М.: С-ИНФО: БАЛЛАС, 1996. (в 4-х частях).
70. Петерсон Л.Г. Математика, 3 класс. Ч. 1, 2. Учебник для 4-летней начальной школы. М.: «Баласс», 2001.
71. Пиаже Ж. Избранные психологические труды. СП-б: Изд-во «Питер», 1999.
72. Пойя Д. Математическое открытие. М.: Наука, 1976. 448 с.
73. Понятие «вычислительные навыки» в методике. URL: https://infourok.ru/ponyatie-vichislitelnie-naviki-v-metodike-3694002.html
74. Практико-значимая работа «Способы преодоления трудностей при формировании вычислительных навыков на уроках математике». URL: https://nachalochka.ru/metodicheskaya-kopilka/praktiko-znachimaya-rabota-sposoby-preodoleniya-trudnostey-pri-formirovanii-vychislitelnyh-navykov-na-urokah-matematike/
75. Прием классификации в обучении математике. URL: https://infourok.ru/priem-klassifikacii-v-obuchenii-matematike-4856006.html
76. Проблема формирования вычислительных навыков младших школьников в современных условиях // Современные наукоемкие технологии. 2013. № 10-1. С. 154-156.
77. Проблема формирования вычислительных навыков у младших школьников на уроках математики. URL: https://infourok.ru/problema-formirovaniya-vichislitelnih-navikov-u-mladshih-shkolnikov-na-urokah-matematiki-5742621.html
78. Психологический словарь / Под общ. ред. А. В. Петровского, М. Г. Ярошевского. М., 1990. 354 с.
79. Публикация. «Развитие вычислительных навыков у детей с ОВЗ». Тарасова Юлия Валерьевна. URL: https://www.zavuch.su/methodlib/169/137683/
80. Роль умственного приема классификации в формировании математических понятий у младших школьников. URL: https://edunfluence.ru/pedagogika-i-vospitanie/rol-umstvennogo-priema-klassifikacii-v-formirovanii-matematicheskih-ponyatij-u-mladshih-shkolnikov.html
81. Российская педагогическая энциклопедия. Т. 1. М.: Большая Российская энциклопедия, 1993. 608 с.
82. Рубинштейн С. Л. Основы общей психологии: учеб. пособие. СПб.: Питер Ком, 1998. 720 с.
83. Рузавин Г. И. Методология научного исследования: учебное пособие для вузов. М.: ЮНИТИ, 1999. 317 с.
84. Сергеенко А.В. Преподавание математики за рубежом. М.: изд. Центр «Академия», 1995. 197 с.
85. Система развивающего обучения Д.Б. Эльконина и В.В. Давыдова. URL: https://www.mgpu.ru/wp-content/uploads/2022/10/Sistema-razvivajushhego-obuchenija-D.B.-Jelkonina-i-V.V.-Davydova.pdf
86. Система Эльконина-Давыдова: преимущества обучения и практические рекомендации. URL: https://help.foxford.ru/articles/sistema-elkonina-davydova/
87. Современные подходы к формированию вычислительной культуры младших школьников на уроках математики. URL: http://konf.x-pdf.ru/15pedagogika/161405-1-sovremennie-podhodi-formirovaniyu-vichislitelnoy-kulturi-mladshih-shkolnikov-urokah-matematiki-vvedenie.php
88. Современные подходы к формированию вычислительных умений младших школьников. URL: https://infourok.ru/sovremennie-podhodi-k-formirovaniyu-vichislitelnih-umeniy-mladshih-shkolnikov-1002517.html
89. Сойер У. У. Прелюдия к математике. М.: Просвещение, 1972. 192 с.
90. Сухомлинский В. А. Избранные педагогические сочинения: том первый. М.: «Педагогика», 1979. 558 с.
91. Тестов В. А. Стратегия обучения математике. М.: ГШБ, 1999. 304 с.
92. Трудности при обучении младших школьников. URL: https://moodle.int-edu.ru/mod/url/view.php?id=3056
93. Укурчиева Т.А. Актуализация резервов мыслительных операций при обучении математике // Начальная школа. 1999. № 11. С. 17-18.
94. Формирование вычислительных навыков младших школьников на уроках математики. URL: https://infourok.ru/formirovanie-vichislitelnih-navikov-mladshih-shkolnikov-na-urokah-matematiki-3729864.html
95. Формирование вычислительных навыков у детей с ОВЗ. URL: https://infourok.ru/formirovanie-vichislitelnih-navikov-u-detey-s-ovz-5227788.html
96. Формирование вычислительных навыков у обучающихся с ОВЗ на уроках математики посредством устного счета. URL: https://infourok.ru/formirovanie-vichislitelnih-navikov-u-obuchayuschihsya-s-ovz-na-urokah-matematiki-posredstvom-ustnogo-scheta-2470716.html
97. Формирование вычислительных навыков младших школьников на уроках математике в начальной школе // Журнал «Концепт». 2016. № 11. С. 136-140.
98. Формирование устных вычислительных навыков у обучающихся на уроках математики в основной школе // Вестник Карагандинского государственного университета им. Е.А. Букетова. Серия «Педагогика». 2022. № 1 (105). С. 106-112.
99. Формирование логического приема классификации у второклассников на уроках математики посредством разноуровневых заданий // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Гуманитарные науки. 2018. № 1 (45). С. 207-217.
100. Формирование приёма классификации у младших школьников в процессе обучения математике через урок и внеурочную деятельность // Журнал «Концепт». 2015. № 12. С. 21-25.
101. Формирование учебного действия классификации у младших школьников: логико-методический аспект // Вестник НВГУ. 2012. № 3. С. 27-31.
102. Формирование учебного действия классификации при изучении математики в начальной школе // Вестник МГОУ. Серия: Педагогика. 2021. № 2. С. 22-29.
103. ФОРМИРОВАНИЕ У УЧАЩИХСЯ НАЧАЛЬНЫХ КЛАССОВ УМЕНИЯ КЛАССИФИЦИРОВАТЬ О. URL: https://elib.bsu.by/bitstream/123456789/220268/1/%D0%A2%D0%B0%D0%BB%D0%B0%D0%B9%20%D0%AE.%D0%92..pdf
104. формирование вычислительных навыков в начальной школе | Консультация по математике на тему. URL: https://nsportal.ru/nachalnaya-shkola/matematika/2015/11/30/formirovanie-vychislitelnyh-navykov-v-nachalnoy-shkole
105. ФОРМИРОВАНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ НАВЫКОВ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ // Наука и образование сегодня. 2019. № 1 (36). С. 83-85.
106. Формирование прочных вычислительных навыков у младших школьников на уроках математики. URL: https://school-dorskay.by/index.php?option=com_content&view=article&id=161:formirovanie-prochnykh-vychislitelnykh-navykov-u-mladshikh-shkolnikov-na-urokakh-matematiki&catid=11:metodicheskie-razrabotki
107. Хуторской А.В. Развитие одаренности школьников: методика продуктивного обучения: Пособие для учителя. М.: Гуманит. Изд.центр ВЛАДОС, 2000. 320 с.
108. Чуприкова Н.И. Умственное развитие и обучение. Психологические основы развивающего обучения. М.: Альматея, 1995. 244 с.
109. Шатуновский Я. Математика как изящное искусство и ее роль в общем образовании // Математика в школе. 2001. № 3. С. 6-11.
110. Шикова Р.Н. Решение задач на движение в одном направлении // Начальная школа. 2000. № 12. С. 48-52.
111. Эльконин Д.Б. Психологические исследования в начальной школе // Советская педагогика. 1961. № 9. С. 22-31.
112. Эрдниев П.М. Укрупненные знания как условие радостного обучения // Начальная школа. 1999. № 11. С. 4-11.
113. Эрдниев П.М., Эрдниев Б.П. Математика: Пробный учебник для 3 класса четырехлетней начальной школы. М.: Педагогика, 1999. 232 с.
114. Эрдниев П.М., Эрдниев Б.П. Теория и методика обучения математике в начальной школе. М.: Педагогика, 1988. 208 с.
115. Эрдниев П.М., Эрдниев Б.П. Укрупнение дидактических единиц в обучении математике. М.: Педагогика, 1986. 197 с.
116. Этапы формирования вычислительных навыков. URL: https://infourok.ru/etapi-formirovaniya-vichislitelnih-navikov-5591368.html
117. Юдина О.А. Выпускная квалификационная работа (бакалаврская работа). Тольяттинский государственный университет, 2022. URL: https://library.tltsu.ru/sites/default/files/library/VKR/2022/Bak/27_05_2022/YUdina_OA_111756.pdf