Содержание
Введение 2
Глава 1. Дифференциальные уравнения в частных производных. Методы их решения. 4
1.1 Дифференциальные уравнения в частных производных 4
1.2 Использование дифференциальных уравнений с частными производными в науке и технике 6
Глава 2. Дистанционное обучение. Постановка задачи 9
2.1 Дистанционное обучение в ГУМРФ 9
2.2. Постановка задачи 9
Глава 3. Основные задачи теории ДУ с частными производными. 11
3.1 Распространение тепла в стержне 11
3.2. Вывод волнового уравнения 12
3.3. Общие сведения об уравнении Лапласа. 13
3.3.1. Уравнение Лапласа в декартовых и в полярных координатах 13
3.2.4. Решение задачи Дирихле в круге методом Фурье 15
Глава 4. Метод Фурье для решения уравнений 22
Глава 5. Разработка электронного курса 26
5.1 Архитектура проекта. 26
5.2. Главный модуль 27
5.3. Обучающие модули 27
Заключение 69
Библиографический список 70
Выдержка из текста
Для нахождения решения научных и инженерных задач постоянно возникает потребность математического описания заданных систем. Математическая модель очень часто сводится к дифференциальным уравнениям или системам дифференциальных уравнений. Примером дифференциальных уравнений, которые возникают при решении такого рода задач, являются уравнения в частных производных. Известные методы точного интегрирования дифференциальных уравнений позволяют находить решение в виде аналитических функций, однако эти методы применимы для достаточно ограниченного класса функций. Большинство уравнений и их систем, которые встречаются при решении практических задач нельзя проинтегрировать с помощью этих методов.
В таких случаях применяют численные методы решения, которые дают решение дифференциальных уравнений и их систем не в виде аналитических функций, а в виде таблиц значений функций в зависимости от значений переменных. Применяется несколько методов численного нахождения решений дифференциальных уравнений, которые отличаются друг от друга по сложности вычислений и точности результатов.
В настоящее время существует большое число различных профессиональных программных продуктов (например, Maple, MаthСАD, MаtLАB и т.д.), применяя которые, можно, задав исходные данные, найти решение большого количества задач.
Применение таких программных продуктов дает возможность значительно сократит затраты времени и ресурсов при решении ряда важнейших задач. Следует отметить, что применение этих программных продуктов без тщательного анализа методов, с помощью которых решаются задачи, нельзя дать гарантию, что задачи будут решены верно.
Современные технологии позволяют студентам обучаться не только на аудиторных занятиях в ВУЗе, но и удаленно. В сети Internet можно найти множество ресурсов по решению волновых уравнений, где представлена информация о методах решения, но она не всегда систематизирована, не всегда для разъяснения используются примеры, часто материал перегружен теорией (выводами и доказательствами). К тому же не все описанные методики поясняются на примерах, что значительно упростило бы понимание материала.
Целью выполнения данного дипломного проекта является создание обучающего электронного ресурса для нахождения решений дифференциальных уравнений в частных производных, реализованного при помощи пакета Maple.
Для достижения цели дипломной работы поставлены следующие задачи:
1. Изучить предметную область – решение уравнений в частных производных методом Фурье (методом разделения переменных) в случае уравнений параболического, гиперболического и эллиптического типов;
2. Рассмотреть детали применения основных алгоритмов решения с использованием пакета Maple;
3. Создать электронный ресурс;
4. Разработать методику применения данного электронного средства обучения.
Теоретической базой дипломной работы являются труды отечественных и зарубежных ученых, а также техническая документация по среде математических вычислений Maple.
В дальнейшем этот курс будет размещен на образовательном портале ГУМРФ имени адмирала С.О. Макарова для доступа к нему студентов и курсантов ВУЗа.
Курс состоит из модулей с отдельной темой в каждом из них, что позволяет в дальнейшем расширить курс, добавив в него новые разделы на усмотрение преподавателя.
Список использованной литературы
1. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М. “Наука”.1981.
2. Бицадзе А.В. Уравнения смешанного типа. М.1959.
3. .Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике. М. “Наука”.1979.
4. Соболев С.Л. Уравнения математической физики. М. “Гостехиздат”.1954.
5. Смирнов В.И. Курс высшей математики, Т.2.,Т.4.М. “Физматгиз”. 1958.
6. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. М.1985.
7. Хёрмандер Л. Линейные дифференциальные уравнения с частными производными. М. “Мир”. 1965.
8. Петровский И.Г. Лекции по теории интегральных уравнений. М. Из-во МГУ.1984.
9. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М. “Наука”.1989.
10. Годунов С.К. Уравнения математической физики. М. “Наука”.1971.
11. Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных. М. “ИЛ”.1957.
12. Алексеев Е.Р., Чеснокова О.Р. Решение задач вычислительной математики в пакетах Mathcad 12, MATLAB 7, Maple 9. – М.:НТ Пресс, 2006, 496 с.
13. Васильева А.Б., Тихонов Н.А. Интегральные уравнения. – 2-е изд., стереот. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. – 160 с.
14. Голоскоков Д.П. Уравнения математической физики. Решение задач в системе Maple. Учебник для вузов – СПб.:Питер, 2004, – 539 с.
15. Верлань А.Ф., Сизиков В.С. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы. Справочное пособие. – Киев: Наукова Думка, 1986, 544 с.
16. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Интегральные уравнения: Задачи и примеры с подробными решениями: Учебное пособие. Изд. 3-е, испр. – М.: Едиториал УРСС, 2003. – 192 с.
17. Положение об образовательном портале ГУМРФ имени адмирала С.О. Макарова, 2014
18. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. 3-е изд. – М., СПб: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1950, 696 с.