Содержание
Глава 1. Различные подходы к определению логарифмической и показательной функций
1.1. Обобщение понятия степени
Степенью числа a с натуральным показателем n, большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен a:
В выражении an: число а (повторяющийся множитель) называют основанием степени; число n (показывающее сколько раз повторяется множитель) – показателем степени. Например: 25 = 2•2•2•2•2 = 32, здесь: 2 – основание степени, 5 – показатель степени, 32 – значение степени. Отметим, что основание степени может быть любым числом. Отметим, что основание степени может быть любым числом.
Вычисление значения степени называют действием возведения в степень. Это действие третьей ступени. То есть при вычислении значения выражения, не содержащего скобки, сначала выполняют действие третьей ступени, затем второй (умножение и деление) и, наконец, первой (сложение и вычитание).
Для записи больших чисел часто применяются степени числа 10. Так, расстояние от земли до солнца примерно равное 150 млн. км, записывают в виде 1,5 • 108.
Каждое число больше 10 можно записать в виде: а • 10n , где 1 ≤ a < 10 и n – натуральное число. Такая запись называется стандартным видом числа. Например: 4578 = 4,578 • 103; 103000 = 1,03 • 105.
Свойства степени с натуральным показателем:
1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели степеней складываются am• an = am + n.
2. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели степеней вычитаются: am / an = am-n, где, m > n, a ≠ 0.
1.3.2. Свойства логарифмов
Логарифмическая функция – функция вида , где а – заданное число,
Логарифмическая функция обладает свойствами:
Область определения логарифмической функции – множество всех положительных чисел.
Множество значений логарифмической функции – множество R всех действительных чисел
Логарифмическая функция является возрастающей на промежутке , если , и убывающей, .
Если , то функция принимает положительные значения при , отрицательные при .
Если , то функция принимает положительные значения при , отрицательные значения при .
График любой логарифмической функции проходит через точку (1;0).
Логарифмическая функция и показательная функция взаимно обратны.
Пусть функция монотонна (возрастает или убывает) в своей области определения . Тогда каждому значению соответствует единственное значение и обратно: каждому значению соответствует единственное значение . Значит, в этом случае можно построить новую функцию, определенную на и такую, что каждому
Выдержка из текста
Актуальность темы. Процессы, описываемые логарифмической и показательной функциями, находят повсеместное распространение в самых различных областях науки – в физике, химии, биологии, экономике и др. Например, с помощью показательных, в частности экспоненциальных функций, описываются законы органического роста (численность живых организмов, число научных статей), процессы выравнивания. По показательному закону убывает разность между нормальным содержанием гемоглобина и имеющимся количеством этого вещества, происходит разрушение внезапно выделенному в кровь адреналина и др. По логарифмическим спиралям закручены галактики, ракушки. Изучение данных функций необходимо и достаточно интересно.
Дипломная работа посвящена исследованию различных подходов к определению логарифмической и показательной функций. В работе рассматривается, как вводятся указанные функции в курсе алгебры и начал анализа, и как можно их определить при дальнейшем изучении различных разделов высшей математики.
Цель исследования заключается в том, чтобы провести анализ различных походов к построению теории показательной и логарифмической функций.
Список использованной литературы
Список использованной литературы
1. Азевич А. И. Двадцать уроков гармонии: Гуманитарно-математический курс / А. И. Азевич. – М. : Школа-Пресс,1998. – 160 с.
2. Алгебра и начала математического анализа : учебник для 10-11 классы / Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин. – М. : Просвещение, 2012. – 464 с.
3. Алгебра и начала математического анализа : учебник для 10-11 классы, ч. 1 / А. Г. Мордкович. – М. : Мнемозина, 2013. – 400 с.
4. Алгебра и начала математического анализа : учебник для 10-11 классы / А. Н. Колмогоров, М. А. Абрамов. – М. : Просвещение, 2008. – 387 с.
5. Борисова И. Г. Методика введения логарифмической и показательной функций в классах физико-математического профиля / И. Г. Борисова // Вестник БГПУ: психолого-педагогические науки. Вып. 3. – Барнаул : Изд-во БГПУ, 2003. – С. 62-64.
6. Виленкин Н. Я. Алгебра и математический анализ для 11 класса : учеб. пособие для учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математики / Н. Я. Виленкин, О. С. Ивашев-Мусатов, С. И. Шварцбурд. – 6-е изд. – М. : Просвещение, 1998. – 288 с.
7. Виленкин Н. Я. Алгебра и математический анализ. 11 кл. : учеб. пособие для шк. и кл. с углубл. изуч. математики / Н. Я. Виленкин, О. С. Ивашев-Мусатов, С. И. Шварцбурд. – 11-е изд., стереотип. – М. : Мнемозина, 2004. – 288 с.
8. Дорофеев Г. В., Затакавай В. В. Изучение показательной и логарифмической функций на основе понятий и методов математического анализа / Г. В. Дорофеев, В. В. Затакавай // Математика в школе. – 1989. – №6. – С. 82-91.
9. Задачи по математике. Алгебра и анализ / М. И. Башмаков, Б. М. Беккер. – М. : Наука, 1982. – 192 с.
10. Избранные главы математического анализа в задачах : учебное пособие / В. А. Далингер, С. Д. Симонженков. – Омск : Изд-во ООО «Амфора», 2010. – 126 с.
11. Исследование функций, связанных с логарифмической и показательной, построение графиков этих функций с применением производной : методическое пособие / И. Г. Попова. – Барнаул : Изд-во Алтайская правда, 2006. – 36 с.
12. Колмогоров А. Н. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 класс : учебник / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др. – 17-е изд. – М. : Просвещение, 2008. – 384 с.
13. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа / Л. Д. Кудрявцев. Том 2. – М. : Дрофа, 2004. – 720 с.
14. Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? Элементарный очерк идей и методов / Р. Курант, Г. Роббинс. – 3-e изд., испр. и доп. – М. : МЦНМО, 2001. – 568 с.
15. Любецкий В. А. Основные понятия школьной математики : учебное пособие для студентов пед. ин-тов по спец. №2104 «Математика» / В. А. Любецкий. – М. : Просвещение, 1987. – 400 с.
16. Маркушевич А. И. Краткий курс теории аналитических функций / А. И. Маркушевич. – изд. 3-е, испр. и доп. – М. : ФМЛ, 1966. – 388 с.
17. Мордкович А. Г., Семенов П. В. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс (профильный уровень). Часть 1 : учебник / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. – 6-е изд., стер. – М. : Мнемозина, 2012. – 287 с.
18. Попова И. Г. К раскрытию значения и смысла логарифмической и показательной функций / И. Г. Попова // Проблемы теории и практики обучения математике: сб. науч. раб., представленных на международную научную конференцию «57-е Герценовские чтения» ; под ред. В. В. Орлова. – СПб. : Изд-во РГПУ им. А. И. Герцена, 2004. – С. 160-161.
19. Самсонов П. И. Математика: Полный курс логарифмов. Естественно-научный профиль / П. И. Самсонов. – М. : Школьная Пресса, 2005. – 208 с.
20. Уваренков И. М., Маллер М. З. Курс математического анализа. Том I / И. М. Уваренков, М. З. Маллер. – М. : Просвещение, 1966. – 325 с.
21. Хрестоматия по истории математики. Математический анализ. Теория вероятностей : пособие для студентов пед. ин-тов / Под ред. А. П. Юшкевича. – М. : «Просвещение», 1977. – 224 с.