Ключевой факт: В современной неоклассической теории потребителя Хиксианская функция спроса, или компенсированный спрос, является единственной функцией, которая гарантированно удовлетворяет фундаментальному Закону спроса (неположительность собственного эффекта цены) для всех типов товаров, включая так называемые «товары Гиффена», что делает ее незаменимым инструментом для строгого экономического анализа.
Введение в Теорию Компенсированного Спроса
Теория потребительского выбора составляет краеугольный камень современной микроэкономики. Она стремится объяснить, как рациональный индивид распределяет ограниченный доход между различными благами с целью максимизации полезности. Исходной и наиболее известной моделью является Маршаллианская (некомпенсированная) функция спроса ($x_{i}^{M}(p, I)$), которая выражает спрос на благо как функцию его цены ($p$) и общего денежного дохода потребителя ($I$).
Однако при изменении цены Маршаллианский спрос отражает общий эффект, который включает два разнонаправленных компонента:
- Эффект замещения: Изменение относительной привлекательности блага.
- Эффект дохода: Изменение реальной покупательной способности потребителя.
Для целей строгого теоретического анализа и точного измерения изменений благосостояния необходимо изолировать эффект замещения, устранив влияние изменения покупательной способности, что и обеспечивает Хиксианская функция спроса ($x_{i}^{H}(p, \bar{u})$). Эта функция, названная в честь Джона Р. Хикса, разработавшего концепцию компенсированного спроса, сохраняет неизменным не денежный доход, а уровень полезности ($\bar{u}$). Таким образом, мы получаем инструмент для анализа чистого потребительского поведения, свободный от искажающего воздействия изменения реального благосостояния.
Цель настоящего академического обзора — провести строгий анализ Хиксианской функции спроса, раскрыть ее теоретическую сущность через призму двойственной задачи потребительского выбора, представить математический вывод, рассмотреть ее ключевые свойства в рамках теории двойственности и продемонстрировать ее фундаментальное значение для разложения ценовых эффектов (Уравнение Слуцкого) и точного измерения изменений благосостояния.
Теоретические Основы: Вывод Хиксианской Функции из Задачи Минимизации Расходов
В отличие от Маршаллианского спроса, который вытекает из задачи максимизации полезности при фиксированном доходе (прямая задача), Хиксианская функция спроса является решением двойственной задачи потребительского выбора — задачи минимизации расходов (EMP, Expenditure Minimization Problem).
Экономический смысл задачи EMP заключается в поиске минимального денежного расхода, который необходим потребителю для достижения заранее заданного и фиксированного уровня благосостояния, представленного определенным уровнем полезности ($\bar{u}$).
Формальная Постановка Задачи и Метод Лагранжа
Формально задача минимизации расходов ставится следующим образом:
minx Σi=1n pixi при условии, что u(x1, x2, ..., xn) ≥ &bar;u
где:
- $p_{i}$ — цена $i$-го блага.
- $x_{i}$ — количество $i$-го блага.
- $\bar{u}$ — заданный (фиксированный) уровень полезности.
Для решения этой условной задачи минимизации традиционно используется метод множителей Лагранжа. Составляется функция Лагранжа ($L$):
L(x1, ..., xn, λ) = Σi=1n pixi + λ(&bar;u - u(x1, ..., xn))
где $\lambda$ — множитель Лагранжа.
Оптимальный компенсированный набор товаров $(x_{1}^{*}, \dots, x_{n}^{*})$ находится путем решения системы условий первого порядка, полученных путем взятия частных производных функции Лагранжа и приравнивания их к нулю:
∂L / ∂xi = pi - λ(∂u / ∂xi) = 0 для всех i = 1, ..., n
∂L / ∂λ = &bar;u - u(x1, ..., x_{n}) = 0
Из первого набора уравнений следует ключевое условие оптимальности:
pi / pj = (∂u / ∂xi) / (∂u / ∂xj) = MRSij
То есть, как и в случае максимизации полезности, в точке оптимума отношение цен должно быть равно предельной норме замещения (MRS). Решение этой системы уравнений позволяет выразить оптимальное количество $x_{i}$ как функцию цен $p$ и заданного уровня полезности $\bar{u}$. Эта функция и есть Хиксианская функция спроса:
xiH = hi(p1, ..., pn, &bar;u)
Экономический Смысл Множителя Лагранжа ($\lambda$)
Множитель Лагранжа ($\lambda$) в задаче минимизации расходов имеет глубокий экономический смысл. Из условий первого порядка следует, что:
λ = pi / (∂u / ∂xi)
Поскольку $\partial u / \partial x_{i}$ представляет собой предельную полезность $i$-го блага, а $p_{i}$ — его цену, $\lambda$ интерпретируется как отношение цены блага к его предельной полезности. В точке оптимума это отношение должно быть одинаковым для всех благ.
Более фундаментальная интерпретация $\lambda$ связана с функцией расходов $e(p, \bar{u}) = \sum p_{i} x_{i}^{*}$. Множитель Лагранжа $\lambda$ численно равен частной производной функции расходов по уровню полезности:
λ = ∂e(p, &bar;u) / ∂&bar;u
Следовательно, $\lambda$ представляет собой предельные расходы, необходимые для достижения дополнительной (предельной) единицы полезности при фиксированных ценах. Он показывает, насколько увеличатся минимальные расходы, если потребитель захочет повысить свой уровень полезности $\bar{u}$ на бесконечно малую величину, а это ключевой показатель для оценки эффективности экономических интервенций.
Свойства Компенсированного Спроса и Теория Двойственности
Хиксианская функция спроса является краеугольным камнем теории двойственности. Эта теория устанавливает симметричные взаимосвязи между прямой задачей (максимизация полезности) и двойственной задачей (минимизация расходов). В центре этой системы находится функция расходов $e(p, \bar{u})$.
Функция расходов показывает минимальную сумму денег, необходимую для достижения уровня $\bar{u}$. Именно через функцию расходов проявляются ключевые свойства компенсированного спроса.
Лемма Шепарда и Функция Расходов
Фундаментальное соотношение между функцией расходов и Хиксианским спросом устанавливается Леммой Шепарда. Эта лемма утверждает, что компенсированный спрос на $i$-е благо равен частной производной функции расходов по цене этого блага.
Формула Леммы Шепарда:
hi(p, &bar;u) = ∂e(p, &bar;u) / ∂pi
Экономический смысл: Если цена $p_{i}$ незначительно возрастает, минимальные расходы потребителя, необходимые для поддержания прежнего уровня полезности $\bar{u}$, увеличатся ровно на ту величину, которая равна объему потребления этого товара $x_{i}$.
| Свойство Функции Расходов $e(p, \bar{u})$ | Следствие для Хиксианского Спроса $h_{i}(p, \bar{u})$ (через Лемму Шепарда) |
|---|---|
| Неубывающая по ценам | $h_{i}(p, \bar{u}) \geq 0$ (неотрицательный спрос) |
| Вогнутая по ценам | Собственный ценовой эффект невозрастающий ($\partial h_{i} / \partial p_{i} \leq 0$) |
| Однородность первой степени по ценам | $h_{i}(p, \bar{u})$ однородна нулевой степени по ценам |
Строгие Свойства Хиксианского Спроса
Свойства, вытекающие из задачи минимизации расходов, имеют решающее значение для академического анализа:
- Однородность нулевой степени по ценам:
Если все цены $p$ умножить на константу $t > 0$, компенсированный спрос не изменится: $h_{i}(t p, \bar{u}) = h_{i}(p, \bar{u})$. Это логично, поскольку пропорциональное изменение всех цен не меняет относительных цен, а поскольку уровень полезности $\bar{u}$ фиксирован, оптимальный набор остается прежним. - Закон компенсированного спроса (Невозрастание собственного эффекта цены):
Частная производная Хиксианского спроса по собственной цене всегда неположительна:
∂hi(p, &bar;u) / ∂pi ≤ 0
Это свойство гарантирует, что Хиксианская кривая спроса всегда имеет отрицательный или нулевой наклон. Повышение цены $p_{i}$ при прочих равных условиях (и компенсации дохода для сохранения $\bar{u}$) не может привести к увеличению компенсированного спроса на это благо. Это фундаментальное отличие от Маршаллианского спроса, где этот закон может нарушаться (см. товары Гиффена). - Симметрия Матрицы Замещения:
Матрица замещения $S$, элементы которой представляют собой перекрестные производные Хиксианского спроса по ценам ($S_{ij} = \partial h_{i} / \partial p_{j}$), является симметричной.
∂hi / ∂pj = ∂hj / ∂p_{i} для всех i ≠ j
Это означает, что эффект замещения блага $j$ на благо $i$ при изменении цены $p_{j}$ равен эффекту замещения блага $i$ на благо $j$ при изменении цены $p_{i}$. Данное строгое математическое свойство гарантирует внутреннюю непротиворечивость модели рационального потребительского выбора.
Сравнительный Анализ: Хиксианский против Маршаллианского Спроса
Принципиальное различие между двумя функциями спроса заключается в том, что они фиксируют разные параметры при анализе изменения цены. Если Маршаллианский спрос наблюдаем непосредственно, то Хиксианский спрос остается сугубо теоретической, но необходимой конструкцией.
| Критерий | Маршаллианский Спрос ($x_{i}^{M}(p, I)$) | Хиксианский Спрос ($x_{i}^{H}(p, \bar{u})$) |
|---|---|---|
| Фиксированный параметр | Денежный доход ($I$) | Уровень полезности ($\bar{u}$) |
| Отражаемый эффект | Общий эффект цены (Замещение + Доход) | Только эффект замещения |
| Нарушение Закона спроса | Возможно (для товаров Гиффена) | Невозможно (всегда $\partial h_{i} / \partial p_{i} \leq 0$) |
| Задача | Максимизация полезности | Минимизация расходов |
Элиминирование Эффекта Дохода и Товары Гиффена
Компенсированный спрос назван так потому, что любое изменение цены блага компенсируется гипотетическим изменением денежного дохода потребителя, необходимым для того, чтобы потребитель оставался на той же кривой безразличия (том же уровне $\bar{u}$).
Поскольку Хиксианская функция отражает только эффект замещения, она исключает эффект дохода. Это имеет критическое значение для анализа:
- Эффект замещения всегда направлен против изменения цены: если цена $p_{i}$ падает, эффект замещения требует увеличения спроса на $x_{i}$.
- Эффект дохода может быть направлен как в ту же сторону (нормальные блага), так и в противоположную (низшие блага).
Исключая эффект дохода, Хиксианская функция гарантирует, что снижение цены всегда ведет к росту спроса, а рост цены — к снижению. Таким образом, Хиксианский спрос устраняет теоретическую возможность существования товаров Гиффена — экстремально низших благ, для которых отрицательный эффект дохода доминирует над положительным эффектом замещения, приводя к нетипичному росту спроса при росте цены. Каким образом нам следует интерпретировать этот факт? Он означает, что чистый поведенческий отклик потребителя на изменение относительной цены всегда рационален, а иррациональность спроса возникает только за счет воздействия на покупательную способность.
Графическая Интерпретация
Графическое различие между двумя кривыми спроса зависит от типа товара. Предположим, цена блага $i$ падает ($p_i \downarrow$).
1. Нормальные товары (Эффект дохода положителен):
Снижение цены увеличивает реальный доход. Эффект дохода (положительный) усиливает эффект замещения (положительный).
- Маршаллианский спрос ($x_{i}^{M}$) увеличивается сильнее, чем Хиксианский ($x_{i}^{H}$).
- На графике Маршаллианская кривая спроса проходит правее Хиксианской.
2. Низшие товары (Эффект дохода отрицателен):
Снижение цены увеличивает реальный доход. Отрицательный эффект дохода компенсирует положительный эффект замещения.
- Маршаллианский спрос ($x_{i}^{M}$) увеличивается меньше, чем Хиксианский ($x_{i}^{H}$).
- На графике Маршаллианская кривая спроса проходит левее Хиксианской.
Исключение эффекта дохода делает Хиксианскую кривую спроса более «крутой» (менее эластичной по цене) для нормальных товаров и более «пологой» (более эластичной) для низших товаров, чем Маршаллианская.
Фундаментальная Связь: Уравнение Слуцкого
Фундаментальная связь между Маршаллианским и Хиксианским спросом устанавливается Уравнением Слуцкого (или тождеством Слуцкого), названным в честь русского экономиста Евгения Слуцкого. Это уравнение является основным инструментом декомпозиции общего ценового эффекта.
Математическая Формулировка и Декомпозиция
Уравнение Слуцкого формально выражает общий эффект изменения цены блага $j$ на спрос на благо $i$ (левая часть) как сумму двух компонентов: эффекта замещения (первый член в правой части) и эффекта дохода (второй член в правой части).
Математическая форма Уравнения Слуцкого (в дифференциальной форме):
∂xiM(p, I) / ∂pj = ∂xiH(p, &bar;u) / ∂pj - xj(p, I) · ∂xiM(p, I) / ∂I
где:
- Общий эффект (Маршаллианский): $\partial x_{i}^{M}(p, I) / \partial p_{j}$ — Изменение спроса на благо $i$ при изменении цены блага $j$.
- Эффект замещения (Хиксианский): $\partial x_{i}^{H}(p, \bar{u}) / \partial p_{j}$ — Изменение спроса на благо $i$ при изменении цены блага $j$, при условии сохранения уровня полезности $\bar{u}$. Этот эффект связан с изменением относительных цен.
- Эффект дохода: $- x_{j}(p, I) \cdot \partial x_{i}^{M}(p, I) / \partial I$ — Изменение спроса на благо $i$, вызванное изменением реального дохода, которое эквивалентно изменению цены $p_{j}$.
- $x_{j}(p, I)$ — объем потребления блага $j$.
- $\partial x_{i}^{M}(p, I) / \partial I$ — чувствительность спроса на $i$ к изменению дохода (предельная склонность к потреблению $i$).
Интерпретация знаков:
- Если $i=j$ (собственная цена):
- Эффект замещения ($\partial x_{i}^{H} / \partial p_{i}$) всегда $\leq 0$.
- Знак эффекта дохода определяется знаком $\partial x_{i}^{M} / \partial I$. Для нормальных благ он положителен, что делает эффект дохода отрицательным (усиливает общий эффект). Для низших благ он отрицателен, что делает эффект дохода положительным (ослабляет эффект замещения).
Значение для Экономического Анализа
Уравнение Слуцкого является критически важным для теоретической микроэкономики, поскольку оно обеспечивает мост между наблюдаемыми (эмпирически измеряемыми) Маршаллианскими функциями спроса и теоретически чистыми (идеальными) Хиксианскими функциями. В эмпирических исследованиях, где измеряется только Маршаллианский спрос, Уравнение Слуцкого позволяет исследователям оценить эффект замещения, используя данные о предельной склонности к потреблению (эффект дохода) и проверить гипотезу о рациональности потребительского выбора, поскольку симметрия матрицы замещения $S_{ij}$ является необходимым условием рациональности, которое можно проверить с помощью декомпозиции Слуцкого.
Применение Хиксианской Функции в Измерении Благосостояния Потребителей
Одним из наиболее важных применений Хиксианской функции спроса является точное измерение изменений благосостояния потребителя, вызванных изменениями цен. Маршаллианский потребительский излишек (CS) является лишь приблизительной оценкой, поскольку он не устраняет эффект дохода и, следовательно, искажает меру благосостояния, особенно при существенных изменениях цен. Хикс предложил два показателя, основанных на компенсированном спросе: Компенсирующая Вариация (КВ) и Эквивалентная Вариация (ЭВ).
Компенсирующая (КВ) и Эквивалентная (ЭВ) Вариация
Оба показателя, КВ и ЭВ, используют Хиксианскую функцию спроса для измерения изменений благосостояния в денежном выражении, исключая эффект дохода.
1. Компенсирующая Вариация (КВ):
Это минимальная сумма денег, которую необходимо вернуть потребителю (компенсировать) после изменения цен, чтобы его благосостояние осталось на исходном уровне полезности ($\bar{u}_0$). Если цена растет, КВ показывает, сколько денег нужно дать потребителю, чтобы он не пострадал.
КВ = e(p1, &bar;u0) - e(p0, &bar;u0)
где $e(p, \bar{u})$ — функция расходов.
2. Эквивалентная Вариация (ЭВ):
Это максимальная сумма денег, которую потребитель был бы готов заплатить (принять), чтобы предотвратить (или добиться) изменения цен. ЭВ измеряет изменение благосостояния, привязывая его к новому уровню полезности ($\bar{u}_1$) при старых ценах.
ЭВ = e(p1, &bar;u1) - e(p0, &bar;u1)
Интегральные Формулы как Инструмент Точного Измерения
Благодаря Лемме Шепарда, КВ и ЭВ могут быть представлены ка�� интегралы от соответствующих кривых Хиксианского спроса.
Для изменения цены $p_i$ с $p_{i0}$ на $p_{i1}$:
Интегральная формула для Компенсирующей Вариации (КВ):
КВ = ∫pi0pi1 hi(p, &bar;u0) dpi
КВ измеряется как площадь под кривой Хиксианского спроса, которая зафиксирована на исходном уровне полезности $\bar{u}_0$.
Интегральная формула для Эквивалентной Вариации (ЭВ):
ЭВ = ∫pi0pi1 hi(p, &bar;u1) dpi
ЭВ измеряется как площадь под кривой Хиксианского спроса, которая зафиксирована на новом уровне полезности $\bar{u}_1$.
Точность измерения:
Для нормальных благ, где эффект дохода положителен, КВ всегда больше, чем ЭВ при повышении цены. При этом изменение Маршаллианского потребительского излишка ($\Delta \text{CS}$) находится между ними: $\text{ЭВ} < |\Delta \text{CS}| < \text{КВ}$. Использование Хиксианских мер (КВ и ЭВ) позволяет получить точную, теоретически обоснованную оценку денежной стоимости изменения благосостояния, которая является обязательным требованием для серьезного анализа экономической политики (например, оценки эффективности налогов, субсидий или регулирования). Разве не это делает Хиксианскую модель незаменимой для аналитиков, стремящихся к максимальной объективности?
Выводы: Роль Хиксианского Спроса в Современной Микроэкономике
Хиксианская функция спроса, выводимая из двойственной задачи минимизации расходов, является одним из наиболее мощных и элегантных инструментов в арсенале современной микроэкономики. Она представляет собой не просто теоретическую альтернативу, а строгую, математически обоснованную модель потребительского поведения, свободную от искажающего влияния эффекта дохода.
Благодаря фиксации уровня полезности ($\bar{u}$), компенсированный спрос позволяет:
- Гарантировать соблюдение Закона спроса ($\partial h_{i} / \partial p_{i} \leq 0$), что невозможно для Маршаллианского спроса в случае товаров Гиффена.
- Формально связать прямую и двойственную задачи через функцию расходов и Лемму Шепарда, что является основой теории двойственности.
- Обеспечить точную декомпозицию ценового эффекта с помощью Уравнения Слуцкого, разграничивая чистый эффект замещения и эффект дохода.
- Служить основой для точного измерения изменений благосостояния потребителей (КВ и ЭВ), предоставляя более надежные оценки, чем приблизительный Маршаллианский потребительский излишек.
Таким образом, Хиксианский спрос переводит анализ потребительского выбора из области эмпирических наблюдений в область строгих аксиоматических выводов, что делает его незаменимым для построения фундаментальных экономических моделей и оценки эффективности экономической политики.
Список использованной литературы
- Лекции по курсу микроэкономики продвинутого уровня / А. А. Фридман. — 2007.
- Тарасов, А. Микроэкономика. Лекция 4 : учеб. материал / Высшая школа экономики. — 2016.
- Чахоян, В. А. и др. Микроэкономика-2 / Экономический факультет МГУ. — 2024.