Эссе по предмету: Мат. мет. в экономике (Пример)
Содержание
1. Линейная производственная задача
Сформулировать линейную производственную задачу и составить ее математическую модель, взяв исходные данные из приложения
1. где технологическая матрица А затрат различных ресурсов на единицу каждой продукции, вектор объемов ресурсов В и вектор удельной прибыли С при возможном выпуске четырех видов продукции с использованием трех видов ресурсов
компактно записаны в виде
Преобразовать данную задачу к виду основной задачи линейного программирования, решить ее методом направленного перебора базисных допустимых решений, обосновывая каждый шаг процесса, найти оптимальную производственную программу, максимальную прибыль, остатки ресурсов различных видов и указать узкие места производства.
В последней симплексной таблице указать обращенный базис Q-1, соответствующий оптимальному набору базисных неизвестных. Проверить выполнение соотношения
H = Q-1B
Если по оптимальной производственной программе какие-то два вида продукции не должны выпускаться, то в таблице исходных данных вычеркнуть соответствующие два столбца, составить математическую модель задачи оптимизации производственной программы с двумя оставшимися переменными, сохранив прежнюю нумерацию переменных и решить графически.
Приложение
1. Линейная производственная задача
№ 1.18.
34 20 8 23
2 0 2 3 142
1 5 4 2 100
3 4 0 1 122
2. Двойственная задача
Сформулировать задачу, двойственную линейной производственной задаче, как задачу определения расчетных оценок ресурсов, и найти ее решение, пользуясь второй основной теоремой двойственности (о дополняющей нежесткости).
Указать оценку единицы каждого ресурса, минимальную суммарную оценку всех ресурсов, оценки технологий.
3. Задача «о расшивке узких мест производства»
Сформулировать задачу о «расшивке узких мест производства» и составить математическую модель. Определить область устойчивости двойственных оценок, где сохраняется структура программы производства. Решить задачу о расшивке узких мест производства при условии, что дополнительно можно получить от поставщиков не более одной трети первоначально выделенного объема ресурса любого вида (если задача окажется с двумя переменными, то только графически); найти план приобретения дополнительных объемов ресурсов, дополнительную возможную прибыль.
4. Транспортная задача
Составить математическую модель транспортной задачи по исходным данным из приложения
2. где вектор объемов производства А(a 1,…, am), вектор потребления В (b 1,…, bn) и матрица транспортных издержек кратко записаны в виде:
Если полученная модель окажется открытой, то свести ее к замкнутой и найти оптимальное решение транспортной задачи методом потенциалов.
Приложение 2
Транспортная задача линейного программирования
№ 2.18.
34403853
802723
601542
303461
5. Задача распределения капитальных вложений
Методом динамического программирования решить задачу распределения капитальных вложений между четырьмя предприятиями производственного объединения, располагающего суммой в 700 тыс. руб., по исходным данным, приведенным в приложении 3 (выделяемые суммы кратны 100 тыс.).
Приложение
3. Нелинейная задача распределения ресурсов. Динамическое программирование
№ 3.18.
0100200300400500600700
020334248535658
022374959687682
010294252606569
016273744485056
16. Анализ доходности и риска финансовых операций
Провести анализ доходности и риска финансовых операций по исходным данным, приведенным в приложении 7.
Даны четыре операции Q1, Q2, Q3, Q4. Найдите средние ожидаемые доходы и риски ri операций. Нанесите точки ( , ri) на плоскость, найдите операции, оптимальные по Парето. С помощью взвешивающей формулы найдите среди таких операций лучшую.
Взвешивающая формула: .
Приложение
7. Анализ доходности и риска финансовых операций
1.18.(-6,1/2)(-4,1/4)(-2,1/8)(10,1/8)
(0,1/4)(8,1/4)(12,1/3)(24,1/6)
(-6,1/4)(-2,1/4)(0,1/3)(6,1/6)
(0,1/3)(2,1/3)(4,1/6)(16,1/6)
Выдержка из текста
4. Транспортная задача
Составить математическую модель транспортной задачи по исходным данным из приложения
2. где вектор объемов производства А(a 1,…, am), вектор потребления В (b 1,…, bn) и матрица транспортных издержек кратко записаны в виде:
Если полученная модель окажется открытой, то свести ее к замкнутой и найти оптимальное решение транспортной задачи методом потенциалов.
Приложение 2
Транспортная задач линейного программирования
№ 2.18.
34403853
802723
601542
303461
Решение:
- Определим оптимальный плана перевозок некоторого однородного груза из 3-х пунктов отправления А 1 , А 2 , А 3 в 4 пункта назначения B1 , B2 , B3., B4 . В качестве критерия оптимальности возьмем минимальную стоимость перевозок всего груза. Пусть с тарифы перевозок единицы груза из i-го пункта отправления в j-й пункт назначения, через ai — запасы груза в пункте Аi через bj — потребности в грузе пункта Bj, xij — количество единиц груза, перевозимого из i-го пункта в j-й пункт. Составим математическую модель задачи. Так как от i-гo поставщика к j-му потребителю запланировано к перевозке xij единиц груза.
ПоставщикиПотребителиЗапасы
B1B2B3B4
А 12
X117
X122
X133
X1480
А 21
X215
X224
X232
X2460
А 33
X314
X326
X331
X3430
Потребности 34403853165170
Соответственно математическая постановка задачи состоит в определении минимума целевой функции:
при условиях:
.
Транспортная задача является открытой, так как запас груза больше потребностей на 5 единиц. Приведем задачу к закрытому типу — введем фиктивного потребителя B5.
ПоставщикПотребительЗапасы
груза
B1B2B3B4B5
A1 2
0
7
0
2
0
3
0
0
0
80
A2 1
0
5
0
4
0
2
0
0
0
60
A3 3
0
4
0
6
0
1
0
0
0
30
Потребность 344038535
Находим опорный план по правилу минимального элемента. Введем некоторые обозначения: Ai* — излишек нераспределенного груза от поставщика Ai ; Bj* — недостача в поставке груза потребителю Bj.
Временно исключаем из рассмотрения клетки фиктивного потребителя. Находим незанятую клетку с минимальным тарифом: (2,1).
Помещаем туда меньшее из чисел A2*=60 и B1*=34. Находим незанятую клетку с минимальным тарифом: (3,4).
Помещаем туда меньшее из чисел A3*=30 и B4*=53. Находим незанятую клетку с минимальным тарифом: (1,3).
Помещаем туда меньшее из чисел A1*=80 и B3*=38. Находим незанятую клетку с минимальным тарифом: (2,4).
Помещаем туда меньшее из чисел A2*=26 и B4*=23. Находим незанятую клетку с минимальным тарифом: (2,2).
Помещаем туда меньшее из чисел A2*=3 и B2*=40. Находим незанятую клетку с минимальным тарифом: (1,2).
Помещаем туда меньшее из чисел A1*=42 и B2*=37. Теперь распределим оставшися груз между поставщиками и фиктивным потребителем B5. Поместим в клетку (1,5) 5 единиц груза.
5. Задача распределения капитальных вложений
Методом динамического программирования решить задачу распределения капитальных вложений между четырьмя предприятиями производственного объединения, располагающего суммой в 700 тыс. руб., по исходным данным, приведенным в приложении 3 (выделяемые суммы кратны 100 тыс.).
Приложение
3. Нелинейная задача распределения ресурсов. Динамическое программирование
№ 3.18.
0100200300400500600700
020334248535658
022374959687682
010294252606569
016273744485056
Решение:
- Таблица 1
0100200300400500600700
020334248535658
022374959687682
010294252606569
016273744485056
Сначала заполняем таблицу
2. Значения f 2(x 2) складываем со значениями F1( — x 2) = f 1(- x 2) и на каждой северо-восточной диагонали находим наибольшее число, которое отмечаем звездочкой и указываем соответствующее значение .
Таблица 2
0100200300400500600700
020334248535658
000*20334248535658
1002222*42*5564707578
200373757*70*798590
30049496982*9197
40059597992*101*
500686888101*
600767696
7008282
Заполняем далее таблицу 3:
- Таблица 3
0100200300400500600700
0224257708292101
0100100200200300400400 или 500
Продолжая процесс, табулируем функции F3(), () и т.д. В табл. 6 заполняем только одну диагональ для значения = 700. Наибольшее число на этой диагонали:
- Таблица 4
