Содержание
Глава 1 Спираль Архимеда
§1 Уравнение и способ построения спирали Архимеда.
Спиралью Архимеда называют траекторию точки, равномерно движущейся по лучу, который равномерно вращается вокруг полюса, т.е. это траектория точки. Присоединим к кривой систему координат {О;i;j } и составим уравнение спирали. Предположим, что некоторая точка М равномерно движется по прямой ON, а прямая ON равномерно вращается вокруг точки О (рис 1) .
Принимая точку О за полюс полярной системы координат, ось (Ох)за полярную ось и считая, что в начальный момент движения точка М была в полюсе О, замечаем, что за время t точка пройдет расстояние ОМ. Заметим, что это расстояние ОМ, пройденное точкой вдоль прямой ON и полярный угол возрастают, в силу равномерности движения, пропорционально времени и, следовательно, пропорциональны друг другу. Действительно если в начальный момент времени точка находится на оси Ox в точке О то за время t она пройдет по прямой ON путь
S=v_0 t.
При этом угол поворота φ прямой ON будет равен ω_0 t
Следовательно,
t=v_0/ω_0
где v0, ω0 – постоянные кинетическая и угловая скорости точки М.
Если обозначить полярный радиус точки М через ρ, константу v_0/ω_0 через k, то полярное уравнение спирали Архимеда запишется в виде
ρ=kφ
где k – смещение точки М по лучу ОР при повороте на угол, равный одному радиану.
Поворот прямой на 2π соответствует смещению
а=|ВМ|=|МА|=2π.
Выдержка из текста
Сами по себе спирали разнообразны и имеют богатую историю. Еще с древних времен они представляют огромный интерес для ученых. Первая спираль была описана Архимедом и в честь него она и была названа «спираль Архимеда». Архимедова спираль очень интересна своим построением и своими свойствами. Упоминают в учебных пособиях о спирали Архимеда очень редко, а если и упоминают то только в скользь собственно это и было предлогом для написания работы на эту тему.
Данную работу я также посвятил логарифмической спирали, так как данная спираль используется не только в технике, но также ее можно заметить и в природе от подсолнуха и маленькой раковины улитки до смерчей, водоворотов, и даже многие галактики движутся по спирали
Список использованной литературы
Список литературы.
1. П.С. Александров. "Лекции по аналитической геометрии, пополненные необходимыми сведениями из алгебры". Из-во "Наука", главная редакция физико-математической литературы. Москва 1968.
2. Вирченко Н.А., Ляшко И.И., Швецов К.Н. "Графики функций. Справочник". Киев 1979.
3. Канатников А.Н., Крищенко А.П. "Аналитическая геометрия". Москва. Издаиельство МГТУ им. Н.Э. Баумана 2002.
4. А.В. Погорелов. "Аналитическая геометрия". Москва 1968.
5. Д. В. Клетеник. "Сборник задач по аналитической геометрии". М., Наука, Физматлит, 1998.
6. Ильин В.А., Позняк Э.Г. "Аналитическая геометрия." М.: Наука. Физматлит, 1999.
7. Полозюк О.Е. "Конспект лекций по высшей математике". Пособие для вузов . Донецк , 2001 .
8. Маркушевич А.И., Замечательные кривые, М., 1978 г., 48 стр. с ил.
9. Выгодский М.Я., Справочник по высшей математике, М.: АСТ: Астрель, 2008, 991 стр. с ил.
10. Атанасян Л.С. и Атанасян В.А., Сборник задач по геометрии. Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. Ч. I, М., "Просвещение", 1973, 256 с.
11. Гурова А.Э. Замечательные кривые вокруг нас. М, 1989
12. Маркушевич А.И. Замечательные кривые. — М, 1978