Гремучий газ — это не просто взрывоопасная смесь водорода и кислорода, а фундаментальный пример трансформации энергии. За зрелищной реакцией горения, где температура пламени может достигать 2800 °C, скрываются строгие и элегантные законы термодинамики. Но как именно меняются энергетические свойства системы, когда два простых двухатомных газа превращаются в один, но более сложный трехатомный — водяной пар? Именно на этот вопрос мы ответим, решив конкретную физическую задачу и разобрав каждый ее аспект.
Какую именно задачу мы решаем и как будем действовать
Чтобы наш анализ был предметным, мы сфокусируемся на конкретном условии. Оно сформулировано в задаче 5.72 из сборника задач по физике:
Во сколько раз молярная теплоемкость С׳ гремучего газа больше молярной теплоемкости С׳׳ водяного пара, получившегося при его сгорании? Задачу решить для: а) V = const; б) p = const.
Чтобы прийти к ответу осознанно, а не просто подставить числа в формулу, мы будем двигаться по четкому плану:
- Теоретический фундамент: Сначала разберемся, что такое молярная теплоемкость, почему она бывает разной (Cv и Cp) и от чего зависит.
- Анализ системы «до»: Изучим исходное состояние — гремучий газ, определим его состав и ключевые термодинамические параметры.
- Анализ системы «после»: Проанализируем конечный продукт — водяной пар, и рассчитаем его параметры.
- Финальные вычисления: Непосредственно сравним теплоемкости для двух процессов — при постоянном объеме и постоянном давлении — и получим искомые соотношения.
Теоретический фундамент для нашего анализа
Ключевое понятие нашей задачи — молярная теплоемкость. Говоря простым языком, это количество теплоты, которое необходимо сообщить одному молю вещества, чтобы нагреть его на один градус Кельвина. Однако эта величина зависит от условий, в которых происходит нагрев.
Существует два основных вида молярной теплоемкости:
- Изохорная теплоемкость (Cv): Это теплоемкость при постоянном объеме (V = const). В этом случае вся подводимая теплота идет только на увеличение внутренней энергии газа (ΔU), так как газ не расширяется и не совершает работы (A=0).
- Изобарная теплоемкость (Cp): Это теплоемкость при постоянном давлении (p = const). Здесь газу позволено расширяться, а значит, часть подводимой теплоты уходит не только на нагрев (увеличение ΔU), но и на совершение газом работы расширения (A).
Из первого закона термодинамики (Q = ΔU + A) следует, что для нагрева газа на один и тот же градус при постоянном давлении потребуется больше теплоты, чем при постоянном объеме. Поэтому Cp всегда больше Cv. Их связь описывается формулой Майера:
Cp — Cv = R
где R — универсальная газовая постоянная. Сама же теплоемкость напрямую связана со строением молекул, а точнее, с их числом степеней свободы (i) — количеством независимых движений, в которых молекула может запасать энергию. Для идеального газа внутренняя энергия, а следовательно и теплоемкость, рассчитываются через это число: Cv = (i/2)R.
Исследуем систему до реакции, или что такое гремучий газ с точки зрения физики
Гремучий газ представляет собой смесь двух газов, водорода (H₂) и кислорода (O₂), в объемном (а значит, и молярном) соотношении 2:1. Для нашего анализа удобно взять систему, в которой изначально содержится 2 моля водорода и 1 моль кислорода. Таким образом, общее количество вещества в исходной системе: ν₁ = 2 моль + 1 моль = 3 моль.
Обе молекулы — и водорода, и кислорода — являются двухатомными. У такой молекулы есть 5 степеней свободы (i=5): 3 поступательных (движение вдоль осей X, Y, Z) и 2 вращательных. Колебательную степень свободы при обычных температурах мы не учитываем.
Теперь мы можем рассчитать молярную теплоемкость для одного моля такого газа:
- Изохорная теплоемкость: Cv = (i/2)R = (5/2)R
- Изобарная теплоемкость: Cp = Cv + R = (5/2)R + R = (7/2)R
Поскольку теплоемкость — величина аддитивная, общая теплоемкость всей смеси из 3 моль (обозначим ее C’) будет в три раза больше:
- Общая изохорная теплоемкость до реакции: C’v = ν₁ * Cv = 3 * (5/2)R = (15/2)R
- Общая изобарная теплоемкость до реакции: C’p = ν₁ * Cp = 3 * (7/2)R = (21/2)R
Анализируем продукты сгорания, или как устроен водяной пар
В результате реакции сгорания гремучего газа образуется водяной пар. Запишем уравнение реакции:
2H₂ + O₂ → 2H₂O
Из уравнения видно, что из 3 моль исходных газов (2 моля H₂ и 1 моль O₂) мы получаем 2 моля водяного пара (H₂O). Таким образом, конечное количество вещества в системе: ν₂ = 2 моль.
Молекула воды (H₂O) является трехатомной и нелинейной. У такой молекулы уже 6 степеней свободы (i=6): 3 поступательных и 3 вращательных. Увеличение числа степеней свободы означает, что молекула может запасать энергию большим числом способов.
Рассчитаем молярную теплоемкость для одного моля водяного пара:
- Изохорная теплоемкость: Cv = (i/2)R = (6/2)R = 3R
- Изобарная теплоемкость: Cp = Cv + R = 3R + R = 4R
А теперь найдем общую теплоемкость для 2 моль водяного пара (обозначим ее C»), которые получились в ходе реакции:
- Общая изохорная теплоемкость после реакции: C»v = ν₂ * Cv = 2 * 3R = 6R = (12/2)R
- Общая изобарная теплоемкость после реакции: C»p = ν₂ * Cp = 2 * 4R = 8R = (16/2)R
Вычисляем искомое соотношение при постоянном объеме
Теперь у нас есть все данные для ответа на первый вопрос задачи. Нам нужно найти отношение теплоемкости гремучего газа (C’v) к теплоемкости водяного пара (C»v) в процессе, где объем системы постоянен.
Составляем искомое отношение:
C’v / C»v = [ (15/2)R ] / [ (12/2)R ]
Универсальная газовая постоянная R и множитель (1/2) сокращаются, и мы получаем простой численный результат:
C’v / C»v = 15 / 12 = 1,25
Таким образом, при постоянном объеме молярная теплоемкость гремучего газа в 1,25 раза больше, чем у получившегося из него водяного пара.
Находим ответ для процесса при постоянном давлении
Аналогично проведем расчет для второго случая, когда процесс идет при постоянном давлении. Теперь нас интересует отношение изобарных теплоемкостей (C’p и C»p), так как система может совершать работу расширения.
Составляем отношение, используя ранее рассчитанные значения:
C’p / C»p = [ (21/2)R ] / [ (16/2)R ]
Здесь R и (1/2) также сокращаются, и остается вычислить отношение:
C’p / C»p = 21 / 16 ≈ 1,31
В случае процесса при постоянном давлении теплоемкость исходной смеси оказывается в 1,31 раза больше теплоемкости конечного продукта.
Подведение итогов и осмысление полученных результатов
Давайте сведем воедино наши выводы. Мы выяснили, что молярная теплоемкость гремучего газа больше молярной теплоемкости водяного пара, получившегося при его сгорании:
- в 1,25 раза для процесса при постоянном объеме (V=const).
- в 1,31 раза для процесса при постоянном давлении (p=const).
Почему оба соотношения больше единицы? На первый взгляд, это кажется нелогичным, ведь количество вещества в системе уменьшилось (с 3 до 2 моль). Однако решающим фактором оказывается усложнение структуры молекул. Две простые двухатомные молекулы (i=5) превратились в одну, но более сложную трехатомную (i=6). Увеличение числа степеней свободы означает, что у конечного продукта появляется больше «ячеек» для запасания энергии, что повышает его индивидуальную молярную теплоемкость. Этот эффект оказывается сильнее, чем эффект от уменьшения общего числа молей. Таким образом, термодинамика показывает, что за внешней простотой химической реакции 2H₂ + O₂ → 2H₂O скрывается сложное перераспределение способности системы поглощать и хранить тепловую энергию.