Приближается контрольная по аналитической геометрии, и от обилия формул, векторов и уравнений голова идет кругом? Знакомое чувство. Кажется, что запомнить все алгоритмы невозможно, а каждая задача требует какого-то своего, особого подхода. Но что, если взглянуть на это иначе? Контрольная работа — это не случайный набор головоломок, а система, состоящая из нескольких типовых, стандартных заданий. И как только вы поймете логику каждого типа, вся «сложная» контрольная превратится в понятный и управляемый процесс. Эта статья — не просто сборник решений, а ваш пошаговый путеводитель и надежный план подготовки. Давайте вместе разберем каждую типовую задачу так, чтобы на экзамене вы чувствовали себя уверенно и спокойно.
Что необходимо знать перед тем, как приступать к решению
Прежде чем погружаться в решение конкретных задач, давайте быстро освежим в памяти тот теоретический минимум, который станет нашим фундаментом. Нам не нужно сейчас доказывать теоремы — наша цель вспомнить ключевые инструменты и понятия, которые используются практически в каждом задании.
Вот основа основ аналитической геометрии на плоскости:
- Общее уравнение прямой: Любая прямая на плоскости описывается уравнением вида Ax + By + C = 0. Главное, что нужно помнить: коэффициенты A и B — это координаты вектора нормали
n = {A; B}, то есть вектора, перпендикулярного нашей прямой. - Направляющий вектор прямой: Это любой ненулевой вектор, который параллелен прямой. Если у нас есть вектор нормали
n = {A; B}, то направляющий векторsлегко найти, например, какs = {-B; A}. - Угловой коэффициент (k): В уравнении прямой вида y = kx + b, коэффициент
k— это тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси Ох. Его легко найти из общего уравнения:k = -A/B. - Скалярное произведение векторов: Это наш главный инструмент для нахождения углов. Если есть два вектора
a = {x1; y1}иb = {x2; y2}, то косинус угла между ними находится по формуле:cos(φ) = (x1*x2 + y1*y2) / (|a| * |b|).
Этого набора уже достаточно, чтобы активировать основные знания и уверенно приступить к практике. Теперь, когда теоретическая база подготовлена, мы можем перейти к самому главному — разбору типовых заданий контрольной. Начнем с наиболее фундаментальной темы.
Разбираем первую задачу, где все вращается вокруг уравнений прямой
Это, пожалуй, самый классический тип заданий, который встречается в 9 из 10 контрольных. Обычно дается точка и некая другая прямая, и на основе этих данных нужно построить несколько новых прямых. Давайте разберем такой комплексный пример по шагам, используя данные из «Вопроса №1». Пусть нам дана точка А(-3; -1), точка B(-2; 2) и некая базовая прямая (для примера возьмем 2x - y + 3 = 0).
а) Построить прямую, проходящую через А и параллельную 2x - y + 3 = 0.
Логика проста: если прямые параллельны, у них один и тот же вектор нормали n = {2; -1}. Значит, уравнение нашей искомой прямой будет выглядеть как 2x - y + C = 0. Чтобы найти C, подставляем координаты точки А(-3; -1): 2*(-3) - (-1) + C = 0, откуда -6 + 1 + C = 0 и C = 5. Итог: 2x - y + 5 = 0.
б) Построить прямую, проходящую через А и перпендикулярную 2x - y + 3 = 0.
Если прямые перпендикулярны, то вектор нормали одной является направляющим вектором для другой. Вектор нормали базовой прямой — n = {2; -1}. Он станет направляющим для нашей новой прямой. Значит, вектор нормали для новой прямой будет n_new = {1; 2}. Уравнение примет вид 1x + 2y + C = 0. Подставляем точку А: -3 + 2*(-1) + C = 0, откуда -5 + C = 0 и C = 5. Итог: x + 2y + 5 = 0.
г) Построить прямую, проходящую через две точки: А(-3; -1) и B(-2; 2).
Используем каноническое уравнение прямой, проходящей через две точки (x - xA) / (xB - xA) = (y - yA) / (yB - yA). Подставляем наши координаты: (x - (-3)) / (-2 - (-3)) = (y - (-1)) / (2 - (-1)). Упрощаем: (x + 3) / 1 = (y + 1) / 3. Перемножаем крест-накрест: 3*(x + 3) = 1*(y + 1), что дает 3x + 9 = y + 1. Итог: 3x - y + 8 = 0.
После получения уравнений, вы строите эти прямые в системе координат. Для каждой из них можно легко выписать требуемые параметры:
- Для
2x - y + 5 = 0: вектор нормали{2; -1}, направляющий вектор{1; 2}, угловой коэффициентk=2. - Для
x + 2y + 5 = 0: вектор нормали{1; 2}, направляющий вектор{-2; 1}, угловой коэффициентk=-1/2. - Для
3x - y + 8 = 0: вектор нормали{3; -1}, направляющий вектор{1; 3}, угловой коэффициентk=3.
Мы научились строить прямые. Логичный следующий шаг — научиться анализировать, как они взаимодействуют друг с другом в пространстве.
Как найти общие точки и определить расстояния между линиями
После того как мы научились составлять уравнения, возникает второй пласт задач: анализ их взаимного расположения. Возьмем для примера данные из «Вопроса №2»: две прямые 2x - 3y - 9 = 0 и 5x + 4y - 31 = 0, и точка M(7; -5).
а) Найти точку пересечения прямых.
Точка пересечения — это точка, которая принадлежит обеим прямым одновременно. Значит, ее координаты (x, y) удовлетворяют обоим уравнениям. Задача сводится к решению системы линейных уравнений:
{ 2x - 3y = 9
{ 5x + 4y = 31
Умножим первое уравнение на 4, а второе на 3, чтобы избавиться от `y`:
{ 8x - 12y = 36
{ 15x + 12y = 93
Сложим их: 23x = 129, откуда x = 129/23 ≈ 5.61. Подставив x в любое из исходных уравнений, найдем y. Например, из первого: `2*(129/23) — 3y = 9`, что после вычислений даст y = 17/23 ≈ 0.74. Точка пересечения найдена.
б) Найти косинус острого угла между прямыми.
Угол между прямыми — это угол между их векторами нормали. Для наших прямых это n1 = {2; -3} и n2 = {5; 4}. Используем формулу скалярного произведения:
cos(α) = |(n1 * n2)| / (|n1| * |n2|) = |2*5 + (-3)*4| / (sqrt(2²+ (-3)²) * sqrt(5²+ 4²))
cos(α) = |10 - 12| / (sqrt(13) * sqrt(41)) = 2 / sqrt(533). Это и есть косинус искомого угла.
г) Найти расстояние от точки M(7; -5) до прямой 2x - 3y - 9 = 0.
Используем специальную формулу расстояния от точки (x₀, y₀) до прямой Ax + By + C = 0:
d = |Ax₀ + By₀ + C| / sqrt(A² + B²).
Подставляем наши значения:
d = |2*7 + (-3)*(-5) - 9| / sqrt(2² + (-3)²) = |14 + 15 - 9| / sqrt(13) = 20 / sqrt(13). Задача решена.
Отлично, с прямыми разобрались. Но аналитическая геометрия — это не только прямые. Давайте посмотрим, как работать с более сложными кривыми второго порядка.
Учимся узнавать эллипсы и гиперболы по их уравнениям
В контрольной часто встречается задание, где дано длинное уравнение с x² и y², и требуется понять, что это за фигура. Это задача на приведение уравнения к каноническому виду. Ключевой метод здесь — выделение полных квадратов. Разберем на примере, аналогичном «Вопросу №3». Допустим, нам дано уравнение:
4x² + 9y² - 40x + 36y + 100 = 0
Шаг 1: Группируем слагаемые с x и y.
(4x² - 40x) + (9y² + 36y) + 100 = 0
Шаг 2: Выносим коэффициенты при x² и y² за скобки.
4(x² - 10x) + 9(y² + 4y) + 100 = 0
Шаг 3: Дополняем выражения в скобках до полных квадратов.
Чтобы из x² - 10x получить полный квадрат, нужно добавить (10/2)² = 25.
Чтобы из y² + 4y получить полный квадрат, нужно добавить (4/2)² = 4.
4(x² - 10x + 25) - 4*25 + 9(y² + 4y + 4) - 9*4 + 100 = 0
Важно: все, что мы добавили, мы тут же вычитаем, чтобы не изменить уравнение.
Шаг 4: Сворачиваем квадраты и упрощаем.
4(x - 5)² - 100 + 9(y + 2)² - 36 + 100 = 0
4(x - 5)² + 9(y + 2)² = 36
Шаг 5: Делим все на свободный член (36), чтобы справа получилась 1.
(x - 5)²/9 + (y + 2)²/4 = 1
Мы получили каноническое уравнение эллипса. Из него сразу видны все параметры: центр в точке O(5; -2), большая полуось a = sqrt(9) = 3, малая полуось b = sqrt(4) = 2. Теперь его легко построить на плоскости.
Мы рассмотрели кривые в декартовой системе координат. Однако существует и другой, не менее важный способ их описания, который часто встречается в контрольных.
Как построить линии, заданные в полярных координатах
Не пугайтесь, если увидите уравнение вида `ρ = f(φ)`. Это просто другой способ описания кривой, где каждая точка задается не координатами (x, y), а парой (ρ, φ), где `ρ` — расстояние от начала координат (полюса), а `φ` — угол поворота от полярной оси. Задача, аналогичная «Вопросу №4», решается простым и надежным методом — построением по точкам.
Допустим, нам нужно построить кардиоиду ρ = 2(1 + cos(φ)). Алгоритм следующий:
- Составляем таблицу значений. Выбираем основные углы и считаем для них `ρ`.
- Наносим точки на полярную сетку. Для каждого угла `φ` откладываем на соответствующем луче расстояние `ρ`.
- Соединяем точки плавной линией.
Давайте посчитаем несколько точек:
| Угол φ | cos(φ) | ρ = 2(1 + cos(φ)) |
|---|---|---|
| 0 | 1 | 4 |
| π/3 (60°) | 0.5 | 3 |
| π/2 (90°) | 0 | 2 |
| π (180°) | -1 | 0 |
Нанеся эти и промежуточные точки, вы получите фигуру, по форме напоминающую сердце.
Кроме полярных уравнений, есть еще один популярный способ задания линий, который особенно удобен для описания траекторий движения.
Что такое параметрические уравнения и как с ними работать
Параметрические уравнения (задача типа «Вопроса №5») — это система, где координаты `x` и `y` не связаны напрямую, а обе зависят от некой третьей переменной, параметра `t`. Обычно `t` — это время.
{ x = f(t)
{ y = g(t)
Принцип построения здесь точно такой же, как и в полярных координатах: построение по точкам. Мы задаем различные значения параметра `t` и для каждого из них вычисляем свою пару `(x, y)`. Полученные точки наносим на обычную декартову систему координат и соединяем.
Рассмотрим пример:
{ x = t² - 1
{ y = t + 1
Составим таблицу:
- При t = -2: x = (-2)² — 1 = 3, y = -2 + 1 = -1. Точка (3, -1).
- При t = -1: x = (-1)² — 1 = 0, y = -1 + 1 = 0. Точка (0, 0).
- При t = 0: x = 0² — 1 = -1, y = 0 + 1 = 1. Точка (-1, 1).
- При t = 1: x = 1² — 1 = 0, y = 1 + 1 = 2. Точка (0, 2).
Нанеся эти точки, мы увидим ветвь параболы. Иногда параметр `t` можно исключить. В нашем случае из второго уравнения `t = y — 1`. Подставим это в первое: `x = (y — 1)² — 1`. Это уравнение параболы, что и подтверждает наш график.
Мы научились строить линии, заданные разными типами уравнений. Финальный штрих — научиться работать не с равенствами, а с неравенствами, чтобы определять целые области на плоскости.
Финальное испытание, где нужно построить фигуру по системе неравенств
Это задание (аналог «Вопроса №6») проверяет ваше умение «читать» неравенства как области на плоскости. Задача — найти общую область, которая удовлетворяет всем неравенствам системы одновременно. Алгоритм решения очень четкий:
- Строим граничные линии. Для каждого неравенства временно заменяем знак (>, <, ≥, ≤) на знак равенства (=) и строим соответствующую прямую или кривую. Если неравенство строгое (> или <), линию рисуем пунктиром.
- Определяем нужную полуплоскость. Для каждого неравенства берем «пробную» точку, которая не лежит на его граничной линии (проще всего взять (0,0), если это возможно). Подставляем ее координаты в неравенство.
- Штрихуем область. Если пробная точка дала верное утверждение (например, 0 < 5), то заштриховываем ту полуплоскость, где эта точка лежит. Если неверное — то противоположную.
- Находим пересечение. Итоговым решением будет та область, которая оказалась заштрихована всеми неравенствами системы.
Например, для системы { y ≤ x + 1, y ≥ 0, x ≤ 2 } вы построите три прямые: y = x + 1, y = 0 (ось Ox) и x = 2. Затем, проверив точкой (0,0), вы заштрихуете область ниже прямой y = x + 1, выше оси Ox и левее прямой x = 2. В результате у вас получится треугольник.
Пройдя весь этот путь, от базовых уравнений до сложных областей, вы получили все необходимые инструменты для успешной сдачи контрольной.
Мы последовательно разобрали все ключевые типы заданий, которые могут встретиться вам на контрольной по аналитической геометрии. Как вы могли заметить, за каждым из них стоит не магия или сложная интуиция, а четкий, повторяемый алгоритм. Главный секрет успеха — не в судорожном зазубривании десятков формул, а в понимании логики их применения.
Теперь у вас есть не просто разрозненные знания, а система. Вы знаете, как подступиться к уравнению прямой, что делать с кривой второго порядка и как «прочитать» область, заданную неравенствами. Перед контрольной работой просмотрите еще раз каждый из разобранных типов, решите самостоятельно по одному похожему примеру, чтобы закрепить навык, и идите на экзамен спокойно. Уверенность приходит не от знания всех ответов, а от понимания того, как их можно найти. У вас все получится!