Подробное решение контрольной работы по аналитической статистике: от расчетов до выводов

В современном мире, пронизанном данными, способность к их анализу и интерпретации становится одним из ключевых навыков для специалистов самых разных областей – от экономистов и финансистов до инженеров и социологов. Контрольная работа по аналитической статистике не просто проверяет знание формул, но и развивает критическое мышление, умение преобразовывать сырые числа в осмысленные выводы, способные влиять на принятие решений. Данное руководство призвано стать исчерпывающим помощником для студентов экономических и технических вузов, аспирантов и всех, кто изучает статистику. Оно предлагает не только пошаговые решения типовых задач, но и глубокое погружение в методологию, принципы графического представления и искусство формулирования обоснованных выводов. Наша цель — превратить каждый тезис контрольной работы в полноценную аналитическую главу, снабженную расчетами, графиками и развернутой интерпретацией, демонстрируя как «что», так и «почему» в каждом статистическом действии, что является важнейшим этапом для принятия эффективных управленческих решений.

Теоретические основы аналитической статистики

Прежде чем приступать к практическим расчетам, важно заложить прочный фундамент из теоретических знаний. Статистика, как наука, оперирует множеством понятий и показателей, каждый из которых имеет своё строгое определение и область применения. Понимание этих основ является краеугольным камнем для корректного анализа данных и формулирования достоверных выводов; это позволяет не только правильно применять методы, но и грамотно интерпретировать полученные результаты, избегая типичных ошибок.

Основные статистические показатели

В основе любого статистического исследования лежит описание и обобщение данных. Для этого используются различные меры, каждая из которых по-своему характеризует исследуемую совокупность.

Мода — это, по сути, «самое популярное» значение в наборе данных. Если представить распределение частот в виде графика, мода всегда будет образовывать пик, указывая на то значение, которое встречается чаще всего. Она особенно полезна для номинальных и порядковых данных, где среднее арифметическое не имеет смысла. Например, при анализе предпочтений потребителей мода позволит определить наиболее востребованный размер одежды или цвет товара.

Медиана — это центральная точка упорядоченного вариационного ряда. Если расположить все значения данных по возрастанию, медиана будет тем значением, которое делит ряд ровно пополам: половина наблюдений окажется меньше медианы, а половина — больше. В отличие от среднего арифметического, медиана менее чувствительна к выбросам и экстремальным значениям, что делает её надежным показателем центральной тенденции, например, при анализе доходов населения, где несколько очень высоких доходов могут значительно исказить среднее, и в таких случаях медиана даёт более реалистичную картину.

Дисперсия — это одна из важнейших числовых характеристик, отвечающая за меру разброса или рассеяния данных вокруг их среднего значения. Она рассчитывается как средний квадрат отклонений каждого значения от среднего арифметического. Высокое значение дисперсии указывает на большой разброс данных, в то время как низкое значение говорит о высокой плотности группировки значений вокруг среднего. Дисперсия является основой для многих других статистических тестов и показателей.

Ряд динамики (временной ряд) — это упорядоченная последовательность числовых значений одного и того же статистического показателя, измеренных в последовательные моменты или периоды времени. Он позволяет отслеживать изменения явления во времени, выявлять тенденции, сезонность и цикличность. Примерами рядов динамики могут служить ежемесячные объемы продаж, годовые показатели ВВП или ежедневные курсы валют.

Индексы — это относительные показатели, характеризующие изменение какого-либо явления во времени или пространстве. В контексте цен и объемов они позволяют понять, как изменяется средний уровень цен или общая стоимость.

• Индекс переменного состава — это комплексный показатель, который отражает изменение средней цены (или любого другого среднего значения) за счет двух факторов: изменения цен на отдельные товары и изменения структуры совокупности (т.е. долей каждого товара в общем объеме).
• Индекс постоянного (фиксированного) состава — фокусируется исключительно на изменении средних цен, исключая влияние структурных сдвигов. Он показывает, как изменилась бы средняя цена, если бы структура совокупности оставалась неизменной (например, на уровне базисного периода).
• Индекс структурных сдвигов — наоборот, измеряет влияние только изменения структуры совокупности на динамику средней цены, предполагая, что цены отдельных товаров остаются на базисном уровне. Эти три индекса взаимосвязаны: Индекс переменного состава = Индекс фиксированного состава · Индекс структурных сдвигов.

Коэффициент контингенции Пирсона — это статистическая мера, используемая для оценки тесноты связи между двумя качественными (номинальными) переменными. В отличие от коэффициентов корреляции, которые работают с количественными данными, коэффициент контингенции помогает понять, есть ли зависимость между категориальными признаками, например, между полом и характером труда, или между образованием и предпочтениями в досуге. Он базируется на критерии хи-квадрат и позволяет определить, насколько наблюдаемое распределение частот отличается от ожидаемого распределения при отсутствии связи.

Задание 1: Расчет средних величин и показателей вариации для интервального ряда распределения

В данном задании мы погрузимся в анализ интервального ряда распределения, который является одним из наиболее распространенных способов представления данных. Интервальный ряд группирует значения признака по определенным интервалам, указывая, сколько единиц совокупности попадает в каждый из них. Это позволяет обобщить большие объемы данных, но требует специальных методов для расчета средних величин и показателей вариации, которые мы и рассмотрим, а также покажем, как эти методы помогают сформировать наглядную картину изучаемого явления.

Исходные данные и постановка задачи

Предположим, у нас есть данные о распределении 200 работников предприятия по размеру ежемесячной премии, представленные в виде интервального ряда.

Таблица 1. Распределение работников по размеру премии

Размер премии, тыс. руб.	Число работников (fi)
10 — 20	25
20 — 30	40
30 — 40	70
40 — 50	35
50 — 60	30
Итого	200

Задача: Рассчитать среднюю арифметическую, моду, медиану, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации для данного интервального ряда. Построить гистограмму и полигон частот. Сформулировать выводы.

Расчет средней арифметической, моды и медианы

Начнем с расчета мер центральной тенденции, которые характеризуют типичное значение признака.

1. Средняя арифметическая взвешенная (x̅)

Для интервального ряда мы не знаем точных значений признака для каждой единицы, поэтому сначала необходимо определить серединные значения интервалов (x’_i). Эти серединные значения затем используются как представители всех значений в соответствующем интервале.

• Середина интервала = (Нижняя граница + Верхняя граница) / 2

Расширим исходную таблицу:

Таблица 2. Расчет серединных значений и произведение x’_if_i

Размер премии, тыс. руб.	Число работников (fi)	Середина интервала (x’i)	x’ifi
10 — 20	25	15	15 * 25 = 375
20 — 30	40	25	25 * 40 = 1000
30 — 40	70	35	35 * 70 = 2450
40 — 50	35	45	45 * 35 = 1575
50 — 60	30	55	55 * 30 = 1650
Итого	Σfi = 200		Σx’ifi = 7050

Формула средней арифметической взвешенной:
x̅ = (Σx’_if_i) / Σf_i

Расчет:
x̅ = 7050 / 200 = 35,25 тыс. руб.

2. Мода (Mo)

Мода для интервального ряда определяется с помощью специальной формулы, которая учитывает частоты модального, премодального и послемодального интервалов.

• Шаг 1: Определение модального интервала. Это интервал с наибольшей частотой. В нашем случае это интервал 30 — 40 тыс. руб. с частотой 70.
• Шаг 2: Применение формулы моды.
  Mo = X_Mo + h_Mo · (f_Mo — f_Mo-1) / ((f_Mo — f_Mo-1) + (f_Mo — f_Mo+1))
  Где:
• X_Mo = 30 (левая граница модального интервала)
• h_Mo = 10 (длина модального интервала, 40 — 30)
• f_Mo-1 = 40 (частота премодального интервала)
• f_Mo = 70 (частота модального интервала)
• f_Mo+1 = 35 (частота послемодального интервала)

Расчет:
Mo = 30 + 10 · (70 — 40) / ((70 — 40) + (70 — 35))
Mo = 30 + 10 · (30) / (30 + 35)
Mo = 30 + 10 · (30) / 65
Mo = 30 + 10 · 0,4615
Mo = 30 + 4,615
Mo = 34,615 тыс. руб.

3. Медиана (Me)

Медиана также требует определения медианного интервала и использования специальной формулы.

• Шаг 1: Определение медианного интервала. Для этого необходимо найти порядковый номер медианы (N/2) и накопленные частоты. Общая сумма частот N = 200, значит, N/2 = 100.
  Расширим таблицу, добавив накопленные частоты:

Таблица 3. Расчет накопленных частот

Размер премии, тыс. руб.	Число работников (fi)	Накопленная частота (Fнакопл.)
10 — 20	25	25
20 — 30	40	25 + 40 = 65
30 — 40	70	65 + 70 = 135
40 — 50	35	135 + 35 = 170
50 — 60	30	170 + 30 = 200

Медианный интервал — это тот интервал, накопленная частота которого впервые превышает 100. Это интервал 30 — 40 тыс. руб. (накопленная частота 135).

• Шаг 2: Применение формулы медианы.
  Me = L + ((N/2 — F) / f) · I
  Где:
• L = 30 (нижняя граница медианного интервала)
• N = 200 (общее число работников)
• F = 65 (накопленная частота интервалов, предшествующих медианному)
• f = 70 (частота медианного интервала)
• I = 10 (ширина медианного интервала)

Расчет:
Me = 30 + ((200/2 — 65) / 70) · 10
Me = 30 + ((100 — 65) / 70) · 10
Me = 30 + (35 / 70) · 10
Me = 30 + 0,5 · 10
Me = 30 + 5
Me = 35 тыс. руб.

Расчет показателей вариации

Показатели вариации позволяют оценить степень разброса данных вокруг центральной тенденции.

1. Дисперсия (D)

Для интервального ряда используется формула взвешенной дисперсии:
D = Σ(x’_i — x̅)²f_i / n

Расширим таблицу для удобства расчетов:

Таблица 4. Расчет для дисперсии

Размер премии, тыс. руб.	x’i	fi	(x’i — x̅)	(x’i — x̅)2	(x’i — x̅)2fi
10 — 20	15	25	15 — 35,25 = -20,25	410,0625	410,0625 * 25 = 10251,5625
20 — 30	25	40	25 — 35,25 = -10,25	105,0625	105,0625 * 40 = 4202,5
30 — 40	35	70	35 — 35,25 = -0,25	0,0625	0,0625 * 70 = 4,375
40 — 50	45	35	45 — 35,25 = 9,75	95,0625	95,0625 * 35 = 3327,1875
50 — 60	55	30	55 — 35,25 = 19,75	390,0625	390,0625 * 30 = 11701,875
Итого		200			Σ = 29487,5

Расчет:
D = 29487,5 / 200 = 147,4375 (тыс. руб.)²

2. Среднее квадратическое отклонение (σ)

Среднее квадратическое отклонение — это квадратный корень из дисперсии. Оно выражается в тех же единицах измерения, что и исходный признак, что делает его более интерпретируемым.
σ = √D

Расчет:
σ = √147,4375 ≈ 12,1424 тыс. руб.

3. Коэффициент вариации (V)

Коэффициент вариации показывает относительную меру разброса данных и выражается в процентах. Он позволяет сравнивать вариацию в совокупностях с разными средними значениями.
V = (σ / x̅) · 100%

Расчет:
V = (12,1424 / 35,25) · 100% ≈ 34,45%

Графическое представление данных

Визуализация данных играет ключевую роль в статистическом анализе, позволяя наглядно представить распределение и выявить скрытые закономерности.

1. Гистограмма частот

Гистограмма представляет собой ряд примыкающих друг к другу прямоугольников. На оси абсцисс откладываются границы интервалов премии, а высота каждого прямоугольника пропорциональна частоте (числу работников) в этом интервале.

graph TD
    A[10-20 (25)] --> B(20-30 (40))
    B --> C(30-40 (70))
    C --> D(40-50 (35))
    D --> E(50-60 (30))
    
    style A fill:#DDA0DD,stroke:#333,stroke-width:2px
    style B fill:#DA70D6,stroke:#333,stroke-width:2px
    style C fill:#BA55D3,stroke:#333,stroke-width:2px
    style D fill:#9932CC,stroke:#333,stroke-width:2px
    style E fill:#8A2BE2,stroke:#333,stroke-width:2px

    subgraph Гистограмма распределения работников по размеру премии
        direction LR
        P1(10) --- P2(20) --- P3(30) --- P4(40) --- P5(50) --- P6(60)
        F1(25) --- F2(40) --- F3(70) --- F4(35) --- F5(30)
        P1 -- "Интервал премии (тыс. руб.)" --> P6
        F1 -- "Число работников" --> F5
    end

2. Полигон частот

Полигон частот строится путем соединения середин верхних оснований прямоугольников гистограммы. Для этого на оси абсцисс откладываются серединные значения интервалов, а по оси ординат — соответствующие им частоты. Для замкнутости полигона крайние точки соединяются с серединами соседних (фиктивных) интервалов, частоты которых равны нулю.

graph TD
    A[Середина интервала] --> B[Частота]
    
    subgraph Полигон частот распределения работников по размеру премии
        direction LR
        X0(5) --- X1(15) --- X2(25) --- X3(35) --- X4(45) --- X5(55) --- X6(65)
        Y0(0) --- Y1(25) --- Y2(40) --- Y3(70) --- Y4(35) --- Y5(30) --- Y6(0)
        
        X0 -- "Середина интервала премии (тыс. руб.)" --> X6
        Y0 -- "Число работников" --> Y6
        
        linkStyle 0 stroke-width:0px;
        linkStyle 1 stroke-width:0px;
        
        X1 --- Y1
        X2 --- Y2
        X3 --- Y3
        X4 --- Y4
        X5 --- Y5
        
        plot Y1 -- Y2 -- Y3 -- Y4 -- Y5
        
    end

На графике полигона частот ось X будет обозначать серединные значения интервалов (15, 25, 35, 45, 55), а ось Y — соответствующие частоты (25, 40, 70, 35, 30). Для наглядности можно добавить фиктивные точки с нулевыми частотами на серединах соседних интервалов (например, 5 и 65).

Формулирование выводов по Заданию 1

Анализ средних величин и показателей вариации для распределения работников по размеру премии позволяет сделать следующие выводы:

• Средняя арифметическая премия составила 35,25 тыс. руб. Это означает, что в среднем по предприятию каждый работник получает премию чуть выше 35 тысяч рублей. Этот показатель характеризует общий уровень поощрения.
• Модальное значение премии равно 34,615 тыс. руб. Это значение премии, которое встречается наиболее часто. Тот факт, что мода (34,615 тыс. руб.) и средняя (35,25 тыс. руб.) близки, указывает на относительно симметричное распределение. Пик распределения приходится на интервал 30-40 тыс. руб., что подтверждается наибольшей частотой в этом интервале.
• Медианное значение премии — 35 тыс. руб. Половина работников получают премию менее 35 тыс. руб., а половина — более 35 тыс. руб. Близость медианы к среднему и моде также свидетельствует об отсутствии сильной асимметрии в распределении.
• Дисперсия составила 147,4375 (тыс. руб.)², а среднее квадратическое отклонение — 12,1424 тыс. руб. Эти показатели демонстрируют абсолютный разброс размеров премии вокруг среднего. Среднее квадратическое отклонение в 12,1424 тыс. руб. указывает, что типичное отклонение индивидуальной премии от средней составляет около 12 тысяч рублей.
• Коэффициент вариации равен 34,45%. Это говорит об умеренной вариации размера премии. Если бы коэффициент вариации был значительно ниже (например, менее 10-15%), это указывало бы на очень однородное распределение премий, а если бы был значительно выше (например, более 50-70%), то на очень неоднородное. В нашем случае, около 34% говорит о том, что премии достаточно сильно различаются, но не настолько, чтобы считать совокупность абсолютно неоднородной.
• Графическое представление (гистограмма и полигон частот) наглядно подтверждает полученные выводы. Пик распределения приходится на интервал 30-40 тыс. руб., что соответствует модальному интервалу. Форма распределения выглядит относительно симметричной, хотя наблюдается небольшой сдвиг вправо (в сторону больших премий) по сравнению с идеальной симметрией, что может объясняться наличием нескольких работников с более высокими премиями.

Таким образом, на предприятии наблюдается достаточно сбалансированное распределение премий с умеренным разбросом, большинство работников получают премии в диапазоне 30-40 тысяч рублей. Этот вывод важен для кадровой политики, поскольку позволяет оценить справедливость системы вознаграждений и степень дифференциации доходов.

Задание 2: Анализ и графическое представление временных рядов

Временные ряды, или ряды динамики, являются мощным инструментом для отслеживания изменений экономических и социальных явлений во времени. Их анализ позволяет выявлять тренды, сезонность, цикличность и другие закономерности, что критически важно для прогнозирования и принятия стратегических решений. В этом задании мы сосредоточимся на преобразовании данных, сглаживании для выявления тенденций и наглядном графическом представлении.

Исходные данные и постановка задачи

Предп��ложим, у нас есть данные о ежемесячном объеме производства продукции (в условных единицах) за два года.

Таблица 5. Ежемесячный объем производства продукции

Месяц	2024 год	2025 год
Январь	100	110
Февраль	105	115
Март	110	120
Апрель	115	125
Май	120	130
Июнь	125	135
Июль	130	140
Август	135	145
Сентябрь	140	150
Октябрь	145	155
Ноябрь	150	160
Декабрь	155	165

Задача:

1. Преобразовать исходные месячные данные в квартальные и годовые уровни.
2. Выполнить сглаживание квартальных уровней методом скользящей средней с интервалом, равным 3 кварталам.
3. Построить линейные диаграммы для исходного и сглаженного временного ряда.
4. Проанализировать динамику и сформулировать выводы.

Преобразование временного ряда в квартальные и годовые уровни

Преобразование данных из одной периодичности в другую является стандартной процедурой в анализе временных рядов. Поскольку данные об объеме производства являются интервальными (показывают объем за период), квартальные и годовые уровни получаются путем суммирования соответствующих месячных значений.

1. Расчет квартальных уровней:

Каждый квартал состоит из трех месяцев.

• 2024 год:
• I квартал: 100 (Янв) + 105 (Фев) + 110 (Мар) = 315
• II квартал: 115 (Апр) + 120 (Май) + 125 (Июн) = 360
• III квартал: 130 (Июл) + 135 (Авг) + 140 (Сен) = 405
• IV квартал: 145 (Окт) + 150 (Ноя) + 155 (Дек) = 450

• 2025 год:
• I квартал: 110 (Янв) + 115 (Фев) + 120 (Мар) = 345
• II квартал: 125 (Апр) + 130 (Май) + 135 (Июн) = 390
• III квартал: 140 (Июл) + 145 (Авг) + 150 (Сен) = 435
• IV квартал: 155 (Окт) + 160 (Ноя) + 165 (Дек) = 480

Таблица 6. Квартальные уровни объема производства

Год	Квартал	Объем производства
2024	I	315
2024	II	360
2024	III	405
2024	IV	450
2025	I	345
2025	II	390
2025	III	435
2025	IV	480

2. Расчет годовых уровней:

Годовые уровни получаются суммированием всех месячных или квартальных значений за соответствующий год.

• 2024 год: 315 + 360 + 405 + 450 = 1530
• 2025 год: 345 + 390 + 435 + 480 = 1650

Таблица 7. Годовые уровни объема производства

Год	Объем производства
2024	1530
2025	1650

Сглаживание временного ряда методом скользящей средней

Метод скользящей средней — это один из наиболее распространенных способов для сглаживания временных рядов, который помогает устранить случайные колебания и выявить основную тенденцию (тренд). Для данного задания мы используем простую скользящую среднюю с интервалом сглаживания в 3 квартала. Поскольку длина интервала нечетная (g=3), сглаженное значение будет относиться к центральному кварталу интервала.

Формула простой скользящей средней для интервала g:
y’_t = (y_t-p + … + y_t + … + y_t+p) / g, где p = (g-1)/2

Для g = 3, p = (3-1)/2 = 1.
Тогда y’_t = (y_t-1 + y_t + y_t+1) / 3

Таблица 8. Сглаживание квартальных уровней методом скользящей средней (g=3)

Год	Квартал	Объем производства (yt)	Сглаженное значение (y’t)
2024	I	315	—
2024	II	360	(315 + 360 + 405) / 3 = 360
2024	III	405	(360 + 405 + 450) / 3 = 405
2024	IV	450	(405 + 450 + 345) / 3 = 400
2025	I	345	(450 + 345 + 390) / 3 = 395
2025	II	390	(345 + 390 + 435) / 3 = 390
2025	III	435	(390 + 435 + 480) / 3 = 435
2025	IV	480	—

Примечание: Первое и последнее значения ряда не сглаживаются, так как для них невозможно сформировать полный интервал из 3 кварталов.

Графическое представление и анализ динамики

Для наглядного отображения динамики временного ряда используются линейные диаграммы. Построим две диаграммы: одну для исходных квартальных данных и одну для сглаженных квартальных данных.

1. Линейная диаграмма исходных квартальных уровней объема производства

lineChart
    title "Динамика объема производства по кварталам (исходные данные)"
    xTitle "Квартал"
    yTitle "Объем производства"
    chartSize     : { width: 600, height: 300 }
    
    data:
        [2024 Q1, 315]
        [2024 Q2, 360]
        [2024 Q3, 405]
        [2024 Q4, 450]
        [2025 Q1, 345]
        [2025 Q2, 390]
        [2025 Q3, 435]
        [2025 Q4, 480]

2. Линейная диаграмма сглаженных квартальных уровней объема производства

lineChart
    title "Динамика объема производства по кварталам (сглаженные данные)"
    xTitle "Квартал"
    yTitle "Объем производства"
    chartSize     : { width: 600, height: 300 }
    
    data:
        [2024 Q2, 360]
        [2024 Q3, 405]
        [2024 Q4, 400]
        [2025 Q1, 395]
        [2025 Q2, 390]
        [2025 Q3, 435]

Формулирование выводов по Заданию 2

Анализ временного ряда объема производства позволяет сформулировать следующие выводы:

• Общая динамика годовых показателей: Объем производства демонстрирует положительную динамику, увеличившись с 1530 условных единиц в 2024 году до 1650 условных единиц в 2025 году. Это свидетельствует об общем росте предприятия.
• Исходные квартальные уровни: На линейной диаграмме исходных квартальных уровней видно выраженное сезонное колебание. В каждом году наблюдается устойчивый рост производства от I к IV кварталу, однако I квартал каждого нового года (2025 Q1) показывает заметное снижение относительно IV квартала предыдущего года (2024 Q4). Это может указывать на сезонные спады в начале года, возможно, связанные с праздниками или планированием. В целом, несмотря на сезонность, прослеживается восходящая тенденция.
• Сглаженные квартальные уровни: Сглаживание методом скользящей средней позволило значительно уменьшить влияние сезонных и случайных колебаний. На диаграмме сглаженных данных сезонные пики и спады практически исчезают, что позволяет более четко увидеть основную тенденцию. Сглаженный ряд показывает относительно стабильный уровень производства в середине анализируемого периода (2024 Q4 — 2025 Q2), а затем возобновление роста в 2025 Q3.
• Выявленные тенденции: Наблюдается явная восходящая тенденция в годовом объеме производства. Квартальные данные, особенно после сглаживания, подтверждают эту тенденцию, показывая постепенный рост, несмотря на присущие производству сезонные колебания. Сглаженный ряд, хотя и теряет крайние точки, четко демонстрирует отсутствие резких спадов в основной тенденции, что указывает на устойчивое развитие.
• Экономическая интерпретация: Увеличение годовых объемов производства и общая восходящая тенденция квартальных данных свидетельствуют об эффективности производственной деятельности, росте спроса или расширении мощностей. Сезонные колебания требуют дополнительного анализа для выработки стратегий по их нивелированию, например, путем оптимизации запасов или перераспределения производственных ресурсов. Сглаживание позволяет фокусироваться на долгосрочной стратегии, не отвлекаясь на краткосрочные флуктуации.

Задание 3: Расчет индексов цен и абсолютного изменения стоимости

Индексы играют фундаментальную роль в экономическом анализе, позволяя оценить относительные изменения сложных показателей, таких как цены, объемы производства или стоимость. В этом задании мы сосредоточимся на ценовых индексах, которые помогают понять, как меняются средние цены, и как на это влияют различные факторы. Особое внимание будет уделено факторному анализу изменения общей стоимости.

Исходные данные и постановка задачи

Предположим, у нас есть данные об экспорте двух видов нефти (марки А и марки Б) за базисный (0) и отчетный (1) периоды.

Таблица 9. Данные об экспорте нефти

Вид нефти	Период	Цена за баррель (p), у.е.	Объем экспорта (q), млн баррелей
Марка А	0	60	50
Марка А	1	75	40
Марка Б	0	50	30
Марка Б	1	60	60

Задача:

1. Рассчитать индексы цен переменного состава, фиксированного состава и структурных сдвигов.
2. Определить абсолютное изменение стоимости экспортируемой нефти.
3. Провести факторный анализ изменения стоимости с использованием метода цепных подстановок, определив влияние изменения цен и объемов.
4. Сформулировать выводы по всем расчетам.

Расчет индексов цен

Для расчета индексов нам потребуется определить общую стоимость экспорта (pq) для каждого вида нефти в каждом периоде, а также средние цены.

Таблица 10. Расчеты для индексного анализа

Вид нефти	Период	Цена (p)	Объем (q)	Стоимость (pq)	Доля (d)
Марка А	0	60	50	3000	50/80 = 0,625
Марка А	1	75	40	3000	40/100 = 0,4
Марка Б	0	50	30	1500	30/80 = 0,375
Марка Б	1	60	60	3600	60/100 = 0,6
Итого	0		Σq0 = 80	Σp0q0 = 4500	Σd0 = 1
Итого	1		Σq1 = 100	Σp1q1 = 6600	Σd1 = 1

Средняя цена в базисном периоде:
p̅₀ = Σp_0iq_0i / Σq_0i = 4500 / 80 = 56,25 у.е.

Средняя цена в отчетном периоде:
p̅₁ = Σp_1iq_1i / Σq_1i = 6600 / 100 = 66,00 у.е.

1. Индекс цен переменного состава (I^пер._p)

Показывает, как изменилась средняя цена за счет изменения цен отдельных видов нефти и изменения структуры экспорта.
I^пер._p = p̅₁ / p̅₀

Расчет:
I^пер._p = 66,00 / 56,25 ≈ 1,1733 или 117,33%

2. Индекс цен фиксированного состава (I^пост._p)

Показывает изменение средней цены только за счет изменения цен отдельных видов нефти, при неизменной структуре базисного периода (q₀).
I^пост._p = (Σp_1iq_0i / Σq_0i) / (Σp_0iq_0i / Σq_0i)

Для числителя:
Σp_1iq_0i = (75 * 50) + (60 * 30) = 3750 + 1800 = 5550

Расчет:
I^пост._p = (5550 / 80) / (4500 / 80) = 69,375 / 56,25 ≈ 1,2333 или 123,33%

3. Индекс структурных сдвигов цен (I^{структ.}_p)

Характеризует влияние изменения структуры экспорта на динамику средней цены.
I^{структ.}_p = I^пер._p / I^пост._p

Расчет:
I^{структ.}_p = 1,1733 / 1,2333 ≈ 0,9513 или 95,13%

Проверка взаимосвязи: I^пер._p = I^пост._p · I^{структ.}_p => 1,1733 ≈ 1,2333 · 0,9513 => 1,1733 ≈ 1,1733. Взаимосвязь соблюдается.

Определение изменения стоимости экспорта в абсолютном выражении

Общее изменение стоимости экспортируемой нефти в абсолютном выражении — это разница между общей стоимостью в отчетном и базисном периодах.

• Стоимость в базисном периоде (Σp₀q₀) = 4500 у.е.
• Стоимость в отчетном периоде (Σp₁q₁) = 6600 у.е.

ΔСтоимость = Σp₁q₁ — Σp₀q₀

Расчет:
ΔСтоимость = 6600 — 4500 = 2100 у.е.

Общая стоимость экспорта увеличилась на 2100 у.е., что является важным показателем роста выручки для экспортера.

Факторный анализ изменения стоимости (метод цепных подстановок)

Для понимания, как изменение цен и объемов повлияло на общую стоимость, используем метод цепных подстановок. Этот метод позволяет элиминировать влияние факторов путем последовательной замены их базисных значений на отчетные.

Общая стоимость (S) является произведением цен (p) и объемов (q) по каждому виду продукции.
S = Σpq

1. Базисная стоимость (S₀):
   S₀ = Σp_0iq_0i = 4500 у.е.
2. Условная стоимость, измененная только за счет цен (S_усл.1):
   Предполагаем, что объемы остались на базисном уровне, а цены изменились на уровень отчетного периода.
   S_усл.1 = Σp_1iq_0i = (75 * 50) + (60 * 30) = 3750 + 1800 = 5550 у.е.
3. Влияние изменения цен (ΔS_p):
   ΔS_p = S_усл.1 — S₀
   ΔS_p = 5550 — 4500 = 1050 у.е.
4. Отчетная стоимость (S₁):
   S₁ = Σp_1iq_1i = 6600 у.е.
5. Влияние изменения объемов (ΔS_q):
   Предполагаем, что цены уже находятся на отчетном уровне, а объемы изменились с базисного на отчетный.
   ΔS_q = S₁ — S_усл.1
   ΔS_q = 6600 — 5550 = 1050 у.е.

Проверка: Сумма влияний факторов должна быть равна общему изменению стоимости:
ΔS = ΔS_p + ΔS_q
2100 = 1050 + 1050. Проверка сошлась.

Формулирование выводов по Заданию 3

Проведенный индексный анализ и факторный анализ изменения стоимости экспортируемой нефти позволяют сделать следующие выводы:

• Общее изменение средней цены (Индекс переменного состава): Средняя цена экспортируемой нефти увеличилась на 17,33% (I^пер._p = 1,1733). Этот показатель отражает комплексное влияние как роста цен на отдельные марки нефти, так и изменения структуры экспорта.
• Влияние изменения цен (Индекс фиксированного состава): Если бы структура экспорта оставалась неизменной (на уровне базисного периода), средняя цена увеличилась бы на 23,33% (I^пост._p = 1,2333). Это указывает на существенный рост цен на сами марки нефти.
• Влияние структурных сдвигов (Индекс структурных сдвигов): Изменение структуры экспорта привело к снижению средней цены на 4,87% (I^{структ.}_p = 0,9513). Это означает, что в отчетном периоде доля более дешевой нефти (Марка Б) в общем объеме экспорта увеличилась (с 37,5% до 60%), а доля более дорогой (Марка А) уменьшилась (с 62,5% до 40%), что нивелировало часть положительного эффекта от роста цен.
• Абсолютное изменение стоимости экспорта: Общая стоимость экспортируемой нефти увеличилась на 2100 у.е., достигнув 6600 у.е. в отчетном периоде. Это является позитивным результатом для экспортера.
• Факторный анализ методом цепных подстановок:
  • Влияние изменения цен: Рост цен на обе марки нефти привел к увеличению общей стоимости экспорта на 1050 у.е. Это основной положительный фактор.
  • Влияние изменения объемов: Увеличение общего объема экспорта, а также изменение структуры в пользу Марки Б (которая, хотя и дешевле, была экспортирована в значительно больших объемах), привело к дополнительному росту стоимости на 1050 у.е.
  • Таким образом, увеличение стоимости экспорта на 2100 у.е. было равномерно обусловлено как ростом цен, так и изменением объемов и структуры экспорта.

В целом, динамика экспорта положительна, как с точки зрения общей стоимости, так и за счет роста цен на нефть. Однако, изменение структуры экспорта в пользу менее дорогой марки частично сдержало рост средней цены, что является важным аспектом для дальнейшего стратегического планирования и оптимизации портфеля экспорта.

Задание 4: Анализ связи между качественными признаками (Коэффициент контингенции)

В мире статистики не все данные являются числовыми. Многие важные аспекты явлений описываются качественными признаками, такими как пол, образование, характер труда или регион проживания. Для изучения взаимосвязей между такими признаками используются специальные меры, одной из которых является коэффициент контингенции Пирсона. Он позволяет количественно оценить тесноту стохастической связи между двумя номинальными переменными.

Исходные данные и постановка задачи

Предположим, мы хотим определить, существует ли связь между полом сотрудников и характером их труда (умственный или физический) на некотором предприятии. У нас есть следующие условные данные, представленные в виде таблицы сопряженности (таблицы четырех полей):

Таблица 11. Распределение сотрудников по полу и характеру труда

Характер труда	Мужчины	Женщины	Итого по характеру труда
Умственный	60	40	100
Физический	90	10	100
Итого по полу	150	50	Всего (n) = 200

Задача:

1. Рассчитать коэффициент контингенции Пирсона для определения наличия и тесноты связи между полом и характером труда.
2. Подробно интерпретировать полученные результаты.
3. Сформулировать выводы.

Расчет коэффициента контингенции Пирсона

Коэффициент контингенции (C) базируется на значении критерия хи-квадрат (χ²), который измеряет расхождение между наблюдаемыми частотами (f_набл.) и ожидаемыми частотами (f_ож.) при условии отсутствия связи.

1. Расчет ожидаемых частот (f_ож.)

Ожидаемые частоты рассчитываются исходя из предположения о полной независимости признаков. Для каждой ячейки таблицы:
f_ож. = (Сумма по строке · Сумма по столбцу) / Общее число наблюдений

• f_{ож.(Мужчины, Умственный)} = (100 · 150) / 200 = 75
• f_{ож.(Женщины, Умственный)} = (100 · 50) / 200 = 25
• f_{ож.(Мужчины, Физический)} = (100 · 150) / 200 = 75
• f_{ож.(Женщины, Физический)} = (100 · 50) / 200 = 25

Таблица 12. Наблюдаемые (f_набл.) и ожидаемые (f_ож.) частоты

Характер труда	Мужчины (fнабл. / fож.)	Женщины (fнабл. / fож.)
Умственный	60 / 75	40 / 25
Физический	90 / 75	10 / 25

2. Расчет критерия хи-квадрат (χ²)

Формула χ²:
χ² = Σ(f_набл. — f_ож.)² / f_ож.

Расчет для каждой ячейки:

• Ячейка (Мужчины, Умственный): (60 — 75)² / 75 = (-15)² / 75 = 225 / 75 = 3
• Ячейка (Женщины, Умственный): (40 — 25)² / 25 = (15)² / 25 = 225 / 25 = 9
• Ячейка (Мужчины, Физический): (90 — 75)² / 75 = (15)² / 75 = 225 / 75 = 3
• Ячейка (Женщины, Физический): (10 — 25)² / 25 = (-15)² / 25 = 225 / 25 = 9

Суммируем полученные значения:
χ² = 3 + 9 + 3 + 9 = 24

3. Расчет коэффициента контингенции Пирсона (C)

Формула коэффициента контингенции:
C = √(χ² / (χ² + n))
Где n — общий объем выборки (200).

Расчет:
C = √(24 / (24 + 200))
C = √(24 / 224)
C = √0,10714 ≈ 0,3273

Детальная интерпретация результатов

Полученное значение коэффициента контингенции Пирсона C ≈ 0,3273 позволяет сделать следующие выводы о тесноте связи между полом и характером труда:

• Наличие связи: Поскольку C > 0, можно говорить о наличии статистической связи между полом и характером труда. Если бы C было равно 0, это означало бы полное отсутствие связи.
• Теснота связи: Значение C = 0,3273 попадает в диапазон от 0,2 до 0,5, что, согласно качественной шкале оценки тесноты связи, характеризуется как слабая статистическая связь.
  • 0 – статистическая связь отсутствует.
  • От 0 до 0,2 – очень слабая статистическая связь.
  • От 0,2 до 0,5 – слабая статистическая связь.
  • От 0,5 до 0,7 – средняя статистическая связь.
  • От 0,7 до 1 – сильная статистическая связь.
• Особенности коэффициента контингенции: Важно отметить, что максимальное значение коэффициента контингенции всегда меньше 1. Для таблицы сопряженности размером 2×2 (как в нашем случае) максимальное значение C составляет приблизительно 0,707 (рассчитывается как √((k-1)/k), где k=2, т.е. √(1/2)). Таким образом, даже теоретически при абсолютной связи C не достигнет 1. Это означает, что 0,3273 относительно максимального возможного значения 0,707 является значимым показателем.
• Направление связи: Хотя коэффициент контингенции не указывает направление связи (как, например, коэффициент корреляции), по исходным данным и ожидаемым частотам можно заметить, что среди мужчин значительно больше тех, кто занимается физическим трудом, чем ожидалось бы при отсутствии связи (90 против 75), и меньше умственным (60 против 75). Среди женщин, напротив, больше тех, кто занимается умственным трудом (40 против 25), и значительно меньше физическим (10 против 25). Это указывает на то, что мужчины чаще заняты физическим трудом, а женщины — умственным, относительно их представленности в общей выборке и при отсутствии связи.

Формулирование выводов по Заданию 4

На основании проведенных расчетов и интерпретации коэффициента контингенции можно заключить:

На предприятии существует слабая статистическая связь между полом сотрудников и характером их труда. Значение коэффициента контингенции Пирсона, равное 0,3273, указывает на то, что распределение мужчин и женщин по видам труда не является случайным, но и не демонстрирует очень сильной или абсолютной детерминированности. Выявленная тенденция заключается в том, что мужчины на данном предприятии статистически чаще заняты физическим трудом, а женщины — умственным, по сравнению с ожидаемым распределением, если бы пол не влиял на характер труда. Эта связь, хотя и не является крайне сильной, может быть важным фактором для анализа кадровой политики, организации рабочих мест или программ обучения, направленных на снижение гендерных стереотипов или оптимизацию распределения рабочей силы. Для более глубокого анализа можно рассмотреть дополнительные качественные признаки или увеличить объем выборки. Каковы будут дальнейшие шаги по преодолению этих стереотипов и созданию более сбалансированной рабочей среды?

Общие принципы графического представления данных и формулирования выводов

Качественное статистическое исследование не ограничивается лишь расчетами. Его завершающим и одним из наиболее важных этапов является наглядное представление результатов и формулирование обоснованных выводов. Именно эти аспекты трансформируют набор чисел в осмысленную информацию, доступную для понимания и принятия решений.

Рекомендации по построению графических изображений

Графики — это язык статистики, позволяющий «рассказать» историю данных. Однако, чтобы эта история была понятной и убедительной, необходимо следовать четким принципам.

1. Наглядность и информативность: Главная задача любого графика — сделать сложные данные простыми для восприятия. Он должен быстро передавать основные тенденции, распределения или взаимосвязи без необходимости изучения таблиц. Избегайте перегруженности деталями, слишком большого количества цветов или типов линий.
2. Точность и масштабирование: Все элементы графика (оси, шкалы, метки) должны быть точно откалиброваны и размечены. Выбирайте адекватный масштаб, чтобы избежать искажения данных. Начало осей координат (нулевая точка) должно быть обозначено, если это не приведет к потере информативности.
3. Выбор типа графика:
   • Гистограмма частот незаменима для интервальных вариационных рядов. Она визуально демонстрирует форму распределения, указывая на интервалы с наибольшими и наименьшими частотами. При построении важно, чтобы прямоугольники примыкали друг к другу, а их площадь была пропорциональна частоте (или плотности частоты). Ось OX — интервалы признака, ось OY — частоты.
   • Полигон частот — это ломаная линия, которая соединяет середины интервалов с соответствующими частотами. Он особенно полезен для сравнения нескольких распределений на одном графике или для более плавного представления формы распределения по сравнению с гистограммой. Для дискретных рядов на OX откладывают значения признака, для интервальных — середины интервалов.
   • Линейные диаграммы временных рядов идеально подходят для отображения динамики показателя во времени. Ось абсцисс всегда представляет время (годы, кварталы, месяцы), ось ординат — значения показателя. Такие диаграммы эффективно показывают тренды, сезонность, цикличность и точки перелома.
4. Оформление: Каждый график должен иметь четкий, содержательный заголовок, отражающий его суть. Оси должны быть подписаны с указанием единиц измерения. При необходимости добавляйте легенду, чтобы различать несколько рядов данных. Используйте стандартные цветовые схемы, обеспечивающие хорошую читаемость.

Методология интерпретации статистических результатов и формулирования выводов

Формулирование выводов — это искусство превращения числовых результатов в ценные инсайты. Для достижения максимальной ясности и обоснованности рекомендуется следующий алгоритм:

1. Краткое изложение основных количественных результатов: Начните с четкой констатации ключевых числовых значений (например, «средняя премия составила X тыс. руб.», «индекс цен увеличился на Y%»).
2. Экономический/Социальный смысл: Объясните, что означают эти цифры в контексте реального мира. Например, «увеличение среднегодовой премии свидетельствует о росте доходов работников», или «снижение индекса структурных сдвигов указывает на изменение предпочтений потребителей в пользу более дешевых товаров».
3. Выявление тенденций и закономерностей: Опишите обнаруженные тренды (рост, снижение, стабильность), особенности распределения (симметричность, асимметричность, наличие нескольких пиков), характер и тесноту связи между признаками (например, «наблюдается устойчивая восходящая тенденция в объеме производства», «связь между полом и характером труда является слабой, но статистически значимой»).
4. Факторный анализ (с акцентом на метод цепных подстановок): Если проводился факторный анализ (как в задании с индексами), подробно объясните, как каждый фактор повлиял на итоговый показатель.
   • Метод цепных подстановок является классическим инструментом для этого. Суть в последовательной замене базисных значений факторов на фактические, фиксируя при этом все остальные факторы на базисном (или уже замещенном) уровне.
   • Пример для изменения стоимости (S = P · Q):
     • Определяется общее изменение: ΔS = S₁ — S₀.
     • Влияние цены: ΔS_P = (P₁Q₀) — (P₀Q₀). Здесь мы «меняем» только цены.
     • Влияние объема: ΔS_Q = (P₁Q₁) — (P₁Q₀). Здесь мы «меняем» только объемы, при этом цены уже «переключены» на фактический уровень.
     • Проверка: ΔS = ΔS_P + ΔS_Q.
   • Важный нюанс: Результаты факторного анализа методом цепных подстановок могут зависеть от последовательности замены факторов. В академической практике принято использовать наиболее логичную или принятую последовательность, например, сначала изменение качественных показателей (цены, себестоимость), затем количественных (объем, количество).
5. Сравнение и сопоставление: По возможности, сопоставьте полученные результаты с предыдущими периодами, плановыми показателями, отраслевыми бенчмарками или аналогичными совокупностями. Это придает выводам дополнительную глубину и контекст.
6. Ответ на исследовательский вопрос: Убедитесь, что каждый вывод прямо или косвенно отвечает на исследовательские вопросы, поставленные в начале задачи.
7. Обоснованность и объективность: Все выводы должны быть строго основаны на полученных данных и расчетах. Избегайте субъективных суждений, эмоций и информации, не подтвержденной анализом. Используйте нейтральный, академический язык.

Следуя этим рекомендациям, вы сможете не только корректно выполнить статистические расчеты, но и представить их в виде профессионального, глубокого и убедительного аналитического отчета.

Заключение

Выполнение данной контрольной работы стало комплексным погружением в мир аналитической статистики, демонстрируя не только механическое применение формул, но и глубокое понимание методологии, принципов интерпретации и графического представления данных. Мы убедились, что статистика — это не просто набор чисел, а мощный инструмент для извлечения знаний, выявления закономерностей и поддержки принятия обоснованных решений в самых различных сферах.

В ходе решения задач были отработаны ключевые навыки: от расчета мер центральной тенденции и вариации для интервальных рядов, что позволило оценить типичный размер премии и ее разброс на предприятии, до анализа динамики временных рядов с помощью сглаживания, выявившего общую тенденцию роста производства, скрытую за сезонными колебаниями. Особое внимание было уделено индексному анализу, где индексы переменного состава, фиксированного состава и структурных сдвигов раскрыли многогранное влияние ценовых и структурных изменений на стоимость экспорта нефти, дополненное детальным факторным анализом методом цепных подстановок. Наконец, изучение связи между качественными признаками с помощью коэффициента контингенции Пирсона позволило выявить слабую, но статистически значимую зависимость между полом и характером труда.

Каждый этап работы, от выбора формул до построения графиков и формулирования выводов, подчеркивал важность точности, обоснованности и наглядности. Эти навыки незаменимы для любого специалиста, стремящегося к эффективной работе с данными. Аналитическая статистика, представленная в данном решении, выходит за рамки чистого расчета, становясь фундаментом для глубокого понимания экономических и социальных процессов и формирования стратегически важных инсайтов.

Список использованной литературы

1. Мода распределения. Loginom Wiki. URL: https://loginom.ru/wiki/mode-distribution (дата обращения: 10.10.2025).
2. Мода. Форсайт. URL: https://www.prognoz.ru/products/analytics/web/help/latest/ru/library/methods/descriptive-statistics/mode.htm (дата обращения: 10.10.2025).
3. Коэффициент контингенции Пирсона. Социология: Энциклопедия. URL: https://dic.academic.ru/dic.nsf/socio/1344/%D0%9A%D0%9E%D0%AD%D0%A4%D0%A4%D0%98%D0%A6%D0%98%D0%95%D0%9D%D0%A2 (дата обращения: 10.10.2025).
4. Сглаживание временных рядов с помощью скользящей средней. Научные и учебные материалы. URL: https://lektsii.org/8-30541.html (дата обращения: 10.10.2025).
5. Расчет медианы интервального ряда. Академия гражданской защиты МЧС России. URL: https://studfile.net/preview/806495/page:13/ (дата обращения: 10.10.2025).
6. Скользящее среднее (Moving Average). Loginom Wiki. URL: https://loginom.ru/wiki/moving-average (дата обращения: 10.10.2025).
7. Коэффициент контингенции. Циклопедия. URL: https://cyclowiki.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%8D%D1%84%D1%84%D0%B8%D1%86%D0%B8%D0%B5%D0%BD%D1%82_%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%B3%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B8 (дата обращения: 10.10.2025).
8. Методы анализа временных рядов: сглаживание. Форсайт. URL: https://www.prognoz.ru/products/analytics/web/help/latest/ru/library/methods/time-series-analysis/smoothing.htm (дата обращения: 10.10.2025).
9. Для интервального ряда распределения мода определяется по формуле. Тема 1. URL: https://edu.tltsu.ru/sites/default/files/metodichki/3_2_5_1_2.htm (дата обращения: 10.10.2025).
10. Как найти медиану интервального ряда в вероятности и статистике 7 класса? Ответы Mail.ru. URL: https://otvety.mail.ru/question/235652516 (дата обращения: 10.10.2025).
11. Полигон частот: как построить, гистограмма частот для выборки. Ваш источник знаний по различным дисциплинам. URL: https://vuzlit.com/1319082/poligon_chastot_kak_postroit_gistogramma_chastot_vyborki (дата обращения: 10.10.2025).
12. Структурные сдвиги. StudFiles. URL: https://studfile.net/preview/4442296/page:3/ (дата обращения: 10.10.2025).
13. Индекс постоянного состава, Индекс структурных сдвигов. univer-nn.ru. URL: https://univer-nn.ru/indexy-postoyannogo-sostava-i-strukturnyh-sdvigov/ (дата обращения: 10.10.2025).
14. Статистика. Лекция 10: Индексы в статистике. НОУ ИНТУИТ. URL: https://www.intuit.ru/studies/courses/2191/66/lecture/217 (дата обращения: 10.10.2025).
15. Коэффициент ассоциации и контингенции. Einsteins.ru. URL: https://einsteins.ru/koeffitsient-assotsiatsii-i-kontingentsii/ (дата обращения: 10.10.2025).
16. Коэффициенты ассоциации и контингенции. 100task.ru. URL: https://100task.ru/teoria-statistiki/koefficienty-assotsiacii-i-kontingencii/ (дата обращения: 10.10.2025).
17. МЕДИАНА ДЛЯ ИНТЕРВАЛЬНЫХ ДАННЫХ. Презентация. URL: https://www.math.spbu.ru/user/prolubnikov/lec/mediana.pdf (дата обращения: 10.10.2025).
18. Дисперсия интервального ряда. Циклопедия. URL: https://cyclowiki.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%B5%D1%80%D1%81%D0%B8%D1%8F_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B2%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%B0 (дата обращения: 10.10.2025).
19. Индекс структурных сдвигов. Циклопедия. URL: https://cyclowiki.org/wiki/%D0%98%D0%BD%D0%B4%D0%B5%D0%BA%D1%81_%D1%81%D1%82%D1%80%D1%83%D0%BA%D1%82%D1%83%D1%80%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D1%81%D0%B4%D0%B2%D0%B8%D0%B3%D0%BE%D0%B2 (дата обращения: 10.10.2025).
20. Индексы цен постоянного состава. econ-lib.ru. URL: http://econ-lib.ru/samouchitel/ekonomicheskaya-statistika/raschet-indeksov-cen-postoyannogo-sostava.html (дата обращения: 10.10.2025).
21. Лекция 15 Средние индексы. StudFiles. URL: https://studfile.net/preview/16281861/page:4/ (дата обращения: 10.10.2025).
22. Индекс влияния структурных сдвигов. econ-lib.ru. URL: http://econ-lib.ru/samouchitel/ekonomicheskaya-statistika/indeks-vliyaniya-strukturnyh-sdvigov.html (дата обращения: 10.10.2025).
23. Ряды динамики — лекция по статистике для заочного отделения. Заочник. URL: https://zaochnik.com/spravochnik/statistika/analiz-rjadov-dinamiki/rjad-dinamiki/ (дата обращения: 10.10.2025).
24. Расчет дисперсии и среднего квадратического отклонения по индивидуальным данным и в рядах распределения. StudFiles. URL: https://studfile.net/preview/260751/page:18/ (дата обращения: 10.10.2025).
25. 1.4 Гистограмма и полигон частот. StudFiles. URL: https://studfile.net/preview/260751/page:6/ (дата обращения: 10.10.2025).
26. Гистограмма и полигон частот. Grandars.ru. URL: https://www.grandars.ru/student/statistika/ryady-raspredeleniya.html (дата обращения: 10.10.2025).
27. 1.2. Графическое изображение вариационных рядов. StudFiles. URL: https://studfile.net/preview/16281861/page:9/ (дата обращения: 10.10.2025).
28. Формула дисперсии – лёгкий путь! МатПросвет. URL: https://www.mathprofi.ru/formula_dispersii.html (дата обращения: 10.10.2025).
29. Формула для вычисления дисперсии. Среднее квадратическое отклонение. Коэффициент вариации. МатПросвет. URL: https://www.mathprofi.ru/formula_dlja_vychislenija_dispersii.html (дата обращения: 10.10.2025).
30. Дисперсия, среднеквадратичное (стандартное) отклонение, коэффициент вариации в Excel. statanaliz.info. URL: https://statanaliz.info/statanaliz/opisanie-dannyh/dispersiya-srednekvadraticheskoe-otklonenie-koefficient-variacii-v-excel/ (дата обращения: 10.10.2025).