Молекулярная физика и термодинамика реальных газов: подробные решения задач контрольной работы

В мире науки, где каждая частица и каждая единица энергии имеют свое значение, молекулярная физика и термодинамика реальных газов служат краеугольным камнем для понимания фундаментальных процессов, происходящих вокруг нас. Эти дисциплины, несмотря на свою абстрактность, находят прямое применение в инженерии, химии, материаловедении и даже климатологии. Перед студентами технических и физических факультетов часто встает задача не просто запомнить формулы, но и научиться применять их для анализа сложных систем, будь то двигатель внутреннего сгорания или атмосферные явления. Именно поэтому данная контрольная работа — это не просто набор упражнений, а путеводитель по миру газовых систем, от идеальных моделей до сложных реальных состояний.

Цель данной работы — предоставить исчерпывающие, пошаговые решения типовых задач по молекулярной физике и термодинамике, с особым акцентом на поведение реальных газов. Мы не только покажем «как» решать, но и объясним «почему» используются те или иные методы, погружаясь в физический смысл каждого уравнения и константы. Структура работы выстроена таким образом, чтобы читатель мог последовательно освоить материал: от фундаментальных основ молекулярно-кинетической теории (МКТ) и идеального газа, через сложности реальных газов, описываемых уравнением Ван-дер-Ваальса, до детального анализа явлений переноса и термодинамических процессов. Каждый раздел будет дополнен практическими примерами и глубоким анализом, что позволит не только успешно сдать контрольную работу, но и сформировать прочное понимание предмета.

Фундаментальные основы молекулярно-кинетической теории газов (МКТ)

В основе нашего понимания газообразного состояния вещества лежит молекулярно-кинетическая теория, которая позволяет связать невидимый микромир атомов и молекул с наблюдаемыми макроскопическими свойствами, такими как давление и температура. Этот раздел станет отправной точкой для построения более сложных моделей.

Основные положения МКТ и модель идеального газа

МКТ зародилась в XVII-XIX веках благодаря работам таких ученых, как Роберт Бойль, Жак Шарль, Бенджамин Румфорд и Джеймс Прескотт Джоуль, а в XX веке получила строгое математическое оформление. Три ее столпа формируют наше представление о газах:

1. Дискретное строение: Все вещества состоят из мельчайших частиц – атомов, молекул или ионов. Это положение опровергает представление о непрерывности материи и закладывает основы корпускулярной теории, показывая, что материя не является непрерывной, а состоит из отдельных, фундаментальных единиц.
2. Непрерывное хаотическое движение: Эти частицы находятся в постоянном, беспорядочном (тепловом) движении. Скорость и характер этого движения зависят от температуры, что является ключевым для понимания тепловых явлений.
3. Взаимодействие частиц: Частицы взаимодействуют друг с другом, но в модели идеального газа это взаимодействие сводится к абсолютно упругим столкновениям.

Модель идеального газа — это идеализированное представление, которое, несмотря на свои упрощения, является невероятно мощным инструментом для первого приближения. Молекулы идеального газа рассматриваются как:

• Материальные точки: Объем самих молекул пренебрежимо мал по сравнению с объемом сосуда, в котором находится газ.
• Невзаимодействующие: Между столкновениями молекулы не оказывают влияния друг на друга, движутся по инерции. Силы притяжения и отталкивания проявляются только при непосредственном контакте.
• Абсолютно упругие столкновения: Соударения молекул друг с другом и со стенками сосуда происходят без потерь кинетической энергии.

Эти допущения значительно упрощают математическое описание, делая модель идеального газа фундаментом для понимания термодинамики. Однако важно помнить, что это именно модель, и в реальных условиях ее точность ограничена.

Основное уравнение МКТ и его связь с макроскопическими параметрами

Как же хаотическое движение микрочастиц проявляется в макроскопических свойствах, таких как давление? Ответ на этот вопрос дает основное уравнение молекулярно-кинетической теории, которое является мостом между микро- и макромиром.

Давление газа (P) возникает из-за ударов молекул о стенки сосуда. Чем чаще и сильнее молекулы ударяются о стенки, тем выше давление. Основное уравнение МКТ выражается следующими формулами:

1. P = 1/3 n m0 <v2>
   • P — давление газа (Па).
   • n — концентрация молекул (число молекул в единице объема, м^-3).
   • m₀ — масса одной молекулы (кг).
   • <v²> — среднее значение квадрата скорости молекул (м²/с²). Этот параметр отражает интенсивность хаотического движения.
2. P = 2/3 n Eк
   • E_к — средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы. Так как Eк = 1/2 m0 <v2>, легко видеть, что эти две формы уравнения эквивалентны.

Физический смысл этих уравнений глубоко прост: давление газа — это прямое следствие кинетической энергии движущихся молекул. Чем выше концентрация молекул, их масса и скорость, тем больше энергия ударов о стенки и, следовательно, выше давление. При этом температура, как мера средней кинетической энергии поступательного движения молекул, оказывается напрямую связанной с давлением.

Уравнение состояния идеального газа (Менделеева-Клапейрона)

Вершиной классической МКТ является уравнение состояния идеального газа, или уравнение Менделеева-Клапейрона, которое объединяет все макроскопические параметры газа: давление, объем, температуру и количество вещества.

Исторически это уравнение развивалось через эмпирические законы: Бойля-Мариотта (P ∼ 1/V при T=const), Шарля (V ∼ T при P=const), Гей-Люссака (P ∼ T при V=const) и Авогадро (V ∼ ν при P, T=const). Объединив их, Дмитрий Менделеев и Бенуа Клапейрон получили универсальное уравнение:

PV = νRT

Где:

• P — давление (Па).
• V — объем (м³).
• ν — количество вещества (моль).
• R — универсальная газовая постоянная.
• T — абсолютная температура (К).

Универсальная газовая постоянная R = 8,314 462 618 153 24 Дж/(моль·К) является одной из фундаментальных констант физики и связывает энергетические единицы с температурой и количеством вещества.

Существует также другая форма этого уравнения, выраженная через постоянную Больцмана:

P = nkT

Где:

• n — концентрация молекул.
• k — постоянная Больцмана, k = 1,38 × 10^-23 Дж/К.

Взаимосвязь между R, k и числом Авогадро (N_A) проста: R = k NA. Число Авогадро, NA ≈ 6,022 × 1023 моль-1, определяет количество молекул в одном моле вещества. Эта связь подчеркивает универсальность этих констант и их роль в объединении макро- и микромира.

Практическое применение и примеры задач по МКТ идеального газа

Чтобы закрепить теоретические знания, рассмотрим несколько типовых задач, демонстрирующих применение уравнений МКТ и Менделеева-Клапейрона.

Задача 1:
Определить давление кислорода, если концентрация его молекул n = 2,0 × 1025 м-3, а средняя квадратичная скорость молекул <v2>0,5 = 500 м/с. Молярная масса кислорода Mμ = 32 × 10-3 кг/моль.

Решение:

1. Найдем массу одной молекулы кислорода (m₀):
   Масса одной молекулы связана с молярной массой и числом Авогадро: m0 = Mμ / NA.
   m0 = (32 × 10-3 кг/моль) / (6,022 × 1023 моль-1) ≈ 5,314 × 10-26 кг.
2. Используем основное уравнение МКТ для давления:
   P = 1/3 n m0 <v2>
P = 1/3 × (2,0 × 1025 м-3) × (5,314 × 10-26 кг) × (500 м/с)2
P = 1/3 × (2,0 × 1025) × (5,314 × 10-26) × (2,5 × 105) Па
P ≈ 8,856 × 104 Па ≈ 88,6 кПа.

Вывод: Давление кислорода при заданных условиях составляет примерно 88,6 кПа. Это демонстрирует прямую связь между микроскопическими параметрами (концентрация, масса, скорость) и макроскопическим давлением.

Задача 2:
Газ объемом V1 = 10 л при температуре T1 = 300 К и давлении P1 = 1,0 × 105 Па нагрели до температуры T2 = 350 К при постоянном объеме, а затем изотермически расширили до исходного давления. Определить конечный объем газа.

Решение:

1. Изохорный процесс (V=const):
   Изменение состояния 1 → 2: T1 = 300 К, P1 = 1,0 × 105 Па, V1 = 10 л.
   T2 = 350 К, V2 = V1 = 10 л.
   Для изохорного процесса P1/T1 = P2/T2 (закон Шарля).
   P2 = P1 × (T2/T1) = (1,0 × 105 Па) × (350 К / 300 К) = 1,167 × 105 Па.
2. Изотермический процесс (T=const):
   Изменение состояния 2 → 3: P2 = 1,167 × 105 Па, V2 = 10 л, T2 = 350 К.
   P3 = P1 = 1,0 × 105 Па, T3 = T2 = 350 К.
   Для изотермического процесса P2V2 = P3V3 (закон Бойля-Мариотта).
   V3 = P2V2 / P3 = (1,167 × 105 Па × 10 л) / (1,0 × 105 Па) = 11,67 л.

Вывод: Конечный объем газа после двух последовательных процессов составит 11,67 л. Эта задача иллюстрирует применение уравнений состояния идеального газа для анализа многостадийных процессов.

Реальные газы: Уравнение Ван-дер-Ваальса и критические параметры

Модель идеального газа, безусловно, полезна, но в определенных условиях ее точность становится недостаточной. Когда газы сильно сжимаются или охлаждаются, их поведение начинает заметно отличаться от предсказаний идеальной модели. Именно здесь на сцену выходят реальные газы, требующие более сложного, но и более точного описания.

Отличия реальных газов от идеальных: силы взаимодействия и собственный объем

В отличие от идеальных, молекулы реальных газов не являются абстрактными материальными точками и не движутся совершенно независимо друг от друга. Два основных фактора обуславливают эти отклонения:

1. Собственный объем молекул: Молекулы реальных газов занимают некоторый объем. Хотя этот объем мал по сравнению с общим объемом сосуда при низких давлениях, при высоких давлениях или низких температурах, когда молекулы сближаются, их собственный объем становится соизмеримым с доступным для движения пространством. Это приводит к тому, что реальный объем, доступный для перемещения молекул, меньше, чем геометрический объем сосуда.
2. Межмолекулярное взаимодействие: Между молекулами реальных газов действуют силы притяжения (на больших расстояниях) и отталкивания (на малых расстояниях).
   • Силы притяжения (Ван-дер-Ваальсовы силы): Эти силы стремятся «стянуть» молекулы друг к другу, уменьшая их удары о стенки сосуда. В результате, измеренное давление реального газа оказывается ниже, чем предсказывалось бы для идеального газа при тех же условиях.
   • Силы отталкивания: Возникают при очень тесном сближении молекул и препятствуют их «слипанию». Эти силы обуславливают наличие собственного объема молекул.

Именно учет этих двух факторов — собственного объема молекул и сил межмолекулярного притяжения — позволил Йоханнесу Д. Ван-дер-Ваальсу разработать в 1873 году более точное уравнение состояния.

Уравнение Ван-дер-Ваальса: константы «a» и «b»

Уравнение Ван-дер-Ваальса является одним из первых и наиболее известных уравнений состояния реальных газов, учитывающих вышеупомянутые отличия. Для одного моля вещества оно записывается так:

(P + a/Vμ2)(Vμ - b) = RT

Давайте разберем физический смысл каждой поправки:

• Поправка на давление (a/V_μ²): Член a/Vμ2 добавляется к внешнему давлению P. Это так называемое внутреннее давление, которое возникает из-за сил межмолекулярного притяжения. Молекулы, находящиеся в объеме газа, испытывают равномерное притяжение со всех сторон, но молекулы у стенки испытывают притяжение только со стороны газа, что уменьшает силу их ударов о стенку. Величина этого внутреннего давления обратно пропорциональна квадрату молярного объема (V_μ), поскольку с увеличением объема молекулы удаляются друг от друга, и силы притяжения ослабевают. Константа a характеризует интенсивность межмолекулярного притяжения и зависит от природы газа.
• Поправка на объем (b): Член b вычитается из молярного объема Vμ. Это кообъем или «исключенный объем», который учитывает собственный объем молекул. Молекулы не могут свободно перемещаться по всему объему сосуда, так как часть его занята другими молекулами. Константа b приблизительно равна учетверенному собственному объему самих молекул газа и также зависит от природы газа. Она не зависит от температуры.

Примеры констант Ван-дер-Ваальса (приведены для иллюстрации):

Газ	a (Н·м4/моль2)	b (см3/моль)
Азот (N₂)	0,1350	38,620
Кислород (O₂)	0,1358	31,671
Углекислый газ (CO₂)	0,36088	42,840
Вода (пары H₂O)	0,5451	30,410

Значения констант a и b являются эмпирическими и определяются экспериментально, отражая уникальные характеристики взаимодействия и размеров молекул каждого газа.

Критические параметры газа и их расчет

Уравнение Ван-дер-Ваальса впервые качественно описало явление фазового перехода — сжижения газов. Оно предсказало существование так называемой критической точки, при которой исчезает различие между жидкой и газообразной фазами. В этой точке газ не может быть сжижен никаким повышением давления.

Критические параметры газа — это его давление (P_кр), объем (V_кр) и температура (T_кр) в критической точке.

• Критическая температура (T_кр): Максимальная температура, при которой вещество еще может существовать в жидком состоянии. Выше этой температуры вещество всегда остается газом, независимо от давления.
• Критическое давление (P_кр): Давление в критической точке, соответствующее критической температуре.
• Критический объем (V_кр): Молярный объем вещества в критической точке.

Эти параметры могут быть выведены из уравнения Ван-дер-Ваальса, поскольку критическая точка на изотерме Ван-дер-Ваальса соответствует точке перегиба с горизонтальной касательной, то есть точке, где первая и вторая производные давления по объему равны нулю при постоянной температуре:

(∂P/∂V)T = 0 и (∂2P/∂V2)T = 0.

После дифференцирования и решения системы уравнений, получаем:

• Vкр = 3b
• Pкр = a/(27b2)
• Tкр = 8a/(27bR)

Эти формулы позволяют рассчитать критические параметры, зная константы Ван-дер-Ваальса a и b для данного газа, и наоборот, определить a и b по экспериментально измеренным критическим параметрам.

Интересно отметить, что для газа Ван-дер-Ваальса критический коэффициент сжимаемости Zc = PкрVкр/(RTкр) = 3/8. Для реальных газов этот коэффициент обычно составляет около 0,27–0,30, что указывает на некоторые, хоть и небольшие, расхождения между моделью Ван-дер-Ваальса и экспериментом.

Приведенные параметры состояния и закон соответственных состояний

Для удобства сравнения поведения различных реальных газов была введена концепция приведенных параметров состояния. Это безразмерные величины, определяемые как отношения абсолютных параметров газа к их критическим значениям:

• Приведенное давление: Pпр = P/Pкр
• Приведенный объем: Vпр = V/Vкр
• Приведенная температура: Tпр = T/Tкр

Подставив эти отношения в уравнение Ван-дер-Ваальса и выразив a и b через критические параметры, мы получаем приведенное уравнение Ван-дер-Ваальса:

(Pпр + 3/Vпр2)(Vпр - 1/3) = 8/3 Tпр

Самое замечательное в этом уравнении то, что оно универсально для всех газов Ван-дер-Ваальса. Оно не содержит специфических констант a, b или R. Это приводит нас к закону соответственных состояний, который утверждает:

Если два вещества имеют одинаковые значения любых двух приведенных параметров состояния (например, приведенного давления и приведенной температуры), то их третий приведенный параметр (приведенный объем) также будет одинаков.

Этот закон имеет огромное практическое значение: он позволяет предсказыват�� свойства одного газа, зная свойства другого, если оба находятся в «соответственных состояниях». Это особенно полезно, когда экспериментальные данные для конкретного газа ограничены. Закон соответственных состояний позволяет построить единые диаграммы состояния для всех веществ.

Примеры решения задач с использованием уравнения Ван-дер-Ваальса и критических параметров

Применим полученные знания для решения практических задач, связанных с реальными газами.

Задача 3:
Для углекислого газа (CO₂) критическая температура Tкр = 304,1 K и критическое давление Pкр = 7,38 × 106 Па. Определить константы Ван-дер-Ваальса a и b для CO₂. (R = 8,314 Дж/(моль·К)).

Решение:

1. Используем формулы для критических параметров:
   Мы знаем, что Pкр = a/(27b2) и Tкр = 8a/(27bR).
2. Выразим a через Tкр и b:
   Из Tкр = 8a/(27bR) следует, что a = Tкр × 27bR / 8.
3. Подставим a в формулу для Pкр:
   Pкр = (Tкр × 27bR / 8) / (27b2) = Tкр × R / (8b).
4. Найдем b:
   b = Tкр × R / (8Pкр)
b = (304,1 К × 8,314 Дж/(моль·К)) / (8 × 7,38 × 106 Па)
b = 2528,7 / (5,904 × 107) м3/моль
b ≈ 4,283 × 10-5 м3/моль.
   Переведем в см³/моль: b ≈ 42,83 см3/моль. (Значение из базы знаний 42,840 см³/моль, что хорошо согласуется).
5. Найдем a:
   a = Tкр × 27bR / 8
a = (304,1 К × 27 × 4,283 × 10-5 м3/моль × 8,314 Дж/(моль·К)) / 8
a ≈ 0,3607 Н·м4/моль2.
   (Значение из базы знаний 0,36088 Н·м⁴/моль², что также хорошо согласуется).

Вывод: Полученные константы Ван-дер-Ваальса для CO₂: a ≈ 0,3607 Н·м4/моль2 и b ≈ 4,283 × 10-5 м3/моль. Эти значения позволяют описывать поведение углекислого газа с учетом его реальных свойств.

Задача 4:
Один моль азота (N₂) находится при давлении P = 1,0 × 106 Па и температуре T = 300 К. Определить объем газа, используя уравнение Ван-дер-Ваальса.
Константы для азота: a = 0,1350 Н·м4/моль2, b = 38,620 см3/моль = 3,862 × 10-5 м3/моль.

Решение:
Уравнение Ван-дер-Ваальса для одного моля: (P + a/Vμ2)(Vμ - b) = RT.
Это кубическое уравнение относительно V_μ, которое трудно решить аналитически. В таких случаях обычно используют итерационные методы или приближения.
Однако для демонстрации принципа, перепишем его и подставим значения:
(1,0 × 106 + 0,1350/Vμ2)(Vμ - 3,862 × 10-5) = 8,314 × 300
(1,0 × 106 + 0,1350/Vμ2)(Vμ - 3,862 × 10-5) = 2494,2

Для первого приближения, если бы газ был идеальным:
Vидеал = RT/P = 2494,2 / (1,0 × 106) = 2,4942 × 10-3 м3/моль.

Теперь подставим это значение в поправки Ван-дер-Ваальса и уточним.
Предположим Vμ ≈ 2,4942 × 10-3 м3.
P' = P + a/Vμ2 = 1,0 × 106 + 0,1350 / (2,4942 × 10-3)2 = 1,0 × 106 + 0,1350 / (6,221 × 10-6)
P' ≈ 1,0 × 106 + 21700 = 1,0217 × 106 Па.
V' = Vμ - b = 2,4942 × 10-3 - 3,862 × 10-5 = 2,4556 × 10-3 м3.

Тогда: P'V' ≈ (1,0217 × 106) × (2,4556 × 10-3) ≈ 2509,8 Дж/моль, что немного выше RT = 2494,2.
Это означает, что наше первоначальное предположение для V_μ было немного завышено.

Для более точного решения можно использовать итерационный подход, например, метод Ньютона. Или же, для данной задачи, можно воспользоваться приближением, если давление не слишком высокое, а температура не слишком низкая.
Из (P + a/Vμ2) ≈ RT / (Vμ - b)
Vμ - b ≈ RT / (P + a/Vμ2)
Vμ ≈ b + RT / (P + a/Vμ2)

Итерации:
Vμ0 = RT/P = 2,4942 × 10-3 м3
Vμ1 = 3,862 × 10-5 + 2494,2 / (1,0 × 106 + 0,1350/(2,4942 × 10-3)2)
Vμ1 = 3,862 × 10-5 + 2494,2 / (1,0 × 106 + 21700)
Vμ1 = 3,862 × 10-5 + 2494,2 / (1,0217 × 106)
Vμ1 = 3,862 × 10-5 + 2,4412 × 10-3 = 2,47982 × 10-3 м3/моль.

Вывод: Использование уравнения Ван-дер-Ваальса показывает, что объем реального азота при данных условиях (2,48 × 10-3 м3/моль) немного меньше, чем объем идеального газа (2,49 × 10-3 м3/моль). Разница обусловлена действием межмолекулярных сил притяжения и собственным объемом молекул.

Молекулярные характеристики и явления переноса в газах: глубокий анализ

Помимо давления, объема и температуры, поведение газа определяется и на микроскопическом уровне – через характеристики его молекул и процессы, происходящие благодаря их движению. Этот раздел посвящен этим «невидимым» свойствам и явлениям переноса, которые часто остаются в тени, но имеют колоссальное значение. Возникает вопрос: насколько глубоко мы осознаем, что именно эти невидимые процессы формируют наблюдаемые свойства газа?

Эффективный диаметр молекулы и средняя длина свободного пробега

Чтобы понять, как молекулы взаимодействуют и перемещаются, необходимо ввести понятия, описывающие их «размер» и «путь».

Эффективный диаметр молекулы (d или σ) — это минимальное расстояние, на которое могут сблизиться центры двух молекул при их столкновении. Это не «жесткий» диаметр, а скорее эффективный размер, определяющий площадь сечения столкновения. Хотя в первом приближении его можно считать постоянным, на самом деле он немного зависит от температуры: с ростом температуры, а следовательно, и скорости молекул, они могут проникать глубже в области взаимного отталкивания, что приводит к незначительному уменьшению эффективного диаметра.

Типичные значения эффективного диаметра молекул:

• Воздух: 0,19 нм
• Гелий (He): 0,14 нм
• Углекислый газ (CO₂): 0,18 нм
• Аргон (Ar): 0,299 нм
• Водород (H₂): 0,222 нм

Средняя длина свободного пробега (λ) — это среднее расстояние, которое молекула пролетает между двумя последовательными столкновениями с другими молекулами. Эта величина критически важна для понимания многих явлений в газах, особенно процессов переноса.

Формула для средней длины свободного пробега:

λ = 1 / (√2 π n d2)

Где:

• n — концентрация молекул (м^-3).
• d — эффективный диаметр молекулы (м).
• π — число «пи» (≈ 3,14159).

Факторы, влияющие на λ:

• Концентрация молекул (n): Чем выше концентрация, тем больше молекул в единице объема, и тем чаще они сталкиваются. Следовательно, λ обратно пропорциональна n.
• Эффективный диаметр молекулы (d): Чем больше размер молекул, тем больше «площадь мишени» для столкновений. Поэтому λ обратно пропорциональна квадрату d.
• Давление (P): Поскольку n прямо пропорциональна давлению (при постоянной температуре, P = nkT), то λ обратно пропорциональна давлению. При увеличении давления молекулы сближаются, и свободный пробег уменьшается.
• Температура (T): При постоянном давлении, с ростом температуры, объем газа увеличивается, концентрация молекул уменьшается, и средняя длина свободного пробега увеличивается.

Среднее число столкновений молекулы за одну секунду (ν) определяется как отношение средней скорости молекул (<v>) к средней длине свободного пробега: ν = <v> / λ.

Явления переноса в газах: диффузия, теплопроводность, вязкость

Хаотическое движение молекул, лежащее в основе МКТ, приводит к ряду макроскопических явлений, называемых явлениями переноса. Эти процессы стремятся выровнять неоднородности в газе: концентрации, температуры или скорости движения.

Диффузия: перенос массы

Диффузия — это самопроизвольное перемешивание веществ, обусловленное хаотическим движением их молекул. В газе диффузия проявляется в переносе массы из области с высокой концентрацией вещества в область с низкой концентрацией.

Закон Фика описывает скорость этого процесса:

dM/dt = -D S (dρ/dx)

Где:

• dM/dt — масса вещества, переносимая за единицу времени (кг/с).
• D — коэффициент диффузии (м²/с).
• S — площадь поперечного сечения, через которое происходит перенос (м²).
• dρ/dx — градиент плотности (изменение плотности ρ по координате x, кг/м⁴). Знак минус указывает на перенос в сторону уменьшения плотности.

Коэффициент диффузии D численно равен массе молекул, переносимых через единичную площадку за единицу времени при единичном градиенте плотности. Он зависит от температуры (D ~ T3/2), давления (D ~ 1/P) и размеров молекул.

Примеры значений коэффициента диффузии (D·10⁶ м²/с) в воздухе при нормальном атмосферном давлении:

• CO₂ при 0°C: 0,139
• Пары H₂O при 8°C: 0,239
• Этанол при 18,35°C: 0,102

Теплопроводность: перенос энергии

Теплопроводность — это процесс переноса тепловой энергии от более нагретых участков газа к менее нагретым, обусловленный обменом кинетической энергией между молекулами при их столкновениях.

Закон Фурье описывает скорость этого процесса:

dQ/dt = -κ S (dT/dx)

Где:

• dQ/dt — количество теплоты, переносимое за единицу времени (Вт).
• κ — коэффициент теплопроводности (Вт/(м·К)).
• S — площадь поперечного сечения (м²).
• dT/dx — градиент температуры (К/м). Знак минус указывает на перенос тепла в сторону уменьшения температуры.

Коэффициент теплопроводности κ зависит от природы газа, его температуры (κ ~ T1/2) и слабо зависит от давления в широком диапазоне (пока средняя длина свободного пробега много меньше размеров сосуда).

Примеры значений коэффициента теплопроводности (Вт/(м·К)) при 0°C:

• Аргон (Ar): 0,0162
• Гелий (He): 0,1415
• Водород (H₂): 0,1684
• Азот (N₂): 0,0243
• Кислород (O₂): 0,0244
• Углекислый газ (CO₂): 0,0145
• Воздух: 0,0241

Вязкость (внутреннее трение): перенос импульса

Вязкость (или внутреннее трение) возникает, когда различные слои газа движутся с разными скоростями. Из-за хаотического теплового движения молекулы постоянно обмениваются между слоями, перенося импульс. Молекулы из более быстрого слоя, попадая в медленный, ускоряют его, а молекулы из медленного слоя, попадая в быстрый, замедляют его. Это приводит к возникновению сил внутреннего трения, стремящихся выровнять скорости слоев.

Коэффициент вязкости (динамической вязкости) η связан со средней длиной свободного пробега:

η = 1/3 ρ <v> λ

Где:

• ρ — плотность газа (кг/м³).
• <v> — средняя скорость молекул (м/с).
• λ — средняя длина свободного пробега (м).

Коэффициент динамической вязкости η газов, в отличие от жидкостей, увеличивается с ростом температуры (η ~ T1/2) и почти не зависит от давления (в широком диапазоне).

Примеры значений динамической вязкости (η·10^-6 Па·с) при 0°C:

• Азот (N₂): 16,65
• Кислород (O₂): 18,80
• Водород (H₂): 8,40
• Гелий (He): 19,00
• Углекислый газ (CO₂): 13,80
• Воздух: 17,10

Задачи на определение молекулярных характеристик и коэффициентов переноса

Рассмотрим задачи, демонстрирующие применение этих концепций.

Задача 5:
Определить среднюю длину свободного пробега молекул азота (N₂) при нормальных условиях (P = 1,013 × 105 Па, T = 273 К). Эффективный диаметр молекулы азота d = 0,3 нм.

Решение:

1. Найдем концентрацию молекул (n) при нормальных условиях:
   Для идеального газа P = nkT, откуда n = P / (kT).
   Постоянная Больцмана k = 1,38 × 10-23 Дж/К.
   n = (1,013 × 105 Па) / (1,38 × 10-23 Дж/К × 273 К)
n = (1,013 × 105) / (3,7674 × 10-21) м-3 ≈ 2,689 × 1025 м-3.
2. Переведем эффективный диаметр в метры:
   d = 0,3 нм = 0,3 × 10-9 м.
3. Используем формулу для средней длины свободного пробега:
   λ = 1 / (√2 π n d2)
λ = 1 / (√2 × 3,14159 × 2,689 × 1025 м-3 × (0,3 × 10-9 м)2)
λ = 1 / (1,414 × 3,14159 × 2,689 × 1025 × 0,09 × 10-18)
λ = 1 / (1,075 × 107) м
λ ≈ 9,30 × 10-8 м = 93 нм.

Вывод: Средняя длина свободного пробега молекул азота при нормальных условиях составляет примерно 93 нм. Это демонстрирует, что даже при атмосферном давлении молекулы пролетают значительные расстояния между столкновениями, что определяет многие свойства газов.

Задача 6:
Определить коэффициент динамической вязкости водорода (H₂) при 0°C (273 К) и давлении 1,013 × 105 Па, если средняя длина свободного пробега молекул водорода при этих условиях составляет 1,6 × 10-7 м, а средняя квадратичная скорость молекул <v2>0,5 ≈ 1840 м/с. Молярная масса водорода Mμ = 2 × 10-3 кг/моль.

Решение:

1. Найдем плотность водорода (ρ):
   Для идеального газа ρ = P Mμ / (RT).
   ρ = (1,013 × 105 Па × 2 × 10-3 кг/моль) / (8,314 Дж/(моль·К) × 273 К)
ρ = 202,6 / 2269,782 ≈ 0,08925 кг/м3.
2. Найдем среднюю скорость молекул (<v>):
   Для одноатомных и двухатомных газов средняя скорость <v> ≈ 0,921 × <v2>0,5.
   <v> ≈ 0,921 × 1840 м/с ≈ 1695 м/с.
   (Для более точного расчета <v> = √(8RT/(πMμ)) или <v> = √(8kT/(πm0))).
3. Используем формулу для коэффициента вязкости:
   η = 1/3 ρ <v> λ
η = 1/3 × (0,08925 кг/м3) × (1695 м/с) × (1,6 × 10-7 м)
η = 1/3 × 2,419 × 10-5 Па·с
η ≈ 8,06 × 10-6 Па·с.

Вывод: Коэффициент динамической вязкости водорода при заданных условиях составляет примерно 8,06 × 10-6 Па·с. (Значение из базы знаний 8,40 × 10-6 Па·с, что хорошо согласуется). Этот расчет показывает, как микроскопические параметры (длина свободного пробега, средняя скорость) определяют макроскопическое свойство — вязкость.

Термодинамические процессы в идеальных и реальных газах: сравнительный анализ

Термодинамика изучает преобразования энергии и работу, совершаемую газами. Понимание различных термодинамических процессов является ключевым для анализа работы двигателей, холодильных установок и многих других систем. Мы рассмотрим основные изопроцессы и адиабатический процесс, сравнивая поведение идеальных и реальных газов.

Изохорный процесс (V=const)

Изохорный процесс — это термодинамический процесс, протекающий при постоянном объеме газа. Представьте газ в жестком, герметичном контейнере, который нагревается или охлаждается.

• Закон Шарля: Для идеального газа давление прямо пропорционально его абсолютной температуре: P/T = const, или P1/T1 = P2/T2.
• Работа (A): Поскольку объем газа не изменяется, работа, совершаемая газом над внешней средой (или внешней средой над газом), равна нулю: A = PΔV = 0.
• Первое начало термодинамики: Q = ΔU + A. Так как A=0, то вся подведенная (или отведенная) теплота идет на изменение внутренней энергии газа: ΔU = Q. Для идеального газа внутренняя энергия зависит только от температуры, поэтому изменение внутренней энергии прямо пропорционально изменению температуры: ΔU = νCVΔT, где CV — молярная теплоемкость при постоянном объеме.

Особенности для реальных газов:
Для реальных газов ситуация немного сложнее. Внутренняя энергия реального газа зависит не только от температуры, но и от объема (из-за межмолекулярного взаимодействия). Поэтому даже при постоянном объеме, если есть изменение температуры, то ΔU будет учитывать и потенциальную энергию взаимодействия молекул. Однако, если изменение объема строго равно нулю, работа по-прежнему равна нулю.

Изобарный процесс (P=const)

Изобарный процесс — это процесс, протекающий при постоянном давлении. Это похоже на газ, находящийся под поршнем, который может свободно перемещаться, поддерживая постоянное давление (например, атмосферное).

• Закон Гей-Люссака: Для идеального газа объем прямо пропорционален его абсолютной температуре: V/T = const, или V1/T1 = V2/T2.
• Работа (A): Поскольку давление постоянно, работа, совершаемая газом при изменении объема, легко рассчитывается: A = P(V2 - V1). При расширении (V2 > V1) газ совершает положительную работу, при сжатии — отрицательную.
• Первое начало термодинамики: Q = ΔU + A. Подведенная теплота расходуется как на изменение внутренней энергии, так и на совершение работы. Для идеального газа ΔU = νCVΔT, а Q = νCPΔT, где CP — молярная теплоемкость при постоянном давлении. Связь между теплоемкостями: CP = CV + R (уравнение Майера).

Сравнение с реальными газами:
Для реальных газов работа A = P(V2 - V1) также справедлива, но расчет ΔU становится сложнее, поскольку он зависит от изменения как температуры, так и объема. Кроме того, молярные теплоемкости CP и CV для реальных газов не являются строго постоянными и могут з��висеть от температуры и давления.

Изотермический процесс (T=const)

Изотермический процесс — это процесс, протекающий при постоянной температуре. Для поддержания постоянной температуры обычно требуется медленное протекание процесса и хороший теплообмен с термостатом.

• Закон Бойля-Мариотта: Для идеального газа давление обратно пропорционально его объему: PV = const, или P1V1 = P2V2.
• Внутренняя энергия (ΔU): Внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры. Поэтому при постоянной температуре изменение внутренней энергии равно нулю: ΔU = 0.
• Первое начало термодинамики: Q = A. Вся подведенная (или отведенная) теплота идет на совершение работы.
• Работа (A): Работа идеального газа при изотермическом расширении (или сжатии) рассчитывается через интеграл:
  A = ∫P dV = ∫(νRT/V) dV = νRT ln(V2/V1).
  Поскольку P1V1 = P2V2, то V2/V1 = P1/P2, поэтому работу также можно выразить как A = νRT ln(P1/P2).

Особенности для реальных газов:
В отличие от идеального газа, для реального газа в изотермическом процессе ΔU ≠ 0. Это происходит потому, что внутренняя энергия реального газа включает в себя не только кинетическую энергию молекул, но и потенциальную энергию их взаимодействия, которая изменяется при изменении объема (даже при постоянной температуре). Поэтому для реального газа в изотермическом процессе Q = ΔU + A, и ΔU будет зависеть от изменения расстояния между молекулами.

Адиабатический процесс (Q=0)

Адиабатический процесс — это процесс, протекающий без теплообмена с окружающей средой (Q = 0). Это может быть достигнуто либо очень быстрым протеканием процесса (так что тепло не успевает обмениваться), либо использованием идеально теплоизолированного сосуда.

• Первое начало термодинамики: A = -ΔU. Вся работа совершается (или поглощается) за счет изменения внутренней энергии газа. При адиабатическом расширении газ совершает положительную работу, его внутренняя энергия уменьшается, и он охлаждается (A > 0, ΔU < 0, T уменьшается). При адиабатическом сжатии внешние силы совершают работу над газом, его внутренняя энергия увеличивается, и он нагревается (A < 0, ΔU > 0, T увеличивается).
• Работа (A): A = -νCV(T2 - T1) = νCV(T1 - T2).
• Уравнение адиабаты (уравнение Пуассона): Связывает параметры газа в адиабатическом процессе:
  • PVγ = const
  • TVγ-1 = const
  • P1-γTγ = const

  Где γ (гамма) — показатель адиабаты.

• Показатель адиабаты (γ): Определяется как отношение молярных теплоемкостей при постоянном давлении и постоянном объеме:
  γ = CP/CV
  Для идеального газа также известно, что γ = (CV + R)/CV = 1 + R/CV.
  Показатель адиабаты зависит от числа степеней свободы молекулы (i): γ = (i+2)/i.

Типичные значения показателя адиабаты для идеальных газов:

• Одноатомные газы (i=3, например, He, Ne, Ar): γ = (3+2)/3 = 5/3 ≈ 1,67.
• Двухатомные газы (i=5, например, H₂, O₂, N₂, CO): γ = (5+2)/5 = 7/5 ≈ 1,40. Воздух как смесь двухатомных газов имеет γ ≈ 1,40.
• Многоатомные газы (i=6, например, CO₂, H₂O при высоких температурах): γ = (6+2)/6 = 8/6 = 4/3 ≈ 1,33.

Особенности для реальных газов:
Для реальных газов понятие адиабатического процесса сохраняется, но расчеты усложняются. Показатель адиабаты γ для реальных газов не является строго постоянным и может зависеть от температуры и давления. Кроме того, внутренняя энергия зависит от объема, что усложняет расчет ΔU. Уравнения Пуассона являются приближенными для реальных газов, но в некоторых случаях могут использоваться.

Задачи на термодинамические процессы: от идеального к реальному газу

Рассмотрим задачи, охватывающие термодинамические процессы.

Задача 7:
Один моль идеального одноатомного газа изотермически расширяется от объема V1 = 10 л до V2 = 20 л при температуре T = 300 К. Определить работу, совершенную газом, и количество теплоты, полученной газом.

Решение:

1. Тип процесса: Изотермический (T=const).
2. Работа (A):
   A = νRT ln(V2/V1)
ν = 1 моль, R = 8,314 Дж/(моль·К), T = 300 К.
   A = 1 моль × 8,314 Дж/(моль·К) × 300 К × ln(20 л / 10 л)
A = 2494,2 Дж × ln(2)
A = 2494,2 Дж × 0,693 ≈ 1728,9 Дж.
3. Количество теплоты (Q):
   Для изотермического процесса идеального газа ΔU = 0.
   Согласно первому началу термодинамики: Q = ΔU + A.
   Следовательно, Q = A = 1728,9 Дж.

Вывод: При изотермическом расширении идеального одноатомного газа от 10 л до 20 л при 300 К газ совершает работу 1728,9 Дж и поглощает такое же количество теплоты.

Задача 8:
Два моля двухатомного идеального газа адиабатически сжимаются, при этом его температура увеличивается с T1 = 290 К до T2 = 400 К. Определить работу, совершенную над газом, и изменение внутренней энергии.

Решение:

1. Тип процесса: Адиабатический (Q=0).
2. Определение показателя адиабаты (γ):
   Для двухатомного идеального газа число степеней свободы i = 5.
   γ = (i+2)/i = (5+2)/5 = 7/5 = 1,4.
3. Изменение внутренней энергии (ΔU):
   Для идеального газа ΔU = νCV(T2 - T1).
   Молярная теплоемкость при постоянном объеме для двухатомного газа: CV = (i/2)R = (5/2)R.
   CV = (5/2) × 8,314 Дж/(моль·К) = 20,785 Дж/(моль·К).
   ΔU = 2 моль × 20,785 Дж/(моль·К) × (400 К - 290 К)
ΔU = 41,57 Дж/К × 110 К = 4572,7 Дж.
4. Работа (A):
   Согласно первому началу термодинамики для адиабатического процесса: Q = ΔU + A. Поскольку Q=0, то A = -ΔU.
   Работа, совершенная газом: A = -4572,7 Дж.
   Работа, совершенная над газом (A_внеш): Aвнеш = -A = 4572,7 Дж.

Вывод: В результате адиабатического сжатия температура двухатомного идеального газа увеличивается, его внутренняя энергия возрастает на 4572,7 Дж, и над газом совершается работа в размере 4572,7 Дж.

Эти примеры показывают, как различные термодинамические процессы приводят к разным энергетическим балансам и как можно рассчитывать ключевые параметры. Понимание этих различий критически важно для решения более сложных задач, в том числе тех, где требуется учитывать "реальность" газа.

Общие рекомендации по решению задач контрольной работы

Успешное выполнение контрольной работы по молекулярной физике и термодинамике реальных газов требует не только знания формул, но и систематического подхода, а также глубокого понимания физических принципов. Вот алгоритм действий, который поможет студенту:

1. Внимательное прочтение условия задачи: Это кажется очевидным, но многие ошибки возникают из-за невнимательности. Определите, о каком газе идет речь (идеальный или реальный), какие параметры заданы, что нужно найти, и какой процесс описывается.
2. Выбор адекватной модели газа:
   • Если в условии явно указано "идеальный газ" или отсутствуют данные о константах Ван-дер-Ваальса, используйте модель идеального газа (PV = νRT, P = nkT).
   • Если речь идет о высоких давлениях, низких температурах, фазовых переходах, или даны константы a и b, используйте модель реального газа и уравнение Ван-дер-Ваальса.
3. Идентификация типа процесса: Определите, является ли процесс изохорным, изобарным, изотермическим, адиабатическим или их комбинацией. Это позволит выбрать правильные формулы и законы.
4. Сбор и проверка исходных данных:
   • Запишите все известные величины, включая физические константы (R, k, N_A), которые могут понадобиться.
   • Особое внимание уделите единицам измерения! Все величины должны быть приведены к одной системе (желательно СИ). Например, объем в литрах перевести в кубические метры, температуру в градусах Цельсия — в Кельвины, давление в атмосферах — в Паскали.
5. Выбор и запись основных формул: Запишите все релевантные формулы, которые будут использоваться в решении. Это поможет структурировать мысли и избежать ошибок.
6. Пошаговое решение с пояснениями:
   • Каждый шаг решения должен быть логически обоснован.
   • Если используются преобразования формул, покажите их.
   • Не просто подставляйте числа, но и поясняйте, что вы делаете на каждом этапе.
   • Показывайте промежуточные расчеты.
7. Численные расчеты и указание единиц:
   • Аккуратно подставляйте числовые значения, используя достаточное количество значащих цифр.
   • Обязательно указывайте единицы измерения после каждого числового значения и контролируйте их преобразование в процессе вычислений. Это позволяет избежать размерностных ошибок.
8. Анализ и интерпретация результата:
   • Полученное числовое значение должно иметь физический смысл. Является ли результат реалистичным? Например, не может быть отрицательного объема или температуры.
   • Сравните результат с ожидаемыми значениями или с аналогичными задачами.
9. Проверка: По возможности, проверьте решение альтернативным способом или перепроверьте все вычисления.

Следуя этим рекомендациям, студент сможет не только правильно решить каждую задачу, но и глубже понять материал, что является главной целью любого обучения.

Заключение

Путешествие по миру молекулярной физики и термодинамики реальных газов — это захватывающий процесс, позволяющий заглянуть за завесу макроскопических явлений и понять их микроскопическую природу. От идеализированной модели газа до сложных уравнений Ван-дер-Ваальса, от хаотического движения молекул до упорядоченных процессов переноса, мы рассмотрели ключевые концепции, которые формируют фундамент современного понимания вещества. Цель данной работы заключалась не просто в предоставлении "правильных ответов", а в создании путеводителя, который дает студентам инструменты для самостоятельного анализа и решения задач. Пошаговые объяснения, детальный разбор физического смысла каждого уравнения и константы, а также примеры применения в задачах призваны углубить понимание и развить аналитические навыки.

Мы увидели, что идеальная модель газа, несмотря на свою простоту, является мощным отправным пунктом. Однако для описания реальных систем, особенно в условиях высоких давлений и низких температур, необходимо учитывать собственный объем молекул и силы межмолекулярного взаимодействия, что блестяще описывается уравнением Ван-дер-Ваальса и концепцией критических параметров. Явления переноса — диффузия, теплопроводность и вязкость — показали, как микроскопическое движение молекул приводит к макроскопическим процессам выравнивания неоднородностей. Наконец, рассмотрение термодинамических процессов позволило систематизировать, как газы обмениваются энергией и совершают работу.

Надеемся, что представленный материал станет надежной основой для дальнейшего изучения и практического применения знаний в области физики. Важно помнить, что физика — это не только формулы, но и способность видеть за ними реальные процессы и явления. Углубляйте свои знания, не бойтесь задавать вопросы и всегда стремитесь к пониманию сути вещей. Успехов в учебе и научных изысканиях!

Список использованной литературы

1. Молекулярно-кинетическая теория. URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%BE%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%83%D0%BB%D1%8F%D1%80%D0%BD%D0%BE-%D0%BA%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F (дата обращения: 12.10.2025).
2. Савельев, И. В. Курс общей физики. Том 1. Механика. Молекулярная физика. URL: https://www.ozon.ru/product/kurs-obshchey-fiziki-tom-1-mehanika-molekulyarnaya-fizika-savelev-igor-vladimirovich-1704753962/ (дата обращения: 12.10.2025).
3. Савельев, И. В. Курс физики: Учеб.: В 3-х т. Т. 1: Механика. Молекулярная физика. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. 352 с. URL: https://alleng.org/d/phys/phys160.htm (дата обращения: 12.10.2025).
4. Курс общей физики. В 3-х томах. Т.1 Механика. Молекулярная физика. ЭБС Лань. URL: https://e.lanbook.com/book/150116 (дата обращения: 12.10.2025).
5. Химический факультет МГУ. 1.3. Уравнение Ван-дер-Ваальса. URL: http://www.chem.msu.su/rus/teaching/thermo/ch1.pdf (дата обращения: 12.10.2025).
6. Химический факультет МГУ. 1.5. Закон соответственных состояний. URL: http://www.chem.msu.ru/rus/teaching/thermo/ch1-5.pdf (дата обращения: 12.10.2025).
7. Универсальная газовая постоянная. URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D0%BD%D0%B8%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%81%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B3%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%8F_%D0%BF%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D0%B0%D1%8F (дата обращения: 12.10.2025).
8. Уравнение Ван-дер-Ваальса. URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%92%D0%B0%D0%BD-%D0%B4%D0%B5%D1%80-%D0%92%D0%B0%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D1%81%D0%B0 (дата обращения: 12.10.2025).
9. Уравнение состояния идеального газа. URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D1%81%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%8F%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%B3%D0%B0%D0%B7%D0%B0 (дата обращения: 12.10.2025).
10. Что такое универсальная газовая постоянная и чему она равна? Яндекс. URL: https://yandex.kz/yanswers/c/gylym-jane-bilim/q/chto-takoe-univercal-naya-gazovaya-poctoyannaya-i-chemu-ona-ravna-3887541172 (дата обращения: 12.10.2025).