Решение задач по квантовой механике: стационарные состояния в сферически-симметричном поле

Когда мы спускаемся на уровень атомов и элементарных частиц, привычные законы классической физики перестают работать. Микромир живет по своим правилам, и язык для их описания — это квантовая механика. Одной из центральных идей этой науки является понятие «стационарного состояния» — особого, стабильного состояния системы, энергия которого не меняется со временем. Это похоже на ранние модели атома, где электрон мог находиться на определенной орбите, не излучая и не теряя энергию. Но как описать такое состояние математически и извлечь из этого описания конкретные, измеримые величины? Именно эту проблему мы и разберем на примере типовой задачи из контрольной работы, пройдя путь от фундаментальной теории до получения финального ответа.

Что такое стационарное состояние с точки зрения математики

Для нахождения и описания стационарных состояний используется главный инструмент квантовой теории — стационарное уравнение Шрёдингера. Это фундаментальный закон, который связывает энергию частицы с ее поведением в пространстве. В общем виде оно записывается так:

Ĥψ = Eψ

Давайте разберем его компоненты:

• Ĥ (гамильтониан) — это оператор полной энергии системы. Он учитывает и кинетическую энергию частицы, и ее потенциальную энергию в силовом поле.
• E — это число, собственное значение энергии. Именно тот факт, что E — это константа, и делает состояние стационарным. Энергия системы строго определена и не меняется.
• ψ (пси, волновая функция) — это ключ ко всему. Это математическая функция, которая полностью описывает состояние частицы. Решив уравнение Шрёдингера, мы находим вид этой функции для заданных условий. Именно в ней закодирована вся информация о частице, которую мы можем получить.

Таким образом, с точки зрения математики, поиск стационарного состояния — это задача нахождения решений уравнения Шрёдингера, которые и дают нам набор возможных волновых функций (ψ) и соответствующих им уровней энергии (E). Каждое такое состояние характеризуется уникальным набором квантовых чисел.

Как волновая функция описывает реальность

Сама по себе волновая функция ψ не является напрямую измеримой физической величиной. Ее истинный смысл раскрывается через вероятностную интерпретацию, предложенную Максом Борном. Физический смысл имеет квадрат модуля волновой функции.

Величина |ψ|² dV определяет вероятность обнаружить частицу в небольшом элементе объема dV. Иными словами, там, где значение |ψ|² велико, мы с большей вероятностью найдем частицу, а где оно равно нулю — мы ее не найдем никогда. Это фундаментальное отличие от классической механики, где частица всегда имеет точные координаты. В квантовом мире мы можем говорить лишь о вероятности ее нахождения.

Чтобы волновая функция могла корректно описывать физическую реальность, она должна удовлетворять так называемым условиям регулярности. Любая «правильная» волновая функция должна быть:

1. Конечной: Она не может уходить в бесконечность, иначе это привело бы к бесконечной вероятности.
2. Однозначной: В каждой точке пространства вероятность должна иметь только одно значение.
3. Непрерывной: Вероятность не может меняться скачками из одной точки в другую.

Почему сферические координаты идеально подходят для нашей задачи

Многие важные задачи в квантовой механике, например, описание электрона в атоме, рассматривают движение частицы в сферически-симметричном потенциальном поле. Это такое поле, где потенциальная энергия зависит только от расстояния до центра (U = U(r)) и не зависит от направления.

Пытаться решить такую задачу в привычных декартовых координатах (x, y, z) — крайне неудобно. Гораздо естественнее использовать систему координат, которая отражает симметрию самой задачи. Идеальным выбором здесь являются сферические координаты (r, θ, φ), где:

• r — расстояние от центра (радиус),
• θ — полярный угол,
• φ — азимутальный угол.

Главное преимущество такого подхода в том, что он позволяет применить мощный математический метод — разделение переменных. Волновая функция ψ(r, θ, φ) представляется в виде произведения двух функций: радиальной, зависящей только от r, и угловой, зависящей от углов θ и φ. Это кардинально упрощает решение уравнения Шрёдингера. Теоретическая подготовка завершена, переходим к практике.

Формулировка задачи и план ее решения

Рассмотрим типовую задачу, которая часто встречается в контрольных работах. Ее условие звучит следующим образом:

Частица находится в сферически-симметричном потенциальном поле в стационарном состоянии, описываемом волновой функцией ψ = (1/(2πa)^0,5)(е^-r/а)/ r, где ‘a’ — постоянная. Требуется найти среднее расстояние частицы от центра поля, <r>.

Что нам дано? Волновая функция ψ, которая содержит всю информацию о состоянии частицы. Что нужно найти? Среднее значение физической величины — расстояния r. Для этого составим четкий план действий:

1. Вспомнить и записать общую математическую формулу для вычисления среднего значения в квантовой механике.
2. Адаптировать эту формулу для нашей задачи: учесть, что мы работаем в сферических координатах, и правильно записать элемент объема dV.
3. Подставить в формулу нашу волновую функцию, провести упрощения и вычислить получившийся интеграл.

Начнем с первого и самого важного шага — определения математической формулы.

Шаг 1: Вычисляем среднее значение физической величины

В квантовой механике среднее значение любой физической величины f, которую мы хотим измерить, вычисляется по строгой формуле. Для этого нужно взять плотность вероятности |ψ|², умножить ее на искомую величину f и проинтегрировать по всему пространству, где может находиться частица.

В нашем случае мы ищем среднее расстояние <r>. Формула будет выглядеть так:

<r> = ∫ r |ψ|² dV

Здесь ключевой момент — правильно записать элемент объема dV. Как мы уже выяснили, для нашей задачи идеально подходят сферические координаты. В этой системе координат бесконечно малый элемент объема записывается не как dx dy dz, а как:

dV = r² sin(θ) dr dθ dφ

Это выражение учитывает геометрию сферы. Теперь мы можем подставить его в нашу формулу, чтобы получить полный интеграл, который нам предстоит вычислить. Интегрирование будет тройным: по радиусу r (от 0 до ∞), по полярному углу θ (от 0 до π) и по азимутальному углу φ (от 0 до 2π), чтобы охватить все пространство.

Итоговая формула для расчета приобретает вид:

<r> = ∫₀^∞ ∫₀^π ∫₀^2π r |ψ(r, θ, φ)|² r² sin(θ) dr dθ dφ

Теперь, когда у нас есть общий инструмент, подставим в него конкретные данные из условия задачи.

Шаг 2: Подстановка волновой функции и упрощение интеграла

Наш следующий шаг — подставить данную в условии волновую функцию в полученную формулу и максимально ее упростить. Напомню, наша функция:

ψ = (1/(2πa)^0,5)(е^-r/а)/ r

Сначала найдем квадрат ее модуля |ψ|². Так как функция не содержит мнимых чисел, это будет просто квадрат самой функции:

|ψ|² = [ (1/(2πa)^0,5)(е^-r/а)/ r ]² = (1/(2πa))(е^-2r/а)/ r²

Теперь подставляем это выражение в наш тройной интеграл:

<r> = ∫₀^∞ ∫₀^π ∫₀^2π r · [ (1/(2πa))(е^-2r/а)/ r² ] · r² sin(θ) dr dθ dφ

На первый взгляд выражение выглядит громоздко, но сейчас начнутся упрощения. Во-первых, вынесем все константы за знаки интегралов. Во-вторых, сократим r² в числителе и знаменателе.

<r> = (1/(2πa)) ∫₀^∞ ∫₀^π ∫₀^2π r · е^-2r/а · sin(θ) dr dθ dφ

Главное упрощение заключается в том, что подынтегральное выражение, зависящее от r (r · е^-2r/а), не зависит от углов θ и φ. Это позволяет нам разделить тройной интеграл на произведение трех независимых интегралов:

<r> = (1/(2πa)) · [ ∫₀^∞ r · е^-2r/а dr ] · [ ∫₀^π sin(θ) dθ ] · [ ∫₀^2π dφ ]

Интегралы по углам легко вычисляются:

• ∫₀^π sin(θ) dθ = [-cos(θ)] от 0 до π = (-(-1) — (-1)) = 2
• ∫₀^2π dφ = [φ] от 0 до 2π = 2π

Произведение угловых частей дает 2 · 2π = 4π. Подставим это обратно:

<r> = (1/(2πa)) · 4π · ∫₀^∞ r · е^-2r/а dr = (2/a) ∫₀^∞ r · е^-2r/а dr

Мы свели сложную задачу к вычислению одного определенного интеграла по радиальной переменной r. Остался последний, решающий шаг.

Шаг 3: Вычисление финального интеграла и получение ответа

Итак, мы пришли к вычислению интеграла:

<r> = (2/a) ∫₀^∞ r · е^-2r/а dr

Этот интеграл относится к классу табличных интегралов вида ∫ x e^-kx dx, который можно вычислить методом интегрирования по частям. Формула для такого определенного интеграла известна:

∫₀^∞ xⁿ e^-kx dx = n! / kⁿ⁺¹

В нашем случае n = 1, а коэффициент k = 2/a. Применяя эту формулу, получаем:

∫₀^∞ r · е^-2r/а dr = 1! / (2/a)¹⁺¹ = 1 / (2/a)² = 1 / (4/a²) = a²/4

Теперь подставим значение этого интеграла в наше выражение для <r>:

<r> = (2/a) · (a²/4)

Сокращая, получаем окончательный ответ:

<r> = a/2

Мы получили число. Но что оно означает с физической точки зрения и какие выводы мы можем сделать из всего решения?

Заключение и выводы

Мы успешно решили задачу, пройдя полный путь от постановки до ответа. Давайте обобщим наш алгоритм, который применим к целому классу подобных задач:

1. Анализ условия: Понять, какая волновая функция дана и какую среднюю величину нужно найти.
2. Выбор формулы: Записать интегральную формулу для среднего значения.
3. Учет системы координат: Правильно записать элемент объема dV (для сферической симметрии это r² sin(θ) dr dθ dφ).
4. Вычисление: Подставить данные, упростить выражение и аккуратно вычислить интегралы.

Полученный нами ответ <r> = a/2 имеет ясный физический смысл. Это не значит, что частица всегда находится на этом расстоянии. Это наиболее вероятное, или среднее, расстояние от центра, на котором мы можем ее обнаружить, если будем проводить множество измерений. Параметр ‘a’ в данном случае характеризует эффективный размер области, в которой «размазана» частица.

Главный вывод для подготовки к контрольной — это понимание неразрывной связи между теорией и практикой. Уравнение Шрёдингера и смысл волновой функции — это не абстракции, а рабочие инструменты, которые позволяют, используя математический аппарат интегрирования, получать конкретные предсказания о поведении микрообъектов. Уверенное владение этим подходом — ключ к успешному решению задач по квантовой механике.

Список использованной литературы

1. Иродов И.Е. Задачи по общей физике: Учеб.пособие. — 2-е изд.,перераб.-М.: Наука. Гл.ред.физ.-мат.лит.,1988. — 416 с.,ил.