Содержание
ЗАДАНИЕ 15.
15.1. Показать, что (x-y)d2z/dxdy=dz/dy, если z=cosy+(y-x)siny.
15.8. Показать, что d2u/dx2+d2u/dy2=0, если u=e^x*(xcosy-ysiny).
ЗАДАНИЕ 16.
Найти gradz в точке А и производную в точке А по направлению вектора a, если
ЗАДАНИЕ 17.
Вычислить криволинейный интеграл:
ЗАДАНИЕ 18.
Пластинка D задана ограничивающими ее кривыми, — поверхностная плотность. С помощью двойного интеграла в полярных координатах найти массу пластинки. Сделать чертеж.
ЗАДАНИЕ 19.
Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Сделать чертеж данного тела и его проекции на плоскость ХОУ.
Выдержка из текста
Контрольная работа №4
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.
Кратные и криволинейные интегралы.
ЗАДАНИЕ 15.
15.1. Показать, что , если .
15.8. Показать, что , если .
Решение:
15.1. , покажем, что , для этого сначала найдем частные производные:
,
, тогда:
что и требовалось показать.
15.8. , покажем, что , для этого найдем частные производные второго порядка:
,
,
,
,
тогда:
что и требовалось показать.
ЗАДАНИЕ 16.
Найти в точке А и производную в точке А по направлению вектора , если
16.1. , А(1,1), .
16.8. , А(1,1), .
Решение:
, , где — угол, образованный вектором с осью Ох.
16.1. , А(1,1), ,
, тогда ,
, тогда и
,
, тогда , , следовательно:
.
16.8. , А(1,1), ,
, тогда ,
, тогда , следовательно,
.
Т.к. , то , , тогда:
.