Анализ и пошаговое решение задачи о максимальном угле входа луча в световод

Формулировка задачи и визуализация процесса

Прежде чем погружаться в физику, давайте четко определим условия нашей типовой задачи. Это поможет нам создать ясную мысленную картину происходящего. Условие звучит так:

Длинное тонкое волокно, выполненное из прозрачного материала с показателем преломления n = 1,35, образует световод. Необходимо определить максимальный угол α к оси световода, под которым световой луч еще может падать на торец, чтобы пройти световод с минимальным ослаблением.

Представим эту картину. У нас есть торец (вход) очень тонкого стеклянного волокна. Световой луч падает на него из воздуха под некоторым углом α относительно центральной оси волокна. Наша цель — найти такой максимальный угол, при котором свет, войдя внутрь, окажется «в ловушке» и будет распространяться дальше. Фраза «пройти световод с минимальным ослаблением» — это ключевой физический намек. Она означает, что свет должен двигаться внутри за счет многократного полного внутреннего отражения от стенок волокна, не преломляясь наружу и не теряя энергию.

Фундаментальный принцип работы, или почему свет не убегает из волокна

В основе работы любого оптоволокна, от интернет-кабеля до медицинского эндоскопа, лежит элегантное физическое явление — полное внутреннее отражение. Чтобы понять его, нужно ввести понятие оптической плотности. Среда с большим показателем преломления (как стекло нашего световода) считается оптически более плотной, чем среда с меньшим показателем (как окружающий воздух).

Когда свет пытается перейти из оптически более плотной среды в менее плотную (например, из сердцевины волокна в воздух), происходит нечто интересное. В зависимости от угла падения на границу раздела возможны два сценария:

• Если угол падения небольшой, свет частично отразится обратно в стекло, а частично преломится и выйдет наружу.
• Если угол падения превышает некоторое критическое значение, называемое критическим углом, преломление прекращается. Весь свет на 100% отражается обратно в плотную среду, как от идеального зеркала.

Именно этот эффект «запирает» свет внутри световода. Пока луч падает на внутренние стенки под углом, большим или равным критическому, он будет отражаться снова и снова, распространяясь на огромные расстояния почти без потерь. Наша задача сводится к тому, чтобы найти условия на входе, которые обеспечат это требование внутри волокна.

Математический ключ к явлению, или как найти критический угол

Физические явления прекрасно описываются языком математики. Основой для наших расчетов служит знаменитый закон преломления Снеллиуса: n₁ sin(α) = n₂ sin(β). Он связывает показатели преломления двух сред (n₁ и n₂) с углами падения (α) и преломления (β).

Критический угол (обозначим его α_пр) — это совершенно особый случай. Он соответствует ситуации, когда угол преломления β равен 90°. То есть преломленный луч не уходит во вторую среду, а как бы «скользит» вдоль границы раздела. Подставим β = 90° (и зная, что sin(90°) = 1) в закон Снеллиуса:

n₁ sin(αпр) = n₂ * 1

Отсюда мы легко получаем универсальную формулу для синуса критического угла:

sin(α_пр) = n₂ / n₁

В нашей задаче свет пытается выйти из световода (среда 1 с показателем n) в воздух (среда 2, чей показатель преломления n₂ очень близок к 1). Поэтому для нашего случая формула упрощается: sin(α_пр) = 1 / n. Это и есть математическое условие, которое должно выполняться на стенках волокна.

Шаг 1: Анализируем преломление на входе в световод

Теперь давайте вернемся к самому началу пути света — к моменту, когда он входит в торец световода. Здесь мы имеем первую границу раздела: воздух-стекло. Луч падает из воздуха (n₀ ≈ 1) в материал световода (n = 1,35) под искомым углом α. Внутри волокна он начинает распространяться под новым, уже преломленным углом β.

Применим к этой ситуации закон Снеллиуса. Углы падения и преломления всегда измеряются относительно нормали (перпендикуляра) к поверхности. В данном случае поверхность — это торец световода.

Получаем наше первое рабочее уравнение:

n₀ * sin(α) = n * sin(β)

Поскольку n₀ = 1, уравнение принимает вид:

sin(α) = n * sin(β)

Это уравнение связывает внешний угол падения α, который мы ищем, с внутренним углом распространения β. Пока что у нас одно уравнение и две неизвестные величины (α и β). Нам нужно еще одно соотношение, которое мы получим из геометрии.

Шаг 2: Изучаем геометрию первого отражения внутри волокна

Рассмотрим луч света, который уже преломился на торце и теперь движется внутри волокна под углом β к его оси. Рано или поздно он достигнет боковой стенки. Давайте проанализируем геометрию этого момента. Нам нужно найти угол падения γ на боковую стенку.

Мысленно нарисуем прямоугольный треугольник. Его гипотенузой будет сам световой луч. Одним катетом будет ось световода, а вторым — перпендикуляр (нормаль) к боковой стенке в точке падения луча. Угол между лучом и осью световода — это наш угол β. Угол между лучом и нормалью к стенке — это искомый угол падения γ. Третий угол в этом треугольнике — прямой (90°), так как ось световода перпендикулярна нормали к его стенке.

Сумма углов в прямоугольном треугольнике равна 180°, а сумма острых углов — 90°. Таким образом, мы получаем простое, но критически важное геометрическое соотношение:

γ + β = 90° или γ = 90° — β

Этот шаг связал угол преломления на входе (β) с углом падения на внутреннюю стенку (γ). Теперь у нас есть все геометрические инструменты для финального рывка.

Шаг 3: Формулируем предельное условие для полного внутреннего отражения

Мы уже знаем, что для «запирания» света в световоде угол падения на боковую стенку (γ) должен быть больше или равен критическому углу (α_пр). Математически это записывается как γ ≥ α_пр.

Нас интересует максимальный угол входа α. Очевидно, что чем больше мы делаем угол входа α, тем больше становится угол преломления β. А поскольку γ = 90° — β, то с ростом β угол падения на стенку γ, наоборот, уменьшается. Это означает, что максимальному углу входа α_max соответствует минимально допустимый угол падения на стенку γ.

Минимально возможный угол γ, при котором еще происходит полное внутреннее отражение, — это сам критический угол. Таким образом, предельное условие, которое определяет максимальный угол входа, выглядит так:

γ = α_пр

Любой луч, вошедший под углом больше α_max, придет на стенку под углом γ меньше α_пр и просто «утечет» из световода.

Синтез решения, или как объединить все шаги в единую формулу

Теперь у нас есть система из всех необходимых уравнений. Давайте соберем их вместе и выведем итоговую формулу.

1. Наше предельное условие: γ = α_пр. Возьмем синус от обеих частей: sin(γ) = sin(α_пр).
2. Из Шага 2 мы знаем, что γ = 90° — β. Следовательно, sin(γ) = sin(90° — β). Из тригонометрии известно, что sin(90° — β) = cos(β). Значит, sin(γ) = cos(β).
3. Из раздела про критический угол мы вывели, что sin(α_пр) = 1/n.
4. Объединяем все: cos(β) = 1/n.

Мы нашли косинус внутреннего угла β. А нам для первого уравнения нужен его синус. Вспомним основное тригонометрическое тождество: sin²(β) + cos²(β) = 1. Отсюда sin(β) = √(1 — cos²(β)). Подставим наше найденное значение cos(β):

sin(β) = √(1 — (1/n)²)

И наконец, вспоминаем наше самое первое уравнение из Шага 1 для предельного случая: sin(α_max) = n * sin(β). Подставляем в него найденное выражение для sin(β):

sin(α_max) = n * √(1 — (1/n)²) = n * √((n²-1)/n²) = n * (√(n²-1))/n

Сократив n, мы приходим к финальной, изящной формуле:

sin(α_max) = √(n² — 1)

Численный расчет, или превращаем формулы в градусы

Мы проделали всю теоретическую работу, и теперь остался самый простой шаг — подставить числа и получить ответ. Из условия задачи нам известно, что показатель преломления материала световода n = 1,35.

Подставляем это значение в нашу выведенную формулу:

sin(α_max) = √(1,35² — 1)

Выполним вычисления:

sin(α_max) = √(1,8225 — 1) = √0,8225 ≈ 0,9069

Мы нашли синус максимального угла. Чтобы найти сам угол, нужно взять арксинус от этого значения:

α_max = arcsin(0,9069)

α_max ≈ 65,08°

Таким образом, ответ на задачу: максимальный угол к оси световода, под которым световой луч еще может войти в торец и распространяться с минимальными потерями, составляет примерно 65,1 градуса.

Интерпретация результата: что будет, если угол превысит максимальный?

Полученное нами число, 65,1°, имеет четкий физический смысл. Оно определяет так называемый «конус приема» световода. Представьте себе конус с вершиной в центре торца волокна и с углом при вершине, равным 2α_max. Любой световой луч, который попадает на торец, находясь внутри этого конуса, будет «захвачен» и сможет распространяться по волокну.

Что же произойдет, если мы направим луч под углом, скажем, в 70°, что больше нашего α_max? Давайте проследим его судьбу:

1. Угол падения на торец (α) станет больше 65,1°.
2. Это приведет к тому, что угол преломления внутри волокна (β) тоже увеличится.
3. Так как угол падения на стенку связан с ним как γ = 90° — β, то γ, наоборот, уменьшится.
4. В итоге угол γ станет меньше критического угла.

Как только это произойдет, условие полного внутреннего отражения нарушится. Свет при первом же столкновении со стенкой преломится и выйдет наружу. Сигнал будет практически полностью потерян. Вот почему точное знание этого угла так важно при проектировании волоконно-оптических систем.

Связь с практикой — числовая апертура (NA)

В реальной технике и оптоэлектронике величину, которую мы только что так подробно вычисляли, называют числовой апертурой (Numerical Aperture, NA). По определению, это синус максимального угла входа, при котором свет еще может распространяться по световоду.

NA = sin(αmax)

Фактически, решая задачу, мы вывели формулу для числовой апертуры световода, находящегося в воздухе:

NA = √(n² — 1)

Для нашей задачи NA ≈ 0,9069. Числовая апертура — одна из важнейших характеристик оптического волокна. Она показывает, насколько хорошо волокно «собирает» или «ловит» свет. Чем больше NA, тем шире конус приема и тем проще ввести излучение в световод. Однако у большой апертуры есть и обратная сторона: в многомодовых волокнах она может приводить к увеличению искажений сигнала из-за того, что лучи, вошедшие под разными углами, проходят разный путь.

Краткий взгляд на реальность: сердцевина и оболочка

До сих пор мы рассматривали идеализированную модель — стеклянное волокно в воздухе. В реальных условиях такой световод был бы крайне ненадежным: любая пылинка, капля влаги или царапина на внешней поверхности изменила бы показатель преломления n₂ и нарушила бы условия полного внутреннего отражения.

Чтобы этого избежать, настоящее оптическое волокно имеет более сложную структуру. Оно состоит как минимум из двух слоев:

• Сердцевина (Core): центральная часть с более высоким показателем преломления (n₁), по которой непосредственно распространяется свет.
• Оболочка (Cladding): внешний слой с более низким показателем преломления (n₂ < n₁), который окружает сердцевину.

Полное внутреннее отражение происходит на границе сердцевина-оболочка. Это обеспечивает стабильность и защищенность процесса. В этом случае формула для критического угла становится sin(αпр) = n₂ / n₁, а формула для числовой апертуры, соответственно, немного усложняется до NA = √(n₁² - n₂²). Но сам физический принцип остается абсолютно тем же.

Бонус: как рассчитать диаметр светового пятна?

Полученные нами знания позволяют решать и другие смежные задачи. Например, представьте, что на выходе световода на расстоянии L от его торца расположен экран. Каков будет диаметр светового пятна на этом экране?

Лучи света выходят из волокна под теми же углами, под которыми они в него вошли (в пределах конуса приема). Максимальный угол выхода будет равен нашему α_max. Таким образом, на экране образуется световой круг. Радиус этого круга (R) можно найти из простого прямоугольного треугольника, где одним катетом является расстояние L, а противолежащим углом — α_max.

Из геометрии мы знаем, что tan(αmax) = R / L. Отсюда радиус пятна R = L * tan(αmax).

Диаметр пятна D, соответственно, в два раза больше: D = 2L * tan(α_max).

Поскольку мы уже знаем, как найти α_max (через арксинус от числовой апертуры), мы можем записать полную формулу: D = 2L * tan(arcsin(√(n² - 1))). Это показывает, как все выведенные нами концепции связаны между собой.

Ключевые выводы и алгоритм решения

Мы прошли полный путь от постановки задачи до анализа ее практических приложений. Давайте систематизируем наши действия в виде универсального алгоритма для решения подобных задач:

1. Вход в торец: Записать закон Снеллиуса для границы «внешняя среда — сердцевина», связав внешний угол падения (α) с внутренним (β).
2. Геометрия внутри: Найти геометрическую связь между углом преломления на торце (β) и углом падения на боковую стенку (γ), обычно это γ = 90° — β.
3. Условие на стенке: Сформулировать предельное условие полного внутреннего отражения, приравняв угол падения на стенку к критическому углу (γ = α_пр).
4. Синтез и решение: Объединить все уравнения, используя тригонометрические тождества, и алгебраически выразить искомый максимальный угол α_max.

Этот пошаговый подход позволяет не просто запомнить формулу, а понять физику процесса и уверенно решать целый класс задач по волоконной оптике.