Полный комплект решений 10 задач по Специальной теории относительности: Академическая методология и физическое обоснование

Специальная теория относительности (СТО), представленная Альбертом Эйнштейном в 1905 году, представляет собой один из столпов современной физики, кардинально изменивший наши представления о пространстве, времени, массе и энергии. Её актуальность не только не угасла за прошедшее столетие, но и находит всё новые подтверждения и практические применения — от проектирования ускорителей частиц до систем глобального позиционирования (GPS), где без учёта релятивистских эффектов невозможно достичь необходимой точности. СТО является неотъемлемой частью учебных программ технических и естественнонаучных вузов, формируя фундамент для понимания квантовой механики и общей теории относительности.

Целью данной работы является разработка полного, структурированного и теоретически обоснованного набора решений для 10 типовых задач по Специальной теории относительности. Эти решения призваны служить академическим образцом для студентов, выполняющих контрольные или расчётно-графические работы, обеспечивая не только правильные ответы, но и детальную методологию, вывод используемых формул, строгую подстановку численных значений и, что особенно важно, глубокое физическое обоснование каждого шага. В рамках этой задачи мы стремимся не просто предоставить «рыбу» для списывания, а предложить инструмент для истинного понимания сложных релятивистских концепций.

Структура настоящего документа организована таким образом, чтобы читатель мог последовательно освоить материал: от фундаментальных постулатов до их применения в кинематике и динамике, завершая специфическими аспектами ядерной физики. Каждая глава посвящена отдельному тематическому блоку, представляя необходимую теоретическую базу, а затем иллюстрируя её на конкретных задачах. Завершается работа методологическим разделом, стандартизирующим процесс решения и оформления.

Часть I. Фундаментальные основы релятивистской теории

Погружение в мир Специальной теории относительности начинается с двух фундаментальных постулатов, предложенных Альбертом Эйнштейном. Эти постулаты не просто перевернули классические представления о пространстве и времени, но и послужили краеугольным камнем для создания новой, более точной физической картины мира.

Два постулата Эйнштейна: Принцип относительности и инвариантность скорости света

Первый постулат Эйнштейна, или Принцип относительности, гласит, что все законы природы — будь то механические, электрические, оптические или любые другие — имеют абсолютно одинаковую форму во всех инерциальных системах отсчёта (ИСО). Это означает, что не существует привилегированной ИСО, и никакой физический эксперимент, проведённый внутри закрытой системы, не может определить, движется ли эта система равномерно и прямолинейно или покоится. Классическая механика также опиралась на принцип относительности Галилея, но Эйнштейн распространил его на *все* физические законы, включая электродинамику Максвелла, что стало революционным шагом, расширяющим область применимости принципа.

Второй постулат Эйнштейна, или Принцип инвариантности скорости света, утверждает, что скорость света в вакууме (c) не зависит ни от скорости движения источника света, ни от скорости движения наблюдателя. Более того, эта скорость одинакова во всех инерциальных системах отсчёта. Это утверждение шло вразрез с интуитивными представлениями классической физики, где скорости складываются по правилам Галилея, и скорость света должна была бы зависеть от движения источника. Однако многочисленные эксперименты, начиная с опыта Майкельсона-Морли, подтвердили этот постулат. Скорость света в вакууме, приблизительно равная 2.99792458 × 10⁸ м/с, является не просто константой, а предельной скоростью распространения взаимодействий в природе. Ни одно материальное тело, ни один сигнал, несущий информацию, не может превысить эту скорость, что сохраняет принцип причинности и предотвращает информационные парадоксы.

Преобразования Лоренца и γ-фактор

Постулаты Эйнштейна привели к необходимости пересмотра классических преобразований Галилея, связывающих координаты и время событий в различных ИСО. На смену им пришли преобразования Лоренца, которые стали математическим аппаратом СТО, позволяющим адекватно описывать физические явления при любых скоростях, вплоть до скоростей, близких к скорости света.

Рассмотрим две инерциальные системы отсчёта: K (неподвижная) и K’ (движущаяся относительно K со скоростью v вдоль общей оси x). Если событие в системе K имеет координаты (x, y, z, t), то в системе K’ оно будет иметь координаты (x’, y’, z’, t’), связанные прямыми преобразованиями Лоренца:

• x’ = (x — vt) / √(1 — v²/c²)
• y’ = y
• z’ = z
• t’ = (t — vx/c²) / √(1 — v²/c²)

Обратные преобразования, позволяющие перейти от K’ к K, имеют аналогичный вид, но с заменой v на -v и штрихованных величин на нештрихованные:

• x = (x’ + vt’) / √(1 — v²/c²)
• y = y’
• z = z’
• t = (t’ + vx’/c²) / √(1 — v²/c²)

Ключевым элементом этих преобразований является знаменатель √(1 — v²/c²). Для удобства вводят безразмерный коэффициент, называемый коэффициентом Лоренца или γ-фактором:


γ = 1 / √(1 - v2/c2)


где β = v/c — отношение скорости тела к скорости света. Таким образом, γ = 1 / √(1 — β²).

Физический смысл γ-фактора колоссален: он описывает степень проявления релятивистских эффектов, таких как замедление времени, сокращение длины и увеличение массы. Когда скорость v значительно меньше скорости света c (v « c), β ≈ 0, и γ приближается к 1. В этом случае преобразования Лоренца практически совпадают с преобразованиями Галилея, а релятивистские эффекты ничтожны. Однако по мере приближения v к c, β стремится к 1, а γ начинает резко возрастать, стремясь к бесконечности. Это означает, что при скоростях, близких к световым, релятивистские эффекты становятся доминирующими, изменяя результаты измерений для различных наблюдателей.

Когда релятивистские эффекты становятся заметными?

Чтобы ответить на этот вопрос, можно проанализировать, при какой скорости v γ-фактор начинает отклоняться от 1, например, на 1%.
Пусть γ = 1.01. Тогда:
1.01 = 1 / √(1 — β²)
√(1 — β²) = 1 / 1.01 ≈ 0.990099
1 — β² ≈ (0.990099)² ≈ 0.980296
β² ≈ 1 — 0.980296 = 0.019704
β ≈ √(0.019704) ≈ 0.1403
Таким образом, v ≈ 0.14c.

Принимая c ≈ 3 × 10⁸ м/с, мы получаем v ≈ 0.14 × 3 × 10⁸ м/с ≈ 4.2 × 10⁷ м/с, или 42 000 км/с. Это означает, что уже при скоростях порядка 42 тысяч километров в секунду, релятивистские эффекты (например, замедление времени или сокращение длины) достигают величины, превышающей 1%, что делает их вполне ощутимыми и требующими учёта в точных физических расчётах. Для сравнения, максимальная скорость самолётов составляет доли от скорости звука, а космических аппаратов — десятки километров в секунду, что на много порядков меньше 0.14c. Именно поэтому в повседневной жизни мы не сталкиваемся с релятивистскими парадоксами, но в высокоточных приборах и астрофизике они играют критическую роль.

Часть II. Релятивистская Кинематика: Пространство и Время (Задачи №1-№3)

В классической физике пространство и время считаются абсолютными и независимыми. Однако в Специальной теории относительности эти понятия тесно связаны, и их измерения оказываются относительными, зависящими от скорости наблюдателя. Это приводит к таким явлениям, как замедление времени, сокращение длины и неклассический закон сложения скоростей.

Решение задач на относительность промежутков времени и длин

Поскольку примеры задач не были предоставлены, мы сформулируем типовые задачи для демонстрации применения γ-фактора.

Задача №3 (Типовая): Замедление времени для мюонов

Мюоны — нестабильные элементарные частицы, образующиеся в верхних слоях атмосферы под действием космических лучей. Время жизни мюона в собственной системе отсчёта (то есть, для наблюдателя, движущегося вместе с мюоном) составляет Δt₀ = 2.2 × 10^-6 с. Если мюон движется со скоростью v = 0.99c относительно Земли, какое время жизни будет зафиксировано наземным наблюдателем?

Дано:

• Δt₀ = 2.2 × 10^-6 с (собственное время жизни)
• v = 0.99c
• c = 3.00 × 10⁸ м/с

Найти:

• Δt (время жизни для наземного наблюдателя)

Вывод/Указание формулы:

Эффект замедления времени описывается формулой:


Δt = γΔt0 = Δt0 / √(1 - v2/c2)


Расчет γ-фактора:

β = v/c = 0.99c / c = 0.99
γ = 1 / √(1 — (0.99)²) = 1 / √(1 — 0.9801) = 1 / √(0.0199) ≈ 1 / 0.141067 ≈ 7.089

Численная подстановка:

Δt = 7.089 × 2.2 × 10^-6 с ≈ 1.56 × 10^-5 с

Ответ:

Время жизни мюона для наземного наблюдателя составит приблизительно 1.56 × 10^-5 с.

Физическая интерпретация:

Полученный результат демонстрирует одно из самых ярких следствий СТО — замедление времени. Для наземного наблюдателя, относительно которого мюон движется с релятивистской скоростью, часы мюона идут медленнее, и его время жизни увеличивается почти в 7 раз по сравнению с собственным временем покоя. Этот эффект имеет прямое экспериментальное подтверждение и объясняет, почему мюоны, несмотря на своё короткое собственное время жизни, способны достигать поверхности Земли, пролетая значительно большие расстояния, чем это было бы возможно в рамках классической физики. Без замедления времени большинство мюонов распались бы в верхних слоях атмосферы, что противоречило бы наблюдениям.

Релятивистский закон сложения скоростей (Задачи №1, №2)

В классической механике скорости складываются арифметически. Если объект движется со скоростью u’_x относительно движущейся системы, которая сама движется со скоростью v, то его скорость относительно неподвижной системы будет u_x = u’_x + v. Однако этот закон нарушается при скоростях, близких к скорости света, поскольку он допускает возможность превышения скорости света. СТО предлагает релятивистский закон сложения скоростей, который корректно описывает сложение скоростей и гарантирует, что результирующая скорость никогда не превысит c, сохраняя фундаментальный принцип СТО.

Формула релятивистского сложения скоростей (для параллельных осей):


ux = (u'x + v) / (1 + u'xv / c2)


где:

• u_x — скорость тела относительно неподвижной системы K.
• u’_x — скорость тела относительно движущейся системы K’.
• v — скорость системы K’ относительно системы K.

Задача №1 (Типовая): Сложение скоростей космических кораблей

Два космических корабля движутся навстречу друг другу. Корабль A движется со скоростью v_A = 0.8c относительно Земли. Корабль B движется со скоростью v_B = 0.7c относительно Земли, навстречу кораблю A. Какова относительная скорость сближения кораблей, измеренная одним из них (например, кораблём A)?

Дано:

• Скорость корабля A относительно Земли: v = 0.8c (это скорость одной ИСО относительно другой)
• Скорость корабля B относительно Земли: u_x = -0.7c (направление противоположное, поэтому знак «минус»)
• c = 3.00 × 10⁸ м/с

Найти:

• u’_x (скорость корабля B относительно корабля A)

Вывод/Указание формулы:

Используем релятивистский закон сложения скоростей. Пусть Земля — система K. Корабль A — система K’, движущаяся со скоростью v = 0.8c. Корабль B движется относительно Земли со скоростью u_x = -0.7c. Мы ищем скорость u’_x корабля B относительно K’ (корабля A).

Из прямых преобразований Лоренца для скорости:


u'x = (ux - v) / (1 - uxv / c2)


Численная подстановка:

u’_x = (-0.7c — 0.8c) / (1 — (-0.7c)(0.8c) / c²)
u’_x = (-1.5c) / (1 + 0.56c² / c²)
u’_x = (-1.5c) / (1 + 0.56)
u’_x = (-1.5c) / 1.56 ≈ -0.9615c

Ответ:

Относительная скорость сближения кораблей, измеренная одним из них, составит приблизительно 0.9615c.

Физическая интерпретация:

Если бы мы использовали классический закон сложения скоростей, относительная скорость сближения составила бы 0.8c + 0.7c = 1.5c, что превышает скорость света. Однако релятивистский закон сложения скоростей даёт результат 0.9615c, который всегда меньше c. Это является прямым следствием второго постулата СТО о предельной скорости распространения взаимодействий, который не допускает существования сверхсветовых скоростей. Этот результат не только подтверждает фундаментальный принцип СТО, но и объясняет, почему все наблюдаемые скорости в природе не превышают скорости света.

Задача №2 (Типовая): Скорость света в движущейся системе

Космический корабль движется со скоростью v = 0.5c относительно Земли. Внутри корабля вдоль направления его движения испускается световой импульс. Какова скорость этого импульса относительно Земли?

Дано:

• Скорость корабля относительно Земли: v = 0.5c
• Скорость светового импульса относительно корабля: u’_x = c

Найти:

• u_x (скорость светового импульса относительно Земли)

Вывод/Указание формулы:

Используем релятивистский закон сложения скоростей:


ux = (u'x + v) / (1 + u'xv / c2)


Численная подстановка:

u_x = (c + 0.5c) / (1 + (c)(0.5c) / c²)
u_x = (1.5c) / (1 + 0.5c² / c²)
u_x = (1.5c) / (1 + 0.5)
u_x = (1.5c) / 1.5 = c

Ответ:

Скорость светового импульса относительно Земли составляет c.

Физическая интерпретация:

Этот результат является прямым подтверждением второго постулата Эйнштейна — принципа инвариантности скорости света. Независимо от скорости движения источника (в данном случае, движущегося космического корабля), скорость света в вакууме остаётся постоянной для любого инерциального наблюдателя. Это отличает свет от обычных объектов, скорости которых складываются по-классически. Закон сложения скоростей в СТО математически гарантирует соблюдение этого фундаментального принципа, что делает его универсальным для всех инерциальных систем отсчёта.

Часть III. Релятивистская Динамика: Масса и Энергия (Закрытие «Слепой Зоны»)

В классической механике масса считается неизменной величиной, а энергия и масса рассматриваются как отдельные, хотя и взаимосвязанные, характеристики. Специальная теория относительности объединяет эти концепции, показывая, что масса тела зависит от его скорости, и что масса и энергия являются различными проявлениями одной и той же сущности. Это одна из самых глубоких и далекоидущих идей СТО, имеющая колоссальные практические следствия.

Зависимость массы от скорости и виды энергии (Задачи №4-№7)

Представление о том, что масса может изменяться, стало одним из самых радикальных нововведений СТО. Релятивистская масса m тела, движущегося со скоростью v, связана с его массой покоя m₀ (массой, измеренной в собственной системе отсчёта, где тело покоится) через γ-фактор:


m = m0 / √(1 - v2/c2) = m0γ


Эта формула показывает, что по мере приближения скорости тела к скорости света, его масса увеличивается и стремится к бесконечности. Это объясняет, почему невозможно разогнать материальное тело до скорости света: для этого потребовалась бы бесконечная энергия, что физически невозможно.

Закон взаимосвязи массы и энергии (формула Эйнштейна E=mc²) является, пожалуй, самой известной физической формулой. Она устанавливает эквивалентность массы и энергии: полная энергия E тела равна произведению его релятивистской массы m на квадрат скорости света c:


E = mc2


Эта формула подразумевает, что масса сама по себе является огромным запасом энергии. Даже покоящееся тело обладает внутренней энергией, называемой энергией покоя:


E0 = m0c2


Когда тело движется, его полная энергия складывается из энергии покоя и кинетической энергии. Релятивистская кинетическая энергия (E_k) определяется как разность между полной энергией E и энергией покоя E₀:


Ek = E - E0 = mc2 - m0c2 = m0γc2 - m0c2 = (γ - 1)m0c2


Эта формула отличается от классической E_k = (1/2)mv², к которой она сводится при малых скоростях (v « c, когда γ ≈ 1 + (1/2)v²/c²).

Приведём примеры типовых задач:

Задача №4 (Типовая): Изменение массы электрона

На сколько процентов увеличится масса электрона, если он движется со скоростью v = 0.95c?

Дано:

• v = 0.95c

Найти:

• Относительное изменение массы (Δm / m₀) × 100%

Вывод/Указание формулы:

Масса движущегося электрона m = m₀γ.
Относительное изменение массы: (Δm / m₀) = (m — m₀) / m₀ = (m₀γ — m₀) / m₀ = γ — 1.
Процентное изменение: (γ — 1) × 100%.

Расчет γ-фактора:

β = v/c = 0.95
γ = 1 / √(1 — (0.95)²) = 1 / √(1 — 0.9025) = 1 / √(0.0975) ≈ 1 / 0.31225 ≈ 3.202

Численная подстановка:

Процентное изменение массы = (3.202 — 1) × 100% = 2.202 × 100% = 220.2%

Ответ:

Масса электрона увеличится примерно на 220.2%.

Физическая интерпретация:

Это значительно! При скорости, составляющей 95% от скорости света, масса электрона становится более чем в три раза больше его массы покоя. Это яркое проявление релятивистской зависимости массы от скорости. Данный эффект критически важен при проектировании ускорителей частиц, где для разгона частиц до околосветовых скоростей требуется учитывать не только их возрастающую инерцию, но и соответствующее увеличение массы, что напрямую влияет на энергию, необходимую для их ускорения.

Задача №5 (Типовая): Кинетическая энергия протона

Вычислите кинетическую энергию протона, движущегося со скоростью v = 0.8c. Выразите ответ в джоулях (Дж) и мегаэлектронвольтах (МэВ).
(Масса покоя протона m_p = 1.67265 × 10^-27 кг, c = 3.00 × 10⁸ м/с, 1 МэВ = 1.602 × 10^-13 Дж).

Дано:

• v = 0.8c
• m_p = 1.67265 × 10^-27 кг
• c = 3.00 × 10⁸ м/с
• 1 МэВ = 1.602 × 10^-13 Дж

Найти:

• E_k в Дж и МэВ

Вывод/Указание формулы:


Ek = (γ - 1)mpc2


Расчет γ-фактора:

β = v/c = 0.8
γ = 1 / √(1 — (0.8)²) = 1 / √(1 — 0.64) = 1 / √(0.36) = 1 / 0.6 = 1.6667

Численная подстановка (в Дж):

E_k = (1.6667 — 1) × (1.67265 × 10^-27 кг) × (3.00 × 10⁸ м/с)²
E_k = 0.6667 × 1.67265 × 10^-27 × 9.00 × 10¹⁶ Дж
E_k ≈ 1.003 × 10^-10 Дж

Численная подстановка (в МэВ):

Энергия покоя протона E_0p = m_pc² ≈ 938.3 МэВ.
E_k = (γ — 1)E_0p = (1.6667 — 1) × 938.3 МэВ = 0.6667 × 938.3 МэВ ≈ 625.5 МэВ

Ответ:

Кинетическая энергия протона составляет приблизительно 1.003 × 10^-10 Дж или 625.5 МэВ.

Физическая интерпретация:

При скорости 0.8c кинетическая энергия протона превышает его энергию покоя E_0p ≈ 938.3 МэВ. Если бы мы использовали классическую формулу E_k = (1/2)m₀v², мы получили бы E_k = (1/2)(1.67265 × 10^-27 кг)(0.8 × 3 × 10⁸ м/с)² ≈ 4.81 × 10^-11 Дж ≈ 300 МэВ. Релятивистская кинетическая энергия почти вдвое больше, что подчёркивает значимость релятивистских поправок при высоких скоростях. Это означает, что для разгона частиц до таких скоростей требуется значительно больше энергии, чем предсказывает классическая физика, и эти поправки должны быть учтены в работе ускорителей.

Расчет отношения заряда электрона к массе (e/m) для движущейся частицы (Задача №8)

Отношение заряда частицы к её массе (e/m) является важной характеристикой, используемой, например, в масс-спектрометрии или при изучении движения заряженных частиц в электрических и магнитных полях. В классической физике это отношение постоянно. Однако в СТО, поскольку масса частицы зависит от её скорости, отношение e/m для движущейся частицы также становится зависимым от скорости.

Для движущейся частицы необходимо использовать релятивистскую массу m = m₀γ. Тогда отношение e/m будет выглядеть так:


e/m = e / (m0γ) = (e/m0) / γ = (e/m0)√(1 - v2/c2)


Это означает, что с увеличением скорости, релятивистское отношение e/m будет уменьшаться, поскольку масса в знаменателе возрастает, а заряд остаётся неизменным. Понимание этого крайне важно для точного анализа траекторий частиц в полях.

Задача №8 (Типовая): Отношение e/m для быстрого электрона

Электрон ускорен до скорости v = 0.99c. Вычислите отношение его заряда к массе (e/m) при этой скорости. Сравните его с отношением e/m₀ для покоящегося электрона.
(Элементарный заряд e = 1.602 × 10^-19 Кл, масса покоя электрона m_e = 9.109 × 10^-31 кг).

Дано:

• v = 0.99c
• e = 1.602 × 10^-19 Кл
• m_e = 9.109 × 10^-31 кг

Найти:

• (e/m)_v=0.99c и (e/m₀)

Вывод/Указание формулы:

Для покоящегося электрона: (e/m₀) = e / m_e
Для движущегося электрона: (e/m)_v = (e/m₀)√(1 — v²/c²) = (e/m₀) / γ

Расчет γ-фактора:

β = v/c = 0.99
γ = 1 / √(1 — (0.99)²) = 1 / √(1 — 0.9801) = 1 / √(0.0199) ≈ 1 / 0.141067 ≈ 7.089
(Расчёт идентичен задаче №3)

Численная подстановка:

1. Для покоящегося электрона:
   (e/m₀) = (1.602 × 10^-19 Кл) / (9.109 × 10^-31 кг) ≈ 1.758 × 10¹¹ Кл/кг
2. Для движущегося электрона:
   (e/m)_v=0.99c = (e/m₀) / γ = (1.758 × 10¹¹ Кл/кг) / 7.089 ≈ 2.479 × 10¹⁰ Кл/кг

Ответ:

Отношение заряда к массе для покоящегося электрона составляет приблизительно 1.758 × 10¹¹ Кл/кг.
Для электрона, движущегося со скоростью 0.99c, это отношение уменьшается до приблизительно 2.479 × 10¹⁰ Кл/кг.

Физическая интерпретация:

Отношение e/m для быстро движущегося электрона уменьшилось примерно в 7 раз по сравнению с покоящимся. Это прямое следствие увеличения релятивистской массы электрона при высоких скоростях. Этот эффект имеет фундаментальное значение при анализе поведения заряженных частиц в электрических и магнитных полях в ускорителях или в космических лучах. Измерения e/m для высокоэнергетичных частиц дают экспериментальное подтверждение зависимости массы от скорости, что является одним из триумфов Специальной теории относительности и позволяет точно настраивать ускорители частиц для получения желаемых результатов.

Часть IV. Приложение СТО в Ядерной Физике: Дефект массы (Задачи №9, №10)

Принцип эквивалентности массы и энергии (E=mc²) находит одно из своих наиболее впечатляющих и значимых применений в ядерной физике. Он объясняет колоссальные энергии, высвобождающиеся в ядерных реакциях, и лежит в основе концепции дефекта массы и энергии связи атомных ядер.

Принцип эквивалентности массы и энергии и дефект массы

В ядерной физике установлено, что масса атомного ядра всегда *меньше* суммы масс составляющих его свободных нуклонов (протонов и нейтронов). Эта разница в массах называется дефектом массы (Δm). Казалось бы, это противоречит закону сохранения массы. Однако СТО даёт этому явлению исчерпывающее объяснение: «недостающая» масса превращается в энергию, которая связывает нуклоны в ядре. Эта энергия называется энергией связи ядра (ΔE₀).

Согласно принципу эквивалентности массы и энергии:


ΔE0 = Δmc2


Или, выражая дефект массы:


Δm = ΔE0 / c2


Энергия связи ядра — это минимальная энергия, которую необходимо затратить для полного разделения ядра на отдельные нуклоны. Чем больше энергия связи на один нуклон, тем стабильнее ядро. Этот принцип не только объясняет стабильность ядер, но и лежит в основе всех ядерных энергетических процессов, от атомных электростанций до термоядерного синтеза.

Задача №9 (Типовая): Энергия связи ядра дейтерия

Вычислите дефект массы и энергию связи ядра дейтерия (²₁H).
(Массы покоя: протон m_p = 1.00728 а.е.м., нейтрон m_n = 1.00866 а.е.м., ядро дейтерия m_D = 2.01355 а.е.м. 1 а.е.м. ≈ 1.6605 × 10^-27 кг, 1 а.е.м. эквивалентно 931.5 МэВ/c²).

Дано:

• m_p = 1.00728 а.е.м.
• m_n = 1.00866 а.е.м.
• m_D = 2.01355 а.е.м.
• 1 а.е.м. = 1.6605 × 10^-27 кг
• c = 2.99792458 × 10⁸ м/с
• 1 а.е.м. ≈ 931.5 МэВ/c²

Найти:

• Δm (в а.е.м. и кг), ΔE₀ (в Дж и МэВ)

Вывод/Указание формулы:

Дефект массы: Δm = (Z · m_p + N · m_n) — m_ядра
(Для дейтерия: Z=1, N=1)
Энергия связи: ΔE₀ = Δmc²

Численная подстановка и расчет дефекта массы:

Сумма масс свободных нуклонов для дейтерия (1 протон + 1 нейтрон):
m_{нуклонов} = m_p + m_n = 1.00728 а.е.м. + 1.00866 а.е.м. = 2.01594 а.е.м.

Дефект массы:
Δm = m_{нуклонов} — m_D = 2.01594 а.е.м. — 2.01355 а.е.м. = 0.00239 а.е.м.

Перевод дефекта массы в килограммы:
Δm = 0.00239 а.е.м. × (1.6605 × 10^-27 кг/а.е.м.) ≈ 3.97 × 10^-30 кг

Расчет энергии связи:

1. Используя МэВ/c² эквивалент:
   ΔE₀ = Δm × (931.5 МэВ/а.е.м.) = 0.00239 а.е.м. × 931.5 МэВ/а.е.м. ≈ 2.226 МэВ
2. Используя прямое преобразование в Дж:
   ΔE₀ = Δmc² = (3.97 × 10^-30 кг) × (2.99792458 × 10⁸ м/с)²
   ΔE₀ ≈ 3.97 × 10^-30 × 8.98755 × 10¹⁶ Дж ≈ 3.568 × 10^-13 Дж

Ответ:

Дефект массы ядра дейтерия составляет 0.00239 а.е.м. (или 3.97 × 10^-30 кг).
Энергия связи ядра дейтерия составляет приблизительно 2.226 МэВ (или 3.568 × 10^-13 Дж).

Физическая интерпретация:

Дефект массы и соответствующая энергия связи демонстрируют, что при формировании ядра дейтерия из протона и нейтрона выделяется значительное количество энергии. Эта энергия — 2.226 МэВ — является той «платой», которая удерживает нуклоны вместе. В масштабах отдельного ядра это огромная энергия, которая в миллионы раз превосходит энергии химических связей. Именно высвобождение энергии связи лежит в основе ядерных реакций, таких как синтез дейтерия в звёздах или в термоядерных реакторах, что делает этот принцип фундаментальным для понимания источников энергии во Вселенной.

Задача №10 (Типовая): Дефект массы при распаде

При альфа-распаде ядро урана-238 (²³⁸₉₂U) превращается в ядро тория-234 (²³⁴₉₀Th) и испускает альфа-частицу (⁴₂He). Определите, какое количество энергии выделяется при этом распаде.
(Массы покоя: m(²³⁸₉₂U) = 238.050788 а.е.м., m(²³⁴₉₀Th) = 234.043601 а.е.м., m(⁴₂He) = 4.002603 а.е.м. 1 а.е.м. ≈ 931.5 МэВ/c²).

Дано:

• m(U) = 238.050788 а.е.м.
• m(Th) = 234.043601 а.е.м.
• m(He) = 4.002603 а.е.м.
• 1 а.е.м. ≈ 931.5 МэВ/c²

Найти:

• ΔE₀ (выделенная энергия)

Вывод/Указание формулы:

При распаде энергия выделяется, если суммарная масса продуктов реакции меньше массы исходного ядра. Выделенная энергия ΔE₀ эквивалентна уменьшению массы (дефекту массы реакции):


ΔE0 = Δmc2, где Δm = mисходный - mпродукты


Численная подстановка и расчет дефекта массы реакции:

Масса исходного ядра: m_{исходный} = m(U) = 238.050788 а.е.м.
Суммарная масса продуктов реакции:
m_{продукты} = m(Th) + m(He) = 234.043601 а.е.м. + 4.002603 а.е.м. = 238.046204 а.е.м.

Дефект массы реакции:
Δm = m_{исходный} — m_{продукты} = 238.050788 а.е.м. — 238.046204 а.е.м. = 0.004584 а.е.м.
Так как Δm > 0, энергия выделяется.

Расчет энергии, выделяемой при распаде:

Используя эквивалент 1 а.е.м. = 931.5 МэВ/c²:
ΔE₀ = 0.004584 а.е.м. × 931.5 МэВ/а.е.м. ≈ 4.270 МэВ

Ответ:

При альфа-распаде ядра урана-238 выделяется приблизительно 4.270 МэВ энергии.

Физическая интерпретация:

Этот расчёт демонстрирует, как принцип E=mc² позволяет точно определить энергию, высвобождающуюся в ядерных реакциях. Разница в массах между исходным ядром и продуктами распада, хотя и мала в абсолютных величинах (тысячные доли а.е.м.), соответствует значительной энергии из-за огромного множителя c². Эти 4.270 МэВ выделяются в виде кинетической энергии альфа-частицы и дочернего ядра тория, а также в виде энергии гамма-излучения. Подобные расчёты лежат в основе понимания радиоактивности, работы ядерных реакторов и механизмов звёздного нуклеосинтеза, что подтверждает применимость СТО на самых глубоких уровнях материи.

Методологический раздел: Фундаментальные константы и оформление решения

Для успешного решения задач по Специальной теории относительности и обеспечения академической строгости, крайне важно придерживаться стандартизированного подхода и использовать точные значения фундаментальных физических констант.

Перечень и точные численные значения физических констант

В расчетах, особенно связанных с релятивистскими эффектами и ядерной физикой, точность констант играет ключевую роль. Ниже приведены рекомендованные значения:

Константа	Обозначение	Значение (СИ)	Значение (Альтернативное/МэВ)
Скорость света в вакууме	c	2.99792458 × 108 м/с	Для учебных расчётов часто: 3.00 × 108 м/с
Элементарный электрический заряд	e	1.60219 × 10-19 Кл
Масса покоя электрона	me	9.10953 × 10-31 кг	0.511 МэВ/c2 (энергия покоя: 0.511 МэВ)
Масса покоя протона	mp	1.67265 × 10-27 кг	1.00728 а.е.м. или 938.3 МэВ/c2 (энергия покоя: 938.3 МэВ)
Масса покоя нейтрона	mn	1.67495 × 10-27 кг	1.00866 а.е.м. или 939.57 МэВ/c2 (энергия покоя: 939.57 МэВ)
Атомная единица массы	1 а.е.м.	1.6605 × 10-27 кг	931.5 МэВ/c2
Перевод 1 МэВ в Дж		1.602 × 10-13 Дж

Особое внимание на энергетические эквиваленты: В задачах ядерной физики, где массы выражаются в атомных единицах массы (а.е.м.) и энергии в мегаэлектронвольтах (МэВ), крайне удобно использовать эквиваленты масс в МэВ/c². Это позволяет избежать многократных переводов в килограммы и умножений на c², значительно упрощая расчеты и снижая вероятность ошибок. Например, если дефект массы Δm получен в а.е.м., то энергия связи ΔE₀ = Δm × 931.5 МэВ.

Порядок оформления академического решения

Для обеспечения ясности, полноты и академической строгости, каждое решение задачи должно быть оформлено по следующему алгоритму:

1. Дано: Четко и лаконично перечислить все исходные данные задачи, используя общепринятые обозначения и указывая единицы измерения.
2. Вывод/Указание формулы:
   • Если формула является стандартной и общеизвестной (н��пример, γ-фактор, E=mc²), достаточно просто указать её.
   • Если требуется применение нескольких формул или их преобразование, следует последовательно показать логику вывода конечной рабочей формулы. Это демонстрирует понимание материала, а не простое подставление чисел.
3. Численная подстановка с единицами СИ:
   • После вывода формулы необходимо произвести численную подстановку.
   • Все величины должны быть приведены к одной системе единиц (как правило, СИ) перед подстановкой.
   • Обязательно указывать единицы измерения на каждом этапе подстановки, чтобы контролировать размерность результата.
   • Использование промежуточных расчётов (например, для γ-фактора) улучшает читаемость.
4. Ответ: Записать окончательный численный результат, округленный до разумного количества значащих цифр, и указать его единицы измерения.
5. Физическая интерпретация: Этот пункт критически важен для студента технического или естественнонаучного вуза. Недостаточно просто получить числовой ответ. Необходимо объяснить физический смысл полученного результата, его связь с постулатами СТО, а также, если применимо, сравнить с классическими представлениями или указать на экспериментальные подтверждения. Например, почему скорость не превысила c, почему масса увеличилась, или что означает выделенная энергия в ядерной реакции. Это демонстрирует глубокое понимание темы и способность применять теоретические знания на практике.

Соблюдение этих принципов позволит не только успешно решать задачи, но и развить аналитическое мышление, необходимое для профессиональной деятельности в области физики и инженерии.

Заключение

Представленный комплект решений по Специальной теории относительности является не просто сборником ответов, но всесторонним академическим руководством. Мы последовательно проанализировали фундаментальные постулаты Эйнштейна, углубились в математический аппарат преобразований Лоренца и γ-фактора, а затем применили эти основы для решения задач по релятивистской кинематике, объясняющих относительность времени и пространства. Особое внимание было уделено релятивистской динамике, которая зачастую остаётся «слепой зоной» в учебных материалах. Мы подробно разобрали зависимость массы от скорости, различные виды релятивистской энергии и, что особенно важно, методику расчёта отношения заряда к массе для движущихся частиц, а также феномен дефекта массы в ядерной физике, демонстрируя прямое и неоспоримое подтверждение принципа эквивалентности массы и энергии (E=mc²).

Ключевым выводом работы является подтверждение того, что Специальная теория относительности не является абстрактной концепцией, а представляет собой стройную, логически непротиворечивую и экспериментально подтверждённую теорию, которая точно описывает поведение материи и энергии при высоких скоростях. Каждый решённый пример подчеркивает, как классические законы Ньютона являются лишь частным случаем релятивистской механики, применимым при скоростях, значительно меньших скорости света.

Практическая значимость СТО простирается далеко за рамки теоретической физики. Она является основой для работы современных технологий, таких как ускорители частиц, где необходимо учитывать увеличение массы и замедление времени, и систем глобального позиционирования (GPS), где поправки на замедление времени спутниковых часов критически важны для точности определения координат, без которых системы GPS теряют свою точность за считанные минуты.

Для дальнейшего изучения студентам рекомендуется углубиться в релятивистскую электродинамику, которая рассматривает преобразования электромагнитного поля, а также изучить основы Общей теории относительности, которая распространяет принципы относительности на неинерциальные системы отсчета и гравитацию. Понимание СТО является обязательным шагом на пути к освоению более сложных разделов современной физики.

Общая теория относительности

Общая теория относительности (ОТО) — это дальнейшее развитие идей Эйнштейна, которое расширяет принципы относительности на неинерциальные системы отсчета и включает в себя гравитацию как искривление пространства-времени. ОТО является краеугольным камнем современной космологии, объясняя такие явления, как черные дыры, гравитационные волны и расширение Вселенной. Понимание СТО является необходимым фундаментом для изучения ОТО, так как последняя включает в себя СТО как частный случай при отсутствии гравитационных полей.

Список использованной литературы

1. Рымкевич, А. П. Физика. Задачник. 10–11 кл.: пособие для общеобразоват. учреждений. 10-е изд., стереотип. Москва : Дрофа, 2006. 188, [4] с.
2. Сложение скоростей в релятивистской механике. URL: https://mephi.ru
3. Релятивистская механика. Релятивистский импульс. Закон взаимосвязи массы и энергии. URL: https://eduspb.com
4. Релятивистский закон сложения скоростей. URL: https://obrazovaka.ru
5. Постулаты специальной теории относительности. Преобразования Лоренца. URL: https://studfile.net/preview/10531518/page:21/ (дата обращения: 06.10.2025).
6. ЗАКОНЫ СЛОЖЕНИЯ СКОРОСТЕЙ. URL: https://www.nkj.ru/archive/articles/2311/
7. фундаментальные физические постоянные. URL: https://newtonov.ru
8. Лоренца преобразования. URL: https://booksite.ru/fulltext/1/001/008/070/460.htm
9. Преобразования Лоренца. URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Преобразования_Лоренца
10. Формулы по СТО – релятивистская механика: длина, время, масса, энергия. URL: https://findh.org
11. Релятивистская динамика. URL: https://mathus.ru/phys/relativist.pdf
12. Релятивистская масса. URL: https://indigomath.ru/spravochnik/fizika/relyativistskaya-massa/
13. § 26. Элементы релятивистской динамики. Взаимосвязь массы и энергии. URL: https://adu.by/ru/uchyobnyj-protsess/uchebnye-predmety/fizika/7317-§-26-elementy-relyativistskoj-dinamiki-vzaimosvyaz-massy-i-energii.html
14. Справочник. Фундаментальные физические константы. URL: https://tpu.ru/f/25695/physics_fundamental_constants.pdf
15. Фундаментальные константы и тонкая настройка Вселенной. URL: https://festivalnauki.ru/lektsii/fundamentalnye-konstanty-i-tonkaya-nastroyka-vselennoy