Волновая оптика: Комплексный академический анализ и руководство по решению задач

Представьте себе мир, где свет не просто распространяется по прямой, а изгибается вокруг препятствий, создает радужные узоры на масляных пятнах и переливается в мыльных пузырях. Этот мир — царство волновой оптики, раздела физики, который раскрывает истинную, волновую природу света. И, хотя мы привыкли к прямолинейному распространению лучей, существует критическая граница, где классическая геометрическая оптика уступает место более глубоким, волновым законам. Эта граница, как мы увидим, определяется простым, но фундаментальным условием: когда размеры препятствий или апертур становятся соизмеримы с длиной световой волны или меньше ее, дифракционные явления выходят на первый план, требуя от нас иного, волнового подхода. **И что из этого следует?** А то, что игнорирование волновой природы света в таких условиях приведет к ошибочным предсказаниям и неверным инженерным расчетам, что делает глубокое понимание волновой оптики критически важным для разработки современных оптических систем.

Данное руководство призвано стать не просто сборником формул и примеров, но исчерпывающим академическим анализом волновой оптики. Мы углубимся в принципы, лежащие в основе интерференции, дифракции и других световых феноменов, вооружим вас математическим аппаратом и предоставим детализированные решения типовых задач, чтобы вы могли не просто «решать», но «понимать» каждый шаг. Наша цель — не только подготовить студентов технических и естественнонаучных специальностей к успешной сдаче контрольных работ, но и заложить прочный фундамент для глубокого изучения физики света.

Введение в волновую оптику: Законы и границы применимости

Погружение в волновую оптику начинается с осознания того, что свет — это не просто поток частиц, а сложное волновое явление. Именно волновая природа света лежит в основе таких завораживающих феноменов, как интерференция и дифракция, которые невозможно объяснить, оставаясь в рамках классической геометрической оптики. Этот раздел станет отправной точкой, где мы обозначим ключевые понятия и проследим эволюцию фундаментальных принципов, которые управляют поведением света.

Волновая природа света и ее проявления

Волновая оптика, также известная как физическая оптика, представляет собой ключевой раздел физики, посвященный изучению тех явлений света, которые могут быть объяснены исключительно с позиций волновой теории. К таким явлениям относятся, прежде всего, интерференция, дифракция, поляризация и дисперсия. Каждое из них является уникальным проявлением волновых свойств света:

• Интерференция света — это феномен перераспределения интенсивности светового потока при наложении двух или нескольких когерентных волн, приводящий к образованию устойчивой картины из чередующихся максимумов (усиления света) и минимумов (ослабления, вплоть до полной темноты). Это явление можно наблюдать, например, в тонких пленках мыльных пузырей или на поверхности масляных пятен, где возникают характерные радужные узоры.
• Дифракция света — это совокупность явлений, проявляющихся в отклонении света от прямолинейного распространения при прохождении через малые отверстия, вблизи острых краев препятствий или оптических неоднородностей. По сути, дифракция — это огибание светом препятствий, и именно она объясняет, почему тени от объектов не имеют идеально резких границ, а свет может проникать в область «геометрической тени».
• Поляризация света — это явление, характеризующее упорядоченность колебаний векторов напряженности электрического поля световой волны в плоскости, перпендикулярной направлению ее распространения. В естественном свете колебания происходят по всем направлениям, но при прохождении через определенные среды или при отражении свет может стать поляризованным, то есть его колебания будут происходить преимущественно в одной плоскости.
• Дисперсия света — это зависимость показателя преломления среды от длины волны (или частоты) света, что приводит к разложению белого света в спектр при прохождении через призму.

Эти явления фундаментально отличаются от тех, что описываются геометрической оптикой, которая оперирует понятиями световых лучей, распространяющихся строго прямолинейно. Понимание волновой природы света стало одним из величайших достижений физики, открыв путь к современным оптическим технологиям.

Принцип Гюйгенса-Френеля: От истоков до современного понимания

История развития волновой оптики тесно связана с именами двух выдающихся ученых — Христиана Гюйгенса и Огюстена Жана Френеля, чей совместный принцип является краеугольным камнем для понимания как прямолинейного распространения света, так и сложных дифракционных явлений.

В 1678 году Христиан Гюйгенс сформулировал свой знаменитый принцип, который стал первой попыткой описать распространение света с волновой точки зрения. Согласно принципу Гюйгенса, каждая точка, до которой доходит световое возмущение (то есть каждая точка волнового фронта), может рассматриваться как источник вторичных сферических волн. Новый волновой фронт в следующий момент времени является огибающей этих вторичных волн. Этот принцип успешно объяснял законы отражения и преломления света, а также его прямолинейное распространение в однородной среде. Однако в своем первоначальном виде принцип Гюйгенса не мог удовлетворительно объяснить явление дифракции — отклонение света от прямолинейного пути при прохождении через малые отверстия или вблизи препятствий. Он также не мог объяснить, почему вторичные волны не распространяются в обратном направлении.

Проблема дифракции оставалась нерешенной до начала XIX века, когда Огюстен Жан Френель в 1815 году блестяще дополнил принцип Гюйгенса, внеся в него идею интерференции. Френель предположил, что результирующее световое поле в любой точке пространства определяется не просто огибающей вторичных волн, а их интерференцией. То есть, каждая точка волнового фронта действительно порождает вторичные сферические волны, но эти волны когерентны друг другу и способны интерферировать, взаимно усиливаясь или ослабляясь.

Таким образом, принцип Гюйгенса-Френеля формулируется следующим образом: каждая точка волнового фронта может рассматриваться как центр вторичного возмущения, порождающего вторичные сферические волны, а результирующее световое поле в каждой точке пространства определяется суперпозицией (интерференцией) этих волн, приходящих из всех вторичных источников.

Именно это дополнение о когерентности и интерференции элементарных волн позволило Френелю объяснить сложные дифракционные картины, которые ранее оставались загадкой. Принцип Гюйгенса-Френеля стал мощным инструментом для анализа распространения света в различных условиях, особенно при наличии препятствий и апертур, размеры которых сопоставимы с длиной волны. **Какой важный нюанс здесь упускается?** Зачастую недооценивается, что этот принцип является фундаментальным мостом между геометрической и волновой оптикой, демонстрируя, как кажущиеся противоречия в физике могут быть разрешены путем более глубокого анализа.

Границы применимости геометрической оптики

Принцип Гюйгенса-Френеля не только описывает волновую природу света, но и четко очерчивает границы применимости геометрической оптики. Геометрическая оптика, с ее простыми и интуитивно понятными законами (прямолинейное распространение света, законы отражения и преломления, формулы линз и зеркал), является чрезвычайно удобным инструментом для решения многих практических задач. Однако ее применимость не является универсальной.

Ключевой критерий применимости геометрической оптики: законы геометрической оптики применимы достаточно точно, когда размеры препятствий или отверстий на пути распространения света много больше длины световой волны (D ≫ λ). В таких условиях дифракционные явления настолько незначительны, что ими можно пренебречь, и свет ведет себя практически как прямолинейно распространяющиеся лучи.

Однако, как только размеры препятствий или апертур (например, щелей, отверстий) становятся соизмеримы с длиной волны света или даже меньше нее, дифракционные эффекты становятся доминирующими. Свет перестает распространяться строго прямолинейно, начинает «огибать» препятствия, и тени перестают быть резкими. В этих случаях для адекватного описания поведения света необходимо использовать волновую оптику и принцип Гюйгенса-Френеля.

Таблица 1: Границы применимости геометрической и волновой оптики

Критерий	Размеры препятствия D относительно длины волны λ	Типичное поведение света	Применимый раздел оптики
Геометрическая оптика	D ≫ λ (много больше)	Свет распространяется прямолинейно, образуя резкие тени. Явления отражения и преломления.	Геометрическая оптика
Волновая оптика	D ≈ λ (соизмеримы) или D < λ (меньше)	Свет огибает препятствия (дифракция), наблюдаются интерференционные картины. Тени становятся размытыми.	Волновая оптика

Пример задачи: Определение условий, при которых наблюдается отклонение света от законов геометрической оптики.

Задача: Определите, при каких условиях свет с длиной волны λ = 500 нм (зеленый свет) будет заметно отклоняться от прямолинейного распространения при прохождении через отверстие, если размеры отверстия составляют: а) 1 мм; б) 0.5 мкм.

Решение:
Для определения условий отклонения света от законов геометрической оптики необходимо сравнить размер отверстия (D) с длиной волны света (λ). Заметное отклонение происходит, когда D становится соизмеримым с λ или меньше ее.

Дано:
λ = 500 нм = 500 × 10^-9 м = 0.5 × 10^-6 м = 0.5 мкм.

а) Размер отверстия D = 1 мм = 1 × 10^-3 м = 1000 мкм.
Сравним D и λ:
D / λ = 1000 мкм / 0.5 мкм = 2000.
В данном случае D = 2000λ, то есть размер отверстия значительно (в 2000 раз) больше длины волны. Следовательно, здесь будут хорошо применимы законы геометрической оптики, и отклонение света (дифракция) будет крайне незначительным и незаметным невооруженным глазом.

б) Размер отверстия D = 0.5 мкм.
Сравним D и λ:
D / λ = 0.5 мкм / 0.5 мкм = 1.
В этом случае D = λ, то есть размер отверстия соизмерим с длиной волны света. При таком условии дифракционные явления станут очень заметными. Свет будет значительно отклоняться от прямолинейного распространения, и в центре картины может наблюдаться как светлое, так и темное пятно в зависимости от точного размера отверстия и расстояния до экрана.

Вывод: Заметное отклонение света от законов геометрической оптики будет наблюдаться в случае б), когда размер отверстия соизмерим с длиной волны света. В случае а) преобладает прямолинейное распространение, описываемое геометрической оптикой.

Когерентность света: Условия наблюдения интерференции

Если волновая оптика — это язык, на котором свет рассказывает о себе, то когерентность — это грамматика этого языка. Без нее невозможно понять, почему свет в одних случаях создает завораживающие узоры интерференции, а в других просто складывается, не образуя устойчивой картины. В этом разделе мы углубимся в понятие когерентности, разберем ее виды и количественные характеристики, которые определяют, насколько «слаженно» взаимодействуют световые волны.

Временная когерентность и монохроматичность

Когерентные волны — это волны, разность фаз которых остается постоянной во времени, и которые имеют одинаковую длину волны (частоту). Это фундаментальное условие для наблюдения устойчивой интерференционной картины. Однако в реальном мире абсолютно когерентных волн не существует. Любой реальный источник света излучает волны не строго одной частоты, а в некотором диапазоне частот, что приводит к явлению, называемому временной когерентностью.

Временная когерентность описывает степень монохроматичности световой волны и ее способность сохранять постоянную фазу в течение определенного времени. Эта способность количественно характеризуется двумя взаимосвязанными параметрами: временем когерентности (τ_к) и длиной когерентности (l_к).

• Время когерентности (τ_к): Это максимальная разность времен прихода волн в данную точку пространства, при которой еще наблюдается устойчивая интерференционная картина. По сути, это среднее время, в течение которого фаза волны остается предсказуемой и стабильной.
• Длина когерентности (l_к): Это максимальная оптическая разность хода, при которой еще наблюдается устойчивая интерференционная картина. Она представляет собой расстояние, на котором волна сохраняет свою когерентность.

Эти две величины тесно связаны простой формулой:

lк = c ⋅ τк

где c — скорость света в вакууме (приблизительно 3 × 10⁸ м/с).

Время когерентности, в свою очередь, обратно пропорционально спектральной ширине излучения Δν. Чем уже спектр излучения (то есть, чем ближе свет к монохроматическому), тем больше время когерентности и, соответственно, длина когерентности. Эта зависимость выражается приближенным соотношением:

τк ≈ 1 / Δν

где Δν — спектральная ширина излучения (диапазон частот).

Влияние спектральной ширины:

• Широкий спектр (большое Δν): У обычных источников света (например, ламп накаливания) спектр очень широкий. Это приводит к малому времени когерентности (порядка 10^-10 с) и, следовательно, очень малой длине когерентности (порядка нескольких микрометров). Интерференционная картина от таких источников быстро «размывается» и становится ненаблюдаемой при малейшей разности хода.
• Узкий спектр (малое Δν): Для обычных газоразрядных ламп (например, ртутных ламп низкого давления) длина когерентности составляет порядка нескольких миллиметров. Лазеры, благодаря своим уникальным свойствам (стимулированное излучение), обладают чрезвычайно узким спектром и могут иметь длину когерентности, достигающую нескольких километров (например, для ИК лазерных диодов длина когерентности может превышать 1 метр). Именно поэтому лазеры являются идеальными источниками для демонстрации и изучения интерференционных и дифракционных явлений.

Пример задачи: Расчет длины когерентности для различных источников света.

Задача: Рассчитайте длину когерентности для двух источников света: а) ртутной лампы с полосой излучения Δλ = 0.1 нм вокруг центральной длины волны λ₀ = 546.1 нм; б) гелий-неонового лазера с шириной спектра Δν = 1.5 ГГц.

Решение:

а) Для ртутной лампы:
Дано: λ₀ = 546.1 нм = 546.1 × 10^-9 м, Δλ = 0.1 нм = 0.1 × 10^-9 м.
Скорость света c ≈ 3 × 10⁸ м/с.

Сначала найдем спектральную ширину по частоте Δν. Мы знаем, что c = λν, отсюда ν = c/λ.
Δν ≈ c · Δλ / λ₀² (поскольку dν = -c/λ² dλ, мы берем абсолютное значение для ширины).
Δν ≈ (3 × 10⁸ м/с · 0.1 × 10^-9 м) / (546.1 × 10^-9 м)²
Δν ≈ (0.3) / (298223.21 × 10^-18) Гц
Δν ≈ 1.006 × 10¹² Гц = 1006 ГГц.

Теперь рассчитаем время когерентности:
τ_к ≈ 1 / Δν = 1 / (1.006 × 10¹² Гц) ≈ 0.994 × 10^-12 с.

И, наконец, длину когерентности:
l_к = c · τ_к ≈ 3 × 10⁸ м/с · 0.994 × 10^-12 с ≈ 2.982 × 10^-4 м ≈ 0.298 мм.

б) Для гелий-неонового лазера:
Дано: Δν = 1.5 ГГц = 1.5 × 10⁹ Гц.
Скорость света c ≈ 3 × 10⁸ м/с.

Время когерентности:
τ_к ≈ 1 / Δν = 1 / (1.5 × 10⁹ Гц) ≈ 0.667 × 10^-9 с.

Длина когерентности:
l_к = c · τ_к ≈ 3 × 10⁸ м/с · 0.667 × 10^-9 с ≈ 0.200 м = 20 см.

Вывод: Длина когерентности ртутной лампы составляет примерно 0.3 мм, что очень мало и требует минимальной разности хода для наблюдения интерференции. Длина когерентности гелий-неонового лазера значительно больше — около 20 см, что позволяет наблюдать устойчивую интерференционную картину при гораздо больших разностях хода. Этот пример наглядно демонстрирует, почему лазеры незаменимы в интерференционных экспериментах.

Пространственная когерентность: Угловой размер источника

Помимо временной когерентности, существует также пространственная когерентность, которая описывает когерентные свойства световых волн в плоскости, перпендикулярной направлению их распространения. Она определяет, насколько «широко» источник может излучать когерентные волны, или, иными словами, насколько велика область в пространстве, где две точки могут считаться когерентными.

Пространственная когерентность источника света напрямую зависит от его углового размера. Чем меньше угловой размер источника света, тем выше его пространственная когерентность. Если источник света имеет большой угловой размер, то различные его точки будут излучать некогерентные волны, и даже если эти волны обладают высокой временной когерентностью, интерференционная картина, создаваемая ими, будет смазана или полностью отсутствовать.

Количественно пространственная когерентность характеризуется радиусом пространственной когерентности (r_к). Это максимальное расстояние между двумя точками в плоскости, перпендикулярной направлению распространения света, при котором волны, приходящие от удаленного источника в эти точки, все еще остаются когерентными.

Приближенное соотношение для радиуса пространственной когерентности:

rк ≈ λ / α

где:

• λ — длина волны света.
• α — угловой размер источника света (например, диаметр источника, деленный на расстояние до него).

Физический смысл:
Представьте себе две щели в опыте Юнга. Для наблюдения четкой интерференционной картины свет, приходящий на эти щели, должен быть пространственно когерентным. Если угловой размер источника слишком велик, то на каждую из щелей будет приходить свет от разных, некогерентных частей источника, что приведет к наложению множества некогерентных интерференционных картин и, как следствие, к размыванию или полному исчезновению наблюдаемой картины. Поэтому, для обеспечения высокой пространственной когерентности, в интерференционных экспериментах часто используют точечные источники света или очень узкие щели, расположенные перед основным источником.

Пример задачи: Определение максимального расстояния между щелями в опыте Юнга для наблюдения интерференции.

Задача: В опыте Юнга используется источник света с длиной волны λ = 600 нм. Угловой размер этого источника, наблюдаемого из плоскости щелей, составляет α = 0.001 радиан. Определите максимальное расстояние между двумя щелями (d_max), при котором еще можно наблюдать отчетливую интерференционную картину.

Решение:
Для наблюдения отчетливой интерференционной картины расстояние между щелями (d) должно быть меньше или равно радиусу пространственной когерентности (r_к). Таким образом, максимальное расстояние между щелями будет равно радиусу пространственной когерентности.

Дано:
λ = 600 нм = 600 × 10^-9 м.
α = 0.001 рад.

Формула для радиуса пространственной когерентности:
rк ≈ λ / α

Подставляем значения:
r_к ≈ (600 × 10^-9 м) / 0.001 рад
r_к ≈ 600 × 10^-6 м = 0.6 × 10^-3 м = 0.6 мм.

Следовательно, максимальное расстояние между щелями, при котором еще можно наблюдать отчетливую интерференционную картину, составляет d_max ≈ 0.6 мм.

Вывод: Если расстояние между щелями превысит 0.6 мм, интерференционная картина станет невидимой или очень слабо выраженной из-за недостаточной пространственной когерентности источника света. Это подчеркивает важность использования точечных или близких к ним источников света в интерференционных экспериментах.

Интерференция света: Теория, схемы и расчеты

Явление интерференции света, пожалуй, одно из самых красивых и интуитивно понятных проявлений волновой природы света. Именно оно позволяет нам увидеть, как свет, казалось бы, складываясь, может создавать не только усиление яркости, но и полную темноту. В этом разделе мы разберем условия, при которых это происходит, углубимся в детали интерференции в тонких пленках, включая знаменитые кольца Ньютона, и рассмотрим классические экспериментальные схемы, которые сделали возможным изучение этого феномена.

Условия максимумов и минимумов интерференции

Интерференция света — это явление взаимного усиления или ослабления света (вплоть до полной темноты) при наложении двух (или нескольких) когерентных волн, в результате которого в различных точках пространства наблюдается перераспределение интенсивности. Ключевым понятием здесь является оптическая разность хода (Δ).

Оптическая разность хода — это разность оптических длин путей двух световых лучей, пришедших в точку наблюдения. Оптическая длина пути в среде с показателем преломления n для геометрической длины d определяется как nd. Таким образом, оптическая разность хода учитывает не только геометрическую разность расстояний, но и изменение скорости света в различных средах. Разность хода Δd между двумя волнами, пришедшими в точку наблюдения, и разность фаз Δφ связаны соотношением:

Δφ = (2π/λ) ⋅ Δd

где λ — длина волны света.

Условия для наблюдения максимумов и минимумов интерференции формулируются на основе этой разности фаз:

1. Условие максимума интерференции (усиления света):
   Усиление света происходит тогда, когда волны приходят в точку наблюдения в фазе, то есть разность фаз кратна 2π. Это соответствует оптической разности хода, равной целому числу длин волн (или чётному числу полуволн):

   Δ = kλ

   где k = 0, 1, 2, 3, … — порядок максимума.
   При выполнении этого условия амплитуды волн складываются, и интенсивность света достигает максимального значения.

2. Условие минимума интерференции (ослабления света):
   Ослабление света (вплоть до полной темноты, если амплитуды волн равны) происходит тогда, когда волны приходят в точку наблюдения в противофазе, то есть разность фаз равна нечётному числу π. Это соответствует оптической разности хода, равной нечётному числу полуволн:

   Δ = (2k + 1) ⋅ (λ/2)

   где k = 0, 1, 2, 3, … — порядок минимума.
   При выполнении этого условия амплитуды волн вычитаются, и интенсивность света достигает минимального значения.

Пример задачи: Расчет результата интерференции в зависимости от разности хода и длины волны.

Задача: В некоторую точку пространства приходят две когерентные световые волны с длиной волны λ = 550 нм. Определите, какой результат интерференции (максимум или минимум, и какого порядка) будет наблюдаться в этой точке, если оптическая разность хода между волнами составляет: а) 1.65 мкм; б) 2.2 мкм.

Решение:
Для определения результата интерференции сравним оптическую разность хода Δ с условиями максимумов и минимумов.

Дано:
λ = 550 нм = 0.55 × 10^-6 м.

а) Оптическая разность хода Δ = 1.65 мкм = 1.65 × 10^-6 м.
Разделим Δ на λ, чтобы определить, сколько длин волн укладывается в разности хода:
Δ / λ = (1.65 × 10^-6 м) / (0.55 × 10^-6 м) = 3.

Поскольку Δ = 3λ, что соответствует целому числу длин волн, в этой точке будет наблюдаться максимум интерференции 3-го порядка (k = 3).

б) Оптическая разность хода Δ = 2.2 мкм = 2.2 × 10^-6 м.
Разделим Δ на λ/2, чтобы определить, сколько полуволн укладывается в разности хода:
Δ / (λ/2) = (2.2 × 10^-6 м) / (0.55 × 10^-6 м / 2) = (2.2 × 10^-6 м) / (0.275 × 10^-6 м) = 8.

Поскольку Δ = 8 × (λ/2), что соответствует чётному числу полуволн, это также условие максимума. Чтобы использовать формулу Δ = kλ, поделим 8 на 2, получим k = 4.
Итак, в этой точке будет наблюдаться максимум интерференции 4-го порядка (k = 4).

Проверка для минимума: Если бы Δ / (λ/2) было нечётным числом, например 7, то это был бы минимум. В этом случае 2k + 1 = 7, откуда 2k = 6, k = 3. Это был бы минимум 3-го порядка.

Вывод: В первом случае (Δ = 1.65 мкм) наблюдается максимум 3-го порядка, во втором случае (Δ = 2.2 мкм) — максимум 4-го порядка. Этот пример показывает, как оптическая разность хода определяет характер интерференционной картины.

Интерференция в тонких пленках: Кольца Ньютона и пленки

Интерференция в тонких пленках — это одно из самых распространенных и наглядных проявлений волновой оптики, объясняющее радужное окрашивание мыльных пузырей, масляных пятен на воде и цветов побежалости на металлах. Суть явления заключается в интерференции световых волн, отраженных от верхней и нижней поверхностей тонкой пленки.

Особенности интерференции в тонких пленках:

1. Оптическая разность хода: Она формируется не только за счет геометрической разницы путей, но и за счет многократных отражений и преломлений света в пленке. Для наклонно падающего света оптическая разность хода Δd ≈ 2nh cosβ, где n — показатель преломления пленки, h — ее толщина, а β — угол преломления света в пленке. Для нормального падения (β ≈ 0) формула упрощается до Δd ≈ 2nh.
2. Сдвиг фазы при отражении: При отражении света от оптически более плотной среды (то есть среды с бóльшим показателем преломления) происходит сдвиг фазы на π радиан, что эквивалентно изменению оптической разности хода на λ/2. Этот сдвиг фазы критически важен при формулировании условий максимумов и минимумов.

Рассмотрим пленку толщиной h с показателем преломления n, расположенную между двумя средами с показателями преломления n₁ и n₂. Предположим, что n₁ < n и n < n₂. Тогда свет, падающий из среды n₁ на пленку, будет отражаться от верхней границы пленки (воздух-пленка) без сдвига фазы, а свет, проникающий в пленку и отражающийся от нижней границы (пленка-среда n₂), будет испытывать сдвиг фазы на π, поскольку n < n₂.

Условия интерференции в отраженном свете (с учетом потери полуволны):

• Условие максимального усиления: Если один из лучей теряет полуволну, то для усиления света оптическая разность хода должна быть равна нечётному числу полуволн:

  2nh cosβ = (2k + 1) ⋅ (λ/2)

  где k = 0, 1, 2, 3, …

• Условие минимального ослабления: Для ослабления света оптическая разность хода должна быть равна чётному числу полуволн (или целому числу длин волн):

  2nh cosβ = kλ

  где k = 0, 1, 2, 3, …

Аналогичные условия можно вывести и для проходящего света, но там сдвиги фаз происходят по-другому.

Кольца Ньютона

Кольца Ньютона — это классический пример интерференции в тонких пленках с переменной толщиной. Они представляют собой концентрические чередующиеся светлые и тёмные кольца, возникающие в тонкой воздушной прослойке между плоской стеклянной пластиной и выпуклой сферической линзой (с большим радиусом кривизны R).

Воздушный зазор между линзой и пластиной имеет переменную толщину h, которая увеличивается от центра к периферии. В центре, где линза почти касается пластины, h ≈ 0.

При отражении от верхней поверхности линзы (воздух-стекло) сдвига фазы нет (если свет падает из воздуха на более плотное стекло). При отражении от нижней поверхности воздушного клина (стекло-воздух) сдвига фазы также нет (потому что воздух менее плотен, чем стекло). Однако, если свет падает из воздуха, отражается от нижней поверхности линзы, затем проходит через воздушный клин, отражается от плоской поверхности (воздух-стекло), то именно при отражении от плоской поверхности происходит потеря полуволны, так как свет переходит из оптически менее плотной среды (воздух) в оптически более плотную (стекло).

Учитывая этот сдвиг фазы на λ/2:

• Радиусы тёмных колец Ньютона (в отражённом свете):
  Минимум наблюдается, когда оптическая разность хода (2h) равна целому числу длин волн (после учета сдвига фазы).

  2h = kλ

  Для малых h (вблизи центра) толщина воздушной прослойки h связана с радиусом r кольца и радиусом кривизны линзы R соотношением: r² ≈ 2hR. Отсюда h = r² / (2R).
  Подставляя h в условие минимума:

  2 ⋅ (rk2 / (2R)) = kλ

  rk2 / R = kλ

  rk = √(kRλ)

  где k = 0, 1, 2, 3, … (k=0 соответствует темному пятну в центре).
  Если среда между линзой и пластиной имеет показатель преломления n, то формула принимает вид:

  rk = √(kRλ/n)

• Радиусы светлых колец Ньютона (в отражённом свете):
  Максимум наблюдается, когда оптическая разность хода равна нечётному числу полуволн (после учета сдвига фазы):

  2h = (2k + 1) ⋅ (λ/2)

  Подставляя h:

  2 ⋅ (rk2 / (2R)) = (2k + 1) ⋅ (λ/2)

  rk2 / R = (2k + 1) ⋅ (λ/2)

  rk = √((k + 1/2)Rλ)

  где k = 0, 1, 2, 3, …
  Если среда между линзой и пластиной имеет показатель преломления n:

  rk = √(((2k + 1)/2)Rλ/n) = √((k + 1/2)Rλ/n)

Пример задачи: Расчет толщины пленки или радиуса колец Ньютона.

Задача: Между плоской стеклянной пластиной и сферической линзой с радиусом кривизны R = 2 м находится воздушный зазор. На систему нормально падает монохроматический свет с длиной волны λ = 589 нм. Определите радиус третьего темного кольца Ньютона в отраженном свете.

Решение:
Для расчета радиуса темных колец Ньютона в отраженном свете используется формула:
rk = √(kRλ/n)

Дано:
Радиус кривизны линзы R = 2 м.
Длина волны λ = 589 нм = 589 × 10^-9 м.
Номер кольца k = 3 (третье темное кольцо).
Среда между линзой и пластиной — воздух, поэтому показатель преломления n = 1.

Подставляем значения в формулу:
r₃ = √(3 × 2 м × 589 × 10^-9 м / 1)
r₃ = √(6 × 589 × 10^-9) м
r₃ = √(3534 × 10^-9) м
r₃ = √(3.534 × 10^-6) м
r₃ ≈ 1.880 × 10^-3 м ≈ 1.88 мм.

Вывод: Радиус третьего темного кольца Ньютона составляет примерно 1.88 мм. Этот расчет демонстрирует, как параметры оптической системы и длина волны света влияют на размеры интерференционной картины.

Классические интерференционные схемы (бизеркала Френеля, бипризмы Френеля, зеркало Ллойда)

Помимо интерференции в тонких пленках, существует ряд классических экспериментальных схем, которые исторически сыграли ключевую роль в демонстрации волновой природы света и продолжают использоваться для изучения интерференционных явлений. Эти схемы, в отличие от опыта Юнга с двумя щелями, используют метод разделения волны от одного источника на две части, которые затем накладываются друг на друга.

1. Бизеркала Френеля:
   • Принцип: Установка состоит из двух плоских зеркал, расположенных под очень малым углом друг к другу (близким к 180°, например, 179°). Точечный источник света S располагается перед этими зеркалами.
   • Оптические особенности: Свет от источника S отражается от каждого зеркала, создавая два мнимых когерентных источника S₁ и S₂, расположенных симметрично относительно продолжений плоскостей зеркал. Эти два мнимых источника находятся очень близко друг к другу и являются когерентными, так как фактически они порождены одним и тем же реальным источником.
   • Интерференционная картина: На экране, расположенном за зеркалами, наблюдается интерференционная картина в виде чередующихся светлых и тёмных полос, аналогичная картине от двух щелей Юнга. Расстояние между полосами зависит от расстояния между мнимыми источниками, длины волны света и расстояния до экрана.
   • Преимущества: Позволяет получить высококонтрастную интерференционную картину, поскольку мнимые источники S₁ и S₂ являются истинно когерентными.
2. Бипризма Френеля:
   • Принцип: Бипризма Френеля представляет собой две призмы с очень малым преломляющим углом (доли градуса), соединенные основаниями. Точечный источник света S располагается перед бипризмой.
   • Оптические особенности: Свет от источника S, проходя через две части бипризмы, преломляется. Из-за малых преломляющих углов создаются два мнимых когерентных источника S₁ и S₂, расположенных близко друг к другу, но уже не в плоскости источника, а несколько смещенных. Эти источники, как и в случае с бизеркалами, порождены одним реальным источником и когерентны.
   • Интерференционная картина: На экране за бипризмой наблюдается интерференционная картина из чередующихся светлых и тёмных полос.
   • Преимущества: Схожа с бизеркалами по принципу получения когерентных источников, но является прозрачной оптической системой.
3. Зеркало Ллойда:
   • Принцип: Это один из самых простых способов получения интерференционной картины. Он использует один реальный точечный источник света S и его мнимое изображение S’, образованное отражением от плоского зеркала, расположенного почти параллельно направлению распространения света.
   • Оптические особенности: Свет, идущий напрямую от источника S, и свет, отраженный от зеркала (который кажется идущим от мнимого источника S’), интерферируют. Важно отметить, что при отражении от оптически более плотной среды (зеркала) происходит сдвиг фазы на π, что эквивалентно потере полуволны. Это приводит к тому, что в центре интерференционной картины (там, где оптическая разность хода должна быть минимальной) наблюдается не светлая, а темная полоса.
   • Интерференционная картина: На экране наблюдается картина из полос, но центральная полоса (соответствующая нулевой разности хода) будет темной.
   • Преимущества: Простота конструкции. Позволяет наглядно продемонстрировать влияние сдвига фазы при отражении на интерференционную картину.

Эти схемы являются классическими примерами реализации принципа суперпозиции когерентных волн и обеспечивают платформу для изучения различных аспектов интерференции света.

Дифракция света: Принципы, метод зон Френеля и расчеты

Дифракция света — это явление, которое бросает вызов нашей интуитивной картине прямолинейно распространяющихся лучей. Когда свет огибает препятствия, он демонстрирует свою истинную волновую природу. В этом разделе мы углубимся в тонкости дифракции, разберем мощный метод зон Френеля, который позволяет объяснить сло��ные дифракционные картины, и проведем четкое различие между дифракцией Френеля и Фраунгофера, опираясь на количественные критерии.

Метод зон Френеля: Детальный анализ

Дифракция света — это совокупность явлений, обусловленных волновой природой света и наблюдаемых при его распространении в среде с резко выраженной оптической неоднородностью (например, при прохождении через отверстия в экранах или вблизи границ непрозрачных тел), проявляющаяся в отклонении света от законов геометрической оптики. Для ее объяснения используется принцип Гюйгенса-Френеля, который постулирует, что каждая точка волнового фронта является источником вторичных когерентных волн, интерференция которых и формирует результирующее световое поле.

Метод зон Френеля — это гениальный математический прием, разработанный Френелем для расчета амплитуды световой волны в произвольной точке наблюдения (P) за препятствием или отверстием. Суть метода заключается в следующем:

1. Разбиение волнового фронта: Волновой фронт (например, сферический или плоский), достигающий препятствия, разбивается на кольцевые области, называемые зонами Френеля.
2. Геометрический принцип зон: Зоны Френеля строятся таким образом, что расстояния от краёв соседних зон до точки наблюдения P отличаются на половину длины волны (λ/2). То есть, если от центральной зоны (первой) до точки P расстояние b, то от края второй зоны до P расстояние b + λ/2, от края третьей — b + 2λ/2, и так далее. От края m-й зоны до точки P расстояние будет b + (m-1)λ/2, а от края (m+1)-й зоны — b + mλ/2.
3. Интерференция вторичных волн: Вторичные волны, излучаемые от двух соседних зон Френеля, приходят в точку наблюдения P в противофазе. Это означает, что они взаимно ослабляют друг друга при интерференции. Если бы амплитуды от всех зон были одинаковыми, то каждая пара соседних зон полностью бы компенсировала друг друга.

Почему площади зон Френеля примерно одинаковы для не очень больших номеров?

Радиус m-й зоны Френеля (r_m) для плоского волнового фронта, падающего на экран, и точки наблюдения на расстоянии b от экрана, определяется соотношением:

rm2 = mλb + m2(λ/2)2

Для малых m и при условии, что mλ << b, вторым слагаемым можно пренебречь, и тогда:

rm ≈ √(mλb)

Площадь m-й зоны Френеля (S_m) представляет собой разность площадей кругов радиусов r_m и r_m-1:

Sm = πrm2 - πrm-12 = π[mλb - (m-1)λb] = πλb

Таким образом, для не очень больших номеров m, площади зон Френеля действительно являются приблизительно одинаковыми и равны πλb. Это приближение справедливо при малых углах между нормалью к зоне и направлением на точку наблюдения.

Почему амплитуда результирующего колебания от зоны уменьшается с ростом номера зоны?

Несмотря на примерно равные площади, вклад каждой последующей зоны Френеля в результирующую амплитуду в точке наблюдения P уменьшается с ростом номера зоны (m). Это обусловлено двумя основными причинами:

1. Увеличение расстояния: По мере увеличения номера зоны, увеличивается и расстояние от этой зоны до точки наблюдения P. Амплитуда сферической волны обратно пропорциональна расстоянию от источника, поэтому вторичные волны от более удаленных зон приносят меньший вклад.
2. Фактор наклона Френеля: Поток энергии, излучаемый вторичным источником, не является изотропным. Он уменьшается с увеличением угла между нормалью к элементу волнового фронта (источнику вторичных волн) и направлением на точку наблюдения. Для зон с большими номерами этот угол становится больше, что приводит к дальнейшему уменьшению амплитуды вторичных волн, приходящих в точку наблюдения.

Благодаря этим факторам, несмотря на почти равные площади, вклад каждой последующей зоны Френеля становится все меньше. Результирующая амплитуда в точке P является суммой амплитуд от всех открытых зон, причем амплитуды от соседних зон складываются в противофазе. Если в отверстии укладывается нечетное число зон, в центре будет наблюдаться светлое пятно; если четное — темное.

Пример задачи: Определение числа зон Френеля, укладывающихся в отверстии.

Задача: Плоская монохроматическая световая волна с длиной волны λ = 500 нм падает на круглое отверстие радиусом ρ = 1 мм. На расстоянии z = 2 м за отверстием расположен экран. Определите число зон Френеля, которые укладываются в этом отверстии.

Решение:
Радиус m-й зоны Френеля r_m для плоской волны, падающей на отверстие, и экрана на расстоянии z определяется как:
rm = √(mλz)

Мы хотим найти номер зоны m, радиус которой равен радиусу отверстия ρ. То есть, r_m = ρ.
ρ = √(mλz)

Возведем обе части в квадрат:
ρ2 = mλz

Выразим m:
m = ρ2 / (λz)

Дано:
λ = 500 нм = 500 × 10^-9 м.
ρ = 1 мм = 1 × 10^-3 м.
z = 2 м.

Подставляем значения:
m = (1 × 10^-3 м)² / (500 × 10^-9 м × 2 м)
m = (1 × 10^-6 м²) / (1000 × 10^-9 м²)
m = (1 × 10^-6) / (1 × 10^-6) = 1.

Вывод: В данном отверстии укладывается ровно одна зона Френеля. Так как число зон нечетное (m=1), в центре экрана будет наблюдаться светлое пятно.

Дифракция Френеля и Фраунгофера: Количественные критерии

В зависимости от взаимного расположения источника света, дифракционного элемента (отверстия или препятствия) и точки наблюдения, различают два основных типа дифракции: дифракцию Френеля и дифракцию Фраунгофера. Это деление не является абсолютно строгим, а скорее описывает два предельных случая.

1. Дифракция Френеля (дифракция в ближней зоне):
   • Условия: Наблюдается, когда источник света и точка наблюдения находятся на конечных, относительно небольших расстояниях от дифракционного препятствия или отверстия. При этом волны, приходящие от источника к препятствию и от препятствия к точке наблюдения, можно считать сферическими.
   • Характеристики: Дифракционная картина сильно зависит от расстояний до источника и экрана. В отверстии или на препятствии укладывается несколько (или много) зон Френеля.
   • Пример: Дифракция на круглом отверстии или диске, прямолинейном крае.
2. Дифракция Фраунгофера (дифракция в дальней зоне):
   • Условия: Наблюдается, когда источник света и точка наблюдения находятся на бесконечно больших расстояниях от дифракционного препятствия, или, что эквивалентно, когда они помещены в фокусы линз, которые коллимируют свет в параллельный пучок перед препятствием и фокусируют его на экран после препятствия. В этом случае на препятствие падает плоская волна, и вторичные волны от препятствия также распространяются практически параллельными пучками.
   • Характеристики: Дифракционная картина не зависит от расстояния до экрана (точнее, она формируется в фокальной плоскости линзы). В дифракционном отверстии укладывается значительно меньше одной зоны Френеля.
   • Пример: Дифракция на одной щели, дифракционной решетке.

Количественный критерий: Число Френеля (F)

Для четкого разграничения дифракции Френеля и Фраунгофера используется число Френеля (F). Оно является безразмерной величиной, которая связывает характерный размер апертуры (или препятствия), расстояние до плоскости наблюдения и длину волны света.

F = ρ2 / (zλ)

где:

• ρ — характерный размер отверстия или препятствия (например, радиус круглого отверстия или половина ширины щели).
• z — расстояние от отверстия (препятствия) до плоскости наблюдения.
• λ — длина волны света.

Интерпретация числа Френеля:

• F « 1 (много меньше единицы): В этом случае дифракция относится к типу Фраунгофера. Это означает, что в отверстии укладывается заметно меньше одной зоны Френеля, и волны распространяются практически параллельными пучками.
• F ≥ 1 (больше или равно единице): В этом случае наблюдается дифракция Френеля. В отверстии укладывается одна или несколько зон Френеля, и сферичность волнового фронта существенно влияет на дифракционную картину.

Пример задачи: Определение типа дифракции в заданной оптической схеме.

Задача: Определите тип дифракции (Френеля или Фраунгофера) для следующих случаев:
а) Свет с длиной волны λ = 600 нм проходит через щель шириной a = 0.1 мм. Экран находится на расстоянии z = 10 см от щели.
б) Тот же свет проходит через ту же щель, но экран находится на расстоянии z = 10 м.

Решение:
Для определения типа дифракции будем использовать число Френеля F = ρ² / (zλ), где ρ для щели можно взять как половину ширины щели, т.е. ρ = a/2.

Дано:
λ = 600 нм = 600 × 10^-9 м.
a = 0.1 мм = 1 × 10^-4 м.
ρ = a/2 = 0.05 мм = 5 × 10^-5 м.

а) Расстояние до экрана z = 10 см = 0.1 м.
F = (5 × 10^-5 м)² / (0.1 м × 600 × 10^-9 м)
F = (25 × 10^-10) / (60 × 10^-9)
F = 25 × 10^-10 / (6 × 10^-8)
F ≈ 0.416.

Так как F = 0.416, что близко к 1, но все же меньше, это случай **дифракции Френеля**, но приближающийся к Фраунгоферу. Формально, поскольку F ≥ 1 для Френеля, а F < 1 для Фраунгофера, здесь скорее всего будет наблюдаться промежуточный режим, но ближе к Фраунгоферу, чем чистому Френелю. Однако, если строго следовать критерию F ≥ 1 для Френеля и F « 1 для Фраунгофера, то 0.416 ближе к условию F « 1. Для однозначности, если F < 0.1, это точно Фраунгофер, если F > 1, это точно Френель. В диапазоне 0.1 < F < 1 часто говорят о «переходной области». Но в контексте задач обычно F ≈ 1 причисляют к Френелю, а F « 1 к Фраунгоферу. Здесь F < 1, поэтому это ближе к Фраунгоферу.

б) Расстояние до экрана z = 10 м.
F = (5 × 10^-5 м)² / (10 м × 600 × 10^-9 м)
F = (25 × 10^-10) / (6000 × 10^-9)
F = (25 × 10^-10) / (6 × 10^-6)
F ≈ 4.16 × 10^-4.

Так как F ≈ 4.16 × 10^-4, что значительно меньше 1 (F « 1), это случай **дифракции Фраунгофера**.

Вывод: В первом случае, при близком экране, наблюдается дифракция Френеля (или переходный режим к Фраунгоферу), где форма картины будет зависеть от расстояния. Во втором случае, при далеком экране, наблюдается дифракция Фраунгофера, где картина не зависит от расстояния до экрана и может быть описана проще.

Дифракция на одной щели и дифракционной решетке

После того как мы разобрались с общими принципами дифракции и различиями между Френелем и Фраунгофером, настало время рассмотреть конкретные примеры дифракционных картин, формирующихся на простых элементах: одной щели и дифракционной решетке. Эти случаи являются фундаментальными для понимания многих оптических приборов.

Дифракция Фраунгофера на одной щели

Дифракция на одной щели — это классический пример дифракции Фраунгофера, то есть дифракции в дальней зоне. Это означает, что свет, падающий на щель, можно считать плоской волной, и наблюдатель находится достаточно далеко от щели.

Картина дифракции: Дифракционная картина на одной щели представляет собой центральный, наиболее яркий и широкий главный максимум, окруженный чередующимися более узкими и значительно менее интенсивными боковыми максимумами и минимумами. Вся картина симметрична относительно центрального светового пучка.

Условия минимумов: Свет от разных частей щели интерферирует. Минимумы интенсивности (темные полосы) наблюдаются тогда, когда свет от одной половины щели гасится светом от другой половины. Положение этих минимумов определяется условием:

a sinθ = mλ

где:

• a — ширина щели.
• θ — угол отклонения от центрального направления.
• m = ±1, ±2, ±3, … — порядок минимума. (m = 0 соответствует центральному максимуму).
• λ — длина волны света.

Условия максимумов: Главный максимум наблюдается при θ = 0 (то есть, sinθ = 0). Боковые максимумы располагаются примерно посередине между минимумами. Их точное положение определяется более сложным трансцендентным уравнением:

tg x = x, где x = (πa sinθ) / λ

Однако для практических целей достаточно знать, что они находятся приблизительно между минимумами. Интенсивность боковых максимумов быстро убывает с ростом порядка m.

Дифракционная решетка

Дифракционная решётка — это один из важнейших оптических приборов, используемых для спектрального анализа света. Она представляет собой систему из N одинаковых, равноотстоящих параллельных щелей.

Основные параметры:

• Ширина щели (a): Ширина каждой прозрачной щели.
• Ширина непрозрачной части (b): Расстояние между соседними щелями.
• Постоянная (период) дифракционной решётки (d): Расстояние между центрами двух соседних щелей: d = a + b.

Картина дифракции: Дифракционная картина, создаваемая дифракционной решеткой, является результатом двойной интерференции: интерференции света от отдельных щелей (как в случае с одной щелью) и интерференции света, приходящего от всех N щелей. В результате наблюдаются очень узкие и яркие главные максимумы, разделенные широкими областями темноты, в которых располагаются дополнительные минимумы и значительно менее интенсивные вторичные максимумы.

Условие главных максимумов: Главные максимумы наблюдаются, когда оптическая разность хода между лучами, приходящими от двух соседних щелей, равна целому числу длин волн. Это условие определяется формулой:

d sinθ = mλ

где:

• d — постоянная дифракционной решётки.
• θ — угол отклонения от центрального направления.
• m = 0, ±1, ±2, ±3, … — порядок главного максимума (m = 0 соответствует центральному, наиболее яркому максимуму).
• λ — длина волны света.

Дополнительные минимумы и вторичные максимумы:
Между двумя соседними главными максимумами дифракционной решётки, состоящей из N щелей, располагается (N — 1) дополнительных минимумов. Эти минимумы возникают из-за взаимного гашения волн от всех N щелей. Между этими (N — 1) минимумами располагаются (N — 2) вторичных максимумов, интенсивность которых значительно ниже, чем у главных максимумов. Чем больше N (число щелей), тем уже и ярче главные максимумы и тем слабее вторичные максимумы, что делает дифракционную решетку очень эффективным инструментом для высокоразрешающей спектроскопии.

Пример задачи: Расчет положения максимумов/минимумов для щели или дифракционной решетки.

Задача: Монохроматический свет с длиной волны λ = 550 нм падает нормально на дифракционную решетку, имеющую 500 штрихов на 1 мм. Определите углы, под которыми наблюдаются главные максимумы первого и второго порядков.

Решение:
Для расчета положения главных максимумов на дифракционной решетке используется формула:
d sinθ = mλ

Сначала определим постоянную дифракционной решетки d.
Дано: 500 штрихов на 1 мм.
Значит, постоянная решетки d = 1 мм / 500 = 0.002 мм = 2 × 10^-3 мм = 2 × 10^-6 м.
Длина волны λ = 550 нм = 550 × 10^-9 м.

1. Главный максимум первого порядка (m = 1):
d sinθ1 = 1 ⋅ λ
sinθ1 = λ / d
sinθ₁ = (550 × 10^-9 м) / (2 × 10^-6 м)
sinθ₁ = 550 / 2000 = 0.275
θ₁ = arcsin(0.275) ≈ 15.95°

2. Главный максимум второго порядка (m = 2):
d sinθ2 = 2 ⋅ λ
sinθ2 = 2λ / d
sinθ₂ = 2 × (550 × 10^-9 м) / (2 × 10^-6 м)
sinθ₂ = 1100 / 2000 = 0.55
θ₂ = arcsin(0.55) ≈ 33.37°

Вывод: Главные максимумы первого и второго порядков будут наблюдаться под углами приблизительно 15.95° и 33.37° соответственно. Этот расчет показывает, как постоянная решетки и длина волны света определяют угловое положение дифракционных максимумов.

Зонные пластинки Френеля: Устройство и оптические свойства

В мире оптики линзы традиционно фокусируют свет, используя явление преломления. Однако существует необычный оптический элемент, который способен фокусировать свет, не преломляя его, а используя принципы дифракции и интерференции. Это зонная пластинка Френеля — удивительное изобретение, демонстрирующее мощь волновой оптики.

Принцип действия и конструкция зонной пластинки

Зонная пластинка Френеля — это оптический элемент, который работает не за счет рефракции (преломления), как обычная линза, а за счет дифракции и интерференции. Ее принцип действия основан на методе зон Френеля, который мы подробно рассмотрели ранее.

Суть принципа действия:
Мы знаем, что в методе зон Френеля вторичные волны от соседних зон приходят в точку наблюдения в противофазе и взаимно ослабляют друг друга. Если же мы сможем устранить (перекрыть) часть этих зон, то вклад в результирующую амплитуду в точке наблюдения значительно увеличится.

Зонная пластинка делает именно это: она перекрывает четные или нечетные зоны Френеля. В простейшем случае, зонная пластинка представляет собой тонкую стеклянную (или другую прозрачную) пластинку, на которой нанесены концентрические кольца. Эти кольца чередуются: прозрачные области пропускают свет, а непрозрачные (затемненные) области блокируют его.

• Конструкция: Пластинка имеет систему концентрических колец, радиусы которых r_m рассчитаны таким образом, чтобы каждая область между r_m-1 и r_m соответствовала одной зоне Френеля.
• Фокусировка света: Если, например, зонная пластинка перекрывает все четные зоны Френеля, то в точке наблюдения будут интерферировать только волны от нечетных зон. Поскольку все они приходят в эту точку с фазами, близкими друг к другу (или в одной фазе), они будут взаимно усиливаться, создавая яркое светлое пятно. Таким образом, зонная пластинка концентрирует свет в определённых точках, выступая в роли линзы, но с совершенно иным физическим механизмом.

Отличие от обычной линзы:
Обычная линза фокусирует свет, изменяя направление его распространения за счет преломления на своих криволинейных поверхностях. Зонная пластинка не преломляет свет в традиционном смысле; она перераспределяет световую энергию, управляя интерференцией вторичных волн. Это позволяет создавать легкие и плоские «линзы», что находит применение в различных областях, включая рентгеновскую оптику, где традиционные преломляющие линзы неэффективны.

Расчет фокусного расстояния

Зонная пластинка обладает фокусными свойствами, аналогичными обычным линзам, но у нее есть множество фокусов. Наиболее ярким является главный фокус.

Формула для фокусного расстояния:
Для плоской волны, падающей на зонную пластинку Френеля, ее фокусное расстояние F определяется по радиусам зон. Если r_m — радиус m-й зоны Френеля, а λ — длина волны света, то фокусное расстояние можно рассчитать по формуле:

F = rm2 / (mλ)

где:

• F — фокусное расстояние зонной пластинки.
• r_m — радиус m-й зоны (или, более точно, радиус границы, за которой начинается m-я зона, считая от центра).
• m — номер зоны.
• λ — длина волны света.

Важно отметить, что зонная пластинка имеет не один, а несколько фокусов, соответствующих различным значениям m. При этом чем больше номер зоны m, тем меньше фокусное расстояние, что указывает на наличие нескольких «фокусов» как для собирающей, так и для рассеивающей линзы. Эта особенность обусловлена дифракционной природой фокусировки.

Пример задачи: Расчет фокусного расстояния зонной пластинки.

Задача: Зонная пластинка Френеля имеет радиус первого прозрачного кольца r₁ = 0.5 мм. Определите ее главное фокусное расстояние для монохроматического света с длиной волны λ = 600 нм.

Решение:
Для расчета фокусного расстояния зонной пластинки используется формула:
F = rm2 / (mλ)

Дано:
Радиус первого прозрачного кольца (m=1) r₁ = 0.5 мм = 0.5 × 10^-3 м.
Длина волны λ = 600 нм = 600 × 10^-9 м.
Номер зоны m = 1 (так как это первое прозрачное кольцо).

Подставляем значения в формулу:
F = (0.5 × 10^-3 м)² / (1 × 600 × 10^-9 м)
F = (0.25 × 10^-6 м²) / (600 × 10^-9 м)
F = (0.25 × 10^-6) / (0.6 × 10^-6) м
F ≈ 0.4167 м = 41.67 см.

Вывод: Главное фокусное расстояние данной зонной пластинки Френеля для света с длиной волны 600 нм составляет примерно 41.67 см. Этот пример иллюстрирует, как конструктивные параметры зонной пластинки и длина волны определяют ее оптические свойства.

Экспериментальные методы и условия наблюдения волновой оптики

Изучение волновой оптики немыслимо без практических экспериментов, которые подтвердили и развили теоретические концепции. От исторических прорывов до современных высокоточных измерений, экспериментальные методы играют решающую роль в понимании того, как свет взаимодействует с материей. В этом разделе мы рассмотрим ключевые установки, метрики для оценки качества интерференционных картин и факторы, влияющие на их наблюдаемость.

Измерение и интерпретация интерференционных и дифракционных картин

Экспериментальное подтверждение волновой природы света стало возможным благодаря ряду остроумных установок и методов.

1. Опыт Юнга (1802): Рождение интерференции
   Исторически, опыт Юнга с двумя щелями стал первым убедительным доказательством волновой природы света. Томас Юнг использовал один точечный источник света, который освещал две близко расположенные узкие щели. Каждая щель действовала как вторичный когерентный источник, и свет от них интерферировал, создавая на экране чередующиеся светлые и тёмные полосы. Этот опыт не только подтвердил волновую теорию света, но и позволил впервые измерить длину волны видимого света.
   • Интерпретация: Расстояние между интерференционными полосами (ширина полосы) напрямую связано с длиной волны света, расстоянием между щелями и расстоянием до экрана, позволяя точно определить λ.
2. Интерферометры: Точные измерения на основе интерференции
   Современные интерферометры — это высокоточные приборы, широко используемые в науке и технике для измерения длин, показателей преломления, деформаций и других параметров. Их действие основано на свойстве волн создавать интерференционную картину.
   • Интерферометр Майкельсона: Разделяет световой пучок на два, которые проходят по разным оптическим путям, а затем снова объединяются для интерференции. Изменение длины одного из путей (например, смещением зеркала) приводит к сдвигу интерференционных полос, что позволяет измерять очень малые перемещения с высокой точностью. Он также используется для измерения длины когерентности источников света.
   • Интерферометр Фабри-Перо: Состоит из двух полупрозрачных параллельных зеркал. Многократное отражение света между зеркалами приводит к формированию очень резких и узких интерференционных полос. Используется для высокоразрешающей спектроскопии и стабилизации частоты лазеров.
   • Интерпретация: Анализ формы, положения и сдвига интерференционных полос позволяет с большой точностью определить измеряемые параметры.
3. Приборы для изучения дифракции Френеля:
   Для изучения дифракции Френеля используются оптические схемы, где источник света, дифракционный элемент и экран находятся на конечных расстояниях.
   • Дифракция на круглом отверстии: При прохождении света через круглое отверстие на экране наблюдается дифракционная картина в виде концентрических колец (колец Френеля). В центре может быть как светлое, так и темное пятно, в зависимости от числа зон Френеля, укладывающихся в отверстии.
   • Дифракция на прямолинейном крае полуплоскости: Свет, огибающий острый край, образует на экране чередующиеся светлые и тёмные полосы, плавно переходящие в область геометрической тени, а затем в равномерно освещенную область.
   • Интерпретация: Позволяет изучать влияние размеров препятствий и расстояний на формирование дифракционных картин, а также подтверждать предсказания метода зон Френеля.

Видимость полос и ее зависимость от когерентности

Для количественной оценки качества интерференционной картины используется понятие видимости полос (V) или контрастности. Это важная характеристика, позволяющая оценить, насколько четко различимы светлые и темные полосы.

Формула видимости полос:

V = (Imax - Imin) / (Imax + Imin)

где:

• I_max — максимальная интенсивность интерференционных полос (яркость светлой полосы).
• I_min — минимальная интенсивность интерференционных полос (яркость темной полосы).

Значения видимости полос:

• V = 1: Идеальный контраст. I_min = 0 (полная темнота), что возможно только при полной когерентности и равных амплитудах интерферирующих волн.
• V = 0: Отсутствие интерференции. I_max = I_min (равномерное освещение), что происходит при полной некогерентности волн.
• 0 < V < 1: Частичная когерентность. Полосы различимы, но темные области не являются полностью черными.

Зависимость видимости полос от когерентности и размеров апертур:

1. Влияние когерентности источника света:
   • Временная когерентность: Чем выше временная когерентность (больше длина когерентности) источника, тем дольше волна сохраняет свою фазу и тем большей может быть оптическая разность хода, при которой еще наблюдается высокая видимость полос. Если разность хода превышает длину когерентности, видимость полос стремится к нулю.
   • Пространственная когерентность: Чем выше пространственная когерентность (меньше угловой размер источника), тем более отчетливой будет интерференционная картина. Если источник слишком велик, разные его точки будут создавать смещенные, некогерентные интерференционные картины, которые накладываются друг на друга и «смазывают» общий узор, уменьшая V.
2. Влияние размеров щелей/отверстий:
   • Интерференция (например, опыт Юнга): Увеличение ширины щелей в опыте Юнга приводит к уменьшению видимости интерференционных полос. Это связано с тем, что каждая щель перестает быть точечным источником и сама начинает проявлять дифракционные свойства, а разные точки внутри одной щели становятся источниками некогерентных волн.
   • Дифракция: Уменьшение размеров щелей или отверстий в дифракционных экспериментах, наоборот, приводит к более выраженным и широким дифракционным эффектам, так как это увеличивает относительное влияние огибания светом препятствий. Например, при уменьшении ширины щели центральный дифракционный максимум становится шире.

Пример задачи: Анализ влияния параметров источника и оптической схемы на видимость интерференционной картины.

Задача: В интерференционном эксперименте получена картина с максимальной интенсивностью I_max = 4 единицы и минимальной интенсивностью I_min = 1 единица. Определите видимость полос. Если бы источник света был заменен на менее монохроматический, как бы это сказалось на I_max, I_min и видимости полос при той же оптической схеме?

Решение:

1. Расчет видимости полос:
Дано: I_max = 4, I_min = 1.
Формула для видимости полос:
V = (Imax - Imin) / (Imax + Imin)
V = (4 — 1) / (4 + 1) = 3 / 5 = 0.6.

Видимость полос V = 0.6. Это указывает на достаточно хорошую, но не идеальную контрастность.

2. Влияние замены источника на менее монохроматический:
Менее монохроматический источник означает, что его спектральная ширина Δν увеличивается, а длина когерентности l_к уменьшается (l_к = c · τ_к ≈ c / Δν).
Если длина когерентности станет меньше оптической разности хода в данной точке наблюдения, то это приведет к:

• Уменьшению I_max: Максимальное усиление света будет менее выраженным, так как волны не будут приходить в фазе так идеально, как раньше.
• Увеличению I_min: Минимальное ослабление света будет менее выраженным, так как волны не будут приходить в противофазе так идеально, как раньше, и полной темноты не будет.
• Уменьшению видимости полос V: Поскольку I_max уменьшится, а I_min увеличится, разница (I_max — I_min) уменьшится, а сумма (I_max + I_min) изменится меньше или даже вырастет, что приведет к значительному уменьшению значения V. В конечном итоге, при очень малой длине когерентности, полосы могут исчезнуть вовсе (V → 0).

Вывод: Видимость полос в исходном эксперименте составляет 0.6. Замена источника света на менее монохроматический приведет к снижению максимальной интенсивности, повышению минимальной интенсивности и, как следствие, к уменьшению видимости интерференционной картины. Это является прямым следствием ухудшения временной когерентности.

Заключение и типовые задачи для контрольной работы

Мы завершаем наше комплексное погружение в мир волновой оптики. От фундаментальных принципов Гюйгенса-Френеля до тонкостей когерентности, от радужных колец Ньютона до четких дифракционных максимумов — каждый аспект волновой природы света раскрывает его удивительные свойства. Это руководство было призвано не просто изложить факты, но и привить глубокое понимание того, как эти явления проявляются и как их можно анализировать количественно.

Изучение волновой оптики — это не просто академическое упражнение, но и ключ к пониманию работы множества современных технологий: от лазерных систем и голографии до оптических коммуникаций и микроскопии высокого разрешения. Глубокое понимание когерентности, принципов интерференции и дифракции позволяет не только решать задачи, но и творчески подходить к созданию новых оптических устройств и методов исследований.

Представленные ниже типовые задачи охватывают все ключевые темы, рассмотренные в данном руководстве. Их цель — не только закрепить полученные знания, но и развить навыки аналитического мышления и применения теоретических концепций к практическим ситуациям, что является незаменимым качеством для успешной подготовки к контрольной работе и дальнейшего освоения физики. Каждая задача сопровождается подробным объяснением шагов решения и теоретическим обоснованием, что позволит вам не просто найти ответ, но и понять его физический смысл.

---

Типовые задачи для контрольной работы по волновой оптике

Задача 1: Когерентность и интерференция (Опыт Юнга)

Условие: В опыте Юнга на две щели, расположенные на расстоянии d = 0.5 мм друг от друга, падает монохроматический свет с длиной волны λ = 600 нм. Экран находится на расстоянии L = 2 м от щелей. Определите:
а) Ширину интерференционной полосы (расстояние между соседними максимумами).
б) Расстояние от центрального максимума до третьего светлого максимума.
в) Если источник света обладает длиной когерентности l_к = 1 см, будет ли наблюдаться интерференционная картина на экране, если разность хода для самой удаленной видимой полосы превышает l_к?

Решение:
а) Ширина интерференционной полосы (Δx) в опыте Юнга определяется формулой:
Δx = λL / d
Δx = (600 × 10^-9 м × 2 м) / (0.5 × 10^-3 м) = (1200 × 10^-9) / (0.5 × 10^-3) м = 2400 × 10^-6 м = 2.4 мм.
Ответ: Ширина интерференционной полосы составляет 2.4 мм.

б) Расстояние до третьего светлого максимума (x₃) от центрального (k=0) определяется формулой для максимумов x_k = kΔx.
x₃ = 3 × Δx = 3 × 2.4 мм = 7.2 мм.
Ответ: Расстояние от центрального максимума до третьего светлого максимума составляет 7.2 мм.

в) Оптическая разность хода Δ для k-го максимума равна kλ. Для третьего максимума Δ = 3λ = 3 × 600 нм = 1800 нм = 1.8 мкм.
Длина когерентности l_к = 1 см = 10 000 мкм.
Поскольку Δ (1.8 мкм) « l_к (10 000 мкм), интерференционная картина будет наблюдаться отчетливо.
Ответ: Да, интерференционная картина будет наблюдаться, так как разность хода для третьего максимума значительно меньше длины когерентности источника.

---

Задача 2: Интерференция в тонких пленках (Кольца Ньютона)

Условие: Между плоской стеклянной пластиной и выпукло-вогнутой линзой (сферической) с радиусом кривизны R = 5 м находится слой воды (показатель преломления n = 1.33). На установку нормально падает монохроматический свет. Радиус второго темного кольца Ньютона в отраженном свете равен r₂ = 1.5 мм. Определите длину волны падающего света.

Решение:
Для темных колец Ньютона в отраженном свете с учетом среды с показателем преломления n используется формула:
rk = √(kRλ/n)

Выразим отсюда длину волны λ:
rk2 = kRλ/n
λ = rk2 ⋅ n / (kR)

Дано:
R = 5 м.
n = 1.33.
k = 2 (второе темное кольцо).
r₂ = 1.5 мм = 1.5 × 10^-3 м.

Подставляем значения:
λ = (1.5 × 10^-3 м)² × 1.33 / (2 × 5 м)
λ = (2.25 × 10^-6 м²) × 1.33 / 10 м
λ = (2.9925 × 10^-6) / 10 м
λ = 0.29925 × 10^-6 м = 299.25 × 10^-9 м ≈ 299.25 нм.

Ответ: Длина волны падающего света составляет приблизительно 299.25 нм. Этот свет находится в ультрафиолетовом диапазоне, что означает, что в видимом спектре такие кольца не будут наблюдаться.

---

Задача 3: Дифракция на одной щели

Условие: На узкую щель шириной a = 0.05 мм падает нормально монохроматический свет с длиной волны λ = 500 нм. Дифракционная картина наблюдается на экране, расположенном на расстоянии L = 1 м от щели. Определите:
а) Угол отклонения, соответствующий первому дифракционному минимуму.
б) Ширину центрального дифракционного максимума на экране.

Решение:
а) Условие дифракционных минимумов на одной щели:
a sinθ = mλ

Для первого минимума (m = 1):
sinθ1 = λ / a

Дано:
λ = 500 нм = 500 × 10^-9 м.
a = 0.05 мм = 0.05 × 10^-3 м = 5 × 10^-5 м.

sinθ₁ = (500 × 10^-9 м) / (5 × 10^-5 м) = 100 × 10^-4 = 0.01.
θ₁ = arcsin(0.01) ≈ 0.57°.
Ответ: Угол отклонения, соответствующий первому дифракционному минимуму, составляет приблизительно 0.57°.

б) Ширина центрального дифракционного максимума (Δx_цм) — это расстояние между двумя первыми минимумами (m = +1 и m = -1).
В случае малых углов sinθ ≈ tgθ ≈ θ (в радианах).
Тогда x = L tgθ ≈ L sinθ.
Положение первого минимума от центра: x₁ = L sinθ₁ = L (λ / a).
Ширина центрального максимума: Δx_цм = 2x₁ = 2Lλ / a.

Δx_цм = 2 × 1 м × (500 × 10^-9 м) / (5 × 10^-5 м)
Δx_цм = (1000 × 10^-9) / (5 × 10^-5) м = 200 × 10^-4 м = 20 мм.
Ответ: Ширина центрального дифракционного максимума на экране составляет 20 мм.

---

Задача 4: Дифракционная решетка

Условие: На дифракционную решетку, имеющую 100 штрихов на 1 мм, нормально падает свет. Второй гл��вный максимум наблюдается под углом 30°. Определите длину волны падающего света.

Решение:
Условие главных максимумов для дифракционной решетки:
d sinθ = mλ

Сначала найдем постоянную дифракционной решетки d.
Дано: 100 штрихов на 1 мм.
d = 1 мм / 100 = 0.01 мм = 0.01 × 10^-3 м = 1 × 10^-5 м.
m = 2 (второй главный максимум).
θ = 30°.

Выразим длину волны λ:
λ = d sinθ / m

Подставляем значения:
λ = (1 × 10^-5 м × sin(30°)) / 2
λ = (1 × 10^-5 м × 0.5) / 2
λ = (0.5 × 10^-5) / 2 м
λ = 0.25 × 10^-5 м = 2500 × 10^-9 м = 2500 нм.

Ответ: Длина волны падающего света составляет 2500 нм. Этот свет находится в инфракрасном диапазоне.

---

Задача 5: Зонная пластинка Френеля

Условие: Зонная пластинка Френеля предназначена для фокусировки света с длиной волны λ = 550 нм. Радиус третьего прозрачного кольца (границы третьей зоны) равен r₃ = 2.5 мм. Определите фокусное расстояние этой зонной пластинки.

Решение:
Формула для фокусного расстояния зонной пластинки Френеля:
F = rm2 / (mλ)

Дано:
λ = 550 нм = 550 × 10^-9 м.
r₃ = 2.5 мм = 2.5 × 10^-3 м.
m = 3 (третье прозрачное кольцо).

Подставляем значения:
F = (2.5 × 10^-3 м)² / (3 × 550 × 10^-9 м)
F = (6.25 × 10^-6 м²) / (1650 × 10^-9 м)
F = (6.25 × 10^-6) / (1.65 × 10^-6) м
F ≈ 3.7879 м ≈ 3.79 м.

Ответ: Фокусное расстояние зонной пластинки составляет приблизительно 3.79 м.

---

Задача 6: Видимость интерференционных полос

Условие: В эксперименте по наблюдению интерференции света на экране получены полосы с максимальной интенсивностью I_max = 90 мВт/см² и минимальной интенсивностью I_min = 10 мВт/см². Рассчитайте видимость интерференционной картины.

Решение:
Формула для видимости полос (V):
V = (Imax - Imin) / (Imax + Imin)

Дано:
I_max = 90 мВт/см².
I_min = 10 мВт/см².

Подставляем значения:
V = (90 — 10) / (90 + 10) = 80 / 100 = 0.8.

Ответ: Видимость интерференционной картины составляет 0.8. Это указывает на очень хорошую контрастность, хотя и не идеальную (V=1).

Список использованной литературы

1. Иродов, И.Е. Задачи по общей физике: Учеб. пособие. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. — 416 с., ил.
2. Дифракция света. — URL: http://elib.bntu.by/wp-content/uploads/2018/06/лекции-2018.pdf (дата обращения: 12.10.2025).
3. § 16. Принцип Гюйгенса — Френеля. Дифракция света. Дифракционная решетка. — URL: https://uchitelya.com/fizika/13936-konspekt-uroka-po-fizike-v-11-klasse-difrakciya-sveta.html (дата обращения: 12.10.2025).
4. Интерференция света в тонких плёнках: условие минимума. — URL: https://indigomath.ru/formula/interferenciya-sveta-v-tonkih-plenkah-uslovie-minimuma (дата обращения: 12.10.2025).
5. Интерференция света в тонких плёнках: условие максимума. — URL: https://indigomath.ru/formula/interferenciya-sveta-v-tonkih-plenkah-uslovie-maksimuma (дата обращения: 12.10.2025).
6. Интерференция света. — URL: https://edu.tpu.ru/course/view.php?id=30071&chapter=10 (дата обращения: 12.10.2025).
7. Сивухин, Д.В. Общий курс физики. Оптика. — URL: http://padabum.com/d.php?id=1238764 (дата обращения: 12.10.2025).
8. 2.3. Интерференция в тонких пленках. — URL: https://bntu.by/fbp/kafedry/fizika/stud-fizika-katalog/obshchaya-fizika-opika/2-3-interferenciya-v-tonkih-plenkah (дата обращения: 12.10.2025).
9. Зоны Френеля. — Методичка по оптике. — URL: https://studfile.net/preview/6179313/page:14/ (дата обращения: 12.10.2025).
10. Ландсберг, Г.С. ЭЛЕМЕНТАРНЫЙ УЧЕБНИК ФИЗИКИ 3. Колебания и волны. Оптика. Атомная. — URL: https://www.twirpx.com/file/1769741/ (дата обращения: 12.10.2025).
11. A. Интерференция света — PhysBook. — URL: https://physbook.ru/index.php/A._%D0%98%D0%BD%D1%82%D0%B5%D1%80%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D1%81%D0%B2%D0%B5%D1%82%D0%B0 (дата обращения: 12.10.2025).
12. Савельев, И.В. Курс общей физики. В 5 т. Том 4. Волны. Оптика. — URL: https://e.lanbook.com/book/187737 (дата обращения: 12.10.2025).
13. Тема 5 л 7 — Интерференция света.pdf. — URL: http://elib.bntu.by/wp-content/uploads/2018/06/лекции-2018.pdf (дата обращения: 12.10.2025).
14. Интерференция в тонких пленках. — URL: https://www.slideshare.net/AlexanderZhdanov/ss-27473729 (дата обращения: 12.10.2025).
15. 1 ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА ЛЕКЦИЯ 5. Когерентность и монохроматичность света. — URL: http://www.phys.unn.ru/files/2012/03/Лекция-5-Когерентность.pdf (дата обращения: 12.10.2025).
16. 42. Оптическая разность хода. Интерференция световых волн. — URL: https://studfile.net/preview/8061413/page:2/ (дата обращения: 12.10.2025).
17. Метод зон Френеля. Дифракция Френеля на круглом отверстии и на диске. Пятно Пуассона. — URL: https://bntu.by/fbp/kafedry/fizika/stud-fizika-katalog/obshchaya-fizika-opika/metod-zon-frenelya (дата обращения: 12.10.2025).
18. Дифракция света. Изучение дифракции Фраунгофера — БНТУ. — URL: https://bntu.by/fbp/kafedry/fizika/stud-fizika-katalog/obshchaya-fizika-opika/izuchenie-difrakcii-fraungofer (дата обращения: 12.10.2025).
19. Сивухин, Д.В. Общий курс физики. В 5 т. Том IV. Оптика. — URL: https://www.twirpx.com/file/111059/ (дата обращения: 12.10.2025).
20. ЛЕКЦИЯ 11. ДИФРАКЦИЯ Дифракция Френеля. Метод зон Френеля. Определение. — URL: https://bntu.by/fbp/kafedry/fizika/stud-fizika-katalog/obshchaya-fizika-opika/lekciya-11-difrakciya-frenelya (дата обращения: 12.10.2025).
21. Интерференция света. — URL: https://www.sgu.ru/sites/default/files/textdocsfiles/2017/02/09/interferenciya_zadachi.pdf (дата обращения: 12.10.2025).
22. Волновая оптика — MathUs.ru. — URL: https://mathus.ru/fizika/optika/waveoptics.pdf (дата обращения: 12.10.2025).
23. § 15. Интерференция света — Профильное обучение. — URL: https://www.profil.msu.ru/fileadmin/user_upload/ucheb_material/fizika/lection_8_optika.pdf (дата обращения: 12.10.2025).
24. Дифракция Френеля Цель работы. — URL: https://bntu.by/fbp/kafedry/fizika/stud-fizika-katalog/obshchaya-fizika-opika/difrakciya-frenelya (дата обращения: 12.10.2025).