Контрольная по физике. В списке задач вы видите знакомую тему: столкновение двух тел. На первый взгляд все просто, но стоит вчитаться в условие, как возникает ступор. Какие формулы брать? Как правильно составить систему уравнений? Эта ситуация знакома многим студентам. Часто проблема кроется в попытке просто подставить числа в готовые, вырванные из контекста формулы, не понимая самой сути физического процесса. Это рискованный путь, который легко ведет к ошибкам.
Мы предлагаем другой подход. Вместе, шаг за шагом, мы пройдем весь путь от базовых физических законов до финальных расчетов. Наша цель — не просто дать вам ответ на конкретную задачу, а вооружить вас универсальным методом, который позволит уверенно решать любую подобную задачу на упругий удар. Вы поймете логику, а не зазубрите алгоритм.
Прежде чем браться за калькулятор, давайте убедимся, что мы говорим на одном языке и одинаково понимаем физическую природу процесса, о котором идет речь.
Что необходимо знать об абсолютно упругом ударе
В физике удар (или столкновение) — это очень короткое по времени взаимодействие тел, в результате которого их импульсы и энергия значительно перераспределяются. Мы будем рассматривать идеализированную, но очень полезную для решения задач модель — абсолютно упругий удар.
Абсолютно упругий удар — это такое столкновение, при котором сохраняется полная кинетическая энергия системы. Иными словами, мы предполагаем, что никакая часть энергии не тратится на нагрев тел, звук или их необратимую деформацию. Кинетическая энергия может на мгновение перейти в потенциальную энергию упругой деформации, но затем полностью возвращается в кинетическую энергию движущихся тел.
Кроме того, мы будем рассматривать центральный удар. Таким называют столкновение, при котором скорости тел до удара направлены вдоль прямой, соединяющей их центры масс. Именно комбинация этих двух условий — упругий и центральный — позволяет нам элегантно решить задачу, используя два мощных фундаментальных закона физики.
Два фундаментальных закона как основа решения
Для «взлома» любой задачи на упругий удар нам понадобятся всего два инструмента из арсенала механики. Рассмотрим их по порядку.
- Закон сохранения импульса. В момент удара внутренние силы взаимодействия между телами на порядки превосходят любые внешние силы (например, трение). Поэтому на это короткое время мы можем считать систему из двух тел замкнутой и смело применять закон сохранения импульса. В общем векторном виде он гласит, что суммарный импульс системы до столкновения равен суммарному импульсу после него:
$m_1\vec{v_1} + m_2\vec{v_2} = m_1\vec{u_1} + m_2\vec{u_2}$
Здесь $m_1, m_2$ — массы тел, $\vec{v_1}, \vec{v_2}$ — их скорости до удара, а $\vec{u_1}, \vec{u_2}$ — скорости после удара. Для нашего случая центрального удара мы можем спроецировать это уравнение на ось движения, и оно станет скалярным.
- Закон сохранения кинетической энергии. Как мы уже определили, ключевое свойство абсолютно упругого удара — это сохранение кинетической энергии. Это дает нам второе уравнение:
$\frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_2v_2^2 = \frac{1}{2}m_1u_1^2 + \frac{1}{2}m_2u_2^2$
Таким образом, мы получаем систему из двух уравнений. В большинстве задач нам известны массы и начальные скорости, а найти нужно две конечные скорости. Два уравнения и две неизвестные — такая система всегда имеет решение. С таким мощным инструментарием мы готовы приступить к решению конкретной задачи. Давайте сформулируем условие и переведем его на язык математики.
Шаг 1. Формулировка задачи и составление системы уравнений
Рассмотрим типовую задачу, которая может встретиться на контрольной работе.
Происходит центральный упругий удар двух тел. Первое тело массой $m_1$, двигаясь со скоростью $v_1$, ударяет покоящееся ($v_2=0$) второе тело массой $m_2$. В результате удара скорость первого тела уменьшается в 1,5 раза, не меняя направления. Требуется: 1) Найти отношение масс $m_1/m_2$. 2) Определить, какую кинетическую энергию $W_{k2}’$ получило второе тело, если начальная кинетическая энергия первого тела $W_{k1}$ составляла 1 кДж.
Теперь проанализируем условие и адаптируем наши общие законы.
- Второе тело покоится, значит, его начальная скорость $v_2 = 0$.
- Скорость первого тела уменьшилась в 1,5 раза и не сменила направление, значит, его конечная скорость $u_1 = v_1 / 1.5$.
Подставим эти условия в наши общие уравнения. Закон сохранения импульса принимает вид:
$m_1v_1 + m_2 \cdot 0 = m_1u_1 + m_2u_2 \implies m_1v_1 = m_1u_1 + m_2u_2$
Закон сохранения кинетической энергии (сразу сократив на $\frac{1}{2}$):
$\frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_2 \cdot 0^2 = \frac{1}{2}m_1u_1^2 + \frac{1}{2}m_2u_2^2 \implies m_1v_1^2 = m_1u_1^2 + m_2u_2^2$
Мы получили рабочую систему уравнений с известными и неизвестными. Теперь наша задача — аккуратно, шаг за шагом, решить ее и найти первую искомую величину — отношение масс.
Шаг 2. Вычисление отношения масс через алгебраические преобразования
Итак, у нас есть система:
- $m_1v_1 = m_1u_1 + m_2u_2$
- $m_1v_1^2 = m_1u_1^2 + m_2u_2^2$
Чтобы решить ее, проведем несколько преобразований. Сначала сгруппируем члены с одинаковыми массами в каждом уравнении.
$m_1(v_1 — u_1) = m_2u_2$
$m_1(v_1^2 — u_1^2) = m_2u_2^2$
Теперь применим небольшой «трюк», который сильно упрощает решение. Разложим разность квадратов во втором уравнении: $v_1^2 — u_1^2 = (v_1 — u_1)(v_1 + u_1)$.
$m_1(v_1 — u_1)(v_1 + u_1) = m_2u_2^2$
Теперь разделим это преобразованное второе уравнение на первое. Члены $m_1(v_1 — u_1)$ слева и $m_2u_2$ справа сократятся, и мы получим очень простое линейное соотношение:
$v_1 + u_1 = u_2$
Это выражение показывает связь между скоростями и очень полезно само по себе. Теперь подставим его в самое первое уравнение импульса: $m_1(v_1 — u_1) = m_2(v_1 + u_1)$. Мы избавились от $u_2$.
Настало время использовать последнее данное из условия: $u_1 = v_1 / 1.5$.
$m_1(v_1 — \frac{v_1}{1.5}) = m_2(v_1 + \frac{v_1}{1.5})$
Скорость $v_1$ есть в каждом члене, поэтому ее можно сократить. Вынесем ее за скобки:
$m_1 v_1 (1 — \frac{1}{1.5}) = m_2 v_1 (1 + \frac{1}{1.5})$
$m_1 (1 — \frac{2}{3}) = m_2 (1 + \frac{2}{3})$
$m_1 (\frac{1}{3}) = m_2 (\frac{5}{3})$
Теперь, разделив обе части на $m_2$ и умножив на 3, находим искомое отношение:
$m_1 / m_2 = 5$
Отлично, первая часть задачи решена. Мы нашли фундаментальную характеристику системы — соотношение масс. Теперь, зная его, мы можем легко ответить на второй вопрос задачи.
Шаг 3. Расчет переданной кинетической энергии
Второй вопрос задачи: найти кинетическую энергию второго тела $W_{k2}’$ после удара, если начальная энергия первого тела $W_{k1}$ была равна 1 кДж. Давайте запишем формулы для этих энергий:
$W_{k1} = \frac{1}{2}m_1v_1^2 = 1 \text{ кДж}$
$W_{k2}’ = \frac{1}{2}m_2u_2^2$
Чтобы найти $W_{k2}’$, нам не нужно знать ни массу, ни скорость в абсолютных единицах. Достаточно найти, какую долю начальной энергии получило второе тело. Для этого составим отношение $\frac{W_{k2}’}{W_{k1}}$:
$\frac{W_{k2}’}{W_{k1}} = \frac{\frac{1}{2}m_2u_2^2}{\frac{1}{2}m_1v_1^2} = \frac{m_2}{m_1} \cdot (\frac{u_2}{v_1})^2$
Из предыдущего шага мы знаем, что $u_2 = v_1 + u_1$. Подставив $u_1 = v_1 / 1.5 = \frac{2}{3}v_1$, получаем:
$u_2 = v_1 + \frac{2}{3}v_1 = \frac{5}{3}v_1$.
Следовательно, отношение скоростей $\frac{u_2}{v_1} = \frac{5}{3}$.
Теперь подставим это и найденное отношение масс ($\frac{m_1}{m_2} = 5$, что означает $\frac{m_2}{m_1} = \frac{1}{5}$) в нашу формулу для долей энергий:
$\frac{W_{k2}’}{W_{k1}} = \frac{1}{5} \cdot (\frac{5}{3})^2 = \frac{1}{5} \cdot \frac{25}{9} = \frac{5}{9}$
Это означает, что второе тело получило 5/9 от начальной кинетической энергии первого. Теперь вычисляем абсолютное значение:
$W_{k2}’ = \frac{5}{9} \cdot W_{k1} = \frac{5}{9} \cdot 1 \text{ кДж} \approx 0.556 \text{ кДж}$
Мы получили численные ответы на оба вопроса. Но работа настоящего физика на этом не заканчивается. Давайте проанализируем наши результаты и посмотрим, какие общие выводы можно из них сделать.
Что наши результаты говорят о физике процесса
Мы получили, что $m_1/m_2 = 5$. Это значит, что налетающее тело было в 5 раз массивнее покоящегося. Этот результат идеально согласуется с тем фактом, что первое тело продолжило движение вперед, хоть и с меньшей скоростью. Чтобы развить физическую интуицию, полезно рассмотреть известные предельные случаи.
- Случай 1: $m_1 = m_2$ (столкновение бильярдных шаров). При ударе шара о покоящийся шар такой же массы, налетающий шар останавливается, а второй улетает вперед со всей скоростью первого. Тела как бы обмениваются скоростями.
- Случай 2: $m_1 \gg m_2$ (тяжелый шар налетает на легкий). Массивное тело почти не изменяет своей скорости, продолжая движение вперед, в то время как легкое тело отлетает со скоростью, почти вдвое превышающей начальную скорость тяжелого.
- Случай 3: $m_1 \ll m_2$ (легкий шарик ударяет массивную стену). Легкое тело отскакивает назад со скоростью, почти равной начальной, а массивное тело остается практически неподвижным.
Наш результат ($m_1/m_2=5$) логично вписывается в эту картину. Он находится между случаями $m_1=m_2$ и $m_1 \gg m_2$. Налетающее тело массивнее, поэтому оно продолжает движение вперед, но так как его масса не бесконечно велика по сравнению со вторым телом, оно заметно замедляется, передавая значительную часть своей энергии. Мы не просто решили задачу, но и поняли ее место в общей теории столкновений. Давайте теперь соберем весь наш метод в краткий и удобный чек-лист для будущих контрольных.
Алгоритм решения на будущее
Чтобы уверенно решать любую задачу на центральный упругий удар, держите в голове этот простой алгоритм-памятку:
- Внимательно прочтите условие. Определите все начальные и конечные параметры, которые даны в задаче (например, $v_2=0$, $u_1=f(v_1)$ и т.д.).
- Запишите общие законы. Начните с записи законов сохранения импульса и кинетической энергии в их общем, фундаментальном виде.
- Адаптируйте уравнения. Подставьте в общие законы конкретные условия вашей задачи (нули, известные соотношения), чтобы получить рабочую систему уравнений.
- Решите систему. Используя аккуратные алгебраические преобразования (группировку, деление уравнений), решите полученную систему и найдите неизвестные.
- Найдите ответ и проанализируйте. Вычислите искомые величины и, если возможно, проверьте, насколько ваш ответ согласуется с физической интуицией и предельными случаями.
Вооружившись этим методом, а не просто набором формул, вы сможете подходить к подобным задачам не со страхом, а с уверенностью и пониманием.