Задачи, в которых исследуется изменение свойств линзы при ее погружении в различные оптические среды — это настоящая классика контрольных и экзаменационных работ по оптике. На первый взгляд, это простая проверка знания формул, но за ней скрывается довольно интересный физический процесс. Как обычная собирающая линза, которая исправно фокусирует солнечные лучи, может внезапно превратиться в свою противоположность, рассеивающую, просто оказавшись под водой или в другой жидкости? Именно такую метаморфозу мы и разберем на конкретном примере. Вот условие нашей задачи: Двояковыпуклая линза из стекла с показателем преломления n = 1,5 обладает в воздухе оптической силой Ф = +4 дптр. Линзу погружают в жидкость с показателем преломления n₁ = 1,7. Требуется определить ее новые оптические характеристики и найти положение изображения для предмета, расположенного на расстоянии трех фокусных расстояний от линзы в обоих случаях.
Фундамент решения, или какие законы оптики нам понадобятся
Прежде чем бросаться в расчеты, необходимо вооружиться теоретической базой. Понимание всего трех ключевых формул — это 90% успеха в решении не только этой, но и любой подобной задачи по геометрической оптике. Давайте их рассмотрим.
- Связь оптической силы и фокусного расстояния. Это самое базовое определение. Оптическая сила линзы (D), измеряемая в диоптриях (дптр), является величиной, обратной ее главному фокусному расстоянию (F), выраженному в метрах.
D = 1/F
Собирающим линзам приписывают D > 0 и F > 0, а рассеивающим — D < 0 и F < 0.
- Формула оптической силы тонкой линзы (формула производителя линз). Это ключевой инструмент для нашей задачи. Он связывает оптическую силу с физическими параметрами: показателем преломления материала линзы (n), показателем преломления окружающей среды (n₀) и радиусами кривизны ее поверхностей (R₁ и R₂).
D = (n — n₀) * (1/R₁ — 1/R₂)
Именно соотношение n и n₀ определяет, как линза будет себя вести. Если n > n₀ (как стекло в воздухе), она собирающая. Если n < n₀ (как наше стекло в жидкости), она становится рассеивающей.
- Формула тонкой линзы. Эта формула позволяет найти положение изображения. Она связывает фокусное расстояние линзы (F) с расстоянием от предмета до линзы (d) и расстоянием от линзы до изображения (f).
1/F = 1/d + 1/f
Важно помнить, что все величины в этой формуле — алгебраические. Расстояние d до предмета почти всегда положительно, а вот знак f указывает на тип изображения: положительный для действительного, отрицательный — для мнимого.
Теперь, когда теория ясна, применим ее к первой части нашей задачи — анализу линзы в ее «родной» стихии.
Этап 1. Анализируем исходное состояние линзы в воздухе
Первый шаг — аккуратно «прочитать» условие и извлечь из него все исходные данные. Это создает отправную точку для всех дальнейших расчетов и сравнений.
Дано:
- Оптическая сила в воздухе: D = +4 дптр
- Показатель преломления материала линзы: n = 1,5
- Показатель преломления воздуха (принят за эталон): n₀ = 1,0
- Показатель преломления жидкости: n₁ = 1,7
Имея оптическую силу в воздухе, мы можем мгновенно найти ее исходное фокусное расстояние. Это подготовительный, но абсолютно необходимый шаг.
F = 1 / D = 1 / 4 = 0,25 м (или 25 см).
Положительный знак фокусного расстояния подтверждает то, что нам дано в условии: в воздухе это стандартная собирающая линза.
Этап 2. Вычисляем оптическую силу линзы в новой среде
Это ядро всей задачи. Здесь происходит та самая «магия», когда линза меняет свой характер. Ключевая идея состоит в том, что при переносе линзы из одной среды в другую ее геометрия не меняется. Это значит, что выражение (1/R₁ — 1/R₂), отвечающее за кривизну поверхностей, остается постоянным.
Шаг 1: Находим геометрический фактор из данных для воздуха.
Используем формулу оптической силы для воздуха: D = (n — n₀) * (1/R₁ — 1/R₂).
4 = (1,5 — 1,0) * (1/R₁ — 1/R₂)
4 = 0,5 * (1/R₁ — 1/R₂)
Отсюда, (1/R₁ — 1/R₂) = 4 / 0,5 = 8 м⁻¹.
Шаг 2: Подставляем этот фактор в формулу для жидкости.
Теперь используем ту же формулу, но с новым показателем преломления окружающей среды n₁:
D’ = (n — n₁) * (1/R₁ — 1/R₂)
D’ = (1,5 — 1,7) * 8
D’ = (-0,2) * 8 = -1,6 дптр.
Обратите внимание на результат: оптическая сила стала отрицательной. Это физически означает, что наша двояковыпуклая линза в данной жидкости из собирающей превратилась в рассеивающую.
Этап 3. Находим новое фокусное расстояние
Теперь, когда у нас есть новая оптическая сила D’, найти новое фокусное расстояние F’ — дело одной простой операции. Этот расчет окончательно закрепит наше понимание того, как изменилась линза.
F’ = 1 / D’
F’ = 1 / (-1,6) = -0,625 м (или -62,5 см).
Мы получили отрицательное фокусное расстояние. Это не просто цифра, это математическое подтверждение нашего вывода из предыдущего этапа: линза теперь рассеивающая, а ее фокус стал мнимым (лучи не собираются в нем, а лишь их продолжения).
Этап 4. Строим изображение для собирающей линзы в воздухе
С расчетной частью мы справились. Теперь перейдем к геометрии — найдем положение изображения и визуализируем поведение лучей. По условию, предмет находится на расстоянии d = 3F.
Расчет положения изображения:
d = 3 * F = 3 * 0,25 м = 0,75 м.
Используем формулу тонкой линзы: 1/f = 1/F — 1/d.
1/f = 1/0,25 — 1/0,75 = 4 — 4/3 = 12/3 — 4/3 = 8/3 м⁻¹.
f = 3/8 = 0,375 м (или 37,5 см).
Характеристика изображения:
- Так как f > 0, изображение действительное.
- Оно находится по другую сторону от линзы.
- Рассчитаем увеличение: Г = -f/d = -0,375/0,75 = -0,5. Знак «минус» означает, что изображение перевернутое, а значение 0,5 — что оно уменьшенное в 2 раза.
Принцип построения: Для построения используются три «удобных» луча, выходящих из верхней точки предмета. Двух из них достаточно.
- Луч 1: Идет параллельно главной оптической оси. После преломления в собирающей линзе он проходит через ее главный фокус (F) за линзой.
- Луч 2: Проходит через оптический центр линзы. Этот луч не меняет своего направления.
- Луч 3: Проходит через передний фокус линзы. После преломления он идет параллельно главной оптической оси.
Точка, где все эти три луча (или их продолжения) пересекутся, и будет являться изображением верхней точки предмета.
Этап 5. Строим изображение для рассеивающей линзы в жидкости
Теперь повторим тот же алгоритм, но уже для линзы, которая изменила свои свойства. Важный момент: условие «а = 3f» относится к фокусному расстоянию исходной линзы. Значит, расстояние до предмета d остается тем же самым (0,75 м), но теперь мы используем новое, отрицательное фокусное расстояние F’.
Расчет положения изображения:
d = 0,75 м.
F’ = -0,625 м.
1/f’ = 1/F’ — 1/d = 1/(-0,625) — 1/0,75 = -1,6 — 4/3 ≈ -1,6 — 1,33 = -2,93 м⁻¹.
f’ = 1 / (-2,93) ≈ -0,34 м (или -34 см).
Характеристика изображения:
- Так как f’ < 0, изображение мнимое.
- Оно находится с той же стороны от линзы, что и сам предмет.
- Рассчитаем увеличение: Г = -f’/d = -(-0,34)/0,75 ≈ 0,45. Знак «плюс» означает, что изображение прямое, а значение 0,45 — что оно уменьшенное.
Принцип построения для рассеивающей линзы:
- Луч 1: Идет параллельно главной оптической оси. После преломления он расходится так, будто его продолжение выходит из мнимого фокуса (F’) перед линзой.
- Луч 2: Проходит через оптический центр и не преломляется (так же, как и у собирающей).
- Луч 3: Направляется к заднему фокусу (за линзой). После преломления он выходит параллельно главной оптической оси.
Изображение находится в точке пересечения продолжений преломленных лучей.
Сравнительный анализ и подведение итогов решения
Мы полностью решили задачу. Теперь, чтобы закрепить понимание, сведем ключевые результаты в единую таблицу и наглядно увидим, насколько кардинально изменилось поведение одной и той же линзы.
| Параметр | Линза в воздухе | Линза в жидкости |
|---|---|---|
| Тип линзы | Собирающая | Рассеивающая |
| Оптическая сила (D) | +4 дптр | -1,6 дптр |
| Фокусное расстояние (F) | +0,25 м | -0,625 м |
| Положение изображения (f) | +0,375 м | -0,34 м |
| Тип изображения | Действительное | Мнимое |
| Ориентация изображения | Перевернутое | Прямое |
Заключение. От частного к общему
Мы прошли весь путь — от анализа условия до финальных построений. Но главный итог — это не просто набор цифр в таблице, а выработанная методология. Любая подобная задача решается по универсальному алгоритму:
- Анализ: Определить все исходные параметры в начальной среде (воздухе).
- Расчет геометрии: Найти неизменный геометрический фактор (1/R₁ — 1/R₂) линзы.
- Перерасчет: Подставить этот фактор в формулу для новой среды и вычислить новые D’ и F’.
- Построение: Используя формулу тонкой линзы и новые характеристики, найти положение и тип изображения.
Вооружившись этим подходом, вы сможете уверенно решать любые задачи такого типа. Понимание физических принципов, лежащих в основе формул, превращает рутинную подготовку к контрольной в увлекательный анализ и настоящее исследование.