Методология решения задач по электрическим цепям постоянного тока: От теории к практике для контрольных работ

Напряжение в бытовой электросети 220 В, сила тока в зарядном устройстве смартфона — 2 А, а сопротивление спирали электрического чайника около 25 Ом – эти, казалось бы, обыденные числа являются лишь вершиной айсберга сложной и увлекательной науки об электричестве. Ежедневно мы сталкиваемся с электрическими цепями, не задумываясь о глубине физических процессов, которые обеспечивают их функционирование. Однако для будущих инженеров, физиков и всех, кто стремится понять суть работы электрических систем, эти числа и стоящие за ними законы становятся краеугольным камнем профессионального образования.

Введение: Цели, задачи и структура руководства

В мире, где электроника и электричество пронизывают все сферы нашей жизни, глубокое понимание принципов работы электрических цепей становится не просто академической необходимостью, а фундаментальным требованием. Будь то проектирование сложной вычислительной системы или диагностика неисправностей в бытовом приборе, уверенное владение методами анализа электрических цепей постоянного тока является ключом к успеху.

Данное руководство призвано стать вашим надежным спутником в освоении этого важнейшего раздела физики, поэтому его структура тщательно продумана: от самых базовых определений и фундаментальных законов до сложных расчетов и практических аспектов работы с измерительными приборами. Мы не просто дадим вам формулы, но и раскроем их физический смысл, покажем, как эти формулы рождаются из глубинных принципов природы. Особое внимание уделяется пошаговому подходу к решению задач, что позволит не только «закрыть пробелы» в знаниях, но и развить системное мышление, необходимое для самостоятельного анализа и решения любых электрических задач, которые могут встретиться на вашем пути. Это не просто сборник задач с ответами, а полноценная методология, которая научит вас *думать* как инженер, *анализировать* как физик и *решать* как профессионал.

Фундаментальные понятия и законы электрических цепей

Прежде чем приступать к решению задач по электрическим цепям, необходимо заложить прочный фундамент из основных понятий и законов. Без четкого понимания этих основ, любое решение будет лишь механическим применением формул, лишенным глубокого смысла. Этот раздел посвящен именно такому осмыслению.

Что такое электрический ток и его характеристики?

Представьте себе реку, по которой течет вода. Чем больше воды протекает через определенное сечение реки за единицу времени, тем сильнее течение. В мире электричества аналогичную роль играет электрический ток. Это не просто хаотичное движение, а упорядоченное движение заряженных частиц, чаще всего электронов, по проводнику. Оно возникает благодаря наличию электрического поля, которое, в свою очередь, создается источником напряжения, своего рода «насосом» для зарядов.

Ключевые характеристики электрического тока включают:

• Сила тока (I): Эта величина показывает, сколько электрического заряда проходит через поперечное сечение проводника за единицу времени. Формально, это отношение заряда (Q) ко времени (t) его прохождения: I = Q / t. Единица измерения силы тока в Международной системе единиц (СИ) – Ампер (А). Если через сечение проводника за 1 секунду проходит заряд в 1 Кулон, то сила тока равна 1 Амперу.
• Напряжение (U): Чтобы заряды двигались, электрическое поле должно совершать работу. Напряжение – это мера этой работы. Оно определяется как отношение работы электрической силы (А) над зарядом (Q) при перемещении его из одной точки в другую к самому заряду: U = А / Q. Единица измерения напряжения в СИ – Вольт (В). Один Вольт означает, что для перемещения заряда в 1 Кулон совершается работа в 1 Джоуль.
• Электродвижущая сила (ЭДС): Если напряжение — это работа электрического поля на участке цепи, то ЭДС – это работа *сторонних* сил, действующих внутри источника тока (батарейки, генератора), которые перемещают заряды против сил электрического поля, создавая разность потенциалов на выводах источника. ЭДС характеризует способность источника поддерживать постоянный ток в цепи. Единица измерения ЭДС также Вольт (В).
• Электрическое сопротивление (R): Не все материалы одинаково хорошо проводят электрический ток. Сопротивление – это характеристика проводника, которая показывает, насколько сильно он препятствует прохождению электрического тока. Чем выше сопротивление, тем труднее току «пробиться». Единица измерения сопротивления в СИ – Ом (Ом).
• Работа электрического тока (А): Это энергия, которая преобразуется из электрической в другие виды энергии (например, тепловую или механическую) за определенное время. Она рассчитывается как произведение напряжения, силы тока и времени: А = U ⋅ I ⋅ t. Единица измерения – Джоуль (Дж).
• Мощность электрического тока (P): Мощность – это скорость совершения работы. Она показывает, сколько работы совершается в единицу времени: P = А / t. Используя формулу для работы, получаем P = U ⋅ I. Единица измерения мощности в СИ – Ватт (Вт).
• Удельное сопротивление (ρ): Это фундаментальная характеристика самого материала, из которого изготовлен проводник. Оно показывает сопротивление проводника длиной 1 метр и сечением 1 мм² (или 1 м²). Единица измерения – Ом⋅м или, что часто используется на практике, Ом⋅мм²/м. Именно удельное сопротивление определяет, будет ли материал хорошим проводником (например, медь) или изолятором, что является ключевым для выбора правильного материала в инженерных расчетах.

Закон Ома: Для участка цепи и для полной цепи

Закон Ома — один из фундаментальных законов электродинамики, подобно тому, как законы Ньютона являются основой механики. Он устанавливает взаимосвязь между силой тока, напряжением и сопротивлением.

Закон Ома для участка цепи:
Этот закон описывает поведение тока в однородном участке цепи, не содержащем источников ЭДС. Его формулировка проста и элегантна: сила тока на участке цепи прямо пропорциональна напряжению на его концах и обратно пропорциональна сопротивлению этого участка.

Математически это выражается формулой:

I = U / R

Где:

• I — сила тока, проходящего через участок (в Амперах).
• U — напряжение (разность потенциалов) на концах участка (в Вольтах).
• R — сопротивление участка (в Омах).

Из этой основной формулы легко получить альтернативные формы записи, необходимые для решения различных задач:

• U = I ⋅ R (для нахождения напряжения, если известны ток и сопротивление)
• R = U / I (для нахождения сопротивления, если известны ток и напряжение)

Закон Ома для полной цепи:
Этот закон расширяет область применения закона Ома, включая в рассмотрение не только внешнее сопротивление цепи, но и внутреннее сопротивление источника тока (r). Любой реальный источник тока обладает внутренним сопротивлением, которое приводит к падению напряжения внутри самого источника, уменьшая напряжение, доступное для внешней цепи.

Формулировка закона Ома для полной цепи звучит так: сила тока в полной цепи равна отношению электродвижущей силы (ЭДС) цепи к её полному сопротивлению, которое является суммой внешнего сопротивления цепи и внутреннего сопротивления источника.

Математическое выражение закона Ома для полной цепи:

I = E / (R + r)

Где:

• I — сила тока в полной цепи (в Амперах).
• E — электродвижущая сила источника (ЭДС, в Вольтах).
• R — внешнее сопротивление цепи (сопротивление всех потребителей, в Омах).
• r — внутреннее сопротивление источника тока (в Омах).

Роль внутреннего сопротивления источника (r) и его влияние на ток в полной цепи:
Внутреннее сопротивление источника играет критически важную роль. Оно символизирует потери энергии внутри самого источника. Когда ток проходит через источник, часть ЭДС тратится на преодоление этого внутреннего сопротивления, вызывая падение напряжения внутри источника (I ⋅ r). В результате, напряжение на клеммах источника, подаваемое на внешнюю цепь, всегда будет меньше ЭДС, если ток течет (Uвнешн = E - I ⋅ r). Чем больше внутреннее сопротивление, тем сильнее «проседает» напряжение на клеммах источника при увеличении тока, и тем меньше тока он может отдать во внешнюю цепь. Идеальный источник тока имеет нулевое внутреннее сопротивление.

Законы Кирхгофа: Анализ разветвленных цепей

В то время как закон Ома прекрасно справляется с простыми, неразветвленными цепями или их отдельными участками, для анализа сложных, разветвленных электрических схем, где токи разделяются и вновь сходятся, требуются более мощные инструменты. Здесь на помощь приходят законы Кирхгофа – два универсальных правила, позволяющие анализировать цепи любой сложности.

Первое правило Кирхгофа (закон токов):
Этот закон основан на фундаментальном принципе сохранения электрического заряда: заряд не может исчезать или появляться из ниоткуда. Он гласит: алгебраическая сумма токов, сходящихся в любом узле разветвленной электрической цепи, равна нулю.

Узел – это точка в цепи, где сходятся три или более проводников.

Для применения первого правила Кирхгофа, мы должны принять соглашение о знаках:

• Токи, подходящие к узлу, принято считать положительными.
• Токи, вытекающие из узла, принято считать отрицательными.

Математическое выражение первого правила Кирхгофа:

ΣIk = 0

Например, для узла, в который входят токи I₁ и I₂, а выходят токи I₃ и I₄, уравнение будет выглядеть так:

I1 + I2 - I3 - I4 = 0

или I1 + I2 = I3 + I4 (сумма входящих токов равна сумме выходящих).

Второе правило Кирхгофа (закон напряжений):
Этот закон является обобщением закона Ома и основан на законе сохранения энергии. Он гласит: в любом замкнутом контуре цепи алгебраическая сумма произведений токов на сопротивления соответствующих участков контура равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в этом контуре.

Контур – это любой замкнутый путь в электрической цепи, по которому можно пройти, не отрываясь от проводников.

Для применения второго правила Кирхгофа необходимо:

1. Выбрать направление обхода контура (по часовой или против часовой стрелки).
2. Определить знаки для падений напряжения (I ⋅ R): произведение I ⋅ R считается положительным, если направление тока совпадает с направлением обхода контура, и отрицательным, если оно противоположно.
3. Определить знаки для ЭДС: ЭДС считается положительной, если направление обхода контура совпадает с направлением от отрицательного полюса источника к положительному внутри него (то есть, если ЭДС «помогает» току в выбранном направлении обхода), и отрицательной в противном случае.

Математическое выражение второго правила Кирхгофа:

ΣIkRk = ΣEk

Принципы составления систем уравнений для разветвленных цепей:
Для анализа цепи с использованием законов Кирхгофа, необходимо составить систему линейных уравнений. Количество независимых уравнений определяется топологией цепи:

• Для цепи, содержащей m узлов, можно составить (m — 1) независимых уравнений по первому правилу Кирхгофа. Например, если в цепи 4 узла, можно составить 3 независимых уравнения.
• Для цепи, содержащей n ветвей (участков цепи с одним и тем же током), и m узлов, можно составить (n — m + 1) независимых уравнений по второму правилу Кирхгофа.

Сочетание этих двух правил позволяет получить систему уравнений, решение которой дает значения всех токов в ветвях цепи. Законы Кирхгофа — это не просто набор формул, а мощный инструмент для системного анализа, который будет применен в пошаговых алгоритмах. Они позволяют свести сложную электрическую схему к решаемой системе алгебраических уравнений, предоставляя универсальный подход, способный справиться с любой конфигурацией цепи, что выгодно отличает их от частных случаев или интуитивных методов, обеспечивая студентам всестороннее понимание.

Систематический расчет эквивалентного сопротивления

Расчет эквивалентного сопротивления — это краеугольный камень в анализе электрических цепей. Возможность заменить сложный участок цепи одним эквивалентным резистором значительно упрощает задачу, позволяя применить закон Ома для всей цепи или ее крупных сегментов. Мы рассмотрим методы расчета для простых соединений и предложим пошаговый алгоритм для наиболее распространенных смешанных цепей.

Последовательное соединение элементов

Представьте себе автомобильную колонну, движущуюся по однополосной дороге. Все автомобили следуют друг за другом, и через каждое сечение дороги за определенное время проходит одинаковое количество машин. Аналогично, при последовательном соединении элементов электрической цепи:

• Сила тока во всех элементах цепи одинакова. Ток, пройдя через первый резистор, обязательно пройдет через второй, третий и так далее.
• Общее (эквивалентное) сопротивление цепи равно арифметической сумме сопротивлений отдельных участков. Каждый последующий элемент добавляет свое сопротивление к общему, увеличивая общее препятствие для тока.
• Общее напряжение в последовательной цепи равно сумме напряжений на отдельных участках. Подобно тому, как автомобиль теряет энергию на каждом препятствии на дороге, напряжение «падает» на каждом резисторе.

Формула для последовательного соединения:

Rобщ = R1 + R2 + … + Rn

Где R₁, R₂, …, R_n — сопротивления отдельных резисторов.

Применение: Последовательное соединение применяется, когда необходимо увеличить общее сопротивление цепи, например, для ограничения тока или для получения определенных значений напряжения на отдельных участках. Классический пример – елочная гирлянда, где перегорание одной лампочки (разрыв цепи) приводит к погасанию всех остальных.

Параллельное соединение элементов

Теперь представим ту же автомобильную колонну, но перед ней дорога разветвляется на несколько полос, которые затем снова сходятся. Автомобили могут выбирать любую из доступных полос.

При параллельном соединении резисторов:

• Напряжение на всех элементах параллельной цепи одинаково. Поскольку все элементы подключены между одними и теми же двумя точками цепи, разность потенциалов на их концах будет идентична.
• Общий ток цепи равен сумме токов в отдельных ветвях. Ток «разделяется» между ветвями, а затем снова «сходится».
• Величина, обратная общему (эквивалентному) сопротивлению, равна сумме величин, обратных сопротивлениям каждого элемента. Это означает, что добавление новых параллельных ветвей уменьшает общее сопротивление цепи, так как предоставляет току больше путей для прохождения.

Формула для параллельного соединения:

1 / Rобщ = 1 / R1 + 1 / R2 + … + 1 / Rn

Для двух параллельно соединенных резисторов R₁ и R₂ существует более удобная формула:

Rобщ = (R1 ⋅ R2) / (R1 + R2)

Применение: Параллельное соединение используется, когда необходимо уменьшить общее сопротивление цепи, обеспечить одинаковое напряжение на нескольких потребителях (как в бытовой электросети, где все приборы подключены параллельно) или, при необходимости, для увеличения суммарной мощности нескольких резисторов (например, нагревательных элементов).

Смешанное соединение резисторов: Пошаговый алгоритм эквивалентных преобразований

Самые интересные и реалистичные электрические цепи редко состоят только из последовательных или только из параллельных соединений. Чаще всего мы сталкиваемся со смешанным соединением, которое представляет собой комбинацию обоих типов. Для таких цепей не существует единой универсальной формулы, которая могла бы сразу дать эквивалентное сопротивление. Вместо этого используется метод эквивалентных преобразований — мощный и систематический подход, позволяющий шаг за шагом упрощать схему до тех пор, пока она не сведется к одному эквивалентному резистору.

Представьте, что вы разбираете сложный механизм, последовательно демонтируя и заменяя мелкие узлы более крупными, функционально эквивалентными блоками. Метод эквивалентных преобразований работает по тому же принципу:

Пошаговый алгоритм упрощения смешанной цепи:

1. Визуализация и идентификация: Внимательно изучите схему. Начните с поиска простых последовательных или параллельных участков. Обычно это участки, расположенные «глубже» всего в схеме, подальше от клемм подключения источника.
   • Признаки последовательного соединения: элементы соединены «встык», через них течет один и тот же ток, нет разветвлений между ними.
   • Признаки параллельного соединения: элементы подключены к одним и тем же двум узлам, напряжение на них одинаково.
2. Замена простых участков эквивалентными сопротивлениями:
   • Как только вы идентифицировали последовательный участок (например, R₁ и R₂), замените его одним эквивалентным сопротивлением Rэкв1 = R1 + R2.
   • Если найден параллельный участок (например, R₃ и R₄), замените его эквивалентным сопротивлением 1/Rэкв2 = 1/R3 + 1/R4 (или Rэкв2 = (R3 ⋅ R4) / (R3 + R4) для двух резисторов).
3. Перерисовка схемы: После каждого преобразования обязательно перерисуйте схему, заменив свернутые участки их эквивалентными резисторами. Это критически важный шаг, который помогает визуализировать новую структуру цепи и избежать ошибок.
4. Повторение процесса: Продолжайте шаги 1-3, последовательно упрощая схему. Каждый раз, когда вы заменяете группу резисторов на эквивалентное сопротивление, новая схема должна становиться проще, пока в конечном итоге вы не получите одну общую эквивалентную резистор, подключенный к источнику.

Пример (гипотетический):
Предположим, у нас есть цепь, где резисторы R₂ и R₃ соединены параллельно, а этот параллельный участок затем соединен последовательно с R₁.

• Шаг 1: Идентифицируем параллельное соединение R₂ и R₃.
• Шаг 2: Рассчитываем их эквивалентное сопротивление: R2,3 = (R2 ⋅ R3) / (R2 + R3).
• Шаг 3: Перерисовываем схему. Теперь у нас есть R₁, соединенный последовательно с R_2,3.
• Шаг 4: Идентифицируем последовательное соединение R₁ и R_2,3.
• Шаг 5: Рассчитываем общее эквивалентное сопротивление цепи: Rобщ = R1 + R2,3.

Этот метод эквивалентных преобразований позволяет системно подойти к любой, даже самой сложной схеме, разбивая ее на более простые, управляемые части. Это формирует системное мышление, которое выходит за рамки простого запоминания формул, позволяя студенту адаптироваться к новым конфигурациям цепей и успешно их анализировать.

Измерительные приборы в цепях постоянного тока: Принципы работы и корректное использование

В процессе изучения электрических цепей теория неотделима от практики. Чтобы подтвердить расчеты, диагностировать неисправности или просто узнать параметры цепи, мы используем измерительные приборы. Наиболее распространенными для цепей постоянного тока являются амперметр и вольтметр. Однако их корректное включение и понимание влияния их собственного внутреннего сопротивления на измеряемую цепь критически важны для получения точных данных.

Амперметр: Измерение силы тока

Амперметр – это специализированный прибор, предназначенный для измерения силы тока в электрической цепи. Представьте себе датчик скорости потока воды, который устанавливается *прямо в русле* реки, чтобы точно измерить количество воды, проходящей через него. Аналогично:

• Амперметр включается в цепь последовательно с тем участком, ток в котором необходимо измерить. Это означает, что весь измеряемый ток должен пройти через амперметр.
• Чтобы его включение практически не влияло на величину измеряемого тока и режим работы цепи, амперметр должен иметь очень малое внутреннее сопротивление (в идеале – нулевое). Если бы амперметр имел большое сопротивление, он сам бы препятствовал току, искажая показания.

Принцип работы аналогового амперметра (чаще всего магнитоэлектрического типа):
В основе большинства аналоговых амперметров лежит магнитоэлектрический механизм. Внутри такого прибора находится подвижная катушка с тонким проводом, которая расположена в поле постоянного магнита. Когда измеряемый ток проходит через эту катушку, возникает электромагнитная сила (сила Ампера), которая создает крутящий момент. Этот момент заставляет катушку (и прикрепленную к ней стрелку) отклоняться на определенный угол. Угол отклонения стрелки прямо пропорционален силе тока, проходящего через катушку. Пружина противодействует отклонению, обеспечивая возврат стрелки в нулевое положение при отсутствии тока и балансируя крутящий момент для точного измерения.

Вольтметр: Измерение напряжения

Вольтметр – прибор, предназначенный для измерения напряжения (разности потенциалов) на участке электрической цепи. Продолжая аналогию с рекой, вольтметр – это прибор, который измеряет «перепад высот» или «давление» между двумя точками реки, но при этом он должен быть установлен так, чтобы не влиять на сам поток.

• Вольтметр включается в цепь параллельно тому участку, на котором измеряется напряжение. Это означает, что он подключается к тем же двум точкам, что и измеряемый элемент.
• Чтобы его включение не влияло на измеряемое напряжение и режим работы цепи, вольтметр должен иметь очень большое внутреннее сопротивление (в идеале – бесконечное). Если бы вольтметр имел малое сопротивление, он бы «оттягивал» на себя значительную часть тока, искажая напряжение на измеряемом участке.

Принцип работы аналогового вольтметра (магнитоэлектрического типа):
Аналоговый вольтметр также часто базируется на магнитоэлектрическом механизме, как и амперметр. Однако, чтобы обеспечить его высокое внутреннее сопротивление, последовательно с подвижной катушкой вольтметра включается добавочное сопротивление, имеющее очень большое номинальное значение. Измеряемое напряжение вызывает протекание *очень малого* тока через эту цепочку (катушка + добавочное сопротивление). Этот ток, проходя через подвижную катушку, взаимодействует с постоянным магнитным полем, отклоняя стрелку. Благодаря большому добавочному сопротивлению, ток, отбираемый вольтметром из цепи, минимален, что позволяет ему измерять напряжение, не внося существенных искажений.

Расширение пределов измерения приборов

Одним из ключевых практических аспектов работы с измерительными приборами является возможность расширения их диапазонов измерений. Ведь каждый амперметр и вольтметр имеет свой максимальный предел, за которым прибор может выйти из строя или давать неточные показания. Это особенно актуально в контрольных работах, где часто требуется рассчитать параметры цепи, чтобы измерить токи или напряжения, превышающие номинальные пределы доступных приборов.

Расширение пределов измерения амперметра: Расчет шунта

Амперметр рассчитан на определенный максимальный ток (ток полного отклонения стрелки). Чтобы измерить ток, превышающий этот предел, используется шунт.

• Шунт — это резистор, который подключается параллельно амперметру для расширения его пределов измерения.
• При использовании шунта основная часть измеряемого тока протекает через шунт, а меньшая, безопасная для амперметра, — через сам амперметр. По сути, шунт «отводит» излишний ток.

Для расчета сопротивления шунта (R_ш) используются следующие формулы:

1. На основе тока полного отклонения:

Rш = (Rа ⋅ Iа) / (I - Iа)

Где:

• R_а — внутреннее сопротивление амперметра.
• I_а — максимальный ток амперметра без шунта (ток полного отклонения).
• I — новый (расширенный) предел измерения тока.

2. Для N-кратного увеличения диапазона измерений:

Если необходимо увеличить диапазон измерений амперметра в n раз (т.е., I = n ⋅ Iа), то сопротивление шунта вычисляется по упрощенной формуле:

Rш = Rа / (n - 1)

Пример расчета:
Предположим, у нас есть амперметр с внутренним сопротивлением Rа = 10 Ом и током полного отклонения Iа = 10 мА (0,01 А). Нам нужно измерить ток до 1 А (I = 1 А).

Используя первую формулу:

Rш = (10 Ом ⋅ 0,01 А) / (1 А - 0,01 А) = 0,1 Ом / 0,99 А ≈ 0,101 Ом.

Используя вторую формулу (n = I / Iа = 1 А / 0,01 А = 100):

Rш = 10 Ом / (100 - 1) = 10 Ом / 99 ≈ 0,101 Ом.

Обе формулы дают одинаковый результат, подтверждая их эквивалентность. Шунт позволяет расширить возможности прибора, не заменяя его.

Расширение пределов измерения вольтметра: Расчет добавочного сопротивления

Вольтметр, как и амперметр, имеет свой номинальный предел измерения. Чтобы измерить напряжение, превышающее этот предел, используется добавочное сопротивление.

• Добавочное сопротивление (R_д) — это резистор, который включается последовательно с вольтметром для расширения его пределов измерения.
• При использовании добавочного сопротивления большая часть измеряемого напряжения падает на нём, а на сам вольтметр приходится лишь та часть напряжения, на которую он рассчитан. Это увеличивает общее сопротивление цепи вольтметра, позволяя ему работать при более высоких напряжениях, не перегружаясь.

Для расчета сопротивления добавочного резистора (R_д) применяются следующие формулы:

1. На основе номинального и измеряемого напряжения:

Rд = Rв ⋅ (Uизм / Uном - 1)

Где:

• R_в — внутреннее сопротивление вольтметра.
• U_изм — новый (расширенный) предел измерения напряжения.
• U_ном — номинальный предел измерения вольтметра (максимальное напряжение, на которое рассчитан прибор без добавочного сопротивления).

2. Для N-кратного увеличения диапазона измерений:

Если необходимо увеличить диапазон измерений вольтметра в n раз (где n = Uизм / Uном), то сопротивление добавочного резистора рассчитывается по формуле:

Rд = Rв ⋅ (n - 1)

Пример расчета:
Допустим, у нас есть вольтметр с внутренним сопротивлением Rв = 1 кОм (1000 Ом) и номинальным пределом измерения Uном = 10 В. Нам нужно измерить напряжение до 100 В (Uизм = 100 В).

Используя первую формулу:

Rд = 1000 Ом ⋅ (100 В / 10 В - 1) = 1000 Ом ⋅ (10 - 1) = 1000 Ом ⋅ 9 = 9000 Ом (9 кОм).

Используя вторую формулу (n = Uизм / Uном = 100 В / 10 В = 10):

Rд = 1000 Ом ⋅ (10 - 1) = 1000 Ом ⋅ 9 = 9000 Ом (9 кОм).

Таким образом, добавочное сопротивление в 9 кОм позволит использовать данный вольтметр для измерения напряжений до 100 В. Эти методы расширения пределов измерений являются неотъемлемой частью практической электротехники и часто встречаются в контрольных работах, что делает их понимание критически важным.

Энергетические расчеты и анализ потерь в цепях

Электрический ток — это не только движение зарядов, но и перенос энергии. Понимание того, как эта энергия преобразуется, сколько работы совершается и какие потери возникают, является ключевым аспектом анализа электрических цепей. Этот раздел погрузит нас в мир энергетических преобразований, от работы и мощности до падения напряжения и потерь в проводниках.

Работа и мощность электрического тока

Представьте, что электрическая цепь — это не просто совокупность элементов, а некая «машина», которая совершает полезную работу. Лампочка светит, двигатель вращается, нагреватель греет – все это проявления работы электрического тока.

Работа электрического тока (А)
Работа электрического тока на участке цепи — это количество энергии, которое преобразуется из электрической в другие виды (например, тепловую, световую, механическую) за определенное время. Она пропорциональна напряжению на концах участка, силе тока, протекающего через него, и времени прохождения заряда.

Основная формула работы электрического тока:

А = U ⋅ I ⋅ t

Где:

• А — работа электрического тока (в Джоулях, Дж).
• U — напряжение на участке цепи (в Вольтах, В).
• I — сила тока на участке цепи (в Амперах, А).
• t — время прохождения тока (в секундах, с).

Используя закон Ома (U = I ⋅ R), эту формулу можно преобразовать:

• А = I2 ⋅ R ⋅ t (когда известно сопротивление и ток)
• А = U2 / R ⋅ t (когда известно сопротивление и напряжение)

Мощность электрического тока (P)
Мощность электрического тока — это скорость, с которой совершается работа. Она показывает, сколько энергии преобразуется в единицу времени.

Основная формула мощности электрического тока:

P = U ⋅ I

Где:

• P — мощность электрического тока (в Ваттах, Вт).
• U — напряжение (в Вольтах, В).
• I — сила тока (в Амперах, А).

Также, с учетом закона Ома, мощность может быть выражена как:

• P = I2 ⋅ R (когда известно сопротивление и ток)
• P = U2 / R (когда известно сопротивление и напряжение)

Единицы измерения: Работа измеряется в Джоулях (Дж), а мощность – в Ваттах (Вт). 1 Ватт равен 1 Джоулю в секунду.

Падение напряжения и потери в проводниках

Идеальные проводники не имеют сопротивления и, следовательно, не потребляют энергию. Однако в реальном мире любой проводник обладает ненулевым сопротивлением. Когда по такому проводнику течет ток, часть электрической энергии неизбежно преобразуется в тепловую энергию (закон Джоуля-Ленца), вызывая нагрев проводника. Это явление напрямую связано с падением напряжения.

Что такое падение напряжения?
Падение напряжения — это постепенное уменьшение напряжения (или, что то же самое, потенциала) вдоль проводника, по которому течет электрический ток. Это уменьшение обусловлено наличием активного сопротивления самого проводника. По сути, чтобы «протолкнуть» ток через сопротивление проводника, требуется определенная разность потенциалов.

Согласно закону Ома, падение напряжения на участке проводника с сопротивлением R, по которому течет ток I, определяется по формуле:

Uпад = I ⋅ R

Потери напряжения в проводах и их причины:
Потери напряжения — это нежелательное явление, которое приводит к уменьшению напряжения у потребителя и, как следствие, к снижению эффективности работы приборов и дополнительному нагреву проводников.
Эти потери увеличиваются с ростом тока (чем больше ток, тем больше падение напряжения при том же сопротивлении) и длины проводника (чем длиннее проводник, тем больше его общее сопротивление).

Влияние физических параметров проводника:
Сопротивление проводника, которое напрямую влияет на потери, рассчитывается по формуле:

R = ρ ⋅ L / S

Где:

• R — сопротивление проводника (в Омах, Ом).
• ρ (ро) — удельное сопротивление материала проводника (в Ом⋅м или Ом⋅мм²/м).
• L — длина проводника (в метрах, м).
• S — площадь его поперечного сечения (в квадратных метрах, м² или квадратных миллиметрах, мм²).

Таким образом:

• Чем больше удельное сопротивление материала (например, нихром вместо меди), тем больше будет сопротивление проводника и, следовательно, больше падение напряжения.
• Чем длиннее проводник, тем больше его общее сопротивление, и тем больше падение напряжения.
• Чем меньше площадь поперечного сечения проводника (тоньше провод), тем больше его сопротивление, и тем больше падение напряжения.

Понимание этих взаимосвязей критически важно при проектировании электрических систем, выборе кабелей и проводов для минимизации потерь и обеспечения стабильной работы оборудования. Глубокое объяснение взаимосвязи физических параметров проводника с потерями напряжения и их практическое значение является важным аспектом, который часто упускается в поверхностных обзорах, но именно здесь кроется ответ на вопрос: «Почему так важно правильно подбирать кабель?»

Влияние физических параметров материалов на сопротивление

Сопротивление проводника — это не просто фиксированная величина, а динамический параметр, который зависит от ряда физических характеристик материала, его геометрии и температуры. Понимание этих зависимостей позволяет не только точно рассчитывать электрические цепи, но и предсказывать их поведение в различных условиях.

Удельное электрическое сопротивление (ρ)

Удельное электрическое сопротивление (ρ) – это фундаментальная физическая константа материала, которая количественно характеризует его способность препятствовать прохождению электрического тока. Это как «внутреннее трение» для электронов.

• Определение: Удельное сопротивление численно равно сопротивлению проводника длиной 1 метр и площадью поперечного сечения 1 м² (или, что чаще используется в практике, сопротивлению проводника длиной 1 м и сечением 1 мм²).
• Зависимость: Удельное сопротивление зависит прежде всего от типа материала (металл, полупроводник, изолятор) и его температуры. Например, металлы являются хорошими проводниками с низким ρ, тогда как диэлектрики имеют чрезвычайно высокое ρ.
• Единицы измерения: В СИ удельное сопротивление измеряется в Ом⋅м. На практике, особенно в электротехнике, часто используют Ом⋅мм²/м для удобства расчетов сечений проводов.

Типичные значения удельного сопротивления (при 20°C):

Материал	Удельное сопротивление (Ом⋅мм2/м)	Удельное сопротивление (мкОм⋅м)
Медь	0,0173 — 0,0175	0,0172
Алюминий	0,0275 — 0,0283	0,0275 — 0,0278
Нихром (Х20Н80)	1,05 — 1,4 (для сплава Х20Н80)	1,04 — 1,15

Применение в формуле сопротивления проводника:
Удельное сопротивление напрямую входит в формулу расчета сопротивления любого проводника определенной геометрической формы:

R = ρ ⋅ L / S

Где:

• R — сопротивление проводника (Ом).
• ρ — удельное сопротивление материала (Ом⋅мм²/м).
• L — длина проводника (м).
• S — площадь поперечного сечения проводника (мм²).

Пример: Проводник из меди длиной 100 м и сечением 2,5 мм² будет иметь сопротивление:

R = 0,0173 Ом⋅мм2/м ⋅ 100 м / 2,5 мм2 = 0,692 Ом.

Комплексное представление табличных данных и их практическое применение для точных расчетов сопротивления является важным элементом для практического решения задач, позволяющим не просто получить ответ, но и обосновать выбор материалов.

Температурный коэффициент сопротивления (α)

Подавляющее большинство материалов изменяет свое электрическое сопротивление при изменении температуры. Для металлов сопротивление, как правило, увеличивается с ростом температуры, а для полупроводников и электролитов — уменьшается. Эту зависимость характеризует температурный коэффициент электрического сопротивления (α).

• Определение: Температурный коэффициент сопротивления показывает, на какую относительную величину изменяется сопротивление материала при изменении его температуры на 1 градус Цельсия (или 1 Кельвин).
• Зависимость: Коэффициент α также зависит от материала и, в меньшей степени, от диапазона температур.
• Единицы измерения: К^-1 или °C^-1.

Формулы для расчета изменения сопротивления с температурой:

1. Изменение сопротивления (ΔR):

ΔR = α ⋅ R0 ⋅ ΔT

Где:

• ΔR — изменение сопротивления.
• α — температурный коэффициент сопротивления.
• R₀ — начальное сопротивление (обычно при 0°C или 20°C).
• ΔT — изменение температуры.

2. Сопротивление при температуре t (R_t):

Rt = R0(1 + α ⋅ t)

Где:

• R_t — сопротивление при температуре t°C.
• R₀ — сопротивление при 0°C.
• α — температурный коэффициент сопротивления при 0°C.
• t — температура в °C.

Типичные значения α (при 0-100°C или 20°C):

Материал	Температурный коэффициент α (К-1 или °C-1)
Медь	0,00393 — 0,0043
Алюминий	0,00403 — 0,0042
Нихром	0,0001 — 0,00017 (очень малое значение)

Практическое применение:
Знание температурного коэффициента позволяет:

• Оценивать изменение сопротивления проводников при нагреве (например, в нагревательных элементах или обмотках двигателей).
• Компенсировать температурные дрейфы в измерительных приборах.
• Использовать изменение сопротивления для измерения температуры (терморезисторы).

Например, крайне малое значение α у нихрома делает его идеальным материалом для нагревательных элементов, поскольку его сопротивление почти не меняется при нагреве, обеспечивая стабильную мощность. Подробное объяснение, как учитывать температурные изменения в расчетах цепей, повышает точность и углубляет понимание реальных физических процессов, что в конечном итоге помогает избежать ошибок при эксплуатации оборудования.

Общие алгоритмы решения типовых задач

После освоения фундаментальных понятий, законов и принципов работы измерительных приборов, мы переходим к самому важному — систематизированным алгоритмам решения типовых задач. Универсальные, легко применимые алгоритмы — это то, чего не хватает в большинстве «решебников», которые дают лишь готовые решения. Наша цель — не дать «ответ», а научить *процессу* его получения.

Алгоритм расчета токов и напряжений в разветвленных цепях (на примере законов Кирхгофа)

Законы Кирхгофа — мощный инструмент для анализа сложных разветвленных цепей. Этот алгоритм поможет вам применять их последовательно и безошибочно.

1. Визуализация и направления:
   • Проанализируйте схему: Определите все ветви (участки цепи с одним и тем же током), узлы (точки соединения трех и более ветвей) и замкнутые контуры.
   • Произвольно выберите направления токов в каждой ветви. Не беспокойтесь, если вы ошибетесь; отрицательный результат после расчетов просто укажет на противоположное истинное направление.
   • Произвольно выберите направления обхода контуров (по часовой или против часовой стрелки).
2. Составление уравнений по Первому правилу Кирхгофа (закон токов):
   • Для каждого независимого узла (m-1, где m — общее количество узлов) составьте уравнение.
   • Алгебраическая сумма токов, входящих в узел, равна нулю. Токи, входящие в узел, записывайте со знаком «+», выходящие — со знаком «-«.
   • Пример: Для узла, где I₁ входит, а I₂ и I₃ выходят: I1 - I2 - I3 = 0.
3. Составление уравнений по Второму правилу Кирхгофа (закон напряжений):
   • Для каждого независимого контура (n-m+1, где n — количество ветвей, m — количество узлов) составьте уравнение.
   • Алгебраическая сумма падений напряжений (IkRk) в контуре равна алгебраической сумме ЭДС (E_k) в этом же контуре.
   • Знаки для IkRk: «+» если ток совпадает с направлением обхода контура, «-» если противоположен.
   • Знаки для E_k: «+» если обход идет от «-» к «+» внутри источника, «-» если от «+» к «-«.
   • Пример: Для контура с обходом по часовой стрелке, содержащего ЭДС E₁ (обход от «-» к «+»), резистор R₁ с током I₁ (по направлению обхода) и резистор R₂ с током I₂ (против направления обхода): I1R1 - I2R2 = E1.
4. Решение системы уравнений:
   • Вы получите систему линейных алгебраических уравнений. Количество уравнений должно быть равно количеству неизвестных токов.
   • Решите эту систему любым удобным методом (подстановки, сложения, Крамера, матричным методом).
5. Интерпретация результатов:
   • Если какой-либо ток получился отрицательным, это означает, что его истинное направление противоположно выбранному вами на первом шаге. Величина тока при этом верна.
   • После нахождения всех токов, можно легко найти напряжения на любых участках цепи, используя закон Ома для участка: U = I ⋅ R.

Алгоритм расчета цепей с измерительными приборами

При включении амперметров и вольтметров в цепь, их внутреннее сопротивление может влиять на точность измерений. Важно учитывать это влияние и знать, как расширять пределы измерений.

1. Анализ схемы и целей измерения:
   • Определите, что именно нужно измерить (ток в ветви, напряжение на элементе).
   • Оцените предполагаемые значения токов и напряжений, чтобы выбрать подходящие приборы или рассчитать необходимость расширения пределов.
2. Включение приборов:
   • Амперметр: Включается последовательно с измеряемым участком. Его внутреннее сопротивление (R_а) должно быть учтено как дополнительный элемент в этой ветви при расчете общего сопротивления.
   • Вольтметр: Включается параллельно измеряемому участку. Его внутреннее сопротивление (R_в) должно быть учтено как дополнительный параллельный резистор, который изменяет эквивалентное сопротивление участка.
3. Расчет шунта для амперметра (если требуется расширение предела):
   • Определите текущий предел амперметра (I_а) и его внутреннее сопротивление (R_а).
   • Определите требуемый новый предел измерения (I_изм).
   • Рассчитайте сопротивление шунта (R_ш) по формуле: Rш = (Rа ⋅ Iа) / (Iизм - Iа).
   • В схеме шунт подключается параллельно амперметру.
4. Расчет добавочного сопротивления для вольтметра (если требуется расширение предела):
   • Определите текущий номинальный предел вольтметра (U_ном) и его внутреннее сопротивление (R_в).
   • Определите требуемый новый предел измерения (U_изм).
   • Рассчитайте сопротивление добавочного резистора (R_д) по формуле: Rд = Rв ⋅ (Uизм / Uном - 1).
   • В схеме добавочное сопротивление подключается последовательно с вольтметром.
5. Перерасчет параметров цепи:
   • После виртуального включения приборов (с учетом их внутренних сопротивлений или шунтов/добавочных сопротивлений), пересчитайте эквивалентное сопротивление цепи и токи/напряжения в ней, используя методы, описанные в разделе «Систематический расчет эквивалентного сопротивления».
   • Помните, что показания прибора будут соответствовать току через его измерительный механизм (для амперметра) или напряжению на нем (для вольтметра).

Алгоритм расчета энергетических параметров и потерь

Расчет работы, мощности и потерь — это не только теоретическое упражнение, но и практическая задача для оценки эффективности и безопасности электрических систем.

1. Определение исходных данных:
   • Убедитесь, что у вас есть все необходимые параметры: сила тока (I), напряжение (U) на участке, сопротивление участка (R), время работы (t).
   • Для расчета потерь в проводниках также нужны удельное сопротивление материала (ρ), длина проводника (L) и площадь его поперечного сечения (S).
2. Расчет работы электрического тока (А):
   • Используйте основную формулу: А = U ⋅ I ⋅ t.
   • Или альтернативные формы, если известны другие параметры: А = I2 ⋅ R ⋅ t или А = U2 / R ⋅ t.
   • Не забудьте перевести время в секунды для получения результата в Джоулях.
3. Расчет мощности электрического тока (P):
   • Используйте основную формулу: P = U ⋅ I.
   • Или альтернативные формы: P = I2 ⋅ R или P = U2 / R.
   • Результат будет в Ваттах.
4. Расчет сопротивления проводника (для анализа потерь):
   • Если речь идет о потерях в соединительных проводах, сначала рассчитайте их сопротивление: Rпр = ρ ⋅ L / S.
   • Убедитесь, что все единицы измерения согласованы (например, если ρ в Ом⋅мм²/м, то S в мм², а L в м).
5. Расчет падения напряжения в проводниках (U_пад):
   • После определения тока (I) через проводник и его сопротивления (R_пр), рассчитайте падение напряжения: Uпад = I ⋅ Rпр.
   • Это значение показывает, насколько уменьшится напряжение от начала до конца проводника.
6. Расчет потерь мощности (P_пот) и работы (А_пот) в проводниках:
   • Потери мощности в проводниках (преобразование электрической энергии в тепловую) рассчитываются как: Pпот = I2 ⋅ Rпр или Pпот = Uпад ⋅ I.
   • Потери работы (энергии) за время t: Апот = Pпот ⋅ t.

Этот пошаговый подход позволяет не только получить числовые значения, но и понять физический смысл каждого этапа, что критически важно для глубокого освоения темы и успешной сдачи контрольных работ.

Заключение

Мы прошли путь от фундаментальных определений электрического тока до сложных расчетов энергетических потерь в цепях, вооружившись законами Ома и Кирхгофа, а также методами анализа измерительных приборов. Это руководство было разработано не просто как сборник формул, а как комплексная методология, призванная сформировать у вас системное мышление и уверенные навыки решения самых разнообразных задач по электрическим цепям постоянного тока.

Умение применять пошаговые алгоритмы, учитывать внутреннее сопротивление источников и измерительных приборов, рассчитывать шунты и добавочные сопротивления, а также анализировать энергетические параметры и потери — это не просто требования учебной программы. Это базовые компетенции для любого, кто свяжет свою жизнь с техническими науками. Эти знания станут вашим надежным фундаментом для дальнейшего изучения электротехники, электроники и других смежных дисциплин.

Надеемся, что представленный материал не только поможет вам успешно справиться с контрольными работами, но и заложит прочную основу для глубокого и осознанного понимания мира электричества. Успехов вам в применении приобретенной методологии и в дальнейших шагах в мире науки и техники!

Список использованной литературы

1. Валентина Сергеевна Волькенштейн.
2. Расчет шунта для амперметра. URL: https://elektro.school/raschet-shunta-dlya-ampermetra/ (дата обращения: 12.10.2025).
3. Закон Ома для участка цепи и для полной цепи. URL: https://webium.ru/articles/zakon-oma-dlya-uchastka-cepi-i-dlya-polnoj-cepi/ (дата обращения: 12.10.2025).
4. Закон Ома для участка цепи и для полной электрической цепи — формула соотношения силы тока, напряжения и сопротивления. URL: https://bezsmenki.ru/blog/fizika/zakon-oma-dlya-uchastka-cepi-i-dlya-polnoy-elektricheskoy-tsepi/ (дата обращения: 12.10.2025).
5. Правила Кирхгофа. URL: http://www.fizika.net.ru/elektro/4.5.htm (дата обращения: 12.10.2025).
6. Закон Ома для полной цепи. URL: https://electro-om.ru/blog/zakon-oma-dlya-polnoj-cepi/ (дата обращения: 12.10.2025).
7. Влияние длины и сечения кабеля на потери напряжения. URL: https://stiel.ru/articles/vliyanie-dliny-i-secheniya-kabelya-na-poteri-napryazheniya/ (дата обращения: 12.10.2025).
8. Правила Кирхгофа для разветвленных цепей. URL: http://www.physics.ru/courses/op25part1/content/chapter1/section/paragraph10/ (дата обращения: 12.10.2025).
9. Расчёт сопротивления шунта. URL: https://radioschemas.ru/raschet-soprotivleniya-shunta.html (дата обращения: 12.10.2025).
10. Расчет добавочного сопротивления к вольтметру. URL: https://vladimirus-team.ru/online_tools/raschet_dobavochnogo_soprotivleniya_k_voltmetru/ (дата обращения: 12.10.2025).
11. Расчет шунтирующего резистора амперметра. URL: http://www.radiolub.ru/page/raschet-shuntirujuschego-rezistora-ampermetra (дата обращения: 12.10.2025).
12. Шунт для амперметра. URL: https://elec.ru/articles/shunt-dlya-ampermetra/ (дата обращения: 12.10.2025).
13. Законы постоянного тока. URL: https://elib.sfu-kras.ru/bitstream/handle/2311/27045/01_savelyev.pdf (дата обращения: 12.10.2025).
14. Работа и мощность тока — урок. Физика, 8 класс. URL: https://www.yaklass.ru/p/fizika/8-klass/postoiannyi-elektricheskii-tok-16817/rabota-i-moshchnost-elektricheskogo-toka-70141/re-6b2a4e25-d779-40e9-823c-975057088b9a (дата обращения: 12.10.2025).
15. Что такое падение напряжения в проводах? URL: https://5watt.ru/blog/chto-takoe-padenie-napryazheniya-v-provodah/ (дата обращения: 12.10.2025).
16. Законы Кирхгофа. URL: https://eliks.ru/info/laws/zakony-kirhgofa/ (дата обращения: 12.10.2025).
17. Электрическое напряжение. Работа и мощность электрического тока. Тепловое действие тока. URL: https://online.fizteh.ru/tasks/physics/lection_1/2_3_2_3_elektricheskoe_napryazhenie_rabota_i_moshchnost_elektricheskogo_toka_teplovoe_dejstvie_toka (дата обращения: 12.10.2025).
18. Смешанное соединение резистивных элементов. URL: http://prof-el.ru/teoriya-elektrotehniki/raschet-cepey-postoyannogo-toka/smeshannoe-soedinenie-rezistivnyh-elementov.html (дата обращения: 12.10.2025).
19. Практическая работа 1 1.1 Расчёт общего (эквивалентного) сопротивления электрической цепи. URL: http://www.kstu.ru/upload/documents/2723/file_name/%D0%9F%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F%20%D1%80%D0%B0%D0%B1%D0%BE%D1%82%D0%B0%201.pdf (дата обращения: 12.10.2025).
20. Работа и мощность тока. URL: https://mathus.ru/fizika/rabota-moshchnost.pdf (дата обращения: 12.10.2025).
21. Эквивалентное преобразование схемы при смешанном соединении резисторов. URL: https://www.calc.ru/ekvivalentnoe-preobrazovanie-skhemy-pri-smeshannom-soedinenii-rezistorov.html (дата обращения: 12.10.2025).
22. Способы соединения сопротивлений и расчет эквивалентного сопротивления электрической цепи. URL: http://www.ugatu.ac.ru/upload/iblock/d76/Labraboty_po_fizike_Elektrichestvo_i_magnetizm.pdf (дата обращения: 12.10.2025).
23. Таблица удельных сопротивлений проводников и металлов. URL: https://ru-elect.ru/tablitsa-udelnykh-soprotivleniy-provodnikov-i-metallov/ (дата обращения: 12.10.2025).
24. Таблица падения напряжения в кабеле: расчет по длине и сечению 2025. URL: https://electrodata.ru/tablica-padeniya-napryazheniya-v-kabele-raschet-po-dline-i-secheniyu-2025/ (дата обращения: 12.10.2025).
25. Последовательное и параллельное соединение резисторов. URL: https://electricalschool.info/main/osnovy/1301-posledovatelnoe-i-parallelnoe-soedinenie.html (дата обращения: 12.10.2025).
26. Таблица удельных сопротивлений металлов. URL: https://atissteel.ru/tablica-udelnykh-soprotivleniy-metallov/ (дата обращения: 12.10.2025).
27. Таблица электрических свойств проводниковых материалов при нормальных условиях. URL: https://studfile.net/preview/1029279/page:3/ (дата обращения: 12.10.2025).
28. Удельное сопротивление металлов и сплавов (при 20° C). URL: https://kmz.ru/spravka/udelnoe-soprotivlenie-metallov-i-splavov-pri-20-c/ (дата обращения: 12.10.2025).
29. Смешанные соединения проводников • Физика. URL: https://foxford.ru/wiki/fizika/smeshannye-soedineniya-provodnikov (дата обращения: 12.10.2025).
30. Таблицы температурных коэффициентов сопротивления меди, алюминия, никеля — справочные данные. URL: https://innerengineering.ru/spravochnye-dannye/tablicy-temperaturnyh-koefficientov-soprotivleniya-medi-alyuminiya-nikelya/ (дата обращения: 12.10.2025).
31. Амперметры и вольтметры: виды и принцип работы. URL: https://electro-centr.ru/articles/ampermetry-i-voltmetry-vidy-i-princip-raboty/ (дата обращения: 12.10.2025).
32. Чем отличается амперметр от вольтметра. URL: https://ru-electronics.com/news/chem-otlichaetsya-ampermetr-ot-voltmetra/ (дата обращения: 12.10.2025).
33. Работа и мощность электрического тока. URL: https://radioschemas.ru/rabota-i-moshhnost-elektricheskogo-toka.html (дата обращения: 12.10.2025).
34. Последовательное и параллельное соединение сопротивлений. URL: https://elektro.school/posledovatelnoe-i-parallelnoe-soedinenie-soprotivlenij/ (дата обращения: 12.10.2025).
35. Расчет добавочного сопротивления. URL: https://elektro.school/raschet-dobavochnogo-soprotivleniya/ (дата обращения: 12.10.2025).
36. Схема включения амперметра и вольтметра. URL: https://elektro.school/sxema-vklyucheniya-ampermetra-i-voltmetra/ (дата обращения: 12.10.2025).
37. Устройство амперметра и вольтметра. URL: https://elektro.school/ustrojstvo-ampermetra-i-voltmetra/ (дата обращения: 12.10.2025).
38. Падение напряжения. URL: https://elektro.school/padenie-napryazheniya/ (дата обращения: 12.10.2025).