Погружение в условие задачи
Задача 9.81 — это не просто номер из учебника, а конкретная физическая ситуация. Нам дан уединенный проводящий шарик, который обладает двумя известными характеристиками. Давайте разберем условие на составные части, чтобы четко понять, с чем мы работаем и к чему стремимся.
Нам известны следующие величины:
- Электрический потенциал на поверхности шарика, который обозначается как $\phi$ или V, и равен 792 В.
- Поверхностная плотность заряда, обозначаемая как $\sigma$, которая составляет 333 нКл/м².
Главный вопрос, на который нам предстоит ответить: «Каков радиус (R) этого шарика?»
Наша цель — не просто подставить числа в готовую, взятую из справочника формулу. Мы пройдем весь путь и выведем ее с нуля. Это позволит не только найти ответ, но и глубоко понять физику, которая стоит за этим процессом. Такой подход превращает решение задачи в логическое расследование.
Какие физические законы управляют нашей задачей
Чтобы успешно решить задачу, нам нужно вооружиться двумя ключевыми понятиями из электростатики. Понимание их сути — это фундамент для всех дальнейших вычислений.
Первое понятие — это поверхностная плотность заряда ($\sigma$). Важно понимать, что это не сам суммарный заряд шара, а его «концентрация» или «густота» распределения по поверхности. Она показывает, какой величины заряд приходится на каждый квадратный метр площади. В нашем случае это 333 нанокулона на м².
Второе понятие — электрический потенциал (V). Если говорить просто, это энергетическая характеристика электрического поля на поверхности шара. Потенциал показывает, какую потенциальную энергию получил бы единичный положительный заряд, помещенный в эту точку поля. Он напрямую зависит от общего заряда, создающего это поле, и от размеров объекта.
Ключевая идея нашего решения — найти математическую связь между этими двумя величинами (плотностью заряда и потенциалом) и геометрической характеристикой самого шара, то есть его радиусом.
Вооружившись пониманием этих концепций, мы готовы сделать первый практический шаг — связать известный нам параметр (плотность заряда) с общим зарядом шара.
Шаг первый, в котором мы находим общий заряд шара
Итак, мы знаем, сколько заряда приходится на один квадратный метр поверхности ($\sigma$). Логичный вопрос: как, исходя из этого, найти общий заряд (Q) всего шара? Для этого нам понадобится еще один параметр — общая площадь его поверхности.
Формула для площади поверхности сферы известна из геометрии:
S = 4πR²
Теперь логика становится предельно ясной. Если $\sigma$ — это заряд на единицу площади, то чтобы получить общий заряд Q, нужно умножить эту величину на всю площадь поверхности шара. Это похоже на то, как мы находим общую массу объекта, умножая плотность материала на его объем.
Таким образом, мы выводим первую важную формулу для нашего решения:
Q = S ⋅ σ = 4πR²σ
Это выражение связывает общий заряд Q с радиусом R и поверхностной плотностью $\sigma$. Однако на данном этапе у нас в уравнении две неизвестные величины: и Q, и R. Чтобы решить задачу, нам нужно еще одно уравнение, которое добавит в нашу систему известную нам величину — потенциал.
Шаг второй, где потенциал вступает в игру
Теперь нам нужно связать полученное выражение для общего заряда Q с потенциалом V. Здесь в игру вступает фундаментальная формула электростатики для потенциала на поверхности уединенного заряженного шара.
Эта формула выглядит так:
V = k ⋅ Q / R
Давайте разберем ее физический смысл. Она говорит нам, что потенциал (V) на поверхности шара прямо пропорционален его полному заряду (Q) — чем больше заряд, тем выше потенциал. И в то же время потенциал обратно пропорционален радиусу шара (R) — при том же заряде, чем больше шар, тем потенциал на его поверхности будет меньше.
В этой формуле присутствует коэффициент пропорциональности k, известный как константа Кулона. Для большей глубины понимания полезно знать, что эта константа сама по себе не фундаментальна и связана с другой важной величиной — диэлектрической проницаемостью вакуума ($\epsilon_0$):
k = 1 / (4πε₀)
Значение константы k приблизительно равно 9·10⁹ Н·м²/Кл².
Итак, теперь у нас есть второе ключевое уравнение. Мы построили «мостик» между зарядом и потенциалом. У нас есть система из двух уравнений, которая связывает все интересующие нас переменные: Q, R, V и $\sigma$. Мы на пороге главного открытия — вывода финальной формулы.
Синтез и кульминация, или как вывести итоговую формулу
Мы подошли к самому ответственному моменту. У нас есть все необходимые инструменты — два уравнения, полученные на предыдущих шагах. Давайте вспомним их:
- Из первого шага: Q = 4πR²σ (связывает заряд с плотностью заряда)
- Из второго шага: V = kQ/R (связывает потенциал с зарядом)
Наш план прост: объединить эти два уравнения в одно, чтобы исключить из него неизвестный нам общий заряд Q и оставить только те величины, которые либо даны в условии, либо являются искомой. Для этого мы подставим выражение для Q из первого уравнения во второе.
Проведем подстановку:
V = k ⋅ (4πR²σ) / R
Теперь мы можем упростить это выражение. Мы видим, что радиус R есть и в числителе (в квадрате), и в знаменателе. Сокращаем R:
V = 4πkRσ
Мы получили элегантную формулу, напрямую связывающую потенциал, радиус и плотность заряда. Наша конечная цель — выразить из нее радиус R. Для этого проведем простое алгебраическое преобразование: перенесем все множители, кроме R, из правой части в левую (в знаменатель).
В результате мы получаем итоговую рабочую формулу:
R = V / (4πkσ)
В качестве дополнительного шага, для полноты картины, можно подставить в эту формулу выражение для константы k через диэлектрическую проницаемость ($k = 1/(4\pi\epsilon_0)$). Тогда формула примет еще более компактный вид:
R = Vε₀ / σ
Теоретическая часть завершена. Мы проделали путь от базовых законов до финальной формулы. Осталось применить ее на практике.
Финальный расчет и осмысление результата
Теперь у нас есть мощный инструмент — формула, которую мы сами вывели. Применим ее для получения числового ответа. Воспользуемся формулой, содержащей константу Кулона:
R = V / (4πkσ)
Подставим значения из условия задачи. Но перед этим — критически важный момент: перевод единиц измерения в систему СИ. Поверхностная плотность заряда дана в нанокулонах на квадратный метр (нКл/м²), а для расчетов нам нужны кулоны (Кл/м²).
- V = 792 В
- σ = 333 нКл/м² = 333 ⋅ 10⁻⁹ Кл/м²
- k ≈ 9 ⋅ 10⁹ Н·м²/Кл²
- π ≈ 3,14159
Теперь проводим вычисление:
R = 792 / (4 ⋅ 3,14159 ⋅ (9 ⋅ 10⁹) ⋅ (333 ⋅ 10⁻⁹))
Обратите внимание, что 10⁹ и 10⁻⁹ в знаменателе взаимно уничтожаются, что упрощает расчет:
R = 792 / (4 ⋅ 3,14159 ⋅ 9 ⋅ 333) ≈ 792 / 37699 ≈ 0,021 м
Таким образом, радиус шарика составляет примерно 0,021 метра, или 2,1 сантиметра.
Ответ: Радиус шарика равен 0,021 м.
В заключение хочется подчеркнуть: главное в решении этой задачи — не запомнить конечную формулу, а понять логику ее вывода. Мы последовательно связали плотность заряда с общим зарядом, а затем общий заряд — с потенциалом. Именно из этого «мостика» мы и выразили искомую величину. Этот путь от основ к результату и есть суть физического мышления.
Список использованной литературы
- Валентина Сергеевна Волькенштейн