Деконструкция задачи по физике: пошаговое руководство по анализу электрической цепи постоянного тока и построению графиков (на примере задачи 10.51)

В мире, где от микрочипов до гигантских энергосистем все пронизано электричеством, глубокое понимание принципов работы электрических цепей постоянного тока является фундаментом инженерного и научного образования. Среднее внутреннее сопротивление нового автомобильного аккумулятора емкостью 60–90 А·ч составляет всего 4–7 мОм, однако даже эта, казалось бы, ничтожная величина способна значительно влиять на эффективность цепи, распределение мощности и напряжение под нагрузкой. Понимание этих тонкостей критически важно для каждого студента технического вуза, сталкивающегося с задачами по электротехнике.

Данное методическое пособие призвано не просто решить конкретную задачу — задачу 10.51 — но и деконструировать ее, предлагая всесторонний подход к анализу электрических цепей постоянного тока. Мы не ограничимся сухими формулами; наша цель — предоставить исчерпывающее, пошаговое руководство, которое станет надежным инструментом для выполнения контрольных работ, лабораторных исследований и глубокого освоения материала. Структура работы последовательно проведет читателя от фундаментальных определений и законов к подробным математическим выводам, академически корректной методике построения графиков и глубокому физическому анализу поведения цепи в различных режимах. Это не просто учебник, это навигатор в сложном, но увлекательном мире электричества, созданный для того, чтобы превратить рутинное решение задачи в акт научного исследования.

Фундаментальные основы анализа электрических цепей постоянного тока

Основные определения электрических величин

Погружение в анализ электрических цепей начинается с твердого понимания основных терминов и величин, которые, подобно строительным блокам, формируют всю электродинамику. Без их четкого определения и осознания физического смысла невозможно адекватно интерпретировать поведение электрических систем. Почему это так важно? Потому что именно точность в терминологии и понимании физической сути каждой величины позволяет избежать ошибок при расчетах и неверных выводов при анализе сложных схем.

Электродвижущая сила (ЭДС), E — это не просто напряжение. Это фундаментальная физическая величина, которая количественно характеризует работу так называемых *сторонних сил* по перемещению единичного положительного заряда внутри источника тока от его отрицательного полюса к положительному. В отличие от напряжения, которое является разностью потенциалов, ЭДС отражает способность источника создавать и поддерживать эту разность потенциалов, преодолевая внутреннее сопротивление. Измеряется ЭДС, как и напряжение, в вольтах (В). Классическим примером является ЭДС кислотного аккумулятора, которая колеблется от 1,97 до 2,14 В в зависимости от плотности электролита (1,12–1,29 г/см³). При этом ЭДС может иметь различную природу: в батарейках и аккумуляторах это электрохимическая ЭДС, в солнечных панелях — ЭДС фотоэффекта, в генераторах — ЭДС индукции, а в термоэлементах — термоЭДС, возникающая благодаря эффекту Зеебека.

Внутреннее сопротивление источника тока (r) — это неотъемлемая характеристика любого реального источника. Оно представляет собой сопротивление всех внутренних элементов, через которые протекает ток: электролита, электродов, соединительных шин и выводов. Это сопротивление обуславливает потери энергии внутри самого источника, которые проявляются в виде нагрева. Типичные значения r сильно разнятся: для нового автомобильного аккумулятора емкостью 60–90 А·ч оно может составлять 4–7 мОм, тогда как для обычной пальчиковой батарейки (типоразмер AA/R6) — около 0,7–1 Ом. Важно отметить, что внутреннее сопротивление не является постоянной величиной; оно имеет тенденцию к увеличению по мере эксплуатации и разряда батареи, а также при изменении температуры. Для автомобильных аккумуляторов увеличение r до 7–10 мОм может служить индикатором деградации.

Внешнее сопротивление цепи (R) — это сопротивление того участка цепи, который подключен к источнику тока. Именно на этом сопротивлении выделяется полезная мощность, выполняющая какую-либо работу (например, свечение лампы, вращение мотора). Величина R может изменяться, что является ключевым элементом для анализа в нашей задаче.

Сила тока (I) — это мера интенсивности упорядоченного движения заряженных частиц (электронов) в проводнике. Она определяется как количество заряда, проходящее через поперечное сечение проводника за единицу времени. Измеряется в амперах (А).

Напряжение (U), или разность потенциалов на участке цепи, представляет собой работу электрического поля по перемещению единичного положительного заряда по этому участку. Это то, что «движет» заряды через внешнюю нагрузку. Измеряется в вольтах (В).

Мощность электрического тока (P) — это скорость, с которой электрическая энергия передается или преобразуется. В контексте цепи с источником тока и нагрузкой различают:

• Полезная мощность (P_пол): Мощность, выделяемая на внешнем сопротивлении R и используемая для выполнения работы.
• Полная мощность (P_общ): Общая мощность, развиваемая сторонними силами источника тока во всей цепи, включая потери на внутреннем сопротивлении. Измеряется в ваттах (Вт).

Закон Ома для полной цепи

Центральным законом, описывающим взаимосвязь между ЭДС, током и сопротивлениями в замкнутой электрической цепи, является Закон Ома для полной цепи. Он представляет собой краеугольный камень для всех последующих математических выводов в нашей задаче.

Формулировка закона: Сила тока в замкнутой цепи прямо пропорциональна электродвижущей силе (ЭДС) источника и обратно пропорциональна полному сопротивлению цепи. Полное сопротивление цепи, в свою очередь, состоит из суммы внешнего сопротивления (R) и внутреннего сопротивления источника (r).

Математическая запись:

I = E / (R + r)

Где:

• I — сила тока в цепи (А).
• E — электродвижущая сила источника (В).
• R — внешнее сопротивление цепи (Ом).
• r — внутреннее сопротивление источника (Ом).

Физический смысл: Этот закон наглядно демонстрирует, что ЭДС источника «стремится» протолкнуть ток через цепь, преодолевая сопротивление как внешней нагрузки, так и собственное внутреннее сопротивление. Чем больше ЭДС, тем больше ток (при прочих равных); чем больше суммарное сопротивление (R + r), тем меньше ток. Внутреннее сопротивление r является своеобразным «налогом» на энергию, производимую источником, поскольку часть этой энергии неизбежно рассеивается внутри него самого. Понимание этого закона критически важно, так как он служит отправной точкой для вывода всех зависимостей, которые мы будем анализировать.

Математический вывод зависимостей электрических величин от внешнего сопротивления (R)

Для глубокого анализа работы электрической цепи необходимо понять, как ключевые электрические величины — сила тока, напряжение, полезная и полная мощность — изменяются в зависимости от внешнего сопротивления нагрузки R. Эти зависимости выражаются через функциональные формулы, которые мы сейчас академически строго выведем, опираясь на Закон Ома для полной цепи.

Зависимость силы тока от R

Начнем с самого фундаментального — силы тока. Согласно Закону Ома для полной цепи, сила тока (I) в замкнутой цепи определяется отношением электродвижущей силы (E) к полному сопротивлению цепи, которое является суммой внешнего (R) и внутреннего (r) сопротивлений.

Вывод формулы:

I = E / (R + r)

Пояснение: Эта формула показывает, что по мере увеличения внешнего сопротивления R знаменатель (R + r) возрастает, что приводит к уменьшению силы тока I. И наоборот, при уменьшении R ток увеличивается. При R = 0 (режим короткого замыкания) ток достигает своего максимального значения I_КЗ = E / r. Если R стремится к бесконечности (режим холостого хода, или разомкнутая цепь), ток стремится к нулю.

Зависимость напряжения на внешнем сопротивлении от R

Напряжение (U) на внешнем сопротивлении R — это мера падения потенциала на этом участке цепи. Его можно найти, используя Закон Ома для участка цепи, который гласит, что напряжение равно произведению силы тока на сопротивление этого участка.

Вывод формулы:

1. Согласно Закону Ома для участка цепи: U = I ⋅ R
2. Подставим в это выражение формулу для силы тока I(R), которую мы вывели ранее: I = E / (R + r)
3. Получаем: U(R) = (E / (R + r)) ⋅ R
4. Что можно переписать как: U(R) = (E ⋅ R) / (R + r)

Пояснение: Эта формула демонстрирует, что при R = 0 (короткое замыкание) напряжение U также равно нулю, поскольку ток течет, но «полезной» работы на внешнем сопротивлении не совершается. По мере увеличения R напряжение U возрастает. Когда R стремится к бесконечности (холостой ход), U стремится к ЭДС источника (U → E), так как при очень большом внешнем сопротивлении падение напряжения на внутреннем сопротивлении становится пренебрежимо малым.

Зависимость полезной мощности от R

Полезная мощность (P_пол) — это мощность, которая выделяется на внешнем сопротивлении и выполняет полезную работу. Она может быть выражена через ток и сопротивление или через напряжение и ток.

Вывод формулы:

1. Наиболее распространенная формула для мощности на сопротивлении: Pпол = I2 ⋅ R
2. Подставим в неё выражение для силы тока I(R) = E / (R + r):
   Pпол(R) = (E / (R + r))2 ⋅ R
3. Раскроем квадрат и упростим:
   Pпол(R) = (E2 / (R + r)2) ⋅ R
4. Окончательно: Pпол(R) = (E2 ⋅ R) / (R + r)2

Пояснение: Анализ этой функции показывает, что при R = 0 (короткое замыкание) P_пол = 0, так как R равно нулю. При R, стремящемся к бесконечности (разомкнутая цепь), P_пол также стремится к нулю, поскольку ток I становится очень мал. Между этими крайностями существует максимум полезной мощности, который, как мы покажем позднее, достигается при R = r.

Зависимость полной мощности от R

Полная мощность (P_общ) — это общая мощность, развиваемая источником тока во всей цепи. Она включает в себя как полезную мощность, так и потери на внутреннем сопротивлении. Полная мощность может быть выражена как произведение ЭДС на силу тока.

Вывод формулы:

1. Формула для полной мощности: Pобщ = I ⋅ E
2. Подставим сюда выражение для силы тока I(R) = E / (R + r):
   Pобщ(R) = (E / (R + r)) ⋅ E
3. Окончательно: Pобщ(R) = E2 / (R + r)

Пояснение: Из этой формулы видно, что полная мощность максимальна при минимальном сопротивлении цепи, то есть при R = 0 (короткое замыкание), где P_{общ_макс} = E² / r. По мере увеличения R полный ток уменьшается, и, соответственно, полная мощность P_общ также уменьшается, стремясь к нулю при R → ∞. Эта функция всегда убывающая, что логично, так как чем больше нагрузка, тем меньше ток, и тем меньше полная мощность, «выдаваемая» источником.

Методика построения графиков зависимостей электрических величин

Визуализация данных с помощью графиков является неотъемлемой частью научного и инженерного анализа. Для студентов технических вузов умение строить точные, наглядные и академически корректные графики не менее важно, чем способность выполнять расчеты, поскольку это позволяет не только наглядно представить полученные зависимости, но и облегчает анализ физического смысла наблюдаемых явлений, выявляя скрытые закономерности.

Общие правила оформления графиков

При подготовке графиков для академических работ следует придерживаться строгих стандартов, обеспечивающих их читаемость и информативность:

1. Материал для построения: График рекомендуется строить на миллиметровой бумаге. Мелкие деления позволяют добиться высокой точности при нанесении точек и проведении кривых.
2. Размер и композиция: Размер графика не должен быть слишком малым; оптимальный вариант — не менее листа формата А5. Это обеспечивает достаточное пространство для всех элементов и удобство восприятия. График должен быть центрирован и аккуратно расположен на листе.
3. Обозначение осей: Каждая ось координат должна быть четко обозначена. Необходимо указать:
   • Физическую величину, которую отображает ось (например, «Внешнее сопротивление»).
   • Символ этой величины (например, «R»).
   • Единицу измерения в скобках (например, «Ом»).

   Пример: «R, Ом» или «I, А».

4. Выбор масштаба: Масштаб по осям выбирается таким образом, чтобы он был максимально удобен для восприятия и расчетов. Предпочтительны простые соотношения: 1, 0.1, 10, 100 единиц измерения на деление. Также хорошо подходят величины, кратные 2 и 5 (например, 0.2, 0.5, 2, 5 единиц измерения на деление). Главное, чтобы на графике были четко видны характерные точки и особенности поведения функции, а сама кривая занимала большую часть координатного поля.
5. Начало отсчета: Начало отсчета на графике (точка пересечения осей) не всегда должно совпадать с нулевыми значениями величин. Если рассматриваемый диапазон значений не включает ноль, оси можно сдвинуть для лучшей детализации интересующего интервала. Однако для нашей задачи, где R изменяется от 0, начало отсчета будет совпадать с нулем.
6. Представление данных: Экспериментально или расчетно найденные зависимости следует изображать в виде плавных кривых, а не ломаных линий, соединяющих отдельные точки. Это подчеркивает непрерывный характер физических процессов. Точки, по которым строится кривая, можно обозначить маркерами (крестики, кружки), чтобы показать, откуда взяты данные.

Рекомендации по использованию программного обеспечения

В современном академическом мире ручное построение графиков часто заменяется использованием специализированного программного обеспечения, которое не только упрощает процесс, но и повышает точность и профессионализм оформления.

Для построения и обработки графиков физических зависимостей широко используются:

• Microsoft Excel / LibreOffice Calc: Распространенные табличные процессоры, предоставляющие базовые, но достаточно мощные инструменты для построения различных типов графиков. Удобны для быстрого анализа и представления данных.
• OriginLab (OriginPro): Это мощное профессиональное программное обеспечение, специально разработанное для научного анализа данных и построения высококачественных графиков. OriginLab не только позволяет создавать разнообразные графики с широкими возможностями кастомизации и оформления, но и предоставляет инструменты для математической обработки результатов: поиск зависимостей, численное дифференцирование и интегрирование, интерполяция, экстраполяция, а также статистический анализ. Он совместим с MATLAB и LabVIEW.
• Python (с библиотеками, например, Matplotlib, Seaborn, Plotly): Чрезвычайно гибкий и мощный инструмент для программирования и визуализации данных. Matplotlib — это стандарт де-факто для построения статических, анимированных и интерактивных графиков на Python. Для студентов, изучающих программирование и анализ данных, это идеальный выбор.
• Advanced Grapher, QtiPlot, R (с пакетами ggplot2), Mathematica, LabVIEW: Эти программы также предоставляют широкие возможности для построения сложных графиков, статистической обработки и моделирования, ориентированы на научные и инженерные задачи. Выбор конкретного инструмента часто зависит от специфики предметной области и личных предпочтений.

Использование этих программ не только экономит время, но и позволяет добиться высокого качества визуализации, что особенно ценится в академических отчетах и публикациях.

Пример построения графиков для задачи 10.51

Предположим, у нас есть источник тока с ЭДС E = 10 В и внутренним сопротивлением r = 2 Ом. Нам необходимо построить графики зависимостей I(R), U(R), P_пол(R) и P_общ(R) для диапазона внешнего сопротивления R от 0 до 20 Ом.

Пошаговый алгоритм:

1. Выбор диапазона R: В нашем случае R изменяется от 0 до 20 Ом. Для более точного построения графика выберем достаточное количество точек, например, с шагом 0.5 или 1 Ом.
2. Расчет значений величин: Для каждого выбранного значения R рассчитаем соответствующие значения I, U, P_пол и P_общ, используя выведенные ранее формулы:
   • I(R) = E / (R + r) = 10 / (R + 2)
   • U(R) = (E ⋅ R) / (R + r) = (10 ⋅ R) / (R + 2)
   • Pпол(R) = (E2 ⋅ R) / (R + r)2 = (102 ⋅ R) / (R + 2)2 = (100 ⋅ R) / (R + 2)2
   • Pобщ(R) = E2 / (R + r) = 102 / (R + 2) = 100 / (R + 2)

   Таблица расчетных значений (пример для нескольких точек):

   R, Ом	I, А	U, В	Pпол, Вт	Pобщ, Вт
   0	10/(0+2) = 5	(10⋅0)/(0+2) = 0	(100⋅0)/(0+2)² = 0	100/(0+2) = 50
   1	10/(1+2) ≈ 3.33	(10⋅1)/(1+2) ≈ 3.33	(100⋅1)/(1+2)² ≈ 11.11	100/(1+2) ≈ 33.33
   2 (R=r)	10/(2+2) = 2.5	(10⋅2)/(2+2) = 5	(100⋅2)/(2+2)² = 12.5	100/(2+2) = 25
   5	10/(5+2) ≈ 1.43	(10⋅5)/(5+2) ≈ 7.14	(100⋅5)/(5+2)² ≈ 10.2	100/(5+2) ≈ 14.29
   10	10/(10+2) ≈ 0.83	(10⋅10)/(10+2) ≈ 8.33	(100⋅10)/(10+2)² ≈ 6.94	100/(10+2) ≈ 8.33
   20	10/(20+2) ≈ 0.45	(10⋅20)/(20+2) ≈ 9.09	(100⋅20)/(20+2)² ≈ 4.13	100/(20+2) ≈ 4.55

3. Выбор масштаба для осей:
   • Ось абсцисс (R): от 0 до 20 Ом. Можно выбрать 1 см = 1 Ом.
   • Ось ординат (для I, U, P_пол, P_общ): Максимальные значения: I ≈ 5 А, U ≈ 10 В, P_пол ≈ 12.5 Вт, P_общ ≈ 50 Вт. Для удобства можно использовать несколько графиков или комбинировать оси, но чаще принято строить каждый график отдельно или использовать второстепенную ось для величин с сильно отличающимися диапазонами. Если все графики на одном поле, нужно тщательно подобрать масштаб. Например, для I и U: 1 см = 1 А, 1 см = 1 В; для P: 1 см = 5 Вт.
4. Построение графиков (визуализация):
   • На миллиметровой бумаге начертить оси координат.
   • Обозначить оси: «R, Ом» по горизонтали; по вертикали для каждого графика: «I, А», «U, В», «P_пол, Вт», «P_общ, Вт».
   • Нанести рассчитанные точки на соответствующий график.
   • Аккуратно соединить точки плавной кривой. Важно не соединять точки отрезками, а провести гладкую линию, отражающую непрерывную физическую зависимость.

Пример, как должны выглядеть графики (хотя здесь не представляется возможным их нарисовать, описания даны):

• График I(R): Начинается с I = 5 А при R = 0, плавно убывает, асимптотически приближаясь к нулю при увеличении R.
• График U(R): Начинается с U = 0 В при R = 0, плавно возрастает, асимптотически приближаясь к U = 10 В (ЭДС) при увеличении R.
• График P_пол(R): Начинается с 0 Вт при R = 0, возрастает до максимума (12.5 Вт) при R = 2 Ом, затем плавно убывает, асимптотически приближаясь к 0 Вт.
• График P_общ(R): Начинается с 50 Вт при R = 0, плавно убывает, асимптотически приближаясь к 0 Вт.

Такое детальное построение позволяет наглядно увидеть все характерные особенности поведения электрических величин, что будет предметом нашего следующего раздела анализа.

Анализ поведения электрических величин и эффективности цепи при изменении внешнего сопротивления

Изменение внешнего сопротивления (R) в электрической цепи постоянного тока приводит к динамическому изменению всех ключевых электрических величин. Глубокий анализ этих изменений, особенно в предельных режимах, позволяет понять физический смысл работы источника тока и его взаимодействие с нагрузкой.

Поведение силы тока и напряжения

Поведение силы тока I(R) и напряжения U(R) во многом предопределяет остальные зависимости и раскрывает фундаментальные принципы работы электрической цепи.

• Сила тока I(R):
  • Функциональная зависимость: I(R) = E / (R + r)
  • При R = 0 (режим короткого замыкания): Сила тока достигает своего максимального значения I_КЗ = E / r. В нашем примере (E = 10 В, r = 2 Ом) I_КЗ = 10 / 2 = 5 А. Физически это означает, что внешнее сопротивление полностью отсутствует, и ток ограничивается только внутренним сопротивлением источника. Это крайне нежелательный режим для большинства источников, так как он вызывает максимальный нагрев и быстрый разряд.
  • При R → ∞ (режим холостого хода, или разомкнутая цепь): Сила тока стремится к нулю. По мере увеличения R знаменатель (R + r) неограниченно возрастает, что приводит к уменьшению I. В этом режиме цепь фактически разомкнута, и ток не течет.
  • Общий характер: График I(R) представляет собой монотонно убывающую кривую, начинающуюся с максимального значения при R=0 и асимптотически приближающуюся к нулю.
• Напряжение на внешнем сопротивлении U(R):
  • Функциональная зависимость: U(R) = (E ⋅ R) / (R + r)
  • При R = 0 (короткое замыкание): Напряжение U = 0 В. Несмотря на максимальный ток, полезное напряжение на внешнем сопротивлении равно нулю, так как сопротивление нагрузки отсутствует. Вся ЭДС «падает» на внутреннем сопротивлении источника.
  • При R → ∞ (холостой ход): Напряжение U стремится к значению ЭДС источника (U → E). Это объясняется тем, что при очень большом внешнем сопротивлении ток в цепи становится ничтожно мал, и падение напряжения на внутреннем сопротивлении источника (I ⋅ r) также стремится к нулю. Таким образом, почти вся ЭДС источника оказывается приложена к клеммам внешней цепи.
  • Общий характер: График U(R) представляет собой монотонно возрастающую кривую, начинающуюся с нуля при R=0 и асимптотически приближающуюся к ЭДС источника.

Поведение полезной и полной мощности

Анализ мощностей позволяет оценить, насколько эффективно источник преобразует энергию и передает ее нагрузке.

• Полезная мощность P_пол(R):
  • Функциональная зависимость: Pпол(R) = (E2 ⋅ R) / (R + r)2
  • При R = 0 (короткое замыкание): P_пол = 0 Вт. Вся энергия рассеивается внутри источника, несмотря на максимальный ток.
  • При R → ∞ (холостой ход): P_пол → 0 Вт. Хотя напряжение на нагрузке максимально, ток в цепи отсутствует, поэтому полезная мощность не выделяется.
  • Максимум полезной мощности: Полезная мощность достигает своего максимального значения, когда внешнее сопротивление R равно внутреннему сопротивлению источника r (R = r). Для нашего примера это происходит при R = 2 Ом, где P_{пол_макс} = (100 ⋅ 2) / (2 + 2)² = 200 / 16 = 12.5 Вт. Это ключевой вывод для оптимальной работы цепи. График P_пол(R) имеет вид кривой с выраженным максимумом, напоминающей параболу, «лежащую на боку».
  • Физический смысл: Данный максимум является следствием конкуренции двух факторов: с одной стороны, с ростом R падает ток (и, соответственно, I²), что уменьшает мощность; с другой стороны, растет само сопротивление R, что способствует увеличению мощности. Эти две тенденции уравновешиваются при R = r.
• Полная мощность P_общ(R):
  • Функциональная зависимость: Pобщ(R) = E2 / (R + r)
  • При R = 0 (короткое замыкание): Полная мощность достигает своего максимального значения P_{общ_макс} = E² / r. В нашем случае P_{общ_макс} = 10² / 2 = 50 Вт. Это происходит потому, что при коротком замыкании ток в цепи максимален, а полная мощность напрямую пропорциональна току (P_общ = I ⋅ E).
  • При R → ∞ (холостой ход): Полная мощность стремится к нулю, так как ток в цепи исчезает.
  • Общий характер: График P_общ(R) является монотонно убывающей кривой, начинающейся с максимума при R=0 и асимптотически стремящейся к нулю.

Условие максимальной полезной мощности и КПД источника

Наиболее интересный аспект анализа связан с поиском оптимального режима работы цепи, который обеспечивает максимальную передачу энергии нагрузке, и оценкой эффективности этого процесса.

Условие максимальной полезной мощности: Как было показано выше, максимальная полезная мощность, выделяемая на внешнем сопротивлении, достигается, когда внешнее сопротивление цепи равно внутреннему сопротивлению источника тока (R = r).

Математическое обоснование КПД при R = r:
Когда R = r, сила тока в цепи:

I = E / (r + r) = E / (2r)

Полезная мощность:

Pпол = I2 ⋅ R = (E / (2r))2 ⋅ r = (E2 / (4r2)) ⋅ r = E2 / (4r)

Полная мощность:

Pобщ = I ⋅ E = (E / (2r)) ⋅ E = E2 / (2r)

Коэффициент полезного действия (КПД) источника тока (η) определяется как отношение полезной мощности к полной мощности:

η = Pпол / Pобщ = (E2 / (4r)) / (E2 / (2r)) = 1/2

Таким образом, при условии R = r, КПД источника составляет 0,5 или 50%. Это означает, что ровно половина энергии, генерируемой источником, рассеивается на его внутреннем сопротивлении, а вторая половина передается внешней нагрузке.

Поведение КПД:
Коэффициент полезного действия также может быть выражен через сопротивления:

η = R / (R + r)

• При R = 0 (короткое замыкание): η = 0 / (0 + r) = 0. КПД равен нулю, так как вся энергия теряется внутри источника.
• При R = r (условие максимальной полезной мощности): η = r / (r + r) = r / (2r) = 0.5 (или 50%), что подтверждает наш вывод.
• При R → ∞ (холостой ход): η → 1 (или 100%). По мере увеличения R, значение r становится пренебрежимо малым по сравнению с R, и отношение R / (R + r) стремится к единице. Однако, хотя КПД в этом режиме высок, полезная мощность, передаваемая нагрузке, стремится к нулю, так как ток в цепи крайне мал.

Парадокс максимальной мощности и КПД:
Важно понимать, что требования одновременного получения максимальной полезной мощности и максимального КПД — взаимоисключающие. Максимальная полезная мощность достигается при R = r, но при этом КПД составляет всего 50%. Это означает, что для получения максимальной мощности мы жертвуем половиной энергии, рассеивая её внутри источника. Высокий КПД (близкий к 100%) достигается при R >> r (режим, близкий к холостому ходу). Однако в этом случае полезная мощность будет очень низкой, поскольку ток в цепи мал.

Выбор оптимального режима: Выбор оптимального режима работы цепи зависит от конкретного приложения.

• В силовых устройствах (например, в системах электроснабжения), где важна экономия энергии, стремятся работать при R >> r, чтобы минимизировать потери и достичь высокого КПД.
• В некоторых маломощных устройствах радиотехники и электроники, где целью является передача максимальной мощности сигнала (например, от антенны к приемнику или от усилителя к динамику), может быть выбран согласованный режим R = r. Здесь важнее получить максимально возможный сигнал, даже ценой снижения КПД источника.

Понимание этих тонкостей позволяет инженеру осознанно проектировать электрические системы, выбирая компромисс между эффективностью и мощностью в зависимости от поставленной задачи.

Заключение

Мы завершили глубокую деконструкцию задачи по физике, связанной с анализом электрической цепи постоянного тока, на примере задачи 10.51. Это руководство предоставило не просто алгоритм решения, но и комплексный подход к пониманию фундаментальных принципов, математических зависимостей и практических аспектов работы электрических систем. Мы начали с твердого фундамента, заложив основы через четкие определения ЭДС, внутреннего и внешнего сопротивления, тока, напряжения и мощности, а также детально рассмотрев Закон Ома для полной цепи. Эти базисные знания стали отправной точкой для построения более сложных концепций. Далее, с академической строгостью, мы последовательно вывели математические формулы, описывающие зависимости силы тока, напряжения на внешнем сопротивлении, полезной и полной мощности от внешнего сопротивления R. Эти выводы не только продемонстрировали алгебраические преобразования, но и подчеркнули физическую логику, стоящую за каждой функцией. Ключевым элементом нашего анализа стала детальная методика построения графиков, отвечающая высоким академическим требованиям. Мы предоставили исчерпывающие рекомендации по оформлению осей, выбору масштаба и использованию профессионального программного обеспечения, что является важным навыком для любого студента технического вуза и позволяет преобразовывать числовые данные в наглядные и легко интерпретируемые визуальные представления. Наконец, мы провели глубокий физический анализ поведения электрических величин при изменении внешнего сопротивления, раскрывая характерные особенности режимов короткого замыкания и холостого хода. Особое внимание было уделено условию максимальной полезной мощности, при котором внешний и внутренний сопротивления равны, и математически обосновали, что в этом случае КПД цепи составляет 50%. Мы также обсудили компромисс между достижением максимальной мощности и максимального КПД, подчеркнув, что выбор оптимального режима зависит от конкретных инженерных задач.

Полученные знания и методики не ограничиваются решением одной конкретной задачи. Они формируют прочную основу для дальнейшего изучения электротехники, анализа более сложных электрических цепей и глубокого понимания принципов преобразования энергии. Это руководство призвано стать не просто ответом на «задачу 10.51», а ценным инструментом, который поможет студентам не только успешно выполнять контрольные работы, но и развить системное мышление, необходимое для будущих инженерных и научных достижений.

Список использованной литературы

1. Валентина Сергеевна Волькенштейн.
2. Закон Ома — формулировка простыми словами, определение. Skysmart. URL: https://www.skysmart.ru/articles/physics/zakon-oma (дата обращения: 11.10.2025).
3. Закон Ома для полной цепи. ЭлектроОм электротовары. URL: https://electro-om.ru/zakon-oma-dlya-polnoj-cepi.html (дата обращения: 11.10.2025).
4. Закон Ома для участка цепи и для полной электрической цепи. Вебиум. URL: https://webium.ru/fizika/zakon-oma (дата обращения: 11.10.2025).
5. Закон Ома для полной цепи и участка цепи. Объяснение смысла и применения простым языком. YouTube. URL: https://www.youtube.com/watch?v=sI91-G2-0cM (дата обращения: 11.10.2025).
6. Электродвижущая сила. Умскул Учебник. URL: https://umschool.ru/fizika/material/elektrodvizhushchaya-sila/ (дата обращения: 11.10.2025).
7. Расчет силы тока по мощности и напряжению. Интернет-магазин электрики Molter.ru. URL: https://molter.ru/info/raschet-sily-toka-po-moshchnosti-i-napryazheniyu/ (дата обращения: 11.10.2025).
8. Закон Ома для полной электрической цепи. КПД источника тока. URL: https://www.uchportal.ru/upload/pdf/Makarov_L.M._Fizika._10_klass_bazovyy_uroven._Uchebnik/Makarov_L.M._Fizika._10_klass_bazovyy_uroven._Uchebnik_Part_4.pdf (дата обращения: 11.10.2025).
9. Мощность электрического тока. YouTube. URL: https://www.youtube.com/watch?v=UqM2r7o-GvE (дата обращения: 11.10.2025).
10. Понятие силы тока, мощности, напряжения. Электрик.ру. URL: https://www.electrik.org/articles/ponjatie-sily-toka-moshhnosti-naprjazhenija (дата обращения: 11.10.2025).
11. ЭДС и внутреннее сопротивление источника тока. Без Сменки — Вебиум. URL: https://bezsmenki.ru/fizika/eds-i-vnutrennee-soprotivlenie-istochnika-toka (дата обращения: 11.10.2025).
12. Основные электрические величины: сила тока, напряжение, мощность. Академия Хана. URL: https://ru.khanacademy.org/science/electrical-engineering/introduction-to-circuit-analysis/circuit-elements/a/ee-voltage-current-and-power (дата обращения: 11.10.2025).
13. Урок 31. Лабораторная работа № 08. Измерение ЭДС и внутреннего сопротивления источника тока. Инфофиз. URL: https://infofiz.ru/fizika/10-klass/urok-31-laboratornaya-rabota-08-izmerenie-eds-i-vnutrennego-soprotivleniya-istochnika-toka.html (дата обращения: 11.10.2025).
14. Измерение ЭДС и внутреннего сопротивления источника тока. NWE. URL: https://nwe.ru/stati/izmerenie-eds-i-vnutrennego-soprotivleniya-istochnika-toka/ (дата обращения: 11.10.2025).
15. Определение ЭДС и внутреннего сопротивления источника тока. MultiRing.ru. URL: https://multiring.ru/articles/opredelenie_eds_i_vnutrennego_soprotivleniya_istochnika_toka (дата обращения: 11.10.2025).
16. Электрические цепи постоянного тока. URL: https://nchti.ru/f/e_s_k_c_p_t.pdf (дата обращения: 11.10.2025).
17. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи. Издание двенадцатое исправленное и дополненное. Elec.ru. URL: https://www.elec.ru/library/book/5610/ (дата обращения: 11.10.2025).
18. КПД электрической цепи. URL: https://phys-ege.sdamgia.ru/handbook?id=255 (дата обращения: 11.10.2025).
19. Коэффициент полезного действия в электрической цепи. ТОЭ и электроника. URL: http://toehelp.ru/theory/toe/chapter1/1_1_3.htm (дата обращения: 11.10.2025).
20. Формула полезной мощности в физике. Webmath.ru. URL: https://webmath.ru/poleznaya_moshchnost_formula (дата обращения: 11.10.2025).
21. КПД источника тока: формулы. Услуги электрика. URL: https://www.uslugi-elektrika.com/kpd-istochnika-toka-formula/ (дата обращения: 11.10.2025).
22. Зависимость мощности Pe , Pi , p от сопротивления нагрузки. URL: https://elar.urfu.ru/bitstream/10995/29161/1/f_lab_p_2015_02.pdf (дата обращения: 11.10.2025).
23. Зависимость мощности и КПД источника постоянного тока от внешней нагрузки. URL: https://www.nchti.ru/f/e_s_k_p_m_i_k_p_d_i_t_o_n_n.pdf (дата обращения: 11.10.2025).
24. Зависимость полезной мощности источника электрического тока от силы тока и внешнего сопротивления. URL: https://do.nuoma.ru/pluginfile.php/16304/mod_resource/content/1/ЛР4-1р.doc (дата обращения: 11.10.2025).
25. Исследование полной, полезной мощности и кпд источника тока. URL: https://bspu.by/static/raise/fizika/kuchmenko-s.g-fizika-i-astro-2.pdf (дата обращения: 11.10.2025).
26. Построение графика зависимости напряженности электрического поля от расстояния для тел сферической формы. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок». URL: https://urok.1sept.ru/articles/581223 (дата обращения: 11.10.2025).
27. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ Зависимость одной величины от другой удобно пред. DiSpace. URL: https://dispace.edu.nstu.ru/d/f_156_56_1/f_156_56_1.pdf (дата обращения: 11.10.2025).
28. Теорема о передаче максимальной мощности. CoderLessons.com. URL: https://coderlessons.com/articles/elektrotehnika/teorema-o-peredache-maksimalnoy-moshchnosti (дата обращения: 11.10.2025).
29. Физика зависимость мощности и кпд источника тока от нагрузки. personalii.spmi.ru. URL: https://personalii.spmi.ru/sites/personalii.spmi.ru/files/f_lab_p_2022_07.pdf (дата обращения: 11.10.2025).
30. Исследование зависимости полезной мощности и кпд источника тока. URL: https://elib.psunr.ru/upload/iblock/d76/d76412f8a452bf90a9693ed03f56b02a.pdf (дата обращения: 11.10.2025).
31. Закон Ома. Российское общество Знание. URL: https://znanierussia.ru/articles/zakon-oma (дата обращения: 11.10.2025).