Теория массового обслуживания: Методологические указания и примеры решений задач для контрольной работы

В современной экономике, где конкуренция требует максимальной эффективности и оптимизации ресурсов, способность управлять потоками запросов и обеспечивать своевременное обслуживание становится критически важной. Ежедневно мы сталкиваемся с бесчисленным множеством «очередей»: от звонков в колл-центр до машин на АЗС, от обработки данных на сервере до пациентов в клинике. Все эти сценарии объединяет общая проблема – как наилучшим образом организовать систему, чтобы минимизировать издержки, связанные с ожиданием или отказами, и при этом обеспечить приемлемый уровень качества услуг. Именно здесь на помощь приходит теория массового обслуживания (СМО) – мощный математический аппарат, позволяющий моделировать, анализировать и оптимизировать подобные процессы.

Теория массового обслуживания, являясь ключевым разделом исследования операций и экономико-математического моделирования, предоставляет инструментарий для количественной оценки характеристик систем, где заявки поступают случайным образом и требуют обслуживания ограниченными ресурсами. Ее практическая применимость охватывает широкий спектр сфер: от повышения пропускной способности производственных линий и оптимизации логистических цепочек до улучшения качества клиентского сервиса в банковском секторе и эффективного управления трафиком в телекоммуникационных сетях. Понимание принципов СМО позволяет не просто реагировать на проблемы, но и прогнозировать их, разрабатывая превентивные стратегии и оптимальные конфигурации систем. Цель данного руководства — предоставить студентам и аспирантам исчерпывающую методологическую базу для решения задач по теории массового обслуживания, соответствующую высоким академическим стандартам. Мы последовательно разберем ключевые понятия, классификации, метрики эффективности, а также представим подробные математические выводы и примеры расчетов для различных типов СМО. Каждый раздел будет максимально детализирован, чтобы читатель мог не только понять «что» делать, но и «почему» именно так, формируя глубокое и системное понимание предмета.

Фундаментальные понятия и классификация систем массового обслуживания

Для того чтобы погрузиться в мир систем массового обслуживания, необходимо, прежде всего, освоить его язык. Как в любой науке, здесь существует свой набор терминов и определений, которые являются краеугольными камнями для построения любых моделей и проведения анализа. Без чёткого понимания этих фундаментальных концепций невозможно правильно интерпретировать поведение системы или выбрать адекватный математический аппарат для её изучения. Действительно, как можно эффективно управлять тем, что не поддается точному описанию?

Основные элементы и терминология СМО

В основе любой системы массового обслуживания лежит взаимодействие между заявками и обслуживающими каналами. Представим себе картину: в банк приходит клиент, чтобы открыть счёт. Этот клиент – заявка. Операционист, который обслуживает клиента, – это канал обслуживания или обслуживающий прибор. Суть СМО заключается в управлении потоком таких заявок, которые поступают в систему в случайные моменты времени и требуют обработки.

Основные элементы СМО:

• Заявка (требование): Это любой объект, нуждающийся в обслуживании. Это может быть клиент, звонок, пакет данных, деталь на конвейере, самолёт, ожидающий посадки. Важно, что заявки поступают стохастически, то есть их появление носит случайный характер.
• Канал обслуживания (обслуживающий прибор): Это ресурс, который выполняет обслуживание. Примеры: оператор колл-центра, банкомат, заправочная колонка, врач в поликлинике, сервер в дата-центре. Система может иметь один или несколько таких каналов.
• Входящий поток требований (заявок): Это последовательность моментов поступления заявок в систему. Его ключевая характеристика – интенсивность потока (обозначается греческой буквой λ, «лямбда»), которая показывает среднее число заявок, поступающих в систему в единицу времени. Если, например, в банк в среднем приходит 10 клиентов в час, то λ = 10 клиентов/час.
• Выходящий поток: Это последовательность моментов завершения обслуживания и выхода заявок из системы.
• Интенсивность обслуживания (μ, «мю»): Это среднее число заявок, которое может быть обслужено одним каналом в единицу времени. Важно отметить, что интенсивность обслуживания является величиной, обратной среднему времени обслуживания одной заявки (t_обсл), то есть μ = 1 / t_обсл. Если один оператор в среднем обслуживает клиента за 6 минут (0,1 часа), то μ = 1 / 0,1 = 10 клиентов/час.

Входящий поток заявок чаще всего описывается так называемым простейшим (Пуассоновским) потоком. Это идеализированная, но чрезвычайно полезная модель, обладающая рядом ключевых свойств:

• Стационарность: Вероятностный режим потока не изменяется с течением времени. Это означает, что интенсивность поступления заявок (λ) остаётся постоянной в течение рассматриваемого периода.
• Ординарность: На любом достаточно малом промежутке времени вероятность поступления более одной заявки пренебрежимо мала. То есть, «толпы» заявок не приходят одновременно.
• Отсутствие последействия: Вероятность поступления заявок в будущем не зависит от того, сколько заявок поступило или было обслужено в прошлом. Каждый момент времени — это «новый старт», что упрощает математический анализ.

Время между поступлениями заявок в простейшем потоке распределено по показательному (экспоненциальному) закону. Аналогично, в большинстве базовых моделей предполагается, что время обслуживания заявок также распределено по показательному закону. Эти допущения значительно упрощают математические выкладки, позволяя использовать марковские процессы.

Классификация СМО по основным признакам

Системы массового обслуживания могут быть классифицированы по нескольким ключевым признакам, что позволяет выбрать наиболее подходящую модель для анализа конкретной ситуации.

По числу каналов обслуживания:

• Одноканальные СМО: Система имеет только один обслуживающий прибор. Примеры: одиночная касса в магазине, единственный врач в кабинете.
• Многоканальные СМО: Система имеет два или более параллельно работающих каналов обслуживания. Примеры: несколько операторов в колл-центре, несколько заправочных колонок на АЗС, многополосная дорога.

По наличию очереди:
Это один из наиболее важных критериев, определяющий поведение системы при полной загрузке каналов.

• СМО с отказами (или с потерями): В этой модели, если заявка поступает в момент, когда все каналы заняты, она немедленно получает отказ, покидает систему и в дальнейшем процессе обслуживания не участвует. Это означает, что в системе нет очереди. Такие системы характерны для ситуаций, где нет возможности или смысла ждать: например, занятые телефонные линии, где звонок просто сбрасывается.
• СМО с ожиданием (или с очередью): Заявка, нашедшая все каналы занятыми, не покидает СМО, а становится в очередь и ждет, пока не освободится какой-либо канал. Здесь уже требуется учитывать параметры очереди.
  • С неограниченной очередью: Теоретически, длина очереди не имеет предела. Это идеализированная модель, применяемая, когда реальное ограничение настолько велико, что им можно пренебречь.
  • С ограниченной очередью: Число мест в очереди строго лимитировано (например, M мест). Если заявка приходит, когда все каналы заняты и очередь заполнена, она получает отказ. Важно понимать, что при числе мест в очереди, равном нулю (m = 0), СМО с ожиданием превращается в СМО с отказами.

Дисциплина обслуживания:
Это правило, по которому выбирается следующая заявка из очереди для обслуживания.

• FCFS/FIFO (First-Come, First-Served / First-In, First-Out): «Первым пришел – первым обслужен». Самая распространённая и интуитивно понятная дисциплина.
• LCFS/LIFO (Last-Come, First-Served / Last-In, First-Out): «Последним пришел – первым обслужен». Реже встречается в практических задачах массового обслуживания, но может быть актуальна, например, при обработке стеков данных.
• SJF (Shortest Job First): Обслуживается заявка с наименьшим ожидаемым временем обслуживания.
• Приоритетное обслуживание: Заявки делятся на классы с разными приоритетами, и заявки с более высоким приоритетом обслуживаются в первую очередь.
• Случайный выбор: Заявка для обслуживания выбирается из очереди случайным образом.

Понимание этих базовых элементов и принципов классификации является первым и самым важным шагом к успешному моделированию и анализу любой системы массового обслуживания.

Ключевые характеристики и показатели эффективности функционирования СМО

После того как мы определили основные понятия и классифицировали системы, следующим шагом становится оценка их работы. Для этого в теории массового обслуживания разработан целый арсенал метрик и показателей, позволяющих количественно измерить эффективность, надежность и качество обслуживания. Эти показатели являются своего рода «пульсом» системы, отражающим ее текущее состояние и позволяющим выявлять узкие места или, наоборот, оценивать успешность внедренных оптимизаций.

Рассмотрим основные характеристики и показатели эффективности СМО:

• Вероятность отказа (P_отк): Этот показатель критически важен для систем с отказами. Он определяет вероятность того, что поступившая заявка не будет обслужена и покинет систему, получив отказ. Для СМО с отказами P_отк равна вероятности того, что все каналы заняты в момент поступления новой заявки. В системах с ожиданием и ограниченной очередью P_отк также отражает ситуацию, когда все каналы заняты, и очередь заполнена.
• Относительная пропускная способность (Q): Это вероятность того, что поступившая заявка будет успешно обслужена. По сути, это доля заявок, которые дошли до обслуживания. Очевидно, что Q = 1 — P_отк. Чем выше Q, тем эффективнее система справляется с потоком.
• Абсолютная пропускная способность (A): Представляет собой среднее число заявок, которые фактически обслуживаются системой в единицу времени. Этот показатель напрямую связан с интенсивностью входящего потока и относительной пропускной способностью: A = λ ⋅ Q. Он показывает, сколько «полезной работы» выполняет система.
• Среднее число занятых каналов (N_зан или K_зан): Это математическое ожидание числа каналов, которые в данный момент времени активно обслуживают заявки. Этот показатель важен для оценки загрузки обслуживающих устройств и планирования их использования.
• Среднее число заявок в очереди (L_q или N_оч): Показывает среднюю длину очереди, то есть среднее количество заявок, ожидающих обслуживания. Высокое значение L_q может свидетельствовать о недостаточной пропускной способности системы или о слишком высокой интенсивности входящего потока.
• Среднее число заявок в СМО (L_s или N_сис): Этот показатель включает в себя как заявки, находящиеся в очереди, так и те, которые непосредственно обслуживаются. Иными словами, это общее среднее число заявок, находящихся в системе в любой момент времени. L_s = L_q + N_зан.
• Среднее время ожидания заявки в очереди (W_q или T_ож): Это средняя продолжительность времени, которое заявка проводит в очереди до того, как начнется ее обслуживание. Для клиентов этот показатель напрямую связан с уровнем удовлетворенности.
• Среднее время пребывания заявки в СМО (W_s или T_сис): Общее среднее время, которое заявка проводит в системе, от момента поступления до момента выхода. Включает в себя как время ожидания в очереди, так и время непосредственного обслуживания. W_s = W_q + t_обсл = W_q + 1/μ.
• Коэффициент использования СМО (ρ_сист): Этот показатель характеризует среднюю долю времени, в течение которого обслуживающие устройства (или система в целом) заняты работой. Для одноканальной СМО ρ_сист = λ / μ. Для многоканальной СМО этот показатель рассчитывается как отношение среднего числа занятых каналов к общему числу каналов.

Формула Литтла и ее применение

Особое место среди этих показателей занимает формула Литтла, названная в честь профессора Джона Литтла, которая устанавливает фундаментальную связь между средним числом заявок в системе (или очереди) и средним временем их пребывания (или ожидания). Это не просто формула, а мощный принцип, применимый к широкому классу систем, не зависящий от конкретных распределений времени поступления или обслуживания (при условии стационарного режима).

Формула Литтла гласит:

• L_s = λ ⋅ W_s
  • Где:
    • L_s — среднее число заявок в системе.
    • λ — эффективная интенсивность поступления заявок в систему (только те заявки, которые действительно получают обслуживание, т.е. λ⋅Q).
    • W_s — среднее время пребывания заявки в системе.

Аналогичная формула применима и к очереди:

• L_q = λ ⋅ W_q
  • Где:
    • L_q — среднее число заявок в очереди.
    • λ — эффективная интенсивность поступления заявок в систему.
    • W_q — среднее время ожидания заявки в очереди.

Практическое значение формулы Литтла трудно переоценить. Она позволяет, зная два из трех параметров, легко вычислить третий, что значительно упрощает анализ и проектирование систем. Например, если мы знаем среднюю интенсивность прихода клиентов (λ) и среднее время, которое клиент проводит в очереди (W_q), мы можем легко рассчитать среднюю длину очереди (L_q), не прибегая к более сложным вероятностным расчетам. Эта формула является своего рода «мостиком» между временными и количественными характеристиками СМО. Все эти показатели эффективности позволяют получить полную картину функционирования СМО, выявить слабые места и служат основой для принятия управленческих решений, направленных на оптимизацию системы.

Методы и формулы расчета для одноканальных систем массового обслуживания

Переходя от общих понятий к конкретике, остановимся на одноканальных системах массового обслуживания – самых простых, но в то же время фундаментальных моделях. Именно с них начинается изучение СМО, поскольку они закладывают основу для понимания более сложных многоканальных систем. В этих моделях предполагается, что входящий поток заявок является простейшим (Пуассоновским), а время обслуживания распределено по показательному закону.

Одноканальная СМО с отказами

Представьте себе небольшую парикмахерскую с одним мастером. Если в момент прихода клиента мастер занят, клиент просто уходит, не дожидаясь. Это классический пример одноканальной СМО с отказами. Заявки, которые не могут быть обслужены немедленно, теряются.

В такой системе ключевыми параметрами являются:

• λ – интенсивность входящего потока заявок.
• μ – интенсивность обслуживания одним каналом.

Для этой модели выводятся следующие основные формулы:

• Вероятность отказа (P_отк): Это вероятность того, что в момент поступления заявки канал будет занят, и заявка получит отказ.
  Pотк = λ / (μ + λ)
• Относительная пропускная способность (Q): Вероятность того, что заявка будет обслужена.
  Q = μ / (μ + λ)
  Обратите внимание, что Q = 1 — P_отк.
• Абсолютная пропускная способность (A): Среднее число обслуженных заявок в единицу времени.
  A = λ ⋅ Q = (λ ⋅ μ) / (μ + λ)

Пример: В магазин поступает в среднем 5 покупателей в час (λ = 5). Один продавец обслуживает в среднем 8 покупателей в час (μ = 8).
P_отк = 5 / (8 + 5) = 5 / 13 ≈ 0.385 (38.5% покупателей уходят без покупки).
Q = 8 / (8 + 5) = 8 / 13 ≈ 0.615 (61.5% покупателей обслуживаются).
A = 5 ⋅ (8 / 13) = 40 / 13 ≈ 3.077 (в среднем обслуживается 3.077 покупателя в час).

Одноканальная СМО с ожиданием и неограниченной очередью (M/M/1)

Эта модель, часто обозначаемая как M/M/1 (где первое M означает Пуассоновский входящий поток, второе M — показательное распределение времени обслуживания, а 1 — один канал), описывает систему, где заявки, не нашедшие свободного канала, становятся в неограниченную очередь. Представьте себе кассу в супермаркете, где покупатели терпеливо ждут, пока подойдет их очередь.

Условие существования стационарного режима: Для того чтобы система не «взорвалась» и очередь не росла до бесконечности, необходимо, чтобы интенсивность обслуживания была больше интенсивности поступления заявок. Это выражается через коэффициент загрузки (или интенсивность движения) системы ρ:
ρ = λ / μ < 1
Если ρ ≥ 1, то очередь будет расти неограниченно, и стационарный режим не установится.

Основные формулы для M/M/1 СМО:

• Вероятность того, что в системе находится n заявок (P_n): (включая обслуживаемую и ждущие в очереди)
  Pn = (1 - ρ) ⋅ ρn
  В частности, P₀ = (1 - ρ) — вероятность того, что система свободна (нет заявок).
• Среднее число заявок в системе (L_s):
  Ls = ρ / (1 - ρ)
• Среднее время пребывания заявки в системе (W_s):
  Ws = 1 / (μ - λ)
• Среднее число заявок в очереди (L_q):
  Lq = ρ2 / (1 - ρ)
  Можно также получить L_q = L_s - ρ.
• Среднее время ожидания в очереди (W_q):
  Wq = ρ / (μ ⋅ (1 - ρ))
  Или, используя формулу Литтла: W_q = L_q / λ.

Пример: В колл-центр поступает 10 звонков в час (λ = 10). Один оператор обрабатывает 15 звонков в час (μ = 15).
Сначала проверим условие стационарности: ρ = λ / μ = 10 / 15 = 2/3 ≈ 0.667 < 1. Стационарный режим существует.
P₀ = 1 - 2/3 = 1/3 ≈ 0.333.
L_s = (2/3) / (1 - 2/3) = (2/3) / (1/3) = 2 заявки.
W_s = 1 / (15 - 10) = 1/5 = 0.2 часа = 12 минут.
L_q = (2/3)² / (1 - 2/3) = (4/9) / (1/3) = 4/3 ≈ 1.333 заявки.
W_q = (2/3) / (15 ⋅ (1 - 2/3)) = (2/3) / (15 ⋅ 1/3) = (2/3) / 5 = 2/15 ≈ 0.133 часа = 8 минут.
Таким образом, в среднем 1.333 звонка ждут в очереди, и каждый звонок ожидает 8 минут.

Одноканальная СМО с ожиданием и ограниченной очередью

Эта модель более реалистична, чем предыдущая, поскольку в реальном мире всегда существуют ограничения на размер очереди (например, ограниченное пространство для клиентов или объем буфера памяти). Максимальная длина очереди обозначается M. Заявки, поступающие, когда канал занят и очередь уже заполнена до предела M, получают отказ.

Параметры:

• λ – интенсивность входящего потока.
• μ – интенсивность обслуживания.
• M – максимальная общая вместимость системы (канал + очередь). То есть, M мест в очереди означает M+1 заявок в системе. Для простоты, часто M обозначает максимальное число заявок в системе, включая ту, что на обслуживании.

Для этой модели применяются следующие формулы:

• Вероятность того, что система свободна (P₀):
  При ρ = λ/μ ≠ 1:
  P0 = (1 - ρ) / (1 - ρ(M+1))
  Если ρ = 1, то P0 = 1 / (M + 1).
• Вероятность того, что в системе находится n заявок (P_n):
  Pn = P0 ⋅ ρn (для n = 0, 1, ..., M)
• Вероятность отказа (P_отк): Это вероятность того, что система полностью заполнена (канал занят и очередь из M-1 мест заполнена, т.е. всего M заявок в системе).
  Pотк = PM = P0 ⋅ ρM
• Относительная пропускная способность (Q):
  Q = 1 - Pотк
• Абсолютная пропускная способность (A):
  A = λ ⋅ (1 - Pотк)

Пример: Клиенты приходят к единственному консультанту с интенсивностью λ = 4 клиента/час. Консультант обслуживает со скоростью μ = 6 клиентов/час. Максимальная длина очереди составляет 2 человека (M = 3, если считать и консультанта, и очередь).
ρ = λ / μ = 4 / 6 = 2/3.
P₀ = (1 - 2/3) / (1 - (2/3)⁽²⁺¹⁾) = (1/3) / (1 - 8/27) = (1/3) / (19/27) = 1/3 ⋅ 27/19 = 9/19 ≈ 0.4737.
Вероятность отказа (все 3 места заняты – консультант и 2 в очереди):
P_отк = P₃ = P₀ ⋅ ρ³ = (9/19) ⋅ (2/3)³ = (9/19) ⋅ (8/27) = (1/19) ⋅ (8/3) = 8/57 ≈ 0.1404.
Таким образом, около 14% клиентов будут получать отказ из-за полной очереди. Эти модели одноканальных СМО являются отправной точкой для понимания более сложных многоканальных систем и позволяют оценивать базовые характеристики эффективности.

Методы и формулы расчета для многоканальных систем массового обслуживания

Переходим к более сложным, но и более распространенным в реальной жизни системам – многоканальным СМО. Это системы, где одновременно могут работать несколько обслуживающих устройств (каналов), что значительно усложняет расчеты, но и дает больше возможностей для оптимизации. Как и в одноканальных моделях, здесь предполагается простейший входящий поток и показательное распределение времени обслуживания.

Многоканальная СМО с отказами (формулы Эрланга B)

Многоканальная СМО с отказами – это система с n параллельно работающими каналами, где заявка, поступившая в момент, когда все n каналов заняты, получает отказ и покидает систему. Классический пример – телефонная станция с ограниченным числом линий, где при всех занятых линиях абонент слышит сигнал "занято". Математический аппарат для таких систем был разработан А.К. Эрлангом, и соответствующие формулы носят его имя (формулы Эрланга B или формулы Эрланга первого рода).

Ключевой параметр здесь – интенсивность нагрузки (или приведенная интенсивность потока) ρ = λ/μ. Это не то же самое, что коэффициент загрузки одного канала, а скорее показатель того, сколько "идеальных" каналов понадобилось бы для обслуживания всех заявок без потерь.

Основные формулы:

• Вероятность того, что все каналы свободны (P₀):
  P0 = [ Σk=0n (ρk / k!) ]-1
  где:
  • n – число каналов обслуживания.
  • ρ = λ/μ – интенсивность нагрузки.
  • k! – факториал числа k.
• Вероятность отказа (P_отк) или вероятность того, что все n каналы заняты (P_n): Это знаменитая формула Эрланга B.
  Pотк = Pn = P0 ⋅ (ρn / n!)
  или в развернутом виде:
  Pотк = (ρn / n!) / [ Σk=0n (ρk / k!) ]
• Относительная пропускная способность (Q):
  Q = 1 - Pотк
• Абсолютная пропускная способность (A): Среднее число заявок, которые фактически обслуживаются системой в единицу времени.
  A = λ ⋅ Q
• Среднее число занятых каналов (N_зан):
  Nзан = ρ ⋅ Q = λ ⋅ Q / μ = A / μ
  Это также известный результат, поскольку N_зан в стационарном режиме равно средней интенсивности, с которой заявки поступают на обслуживание, деленной на интенсивность обслуживания одного канала.

Пример: На АЗС работают 3 колонки (n = 3). Интенсивность поступления машин λ = 10 машин/час. Время обслуживания одной машины t_обсл = 15 минут = 0.25 часа, значит μ = 1/0.25 = 4 машины/час.
ρ = λ / μ = 10 / 4 = 2.5.
P₀ = [ (2.5⁰ / 0!) + (2.5¹ / 1!) + (2.5² / 2!) + (2.5³ / 3!) ]^-1
P₀ = [ 1 + 2.5 + (6.25 / 2) + (15.625 / 6) ]^-1
P₀ = [ 1 + 2.5 + 3.125 + 2.604 ]^-1 = [ 9.229 ]^-1 ≈ 0.1084.
P_отк = P₃ = P₀ ⋅ (ρ³ / 3!) = 0.1084 ⋅ (2.5³ / 6) = 0.1084 ⋅ (15.625 / 6) ≈ 0.1084 ⋅ 2.604 ≈ 0.2823.
Примерно 28.23% машин будут получать отказ и уезжать.
Q = 1 - 0.2823 = 0.7177.
A = 10 ⋅ 0.7177 = 7.177 машин/час.
N_зан = 2.5 ⋅ 0.7177 ≈ 1.794 канала. В среднем, из трех колонок работают менее двух.

Многоканальная СМО с ожиданием (неограниченная очередь, формулы Эрланга C)

Эта модель, также известная как M/M/n (где n – число каналов), описывает систему с n параллельными каналами, где заявки, не нашедшие свободного канала, становятся в неограниченную очередь. Это типичная модель для колл-центров, банков с несколькими операторами или крупных сервисных центров. Заявки ожидают в одной общей очереди, и освободившийся канал берет первую заявку из этой очереди.

Условие существования стационарного режима: Для этой системы условие стационарности более сложное, чем для одноканальной, так как нагрузка распределяется на несколько каналов. Коэффициент загрузки системы ρ_сист = λ / (n ⋅ μ) должен быть меньше 1.
Или, используя параметр интенсивности нагрузки ρ = λ/μ, условие: ρ < n.

Основные формулы:

• Вероятность того, что все каналы свободны (P₀):
  P0 = [ Σk=0n-1 (ρk / k!) + (ρn / (n! ⋅ (1 - ρ/n))) ]-1
  где:
  • ρ = λ/μ – интенсивность нагрузки.
  • n – число каналов.
• Вероятность того, что все n каналов заняты (P_n): Это вероятность того, что поступившая заявка найдет все каналы занятыми и встанет в очередь. Эта вероятность также известна как вероятность Эрланга C (Erlang C probability) или вероятность ожидания.
  Pn = P0 ⋅ (ρn / n!) ⋅ [ 1 / (1 - ρ/n) ]
• Среднее число заявок в очереди (L_q):
  Lq = Pn ⋅ (ρ/n) / (1 - ρ/n)2
  Или, подставляя P_n:
  Lq = (ρn+1 / (n! ⋅ n)) ⋅ P0 / (1 - ρ/n)2
• Среднее время ожидания в очереди (W_q):
  Wq = Lq / λ
  Или, используя формулу Литтла.
• Среднее число заявок в системе (L_s):
  Ls = Lq + ρ
  Здесь ρ = λ/μ представляет собой среднее число заявок, находящихся на обслуживании (фактически, это среднее число занятых каналов, если нет отказов).
• Среднее время пребывания в системе (W_s):
  Ws = Wq + 1/μ
  Это время ожидания плюс среднее время обслуживания.

Пример: В банке работают 2 оператора (n = 2). Интенсивность прихода клиентов λ = 4 клиента/час. Каждый оператор обслуживает со скоростью μ = 3 клиента/час.
ρ = λ/μ = 4/3 ≈ 1.333.
Условие стационарности: ρ < n ⟹ 4/3 < 2 (1.333 < 2), условие выполняется.
P₀ = [ ( (4/3)⁰ / 0! ) + ( (4/3)¹ / 1! ) + ( (4/3)² / (2! ⋅ (1 - (4/3)/2 )) ) ]^-1
P₀ = [ 1 + 4/3 + ( (16/9) / (2 ⋅ (1 - 4/6) ) ) ]^-1
P₀ = [ 1 + 4/3 + ( (16/9) / (2 ⋅ (2/6) ) ) ]^-1
P₀ = [ 1 + 4/3 + ( (16/9) / (2/3) ) ]^-1
P₀ = [ 1 + 4/3 + (16/9 ⋅ 3/2) ]^-1 = [ 1 + 4/3 + 8/3 ]^-1 = [ 1 + 12/3 ]^-1 = [ 1 + 4 ]^-1 = 5^-1 = 0.2.
Вероятность того, что все 2 канала заняты (P₂):
P₂ = P₀ ⋅ (ρ² / 2!) ⋅ [ 1 / (1 - ρ/n) ] = 0.2 ⋅ ( (4/3)² / 2 ) ⋅ [ 1 / (1 - (4/3)/2 ) ]
P₂ = 0.2 ⋅ ( (16/9) / 2 ) ⋅ [ 1 / (1 - 4/6) ] = 0.2 ⋅ (8/9) ⋅ [ 1 / (2/6) ] = 0.2 ⋅ (8/9) ⋅ 3 = 0.2 ⋅ 8/3 ≈ 0.5333.
Среднее число заявок в очереди (L_q):
L_q = P₂ ⋅ (ρ/n) / (1 - ρ/n)² = 0.5333 ⋅ ( (4/3)/2 ) / (1 - (4/3)/2 )²
L_q = 0.5333 ⋅ (2/3) / (2/6)² = 0.5333 ⋅ (2/3) / (1/3)² = 0.5333 ⋅ 6 ≈ 3.2.
Среднее время ожидания в очереди (W_q):
W_q = L_q / λ = 3.2 / 4 = 0.8 часа = 48 минут.
Среднее число заявок в системе (L_s):
L_s = L_q + ρ = 3.2 + 4/3 ≈ 3.2 + 1.333 = 4.533 заявки.
Среднее время пребывания в системе (W_s):
W_s = W_q + 1/μ = 0.8 + 1/3 ≈ 0.8 + 0.333 = 1.133 часа = 68 минут.

Эти модели, особенно Эрланга B и C, являются мощными инструментами для проектирования и оптимизации многоканальных систем, позволяя оценить компромисс между затратами на каналы и качеством обслуживания.

Определение интенсивностей потоков и оптимизация числа каналов обслуживания

Теория массового обслуживания – это не просто набор формул, а практический инструмент для принятия решений. Для того чтобы успешно применить все эти математические модели, необходимо правильно определить входные параметры, а затем использовать полученные результаты для оптимизации реальных систем. Именно в этом разделе мы сосредоточимся на том, как "перевести" наблюдаемые данные в модельные параметры и как использовать эти параметры для поиска наилучшего решения.

Практическое определение интенсивностей входящего потока и обслуживания

Корректное определение интенсивностей λ и μ является фундаментом для построения любой адекватной модели СМО. Эти параметры не абстрактны, а напрямую выводятся из реальных статистических данных.

• Интенсивность входящего потока (λ): Определяется как среднее число требований, поступающих в систему в единицу времени.
  • Метод 1: Прямое наблюдение. Если мы зафиксировали, что за определенный период (например, час, день) в систему поступило N заявок, то λ = N / T, где T – длительность периода.
  • Метод 2: Через среднее время между поступлениями (T_приб). Если мы знаем среднее время, которое проходит между поступлениями двух последовательных заявок, то λ является обратной величиной: λ = 1 / T_приб. Например, если в среднем машины на АЗС приезжают каждые 5 минут, то T_приб = 5 мин = 1/12 часа, а λ = 12 машин/час.
• Интенсивность обслуживания (μ): Определяется как величина, обратная среднему времени обслуживания (t_обсл) одной заявки одним каналом: μ = 1 / t_обсл.
  • Метод 1: Прямое наблюдение. Если один канал обслужил N заявок за время T, то среднее время обслуживания одной заявки t_обсл = T / N. Отсюда μ = N / T.
  • Метод 2: Известное среднее время. Если известно, что один оператор в среднем тратит 10 минут на обслуживание клиента, то t_обсл = 10 мин = 1/6 часа, а μ = 6 клиентов/час.

Примеры определения интенсивностей для практических задач:

• Автозаправочные станции (АЗС):
  • λ: Если за 4 часа на АЗС приезжает 40 машин, то λ = 40 машин / 4 часа = 10 машин/час.
  • μ: Если одна колонка обслуживает одну машину в среднем за 6 минут (0.1 часа), то μ = 1 / 0.1 = 10 машин/час.
• Системы обслуживания клиентов в банке:
  • λ: В часы пик с 10:00 до 12:00 в отделение пришло 30 клиентов. λ = 30 клиентов / 2 часа = 15 клиентов/час.
  • μ: Среднее время обслуживания клиента одним операционистом составляет 8 минут (8/60 часа). μ = 1 / (8/60) = 60/8 = 7.5 клиентов/час.
• Телефонные станции или работа секретаря:
  • λ: В течение рабочего дня (8 часов) секретарь принимает 96 телефонных вызовов. λ = 96 вызовов / 8 часов = 12 вызовов/час.
  • μ: Средняя длительность разговора секретаря с одним абонентом 4 минуты (4/60 часа). μ = 1 / (4/60) = 15 вызовов/час.

Методология определения оптимального числа каналов обслуживания

Определение оптимального количества обслуживающих устройств (n) – одна из наиболее распространенных и важных практических задач в теории массового обслуживания. Это задача оптимизации, которая стремится найти такой баланс, при котором суммарные затраты будут минимальными, а прибыль – максимальной. Ведь зачем переплачивать за избыточные мощности или терять клиентов из-за их недостатка?

Экономические критерии оптимизации:

Выбор оптимального n всегда сопряжен с компромиссом между несколькими видами затрат:

1. Затраты на создание и эксплуатацию каналов обслуживания (З_с или З_экс): Это прямые расходы, которые растут с увеличением числа каналов. Сюда входят стоимость оборудования, зарплата персонала, аренда помещения и т.д. Чем больше каналов, тем выше эти затраты.
2. Затраты, связанные с простоями каналов обслуживания (З_пр.к): Эти издержки возникают, когда обслуживающие устройства простаивают, не будучи загруженными заявками. Они связаны с неэффективным использованием ресурсов. Чем больше каналов, и чем ниже их загрузка, тем выше эти затраты.
3. Затраты, связанные с ожиданием обслуживания (З_ож): Эти потери возникают из-за пребывания заявок в очереди. Для клиентов это может быть потеря времени, снижение удовлетворенности, уход к конкурентам. Для производственных процессов – простой оборудования или задержки в производстве. Эти затраты уменьшаются с увеличением числа каналов.
4. Потери вследствие отказа в обслуживании (С_отк): Это упущенная прибыль или прямой ущерб от необслуженных заявок. Например, потерянный клиент, невыполненный заказ, авария из-за перегрузки системы. Эти потери также уменьшаются с увеличением числа каналов (в системах с отказами или ограниченной очередью).

Подход к выбору оптимального n:

Для обеспечения заданного уровня качества услуг или достижения максимальной экономической эффективности необходимо провести анализ "затраты-выгоды" (Cost-Benefit Analysis, CBA) для различного числа каналов (n).

Алгоритм оптимизации:

1. Определение диапазона n: Выбрать разумный диапазон возможного числа каналов (например, от 1 до 5-10).
2. Расчет показателей эффективности: Для каждого значения n рассчитать все ключевые показатели эффективности СМО (P_отк, L_q, W_q и т.д.) с использованием соответствующих формул.
3. Оценка затрат/выгод:
   • Рассчитать суммарные затраты для каждого n, исходя из:
     • Затрат на n каналов (З_с ⋅ n).
     • Затрат на простой каналов (З_пр.к ⋅ Σ (время простоя каждого канала)).
     • Затрат на ожидание (стоимость ожидания одной заявки ⋅ среднее число заявок в очереди ⋅ λ).
     • Потерь от отказов (стоимость одного отказа ⋅ число отказов = стоимость одного отказа ⋅ λ ⋅ P_отк).
   • Или оценить выгоды, связанные с улучшением качества обслуживания (например, увеличение лояльности клиентов, рост пропускной способности).
4. Построение графика и выбор оптимального n: Построить график зависимости суммарных затрат (или чистой прибыли) от числа каналов n. Оптимальным будет то значение n, при котором суммарные затраты минимальны, либо чистая прибыль максимальна.

Пример (гипотетический):
Предположим, мы анализируем колл-центр, где стоимость каждого оператора (канала) составляет 1000 руб./час. Стоимость ожидания клиента в очереди оценивается в 50 руб./минуту, а потеря клиента из-за отказа – в 5000 руб.

Число каналов (n)	Pотк	Wq (мин)	Lq	Затраты на каналы (руб/час)	Затраты на ожидание (руб/час)	Потери от отказов (руб/час)	Общие затраты (руб/час)
1	0.30	15	3	1000	50 ⋅ 15 ⋅ λ	5000 ⋅ λ ⋅ 0.30	Сумма
2	0.10	5	1	2000	50 ⋅ 5 ⋅ λ	5000 ⋅ λ ⋅ 0.10	Сумма
3	0.02	1	0.2	3000	50 ⋅ 1 ⋅ λ	5000 ⋅ λ ⋅ 0.02	Сумма
4	0.005	0.5	0.1	4000	50 ⋅ 0.5 ⋅ λ	5000 ⋅ λ ⋅ 0.005	Сумма

(где λ – интенсивность входящего потока в заявках/час, которую необходимо подставить для реальных расчетов).

Проведя такие расчеты для различных n, мы сможем найти точку минимума общих затрат, которая и укажет на оптимальное число каналов. Этот подход позволяет не просто "прикинуть" количество ресурсов, а обосновать его математически и экономически, обеспечивая требуемый уровень сервиса при минимальных издержках.

Алгоритм решения типовых задач по СМО и требования к оформлению

Успешное решение задач по теории массового обслуживания требует не только глубокого понимания теоретического материала, но и систематического, строгого подхода к их выполнению. В этом разделе мы представим общий алгоритм решения типов��х задач, а также подробно остановимся на требованиях к академическому оформлению, что является неотъемлемой частью контрольной работы и демонстрации вашей профессиональной компетентности.

Общий алгоритм решения задач СМО

Каждая задача по теории массового обслуживания, несмотря на её специфику, следует определённой логической цепочке. Применение этого алгоритма позволит избежать ошибок и обеспечить полноту решения.

1. Определение типа СМО: Это первый и самый критически важный шаг. Необходимо тщательно проанализировать условия задачи, чтобы понять, какой тип системы описывается. Задайте себе следующие вопросы:
   • Сколько каналов обслуживания? (Одноканальная или многоканальная)
   • Есть ли очередь? (С отказами или с ожиданием)
   • Если с ожиданием, то очередь ограничена или неограничена? Если ограничена, какова её максимальная длина?
   • Какова дисциплина обслуживания? (FCFS, LCFS, приоритетная – хотя в большинстве типовых задач предполагается FCFS).
   • Каково распределение входящего потока и времени обслуживания? (Чаще всего предполагается простейший (Пуассоновский) поток и показательное распределение времени обслуживания, что указывает на Марковскую СМО (M/M/1, M/M/n)).
2. Определение входных параметров и проверка условий:
   • Извлеките из условия задачи значения интенсивности входящего потока (λ) и интенсивности обслуживания (μ) для одного канала. Убедитесь, что они выражены в одних и тех же единицах времени (например, заявок/час).
   • Если это многоканальная СМО, укажите количество каналов (n).
   • Если СМО с ожиданием, проверьте условие существования стационарного режима (например, ρ < 1 для M/M/1 или ρ < n для M/M/n). Без выполнения этого условия решение системы в стационарном режиме невозможно, и это должно быть указано в выводах.
3. Выбор соответствующих формул: На основе определённого типа СМО и известных параметров выберите необходимые формулы из арсенала теории массового обслуживания. Это могут быть формулы для вероятности отказа, средней длины очереди, среднего времени ожидания и т.д.
4. Решение задачи с подстановкой числовых значений:
   • Аккуратно подставьте числовые значения в выбранные формулы.
   • Покажите каждый шаг расчета. Это не только облегчит проверку, но и продемонстрирует ваше понимание математических выкладок.
   • Используйте промежуточные результаты, если это необходимо.
5. Формулирование выводов и интерпретация полученных результатов:
   • Это не менее важный этап, чем сами расчеты. Числа сами по себе мало что значат без контекста.
   • Чётко сформулируйте ответы на поставленные в задаче вопросы.
   • Проинтерпретируйте полученные значения в терминах исходной практической задачи. Например, "Вероятность отказа 0.15 означает, что 15% звонков будут потеряны" или "Среднее время ожидания в очереди 10 минут указывает на потенциальное недовольство клиентов".
   • Сделайте выводы о работе системы, предложите возможные пути оптимизации, если это требуется условием задачи.

Требования к академическому оформлению контрольной работы

Академическая работа требует строгости и ясности изложения. Правильное оформление не просто формальность, а способ убедиться, что ваше решение логично, проверяемо и понятно.

1. Пошаговые объяснения и математические выводы:
   • Каждое решение должно начинаться с краткой формулировки задачи.
   • Обязательно укажите тип СМО, которую вы моделируете, и почему вы выбрали именно её.
   • Прежде чем подставлять числа, приведите общие формулы в буквенном виде. Например, вместо Pотк = 0.385, напишите сначала Pотк = λ / (μ + λ), а затем уже подставляйте значения.
   • Если задача предполагает вывод какой-либо формулы, этот вывод должен быть представлен логично и последовательно, шаг за шагом.
2. Указание допущений и ограничений:
   • Всегда явно указывайте, какие допущения были сделаны при выборе модели. Например, "Предполагается, что входящий поток заявок является простейшим (Пуассоновским), а время обслуживания распределено по показательному закону."
   • Осознание ограничений модели показывает глубину вашего понимания. Например, "Данная модель не учитывает психологические факторы, влияющие на поведение клиентов в очереди, и предполагает их неограниченное терпение."
3. Примеры расчетов с числовыми значениями и их интерпретацией:
   • Для каждой ключевой метрики приведите конкретные числовые расчеты, подставляя данные из задачи.
   • После каждого числового результата обязательно указывайте единицы измерения (например, "0.5 часа", "10 клиентов").
   • Интерпретация должна быть связной и логичной. Например: "Полученное значение среднего времени ожидания в очереди в 15 минут превышает допустимый порог, что указывает на необходимость увеличения числа каналов обслуживания или снижения интенсивности входящего потока."
4. Наглядность представления данных:
   • Используйте таблицы для систематизации исходных данных и полученных результатов, как это было показано в разделе об оптимизации числа каналов.
   • В случае необходимости можно включать графики (например, зависимости затрат от числа каналов) для лучшей визуализации.
5. Структура и язык:
   • Используйте чёткую структуру с заголовками и подзаголовками.
   • Пишите академическим, научно-техническим языком, избегая разговорных выражений.
   • Соблюдайте последовательность изложения мыслей.

Особенности немарковских процессов:

Важно отметить, что большинство рассмотренных здесь моделей основаны на так называемых Марковских процессах, где распределения времени между событиями (поступлениями, обслуживаниями) являются показательными. В реальном мире это не всегда так. В случаях немарковских процессов, когда время обслуживания или поступления заявок подчиняется другим распределениям (например, нормальному, равномерному), задачи исследования систем массового обслуживания значительно усложняются. В таких ситуациях, вместо аналитических формул, часто требуется применение:

• Статистического моделирования (имитационного моделирования): Построение компьютерной модели, которая симулирует работу СМО в течение длительного периода времени, собирая статистику о её поведении.
• Численных методов с использованием ЭВМ: Применение специализированных алгоритмов для приближённого решения систем уравнений, которые описывают немарковские СМО.

Однако для типовых задач контрольной работы обычно достаточно владения Марковскими моделями. Глубокое понимание этого алгоритма и строгих требований к оформлению позволит вам успешно справиться с любыми задачами по теории массового обслуживания.

Заключение

Теория массового обслуживания, представляя собой одну из фундаментальных ветвей исследования операций, является незаменимым инструментом для анализа, проектирования и оптимизации систем, где случайные потоки заявок конкурируют за ограниченные ресурсы. От банковских очередей до загрузки серверов, от производственных линий до медицинских учреждений – практически любая сфера деятельности сталкивается с проблемой управления потоками и мощностями.

В рамках данного руководства мы последовательно рассмотрели все ключевые аспекты, необходимые для глубокого понимания и успешного решения задач по СМО. Мы начали с освоения базовой терминологии, такой как "заявка", "канал", "интенсивность потока" и "интенсивность обслуживания", а также подробно изучили классификацию систем по числу каналов и наличию очереди. Затем мы перешли к количественной оценке эффективности, представив и объяснив такие критически важные показатели, как вероятность отказа, пропускная способность, средняя длина очереди и время ожидания, подчеркнув универсальность формулы Литтла.

Наиболее объемные разделы были посвящены детализированным математическим моделям и формулам для одноканальных и многоканальных СМО, как с отказами, так и с ожиданием. Мы акцентировали внимание на формулах Эрланга B и Эрланга C, которые являются краеугольными камнями для расчетов в многоканальных системах. Особое внимание было уделено практическим аспектам определения входных параметров (интенсивностей λ и μ) и методологии оптимизации числа каналов обслуживания, с привлечением экономических критериев и анализа затрат и выгод.

Наконец, мы сформировали чёткий алгоритм решения типовых задач и обозначили строгие требования к академическому оформлению, которые обеспечивают не только корректность, но и проверяемость, а также ясность представленных решений. Важность указания допущений, пошаговых выводов и интерпретации результатов не может быть переоценена. Таким образом, представленная методология является исчерпывающим руководством для выполнения контрольной работы по экономико-математическому моделированию в области теории массового обслуживания. Овладение этими принципами и методами не только позволит успешно справиться с текущими академическими задачами, но и заложит прочный фундамент для дальнейшего изучения дисциплины и её практического применения в реальной профессиональной деятельности, способствуя принятию обоснованных и эффективных управленческих решений.

Список использованной литературы

1. Соколов Г.А. Основы теории массового обслуживания для экономистов: учебник. Москва: ИНФРА-М, 2021.
2. Черушева Т.В., Зверовщикова Н.В. Теория массового обслуживания: учебное пособие. Пенза: Изд-во ПГУ, 2021.
3. Васильев М.В., Маликов А.А., Попов С.Н. Основы теории массового обслуживания: учебно-методическое пособие. Москва: МАДИ, 2018.
4. Петросян Л.А., Зенкевич Н.А., Семина Е.В. Методы и модели массового обслуживания в системах организационного управления: учебник. Москва: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2014.
5. Шамкин А.А., Задорин Н.Н., Кобзева А.В. Алгоритм определения средней длины очереди системы массового обслуживания через обобщенную формулу Хинчина - Поллячека // КиберЛенинка. 2012.
6. Козлов В.Г. Теория массового обслуживания: учебно-методическое пособие к решению задач. Москва: Лань, 2011.
7. Новиков А.И., Петухов С.И. Математические методы в теории массового обслуживания: учебное пособие. Москва: РУДН, 2009.
8. Математический портал MathProfi.ru. Онлайн-калькулятор. Теория массового обслуживания. URL: https://mathprofi.com/calculators_online/theory_of_queues_example_solution.html
9. Мальцев И.А., Азарова В.В. Основные формулы теории массового обслуживания: методические указания. Самара: СамГТУ, 2001.