Методологическое руководство по выполнению контрольной работы «Элементарная теория погрешностей»

В мире точных наук и инженерных дисциплин ни одно измерение или вычисление не может быть абсолютно идеальным. Существующие ограничения инструментов, методик и даже фундаментальные физические принципы (например, принцип неопределенности Гейзенберга) неизбежно вносят в наши данные элемент неточности. Понимание, анализ и корректный учет этих неточностей, называемых погрешностями, является краеугольным камнем любой прикладной математической, физической или метрологической работы. Без этого невозможно гарантировать достоверность результатов экспериментов, безопасность инженерных конструкций или точность научного моделирования, что прямо влияет на применимость и надежность любых технических решений.

Данное методологическое руководство разработано с целью предоставить студентам технических и естественнонаучных вузов исчерпывающую теоретическую базу и пошаговые алгоритмы для успешного выполнения контрольных и лабораторных работ по теме «Элементарная теория погрешностей». Основная задача работы — не просто перечислить формулы, но и глубоко раскрыть их смысл, показать практическое применение и научить строгому академическому оформлению результатов, что является ключевым для формирования профессиональных компетенций.

Структура данного отчета выстроена таким образом, чтобы последовательно провести читателя от фундаментальных понятий до сложных алгоритмов расчета:

1. Теоретические основы и терминология: В этой главе будут даны строгие математические определения основных видов погрешностей и рассмотрен важнейший критерий сравнения точности.
2. Правила представления приближенных чисел и округления: Здесь мы углубимся в понятие «верных цифр» в академическом смысле и детально разберем правила округления, которые критически важны для корректной записи результатов.
3. Вычисление погрешностей косвенных измерений (Распространение погрешностей): Эта глава посвящена методам расчета погрешностей для функций от нескольких переменных, включая общую формулу метода частных производных.
4. Детализированный алгоритм расчета и оформления итоговой погрешности: Центральная часть работы, где будет представлен пошаговый алгоритм для решения комплексных задач, что является ключевым элементом для успешной сдачи контрольной работы.

Используя это руководство, студент сможет не только выполнить поставленные задачи, но и развить глубокое понимание принципов работы с приближенными числами и их погрешностями, что является незаменимым навыком для будущего специалиста, позволяющим уверенно оперировать данными в своей профессиональной деятельности.

Теоретические основы и терминология

Теория погрешностей — это раздел прикладной математики и метрологии, изучающий количественные характеристики отклонений результатов измерений и вычислений от истинных значений. Основой для понимания этой теории служит четкое определение фундаментальных терминов.

Абсолютная, предельная и относительная погрешности

В любом измерении или расчете мы имеем дело с приближенным числом (a), которое является заменой неизвестного или неуловимого точного значения (A). Разница между этими двумя значениями лежит в основе всех последующих определений.

Абсолютная погрешность (Δa) — это базовая мера отклонения. Она определяется как модуль разности между точным значением величины (A) и ее приближенным значением (a):

Δa = |A − a|

Физический смысл абсолютной погрешности прост: она показывает, насколько сильно приближенное значение отличается от точного. Важно отметить, что абсолютная погрешность всегда измеряется в тех же единицах, что и сама измеряемая величина. Например, если мы измеряем длину в метрах, то и абсолютная погрешность будет выражена в метрах. Иными словами, это прямое численное расхождение.

Однако точное значение A, как правило, неизвестно. Поэтому на практике мы оперируем понятием предельной абсолютной погрешности (ΔX). Это наименьшее число, которое заведомо не меньше абсолютной погрешности:

ΔX ≥ Δa

Предельная абсолютная погрешность задает интервал, в котором с определенной вероятностью (обычно близкой к 100% в случае предельной погрешности) находится истинное значение величины. Таким образом, точное значение X_точное лежит в диапазоне:

X − ΔX ≤ Xточное ≤ X + ΔX

Именно предельная абсолютная погрешность используется в большинстве инженерных и академических задач для оценки максимального отклонения. Она дает гарантию того, что истинное значение не выйдет за указанные границы, обеспечивая запас надежности в расчетах.

Наконец, для оценки качества измерения или вычисления в целом, вводится понятие относительной погрешности (δa). Она представляет собой отношение абсолютной погрешности (Δa) к модулю точного значения величины (|A|):

δa = Δa / |A|

Поскольку точное значение A часто неизвестно, на практике в знаменателе обычно используют модуль приближенного значения |a|:

δa = Δa / |a|

Относительная погрешность является безразмерной величиной и часто выражается в процентах (δ % = δa ⋅ 100 %). Её физический смысл — показать, какую долю от измеряемой величины составляет погрешность. Чем меньше относительная погрешность, тем «точнее» измерение в масштабе самой величины, что позволяет сравнивать точность измерений разных физических величин.

Критерий сравнения точности приближенных чисел

При первом взгляде на абсолютную погрешность может показаться, что меньшая абсолютная погрешность всегда означает более точное измерение. Однако это не так, и это одно из ключевых заблуждений. Абсолютная погрешность часто вводит в заблуждение, особенно при сравнении величин разного порядка. Например, ошибка в 1 мм при измерении длины стола менее значима, чем та же ошибка в 1 мм при измерении толщины волоса.

Для сравнения точности двух приближенных чисел (или результатов измерений), особенно если они имеют разный порядок, используется исключительно относительная погрешность. Более точным считается то число, у которого меньше относительная погрешность.

Рассмотрим классический пример, демонстрирующий этот принцип:

Пусть у нас есть два измерения:

1. Измерение длины бруска: X₁ = 10,0 ± 0,1 см. Здесь приближенное значение a₁ = 10,0 см, а предельная абсолютная погрешность ΔX₁ = 0,1 см.
2. Измерение расстояния до звезды: X₂ = 12500 ± 100 световых лет. Здесь приближенное значение a₂ = 12500 световых лет, а предельная абсолютная погрешность ΔX₂ = 100 световых лет.

Если бы мы сравнивали по абсолютным погрешностям, то ΔX₂ = 100 значительно больше, чем ΔX₁ = 0,1. Это создало бы ложное впечатление, что измерение бруска намного точнее. Однако давайте рассчитаем относительные погрешности:

• Для бруска: δX₁ = ΔX₁ / |a₁| = 0,1 / 10,0 = 0,01 (или 1 %).
• Для звезды: δX₂ = ΔX₂ / |a₂| = 100 / 12500 = 0,008 (или 0,8 %).

Сравнивая относительные погрешности, мы видим, что δX₂ = 0,008 < δX₁ = 0,01. Это означает, что измерение расстояния до звезды является более точным в относительном выражении, несмотря на значительно большую абсолютную погрешность. Это обусловлено тем, что 100 световых лет в масштабе 12500 световых лет составляет меньшую долю, чем 0,1 см в масштабе 10,0 см. Таким образом, относительная погрешность является универсальным и единственно верным критерием для объективного сравнения точности приближенных чисел, позволяя избежать ошибочных выводов о качестве измерений.

Правила представления приближенных чисел и округления

После вычислений и определения погрешностей, не менее важным этапом является правильное представление результата. Это включает в себя понимание концепции «верных цифр» и строгие правила округления, которые гарантируют адекватное отражение точности вычислений. Несоблюдение этих правил может привести к искажению информации о реальной точности данных.

Концепция верных значащих цифр

Прежде чем говорить о верных цифрах, необходимо определить значащие цифры числа. Это все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой цифры слева. Например, в числе 0,00250 значащими являются 2, 5, 0 (всего 3 значащие цифры); в числе 123,45 — все пять цифр (1, 2, 3, 4, 5).

Понятие «верной цифры» критически важно для корректного округления и представления точности числа. Существуют два строгих определения:

• Верная цифра в узком (строгом) смысле: Это значащая цифра, для которой абсолютная погрешность числа (Δa) не превышает половины единицы разряда (E_разр) этой цифры.

  Δa ≤ 0.5 ⋅ Eразр
      

  Пример: если число 2,345 имеет предельную абсолютную погрешность Δa = 0,002, то цифра 4 в разряде сотых является верной в строгом смысле, поскольку E_разр для сотых равен 0,01, и 0,002 ≤ 0,5 ⋅ 0,01 (0,002 ≤ 0,005). Однако цифра 5 в разряде тысячных (E_разр = 0,001) уже не будет верной в строгом смысле, так как 0,002 > 0,5 ⋅ 0,001 (0,002 > 0,0005). Это определение используется в тех случаях, когда требуется максимальная уверенность в точности каждой цифры.

• Верная цифра в широком (нестрогом) смысле: Это значащая цифра, для которой абсолютная погрешность числа (Δa) не превышает единицы разряда этой цифры.

  Δa ≤ 1 ⋅ Eразр
      

  В нашем примере с 2,345 ± 0,002, цифра 4 в разряде сотых будет верной в широком смысле, так как 0,002 ≤ 1 ⋅ 0,01. Если бы Δa = 0,0008, то цифра 5 в разряде тысячных была бы верной в широком смысле, так как 0,0008 ≤ 1 ⋅ 0,001. Различие между этими понятиями принципиально для метрологии. «Верные цифры в строгом смысле» дают высокую гарантию точности, в то время как «верные цифры в широком смысле» допускают чуть большую неопределенность, но при этом могут быть более практичными в инженерных расчетах, где требуется сохранить чуть больше значащих цифр. В академической практике часто ориентируются на верные цифры в широком смысле, если иное не оговорено.

При записи результата абсолютную погрешность Δa принято округлять с избытком, сохраняя не более двух, чаще всего одну, значащую цифру. Это делается для того, чтобы не создавать ложного впечатления излишней точности погрешности, которая сама по себе является оценочной величиной.

Правила округления (Правило Гаусса и округление результата)

Корректное округление является завершающим этапом обработки данных. Его цель — привести число к виду, который адекватно отражает его точность, не теряя при этом значимой информации. Неправильное округление может привести к накоплению ошибок в последующих вычислениях.

Существует несколько правил округления, но наиболее академически строгим и широко используемым является симметричное правило округления (Правило Гаусса):

1. Если первая отбрасываемая цифра меньше 5, то последняя сохраняемая цифра остается без изменения.
   • Пример: 3,14159 округляется до двух знаков после запятой как 3,14.
2. Если первая отбрасываемая цифра больше 5, или равна 5, а за ней следуют ненулевые цифры, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу.
   • Пример: 3,14159 округляется до двух знаков после запятой как 3,14 (если отбрасываем с 1, а не с 9); 3,1451 округляется до двух знаков после запятой как 3,15.
3. Если первая отбрасываемая цифра равна 5, а за ней нет значащих цифр (или стоят только нули), то округление производится до ближайшего четного числа. То есть, последняя сохраняемая цифра остается неизменной, если она четная, и увеличивается на единицу, если она нечетная.
   • Пример: 2,45 → 2,4 (4 — четная, остается без изменения).
   • Пример: 2,35 → 2,4 (3 — нечетная, увеличивается на единицу).
   • Пример: 2,4500 → 2,4.
   • Пример: 2,3500 → 2,4.

Это правило предотвращает систематическое смещение результатов округления в одну сторону, что важно при многократных вычислениях и при работе с большим объемом данных.

Правило округления результата:

Особое внимание следует уделить согласованию округления самого приближенного числа и его предельной абсолютной погрешности.

Результат приближенного вычисления (x) округляется так, чтобы его последняя сохраняемая цифра находилась в том же десятичном разряде, что и округленная предельная абсолютная погрешность (Δx).

Например, если мы рассчитали X = 123,4567 и ΔX = 0,0234.

Сначала округляем ΔX. Допустим, до одной значащей цифры с избытком: ΔX ≈ 0,03.

Последняя значащая цифра округленной погрешности (3) находится в разряде сотых. Следовательно, и X нужно округлить до сотых: X ≈ 123,46.

Финальная запись: 123,46 ± 0,03. Это правило обеспечивает, что точность числа не будет превышать точность, с которой мы знаем его погрешность, и является стандартом для академических и инженерных отчетов.

Вычисление погрешностей косвенных измерений (Распространение погрешностей)

В большинстве реальных задач искомая величина Y не измеряется напрямую, а рассчитывается как функция от нескольких других величин X₁, X₂, …, X_n, которые уже были измерены непосредственно. Такие измерения называются косвенными, и для них требуется особый подход к вычислению погрешностей, поскольку погрешности исходных величин неизбежно «распространяются» на результат.

Пусть Y = f(X₁, X₂, …, X_n). Если каждая из величин X_i измерена с предельной абсолютной погрешностью ΔX_i, то возникает вопрос: какова будет предельная абсолютная погрешность ΔY для величины Y? Ответ на этот вопрос позволяет оценить надежность конечного результата, полученного путем вычислений.

Основные правила для простейших операций

Для базовых арифметических операций существуют упрощенные правила, которые являются частными случаями более общей формулы. Эти правила основаны на принципе линейного суммирования погрешностей в наихудшем случае, когда все ошибки максимально складываются.

1. Сумма и разность (Y = X₁ ± X₂ ± … ± X_n):
   Предельная абсолютная погрешность суммы или разности равна сумме предельных абсолютных погрешностей слагаемых:

   ΔY = ΔX1 + ΔX2 + ... + ΔXn
       

   Физический смысл: При сложении или вычитании чисел ошибки могут накапливаться. Для обеспечения максимальной надежности (т.е. определения наихудшего случая), мы предполагаем, что все индивидуальные погрешности складываются. Например, если X₁ находится в диапазоне [X₁ — ΔX₁, X₁ + ΔX₁] и X₂ в [X₂ — ΔX₂, X₂ + ΔX₂], то их сумма X₁ + X₂ будет в диапазоне [(X₁ + X₂) — (ΔX₁ + ΔX₂), (X₁ + X₂) + (ΔX₁ + ΔX₂)]. Это позволяет установить максимально возможный разброс для конечного результата.

2. Произведение и частное (Y = X₁ ⋅ X₂ / X₃ ⋅ …):
   Предельная относительная погрешность результата равна сумме предельных относительных погрешностей сомножителей и делителей:

   δY = δX1 + δX2 + δX3 + ...
       

   Здесь δX_i = ΔX_i / |X_i|.

   Физический смысл: При умножении или делении чисел удобнее оперировать относительными погрешностями, так как они показывают пропорциональное отклонение. Если X₁ отличается от истинного значения на 1% и X₂ на 2%, то их произведение будет отличаться приблизительно на (1%+2%)=3%. Это позволяет оценить общее пропорциональное влияние всех погрешностей.

   • Пример для произведения (Площадь прямоугольника S = a ⋅ b):
     Пусть измерения сторон: a = 10,0 ± 0,1 м и b = 5,0 ± 0,2 м.
     1. Приближенное значение площади: S = a ⋅ b = 10,0 ⋅ 5,0 = 50,0 м².
     2. Относительные погрешности аргументов:
        δa = Δa / |a| = 0,1 / 10,0 = 0,01
        δb = Δb / |b| = 0,2 / 5,0 = 0,04
     3. Предельная относительная погрешность результата:
        δS = δa + δb = 0,01 + 0,04 = 0,05
     4. Предельная абсолютная погрешность результата:
        ΔS = S ⋅ δS = 50,0 ⋅ 0,05 = 2,5 м².

     Таким образом, результат: S = 50,0 ± 2,5 м². Этот пример демонстрирует, как относительные погрешности масштабируются с самой величиной.

Общая формула для сложной функции (метод частных производных)

Для более сложных функций, которые не сводятся к простым суммам, разностям, произведениям или частным, используется более универсальный метод, основанный на дифференциальном исчислении.

Общая формула для предельной абсолютной погрешности косвенного измерения (линейное суммирование ошибок):
Пусть Y = f(X₁, X₂, …, X_n). Предельную абсолютную погрешность ΔY можно оценить по формуле:

ΔY ≈ Σi=1n |∂Y/∂Xi| ⋅ ΔXi

Где:

• ∂Y/∂X_i — частная производная функции Y по аргументу X_i. Она показывает, как изменится Y при малом изменении X_i, при условии, что все остальные аргументы остаются постоянными. Частные производные вычисляются в точке приближенных значений аргументов X_i.
• ΔX_i — предельная абсолютная погрешность аргумента X_i.

Эта формула представляет собой линейное суммирование погрешностей и дает максимальную возможную погрешность (так называемый «наихудший случай»). В учебном процессе и для целей контрольных работ она предпочтительна, поскольку обеспечивает наибольшую доверительную вероятность, гарантируя, что истинное значение Y с высокой степенью уверенности находится в указанном интервале. Это означает, что при таком подходе мы всегда получаем оценку «с запасом», что критически важно для надежности инженерных расчетов.

Существует также формула для среднеквадратичной погрешности (σY), которая используется для случайных, независимых ошибок и основана на теории вероятностей:

σY = √ [ Σi=1n (∂Y/∂Xi)2 ⋅ σ2Xi ]

Однако в рамках элементарной теории погрешностей для контрольных работ, как правило, требуется применение формулы линейного суммирования ошибок (наихудший случай), так как она дает гарантированную верхнюю границу погрешности и является более консервативным, но безопасным подходом.

Детализированный алгоритм расчета и оформления итоговой погрешности

Расчет погрешности сложной функции требует систематического и последовательного подхода. Представленный ниже пошаговый алгоритм разработан для того, чтобы обеспечить академическую строгость и точность при выполнении заданий контрольной работы, исключая распространенные ошибки и неточности в оформлении. Строгое следование этим шагам гарантирует достоверность итогового результата и его корректную интерпретацию.

Пошаговый алгоритм для контрольной работы

Шаг 1: Вычисление приближенного значения Y

Первым делом необходимо получить численное значение самой измеряемой величины Y. Для этого подставьте приближенные значения всех аргументов (X₁, X₂, …, X_n) в формулу функции Y = f(X₁, X₂, …, X_n).

• Пример: Если Y = (X₁ + X₂) / X₃ и даны X₁ = 2,0, X₂ = 3,0, X₃ = 5,0, то Y = (2,0 + 3,0) / 5,0 = 5,0 / 5,0 = 1,0.

Шаг 2: Расчет частных производных

Определите частные производные функции Y по каждому из аргументов X_i. Это покажет, как Y реагирует на изменение каждого аргумента. После нахождения аналитических выражений для производных, подставьте в них приближенные значения аргументов, чтобы получить численные значения частных производных. Это критически важно для оценки чувствительности функции к погрешностям каждого входного параметра.

• Пример (продолжение): Для Y = (X₁ + X₂) / X₃ = X₁/X₃ + X₂/X₃:
  • ∂Y / ∂X₁ = 1 / X₃. Подставляем X₃ = 5,0: 1 / 5,0 = 0,2.
  • ∂Y / ∂X₂ = 1 / X₃. Подставляем X₃ = 5,0: 1 / 5,0 = 0,2.
  • ∂Y / ∂X₃ = -(X₁ + X₂) / X₃². Подставляем X₁ = 2,0, X₂ = 3,0, X₃ = 5,0: -(2,0 + 3,0) / (5,0)² = -5,0 / 25,0 = -0,2.

Шаг 3: Расчет предельной абсолютной погрешности ΔY

Используйте формулу линейного суммирования погрешностей (метод наихудшего случая):

ΔY = Σi=1n |∂Y/∂Xi| ⋅ ΔXi

Где ΔX_i — заданные предельные абсолютные погрешности для каждого аргумента. Подставьте численные значения частных производных (полученные на Шаге 2) и заданные погрешности аргументов в эту формулу. Этот шаг объединяет все индивидуальные погрешности в единую оценку для итоговой величины.

• Пример (продолжение): Пусть даны ΔX₁ = 0,1, ΔX₂ = 0,2, ΔX₃ = 0,05.
  ΔY = |0,2| ⋅ 0,1 + |0,2| ⋅ 0,2 + |-0,2| ⋅ 0,05
  ΔY = 0,2 ⋅ 0,1 + 0,2 ⋅ 0,2 + 0,2 ⋅ 0,05
  ΔY = 0,02 + 0,04 + 0,01 = 0,07.

Шаг 4: Строгое округление погрешности ΔY

Это один из критически важных шагов. Полученное значение ΔY всегда следует округлять с избытком, чтобы не занижать оценку неопределенности. Стандартное правило:

• Оставить одну значащую цифру, если первая значащая цифра ΔY равна 2 или больше (например, 0,0712 → 0,08; 0,23 → 0,3).
• Оставить две значащие цифры, если первая значащая цифра ΔY равна 1 (например, 0,0123 → 0,013; 0,189 → 0,19).

Это правило гарантирует, что погрешность не будет иметь избыточной точности, которая не является обоснованной, и при этом будет указывать на достаточно высокий уровень неопределенности.

• Пример (продолжение): ΔY = 0,07. Первая значащая цифра (7) больше 2. Округляем до одной значащей цифры с избытком: ΔY_окр = 0,07. (В данном случае уже одна значащая цифра). Если бы было 0,071, то округлили бы до 0,08.

Шаг 5: Согласованное округление результата Y

Приближенное значение Y (полученное на Шаге 1) должно быть округлено таким образом, чтобы его последняя сохраняемая цифра находилась в том же десятичном разряде, что и последняя значащая цифра округленной погрешности ΔY. Для округления используйте Правило Гаусса (симметричное округление). Это обеспечивает, что точность результата не будет казаться выше, чем она есть на самом деле, исходя из его погрешности.

• Пример (продолжение): Y = 1,0 (Шаг 1). ΔY_окр = 0,07 (Шаг 4).
  Последняя значащая цифра погрешности (7) находится в разряде сотых (0,07). Следовательно, и Y нужно округлить до сотых.
  Y = 1,00 (если исходно была записана как 1,0, то добавляем ноль, чтобы показать точность до сотых).

Шаг 6: Финальное оформление

Запишите итоговый результат в стандартном виде: Y ± ΔY. Это общепринятый формат, который четко указывает на приближенное значение и его неопределенность.

• Пример (продолжение): Y = 1,00, ΔY = 0,07.
  Итоговый результат: Y = 1,00 ± 0,07.

Строгое следование этому алгоритму позволит не только корректно рассчитать погрешность, но и представить результат в соответствии с академическими и метрологическими стандартами, что является залогом успешной защиты контрольной работы и формирования навыков точного обращения с данными.

Заключение

Теория погрешностей – это не просто набор формул, а фундаментальный язык для описания неопределенности в науке и инженерии. В эпоху, когда точность данных становится критически важной для принятия решений, от проектирования космических аппаратов до разработки медицинских препаратов, глубокое понимание и умение работать с погрешностями является неотъемлемым навыком для каждого специалиста, поскольку влияет на безопасность, эффективность и экономическую целесообразность любых проектов.

Данное методологическое руководство, охватывающее строгие определения абсолютной, относительной и предельной погрешностей, нюансы верных значащих цифр, симметричные правила округления и, что особенно важно, детализированный алгоритм для расчета погрешностей сложных функций, призвано стать надежной опорой для студентов. Мы акцентировали внимание на тех аспектах, которые часто вызывают затруднения, таких как критерий сравнения точности с использованием относительной погрешности и пошаговый процесс согласованного округления результата и его погрешности, обеспечивая таким образом глубокое и практическое понимание предмета.

Использование представленной методологии не только позволит успешно выполнить задания контрольной работы, но и заложит прочный фундамент для дальнейшего изучения метрологии и вычислительной математики. Строгий подход к учету неопределенностей гарантирует не только академическую корректность отчетов, но и формирует критическое мышление, необходимое для достоверной интерпретации любых количественных данных. В конечном итоге, это знание позволяет переходить от «примерных» оценок к обоснованным и надежным научным выводам, что является залогом успеха в любой научно-технической деятельности.

Список использованной литературы

1. Обработка косвенных измерений. Функция многих переменных. (Формулы переноса ошибок). URL: https://studfile.net/preview/3120668/page/11/ (дата обращения: 06.10.2025).
2. Абсолютная и относительная погрешность приближенного числа. iTest. URL: https://itest.kz/lekciya/absolyutnaya-i-otnositelnaya-pogreshnost-priblizhennogo-chisla (дата обращения: 06.10.2025).
3. Приближенные числа. Кафедра физхимии ЮФУ(РГУ) – «Численные методы и программирование». URL: https://www.sfedu.ru/www/math/dpma/e_book/ch_met/prib_chisla.htm (дата обращения: 06.10.2025).
4. Основные понятия приближенных вычислений. Страничка Крохина А.Л. URL: https://narod.ru/disk/15053072000/Uchebnoe%20posobie%20po%20CHislennyim%20metodam.pdf (дата обращения: 06.10.2025).
5. Абсолютная и относительная погрешность. URL: https://yfa1.ru/absolyutnaya-i-otnositelnaya-pogreshnost (дата обращения: 06.10.2025).
6. Верные значащие цифры приближенных чисел. URL: https://studfile.net/preview/10325492/page/3/ (дата обращения: 06.10.2025).
7. Оценить относительную погрешность разности двух приближенных чисел. URL: https://feniks.help/primer/ocenit-otnositelnuyu-pogreshnost-raznosti-dvuh-priblizhennyh-chisel/ (дата обращения: 06.10.2025).
8. Вывод формулы для расчета погрешности косвенных измерений. URL: https://studfile.net/preview/3120668/page/10/ (дата обращения: 06.10.2025).
9. Абсолютная и относительная погрешности. URL: https://studfile.net/preview/6710777/page/10/ (дата обращения: 06.10.2025).
10. Действия с приближенными числами. EarthZ. URL: https://earthz.ru/library/math/approximatenumbers/approximatenumbers.php (дата обращения: 06.10.2025).
11. Что называется предельной, абсолютной и относительной погрешностью. Ответы. URL: https://otvet.mail.ru/question/34007886 (дата обращения: 06.10.2025).
12. Абсолютная и относительная погрешность. Образовака. URL: https://obrazovaka.ru/matematika/absolyutnaya-i-otnositelnaya-pogreshnost-formula-primery.html (дата обращения: 06.10.2025).
13. Верные значащие цифры приближённого числа. Автоматизация инженерных расчётов с использованием пакета Scilab. Bstudy. URL: https://bstudy.net/603407/fizika/vernye_znachaschih_tsifry_priblizhennogo_chisla (дата обращения: 06.10.2025).
14. Документ подписан простой электронной подписью. Информация о владель. ЮЗГУ. URL: https://swsu.ru/sveden/education/uchebno_metodicheskaya_dokumentaciya/metodicheskie_ukazaniya/chislennye-metody.pdf (дата обращения: 06.10.2025).
15. Вычисление погрешностей при косвенных измерений. URL: https://pure.spbu.ru/ws/files/27178044/Metodika.pdf (дата обращения: 06.10.2025).
16. Округлить сомнительные цифры числа, оставив верные знаки. Решка Feniks.Help. URL: https://feniks.help/primer/okruglit-somnitelnye-tsifry-chisla-ostaviv-vernye-znaki/ (дата обращения: 06.10.2025).