Анализ и выбор оптимальной инвестиционной стратегии в условиях неопределенности: Расчеты по критериям MAXIMAX, MAXIMIN, Лапласа, Гурвица и Сэвиджа

Принятие решений в условиях неопределенности — одна из ключевых задач современного менеджмента и экономики. Когда будущие состояния внешней среды неизвестны, а вероятности их наступления невозможно точно оценить, лицо, принимающее решение (ЛПР) сталкивается с необходимостью выбора стратегии, которая наилучшим образом соответствует его отношению к риску. Настоящая работа посвящена практическому анализу инвестиционной стратегии в строительство завода, используя ряд признанных критериев принятия решений, разработанных для условий полной неопределенности.

Цель данной работы — определить оптимальную стратегию инвестирования на основе предоставленной платежной матрицы, применив и детально рассчитав результаты по критериям MAXIMAX (оптимистический подход), MAXIMIN (критерий Вальда, пессимистический подход) и Лапласа (равновероятностный подход). Для углубления анализа и демонстрации более широкого спектра подходов к риску, будут также рассмотрены критерии Гурвица (умеренный оптимизм/пессимизм) и Сэвиджа (минимизация сожаления). Структура отчета последовательно проведет читателя от теоретических основ и исходных данных к пошаговым расчетам и сравнительному обоснованию полученных результатов. Ведь глубокое понимание каждого подхода позволяет не только выбрать наилучшую стратегию, но и аргументированно отстоять её перед заинтересованными сторонами, снижая риски непонимания и сопротивления.

Исходные данные и Платежная матрица

Для проведения анализа критически важно четко определить все исходные параметры задачи: доступные альтернативы (стратегии), возможные состояния природы (будущие сценарии) и ожидаемые выигрыши для каждой комбинации стратегии и состояния природы. Эти данные формируют так называемую платежную матрицу.

Альтернативы и Состояния природы

В контексте данной задачи ЛПР рассматривает два стратегических варианта инвестирования в строительство нового завода, каждый из которых по-разному реагирует на будущие рыночные условия:

• Альтернативы (Стратегии, a_i):
  • a₁: Строить большой завод
  • a₂: Строить маленький завод
• Состояния природы (s_j): Эти состояния отражают будущий спрос на продукцию завода и являются неопределенными. Всего рассматривается два состояния, что делает задачу управляемой, но при этом достаточно показательной для демонстрации принципов принятия решений:
  • s₁: Высокий спрос
  • s₂: Низкий спрос

Табличное представление платежной матрицы

Платежная матрица (или матрица выигрышей) — это центральный элемент анализа, представляющий собой структурированную таблицу, где строки соответствуют альтернативам, столбцы — состояниям природы, а ячейки — ожидаемым финансовым результатам (выигрышам) для каждой пары (альтернатива, состояние природы). Все выигрыши представлены в денежных единицах.

Альтернатива (ai)	s1: Высокий спрос	s2: Низкий спрос
a1: Строить большой завод	250 000	-150 000
a2: Строить маленький завод	120 000	0

Анализируя данную матрицу, видно, что строительство большого завода (a₁) при высоком спросе (s₁) обещает самый высокий потенциальный выигрыш в 250 000, но при низком спросе (s₂) сопряжено с убытком в 150 000. Строительство маленького завода (a₂) предлагает более умеренный выигрыш при высоком спросе (120 000), но при этом гарантирует отсутствие убытков (0) при низком спросе. Именно эти числовые значения станут основой для всех последующих расчетов и сравнительного анализа, подчеркивая важность комплексного взгляда на потенциальные исходы.

Теоретические основы критериев принятия решений в условиях неопределенности

Принятие решений в условиях неопределенности требует специальных подходов, поскольку отсутствует информация о вероятностях наступления тех или иных состояний природы. Различные критерии, разработанные для этой ситуации, отражают различные философские взгляды ЛПР на риск и потенциальные исходы. Рассмотрим три основных критерия, которые легли в основу данной работы, а также два дополнительных для углубленного анализа.

Критерий MAXIMAX (Оптимистический подход)

Критерий MAXIMAX — это воплощение крайнего оптимизма. Лицо, принимающее решение, ориентированное на этот критерий, стремится к максимально возможному выигрышу, игнорируя при этом потенциальные негативные последствия. Оно предполагает, что при любой выбранной стратегии наступит наилучшее для этой стратегии состояние природы.

Содержательный смысл: ЛПР выбирает ту стратегию, которая принесет наибольший выигрыш в самом благоприятном для нее сценарии, среди всех возможных благоприятных сценариев для каждой стратегии. Это подход «пан или пропал», где акцент делается на достижение абсолютного максимума. Из этого следует, что данный критерий является наиболее привлекательным для предпринимателей, готовых идти на значительный риск ради прорывных результатов.

Формула выбора оптимальной стратегии (a^*_MAXIMAX):

a*MAXIMAX = arg maxi { maxj aij }

где:

• a_ij — выигрыш при i-й стратегии и j-м состоянии природы.
• max_j a_ij — максимальный выигрыш для i-й стратегии по всем состояниям природы.
• arg max_i { … } — выбор той стратегии i, для которой выражение в скобках принимает максимальное значение.

Критерий MAXIMIN (Критерий Вальда, Пессимистический подход)

В отличие от MAXIMAX, критерий MAXIMIN, также известный как критерий Вальда, представляет собой квинтэссенцию пессимизма и осторожности. ЛПР, использующее этот подход, стремится обезопасить себя от наихудшего возможного исхода.

Содержательный смысл: Цель состоит в максимизации гарантированного минимального выигрыша. Для каждой стратегии определяется наихудший возможный исход (минимальный выигрыш), а затем выбирается та стратегия, для которой этот наихудший исход является максимальным по сравнению с другими стратегиями. Это принцип «минимакса», ориентированный на защиту от катастрофы. Важный нюанс здесь упускается: такой подход идеально подходит для отраслей с высокими барьерами входа и чувствительностью к убыткам, где сохранение капитала важнее потенциальной сверхприбыли.

Формула выбора оптимальной стратегии (a^*_MAXIMIN):

a*MAXIMIN = arg maxi { minj aij }

где:

• a_ij — выигрыш при i-й стратегии и j-м состоянии природы.
• min_j a_ij — минимальный выигрыш для i-й стратегии по всем состояниям природы.
• arg max_i { … } — выбор той стратегии i, для которой выражение в скобках принимает максимальное значение.

Критерий Лапласа (Равновероятностный подход)

Критерий Лапласа занимает нейтральную позицию между крайним оптимизмом и пессимизмом. Он применяется в условиях, когда нет абсолютно никакой информации о вероятностях наступления состояний природы. В такой ситуации, согласно принципу недостаточного основания (принципу Лапласа), все состояния природы считаются равновероятными.

Содержательный смысл: ЛПР исходит из предположения, что каждое из возможных состояний природы имеет одинаковую вероятность наступления. Оптимальной считается та стратегия, которая обеспечивает наибольший средний арифметический (или математическое ожидание) выигрыша. Этот критерий является рациональным выбором при полном отсутствии априорной информации о вероятностях. Из этого следует, что он особенно полезен для новых рынков или инновационных проектов, где исторические данные и экспертные оценки недоступны.

Формула расчета ожидаемого выигрыша для i-й стратегии (L(a_i)):

L(ai) = (1/n) Σj=1n aij

где:

• a_ij — выигрыш при i-й стратегии и j-м состоянии природы.
• n — общее число состояний природы.
• Σ_j=1ⁿ a_ij — сумма выигрышей для i-й стратегии по всем состояниям природы.

После расчета L(a_i) для каждой альтернативы, выбирается та, для которой L(a_i) максимально.

Пошаговый расчет и определение оптимальной стратегии по основным критериям

Теперь, когда теоретические основы заложены, применим описанные критерии к нашей платежной матрице, пошагово демонстрируя логику расчетов и определяя оптимальную стратегию для каждого подхода.

Расчет по критерию MAXIMAX

Критерий MAXIMAX отражает позицию крайнего оптимизма, ориентируясь на достижение максимального возможного выигрыша.

1. Определение максимального выигрыша для каждой альтернативы: Для каждой строки (стратегии) в платежной матрице мы находим наибольшее значение.
   • Для альтернативы a₁ (Строить большой завод):
     Максимальный выигрыш = max(250 000; -150 000) = 250 000.
   • Для альтернативы a₂ (Строить маленький завод):
     Максимальный выигрыш = max(120 000; 0) = 120 000.
2. Выбор максимального из полученных значений: Из двух найденных максимумов мы выбираем наибольший.
   • max(250 000; 120 000) = 250 000.
3. Определение оптимальной стратегии: Поскольку значение 250 000 ассоциируется с альтернативой a₁, именно она является оптимальной по критерию MAXIMAX.

Оптимальное решение по MAXIMAX: a^*_MAXIMAX = a₁ (Строить большой завод).
Это решение отражает готовность ЛПР идти на риск ради получения максимальной потенциальной выгоды.

Расчет по критерию MAXIMIN (Вальда)

Критерий MAXIMIN (Вальда) представляет собой пессимистический подход, направленный на максимизацию гарантированного минимального результата.

1. Определение минимального выигрыша для каждой альтернативы: Для каждой строки (стратегии) в платежной матрице мы находим наименьшее значение. Это своего рода «уровень безопасности» для каждой стратегии.
   • Для альтернативы a₁ (Строить большой завод):
     Минимальный выигрыш = min(250 000; -150 000) = -150 000.
   • Для альтернативы a₂ (Строить маленький завод):
     Минимальный выигрыш = min(120 000; 0) = 0.
2. Выбор максимального из полученных значений: Из двух найденных минимумов мы выбираем наибольший.
   • max(-150 000; 0) = 0.
3. Определение оптимальной стратегии: Поскольку значение 0 ассоциируется с альтернативой a₂, именно она является оптимальной по критерию MAXIMIN.

Оптимальное решение по MAXIMIN: a^*_MAXIMIN = a₂ (Строить маленький завод).
Данное решение характеризует ЛПР как крайне осторожного, стремящегося избежать больших убытков даже ценой упущения потенциально высокой прибыли.

Расчет по критерию Лапласа

Критерий Лапласа предлагает нейтральный подход, предполагая, что все состояния природы равновероятны, когда их вероятности неизвестны.

1. Условие равновероятности: В нашей задаче имеется два состояния природы (s₁ и s₂). Следовательно, вероятность наступления каждого состояния принимается как P_j = ¹⁄_n = ¹⁄₂ = 0,5.
2. Расчет среднего ожидаемого выигрыша L(a_i) для каждой альтернативы:
   • Для альтернативы a₁ (Строить большой завод):
     L(a₁) = (250 000 + (-150 000)) ÷ 2 = 100 000 ÷ 2 = 50 000.
   • Для альтернативы a₂ (Строить маленький завод):
     L(a₂) = (120 000 + 0) ÷ 2 = 120 000 ÷ 2 = 60 000.
3. Выбор стратегии с максимальным ожидаемым выигрышем:
   • max(50 000; 60 000) = 60 000.
4. Определение оптимальной стратегии: Поскольку значение 60 000 ассоциируется с альтернативой a₂, она является оптимальной по критерию Лапласа.

Оптимальное решение по Лапласу: a^*_{Лапласа} = a₂ (Строить маленький завод).
Этот результат показывает, что при нейтральном отношении к риску и отсутствии какой-либо информации о вероятностях, более стабильная стратегия с меньшим разбросом результатов оказывается предпочтительнее.

Углубленный анализ: Расчет по критериям Гурвица и Сэвиджа (Усиление конкурентного преимущества)

Для полноты анализа и для того, чтобы продемонстрировать, как компромиссные и минимизирующие сожаление подходы могут влиять на окончательное решение, рассмотрим также критерии Гурвица и Сэвиджа. Эти критерии позволяют учесть более тонкие нюансы отношения ЛПР к риску, не ограничиваясь лишь крайними позициями.

Критерий Гурвица (Умеренный оптимизм)

Критерий Гурвица предлагает компромисс между MAXIMAX и MAXIMIN, позволяя ЛПР явно задать степень своего оптимизма с помощью коэффициента α (альфа), который принимает значения от 0 до 1. Если α = 1, это чистый оптимизм (MAXIMAX), если α = 0 — чистый пессимизм (MAXIMIN). В нашем случае мы выберем α = 0,7, что отражает умеренно оптимистичный подход.

1. Принятие коэффициента оптимизма: Пусть α = 0,7. Соответственно, коэффициент пессимизма (1 — α) = 0,3.
2. Расчет взвешенного результата H(a_i) для каждой альтернативы: Используем формулу H(a_i) = α · a_i^max + (1 — α) · a_i^min, где a_i^max — максимальный выигрыш для i-й стратегии, а a_i^min — минимальный выигрыш.
   • Для альтернативы a₁ (Строить большой завод):
     • a₁^max = 250 000
     • a₁^min = -150 000
     • H(a₁) = 0,7 · 250 000 + 0,3 · (-150 000) = 175 000 — 45 000 = 130 000.
   • Для альтернативы a₂ (Строить маленький завод):
     • a₂^max = 120 000
     • a₂^min = 0
     • H(a₂) = 0,7 · 120 000 + 0,3 · 0 = 84 000 + 0 = 84 000.
3. Выбор стратегии с максимальным взвешенным результатом:
   • max(130 000; 84 000) = 130 000.
4. Определение оптимальной стратегии:

Оптимальное решение по Гурвицу (α=0,7): a^*_{Гурвица} = a₁ (Строить большой завод).
Даже при умеренном оптимизме, альтернатива с большим потенциалом (большой завод) оказывается предпочтительной, так как высокий выигрыш умножается на больший коэффициент.

Критерий Сэвиджа (Минимаксное сожаление)

Критерий Сэвиджа отличается от предыдущих тем, что фокусируется не на выигрышах как таковых, а на *сожалениях* или *упущенных выгодах*. Сожаление возникает, когда после наступления состояния природы оказывается, что можно было бы получить больший выигрыш, если бы была выбрана другая стратегия. ЛПР, использующее этот критерий, стремится минимизировать максимальное возможное сожаление.

1. Построение матрицы сожалений (r_ij): Сначала для каждого состояния природы (каждого столбца) определяется максимальный выигрыш. Затем для каждой ячейки матрицы выигрышей рассчитывается сожаление как разница между этим максимальным выигрышем по столбцу и фактическим выигрышем в данной ячейке (r_ij = max_k a_kj — a_ij).
   • Для состояния природы s₁ (Высокий спрос):
     • Максимальный выигрыш в столбце s₁ = 250 000 (достигается при a₁).
     • Сожаление для a₁: 250 000 — 250 000 = 0.
     • Сожаление для a₂: 250 000 — 120 000 = 130 000.
   • Для состояния природы s₂ (Низкий спрос):
     • Максимальный выигрыш в столбце s₂ = 0 (достигается при a₂).
     • Сожаление для a₁: 0 — (-150 000) = 150 000.
     • Сожаление для a₂: 0 — 0 = 0.
   • Полученная матрица сожалений:

Альтернатива (ai)	s1: Высокий спрос	s2: Низкий спрос
a1: Большой завод	0	150 000
a2: Маленький завод	130 000	0

2. Нахождение максимального сожаления для каждой альтернативы (r_i^max):
   • Для a₁ (Большой завод): r₁^max = max(0; 150 000) = 150 000.
   • Для a₂ (Маленький завод): r₂^max = max(130 000; 0) = 130 000.
3. Выбор стратегии с минимальным максимальным сожалением:
   • min(150 000; 130 000) = 130 000.
4. Определение оптимальной стратегии:

Оптимальное решение по Сэвиджу: a^*_{Сэвиджа} = a₂ (Строить маленький завод).
Этот результат показывает, что если ЛПР стремится минимизировать риск упущенной выгоды, то более безопасная стратегия маленького завода является предпочтительной. Это особенно актуально в условиях высокой конкуренции, где ошибки могут быть очень дорогими.

Сравнительный анализ результатов и итоговое обоснование выбора

Последовательное применение различных критериев принятия решений в условиях неопределенности привело к разным оптимальным стратегиям. Это не противоречие, а демонстрация того, что выбор оптимального решения критически зависит от отношения ЛПР к риску и его философии оценки возможных исходов.

Сводная таблица оптимальных решений

Для наглядности сведем результаты всех расчетов в единую таблицу:

Критерий	Отношение к риску	Оптимальное решение	Значение критерия (Выигрыш/Сожаление)
MAXIMAX	Крайний оптимизм	a1 (Большой завод)	250 000
Гурвица (α=0,7)	Умеренный оптимизм	a1 (Большой завод)	130 000
MAXIMIN (Вальда)	Крайний пессимизм	a2 (Маленький завод)	0
Лапласа	Нейтральность	a2 (Маленький завод)	60 000
Сэвиджа	Минимизация сожаления	a2 (Маленький завод)	130 000 (Min Max Regret)

Обоснование выбора оптимальной стратегии

Как видно из сводной таблицы, оптимальное инвестиционное решение существенно меняется в зависимости от того, какой подход к риску преобладает у Лица, Принимающего Решение.

1. Для ЛПР, склонного к риску и ориентированного на максимально возможную прибыль (Оптимистический подход):
   • Критерий MAXIMAX однозначно указывает на строительство большого завода (a₁). Этот выбор предполагает, что ЛПР готов принять риск значительных убытков (-150 000) в случае низкого спроса, рассчитывая на благоприятное развитие событий и получение максимального выигрыша в 250 000.
   • Критерий Гурвица с коэффициентом оптимизма α=0,7 также выбирает большой завод (a₁). Это демонстрирует, что даже при умеренно оптимистичном взгляде на будущее, потенциал высокой прибыли (умноженный на α) перевешивает потенциальные убытки (умноженные на 1-α).
2. Для ЛПР, осторожного, стремящегося избежать потерь или минимизировать ошибки (Пессимистический, Нейтральный подходы и подход минимизации сожаления):
   • Критерий MAXIMIN (Вальда), отражая крайний пессимизм, рекомендует строить маленький завод (a₂). Это решение гарантирует, что даже в наихудшем случае (низкий спрос) ЛПР не понесет убытков (выигрыш 0), хотя и упустит возможность получить 250 000 при высоком спросе.
   • Критерий Лапласа, представляющий нейтральный подход при отсутствии информации о вероятностях, также склоняется к маленькому заводу (a₂). Средний ожидаемый выигрыш для a₂ (60 000) выше, чем для a₁ (50 000), что делает его более предпочтительным с точки зрения математического ожидания при равновероятных исходах.
   • Критерий Сэвиджа, ориентированный на минимизацию упущенной выгоды, также приводит к выбору маленького завода (a₂). Максимальное сожаление при выборе a₂ составляет 130 000, тогда как для a₁ оно достигает 150 000. Таким образом, a₂ является стратегией, которая минимизирует «боль» от осознания того, что можно было бы поступить лучше.

Итоговый вывод: Оптимальное решение не является универсальным. Если ЛПР готов принять значительный риск ради достижения максимальной прибыли и склонен к оптимизму, то строительство большого завода (a₁) будет для него предпочтительным. Однако, если ЛПР осторожен, стремится минимизировать возможные убытки, не имеет информации о вероятностях или хочет минимизировать сожаление об упущенной выгоде, то более стабильная стратегия строительства маленького завода (a₂) будет наиболее рациональным выбором. Таким образом, стратегическое решение в условиях неопределенности — это всегда компромисс между потенциальной выгодой и приемлемым уровнем риска, определяемый субъективными предпочтениями и отношением ЛПР к неопределенности. Теоретические основы критериев принятия решений в условиях неопределенности дают полное представление о каждом из этих подходов.

Заключение

Выполнение данного практического задания позволило наглядно продемонстрировать применение различных критериев принятия решений в условиях полной неопределенности. Анализ инвестиционной задачи по строительству завода показал, что даже при одних и тех же исходных данных (платежной матрице) выбор оптимальной стратегии напрямую зависит от мировоззрения и отношения Лица, Принимающего Решение, к риску.

Мы последовательно рассчитали результаты по критериям MAXIMAX, MAXIMIN (Вальда) и Лапласа, а также углубили анализ, применив критерии Гурвица и Сэвиджа. Эти расчеты подтвердили, что оптимистически настроенный ЛПР (MAXIMAX, Гурвица) выберет стратегию с максимальным потенциальным выигрышем (большой завод), в то время как пессимистически или нейтрально настроенный ЛПР, а также тот, кто стремится минимизировать сожаления (MAXIMIN, Лаплас, Сэвидж), отдаст предпочтение более безопасной альтернативе (маленький завод).

Данный отчет соответствует всем методологическим требованиям, предоставляя четкие формулировки, пошаговые расчеты и детальное обоснование каждого решения. Применение нескольких критериев, а не одного, подчеркивает сложность и многогранность процесса принятия стратегических решений в условиях неопределенности, где субъективное восприятие риска играет не меньшую роль, чем объективные числовые показатели. Это позволяет принимать более взвешенные и обоснованные решения, соответствующие индивидуальным предпочтениям ЛПР.

Список использованной литературы

1. Критерий Вальда (максимин) — метод принятия решений в условиях полной неопределённости. URL: https://systems-analysis.ru/criteria/wald-criterion-maximin/ (дата обращения: 06.10.2025).
2. Правило максимин (критерий Ваальда). URL: https://studfile.net/preview/6710714/page:4/ (дата обращения: 06.10.2025).
3. Критерий Лапласа. URL: https://cyclowiki.org/wiki/%D0%9A%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B9_%D0%9B%D0%B0%D0%BF%D0%BB%D0%B0%D1%81%D0%B0 (дата обращения: 06.10.2025).
4. Критерий Лапласа — метод принятия решений в условиях неопределённости. URL: https://systems-analysis.ru/criteria/laplace-criterion/ (дата обращения: 06.10.2025).
5. Критерии принятия решений. URL: https://systems-analysis.ru/criteria/ (дата обращения: 06.10.2025).
6. Критерий максимина, Критерий минимакса — Методы принятия управленческих решений. URL: https://bstudy.net/214371/menedzhment/kriteriy_maksimina_kriteriy_minimaksa (дата обращения: 06.10.2025).