Задача на эффект Комптона в контрольной или на экзамене — классическая ситуация, способная вызвать затруднения. Студенту предстоит не просто подставить числа в готовую формулу, а продемонстрировать понимание одного из фундаментальных принципов квантовой физики. Это явление наглядно показывает, что свет может вести себя не как волна, а как поток частиц-фотонов, сталкивающихся с электронами по законам механики. Именно поэтому простое заучивание формул здесь не всегда помогает. Цель этой статьи — не просто показать готовое решение, а вооружить вас универсальным и понятным алгоритмом, который позволит шаг за шагом распутать любую подобную задачу и прийти к правильному ответу с полным пониманием процесса.
Какими законами и формулами описывается эффект Комптона?
В основе эффекта Комптона лежит процесс неупругого рассеяния фотона (например, рентгеновского или гамма-излучения) на свободном или слабосвязанном электроне. В отличие от фотоэффекта, где фотон полностью поглощается, здесь он лишь передает часть своей энергии и импульса электрону, изменяя при этом направление своего движения. Весь этот процесс подчиняется двум фундаментальным физическим принципам — законам сохранения энергии и импульса. Именно они являются отправной точкой для вывода всех расчетных соотношений.
Ключевым инструментом для решения задач является формула комптоновского смещения, которая напрямую вытекает из законов сохранения. Она описывает, насколько увеличилась длина волны фотона (Δλ) после столкновения:
Δλ = λ’ — λ = (h/mₑc)(1 — cosθ)
Разберем ее компоненты:
- Δλ — изменение длины волны фотона (λ’ — длина волны после рассеяния, λ — начальная).
- h — постоянная Планка (≈ 6.626 x 10⁻³⁴ Дж·с).
- mₑ — масса покоя электрона (≈ 9.109 x 10⁻³¹ кг).
- c — скорость света в вакууме (≈ 2.998 x 10⁸ м/с).
- θ — угол, на который отклонился (рассеялся) фотон от своего первоначального направления.
Комбинация констант в скобках (h/mₑc) сама является важной константой, известной как комптоновская длина волны электрона (λ_C). Ее значение составляет примерно 2.43 x 10⁻¹² метра или 2,43 пикометра. Использование этой константы значительно упрощает расчеты, и формула принимает более компактный вид: Δλ = λ_C(1 — cosθ).
Как правильно «прочитать» условие задачи и составить план решения.
Первый шаг к успеху — это внимательный анализ условия и его преобразование в четкий план действий. Рассмотрим типовую задачу:
«Фотон с энергией 0,15 МэВ испытал рассеяние на покоившемся свободном электроне, в результате чего его длина волны увеличилась на 1,5 пм. Найти угол φ, под которым вылетел комптоновский электрон отдачи».
Систематизируем исходные данные и цель:
- Дано:
Начальная энергия фотона (E) = 0,15 МэВ
Изменение длины волны (Δλ) = 1,5 пм - Найти:
Угол вылета электрона отдачи (φ)
Здесь кроется главная сложность: основная формула комптоновского эффекта связывает изменение длины волны с углом рассеяния фотона (θ), а нам нужно найти угол вылета электрона (φ). Прямой формулы для φ у нас нет, значит, ее нужно будет вывести или использовать готовый результат вывода. Это определяет наш пошаговый план:
- Определить начальную длину волны фотона (λ), используя его энергию (E).
- Используя известное изменение длины волны (Δλ), найти из основной формулы угол рассеяния фотона (θ).
- Воспользоваться соотношением, вытекающим из законов сохранения, чтобы связать угол фотона (θ) с искомым углом электрона (φ).
- Подставить все известные величины и вычислить итоговое значение φ.
Первый этап вычислений, или Как перевести энергию в длину волны.
Для дальнейших расчетов нам понадобится начальная длина волны фотона (λ), а в условии дана его энергия (E). Связь между этими величинами устанавливается через фундаментальную формулу энергии кванта:
E = hc/λ
Отсюда мы можем выразить искомую длину волны: λ = hc/E. Прежде чем подставлять числа, крайне важно привести все величины к единой системе измерений — Международной системе (СИ). Энергия дана в мегаэлектрон-вольтах (МэВ), ее необходимо перевести в джоули (Дж).
1 эВ ≈ 1.602 x 10⁻¹⁹ Дж
1 МэВ = 10⁶ эВ ≈ 1.602 x 10⁻¹³ Дж
Таким образом, энергия нашего фотона в СИ: E = 0,15 * 1.602 x 10⁻¹³ Дж ≈ 2.403 x 10⁻¹⁴ Дж. Теперь мы можем провести расчет:
λ = (6.626 x 10⁻³⁴ Дж·с * 2.998 x 10⁸ м/с) / (2.403 x 10⁻¹⁴ Дж) ≈ 8.27 x 10⁻¹² м.
Итак, начальная длина волны фотона составляет примерно 8,27 пикометра.
Второй этап, на котором мы находим угол рассеяния фотона.
Теперь, когда у нас есть все необходимые данные, мы можем использовать основную формулу комптоновского эффекта, чтобы найти ключевой параметр столкновения — угол рассеяния фотона θ. Вспомним формулу:
Δλ = λ_C (1 — cosθ)
В этой формуле нам известны и изменение длины волны Δλ (1,5 пм, по условию), и комптоновская длина волны электрона λ_C (≈ 2,43 пм). Наша цель — выразить и найти θ. Алгебраически преобразуем уравнение, чтобы выделить косинус угла:
1 — cosθ = Δλ / λ_C
cosθ = 1 — (Δλ / λ_C)
Теперь подставим числовые значения. Важно, чтобы Δλ и λ_C были в одинаковых единицах измерения, например, в пикометрах (пм), что позволяет их сократить:
cosθ = 1 — (1,5 пм / 2,43 пм) ≈ 1 — 0.617 ≈ 0.383
Чтобы найти сам угол, необходимо взять арккосинус от полученного значения:
θ = arccos(0.383) ≈ 67.5°
Мы успешно определили, на какой угол отклонился фотон после столкновения с электроном.
Третий этап, самый важный, где мы связываем фотон и электрон.
Мы подошли к самому нетривиальному шагу. Нам известен угол рассеяния фотона (θ), но требуется найти угол вылета электрона (φ). В стандартных учебниках редко дается готовая формула для φ, поскольку ее вывод наглядно демонстрирует мощь законов сохранения энергии и импульса. Для этого записывается система из трех уравнений: одно для сохранения энергии и два для сохранения проекций импульса (на ось X и на ось Y). После достаточно громоздких, но последовательных алгебраических преобразований этой системы, исключая из нее конечные импульсы, можно получить элегантное соотношение, которое служит мостом между траекториями фотона и электрона:
ctg(φ) = (1 + E / mₑc²) * tg(θ/2)
Давайте разберем эту ключевую формулу:
- ctg(φ) — котангенс искомого угла вылета электрона.
- E — начальная энергия фотона до столкновения.
- mₑc² — так называемая энергия покоя электрона, фундаментальная константа, равная примерно 0,511 МэВ.
- tg(θ/2) — тангенс половины уже найденного нами угла рассеяния фотона.
Эта формула — прямое следствие законов сохранения, и она связывает кинематику обеих частиц. Она показывает, что угол вылета электрона зависит не только от угла рассеяния фотона, но и от начальной энергии фотона по отношению к энергии покоя самого электрона. Теперь у нас есть всё, чтобы перейти к финальным вычислениям.
Четвертый этап, где мы проводим финальные расчеты и получаем ответ.
Теперь у нас есть рабочая формула и все необходимые значения для подстановки. Напомним формулу:
ctg(φ) = (1 + E / mₑc²) * tg(θ/2)
Подставим известные нам величины. Для удобства расчетов можно оставить энергию в МэВ, так как мы будем делить ее на энергию покоя электрона, также выраженную в МэВ:
- E = 0,15 МэВ
- mₑc² ≈ 0,511 МэВ
- θ ≈ 67.5°, следовательно, θ/2 ≈ 33.75°
Сначала вычислим каждый компонент отдельно:
Отношение энергий: E / mₑc² ≈ 0,15 / 0,511 ≈ 0.2935
Тангенс половинного угла: tg(33.75°) ≈ 0.668
Теперь подставляем эти значения в формулу:
ctg(φ) ≈ (1 + 0.2935) * 0.668
ctg(φ) ≈ 1.2935 * 0.668 ≈ 0.864
Чтобы найти сам угол φ, берем арккотангенс от полученного значения:
φ = arcctg(0.864) ≈ 49.2°
Таким образом, мы получили окончательный ответ. Ответ: угол, под которым вылетел комптоновский электрон отдачи, составляет примерно 49.2°.
Задача полностью решена. Мы прошли весь путь от анализа условия до получения конкретного числового ответа, разобрав физический смысл каждого шага. Этот методичный подход позволяет справиться с любой подобной задачей. Важно помнить, что за каждой формулой стоят фундаментальные законы физики, и их понимание — ключ к уверенности в решении. Пройденный нами алгоритм — анализ условия, перевод данных в СИ, нахождение угла фотона и, наконец, использование законов сохранения для перехода к электрону — является универсальным. Вооружившись этой методологией, вы сможете подходить к задачам на эффект Комптона системно и без страха.