Вращение объекта на веревке или эластичном шнуре — явление, знакомое каждому с детства. Однако за этой кажущейся простотой скрывается элегантное взаимодействие фундаментальных физических законов. Когда в дело вступает упругость, задача становится еще интереснее. Представьте гирю, раскрученную на резиновом шнуре: она вращается не просто на заданной длине, а на той, что динамически меняется под действием сил. Именно такая задача, где встречаются сила упругости и центростремительная сила, является идеальным полигоном для оттачивания навыков физического анализа. В этой статье мы не просто найдем ответ, а пошагово разберем всю логику решения, научимся строить силовые модели и избегать типичных ошибок. Наша цель — дать вам метод, который позволит уверенно решать целый класс подобных задач.
Шаг 1. Анализ условия и перевод данных в систему СИ
Первый и самый важный этап решения любой физической задачи — это внимательный анализ и стандартизация исходных данных. Некорректная работа с единицами измерения — одна из самых частых причин ошибок. Давайте систематизируем все, что нам дано.
Условие задачи следующее: гиря массой m = 0,5 кг, привязанная к резиновому шнуру, описывает в горизонтальной плоскости окружность с частотой n = 2 об/с. При этом шнур отклоняется от вертикали на угол α = 30°. Жесткость шнура составляет k = 0,6 кН/м. Наша цель — найти начальную длину нерастянутого шнура l₀.
Теперь переведем все величины в Международную систему единиц (СИ):
- Масса (m): 0,5 кг (уже в СИ)
- Угол (α): 30° (используется в тригонометрических функциях)
- Жесткость (k): 0,6 кН/м = 0,6 * 1000 Н/м = 600 Н/м
- Частота вращения (n): 2 об/с. В задачах на вращение удобнее использовать угловую скорость ω (в радианах в секунду). Связь между ними проста: ω = 2πn.
Вычислим угловую скорость:
ω = 2 * π * 2 об/с = 4π рад/с ≈ 12,57 рад/с.
Этот шаг критически важен, так как все ключевые формулы динамики вращательного движения используют именно угловую скорость в рад/с.
Шаг 2. Построение силовой модели и визуализация процесса
Правильный чертеж — это половина решения. Представим нашу систему: точка подвеса, от которой под углом α к вертикали отходит растянутый резиновый шнур, а на его конце находится гиря, движущаяся по горизонтальной окружности. Теперь определим все силы, действующие на гирю в этой системе.
- Сила тяжести (mg): Она всегда направлена строго вертикально вниз, к центру Земли.
- Сила упругости (F_упр): Она возникает в растянутом шнуре и направлена вдоль шнура от гири к точке подвеса. Важно понимать, что это не сила натяжения в обычном смысле, а именно сила, подчиняющаяся закону Гука.
И это все. Никаких других сил (если пренебречь сопротивлением воздуха) на гирю не действует. Ключевой момент здесь — понять, что загадочная «центростремительная сила» не является третьей, отдельной силой. Она является результирующей, то есть результатом сложения уже существующих реальных сил. В нашем случае именно сила упругости, а точнее, ее компоненты, будут играть роль и компенсатора силы тяжести, и создателя центростремительного ускорения.
Именно разложение силы упругости на вертикальную и горизонтальную составляющие является ключом к пониманию всей динамики процесса.
Шаг 3. Уравновешивание сил по вертикальной оси
Для анализа сил нам понадобится система координат. Логичнее всего направить ось Y вертикально вверх, а ось X — горизонтально, в сторону центра окружности, по которой вращается гиря. Теперь спроецируем наши силы на эти оси.
Поскольку гиря вращается в горизонтальной плоскости, ее вертикальное положение не меняется. Это означает, что она не имеет ускорения по оси Y. Согласно второму закону Ньютона, если ускорение равно нулю, то и сумма всех сил (или их проекций) на эту ось также равна нулю. На гирю по вертикали действуют две силы:
- Сила тяжести mg (направлена вниз, против оси Y).
- Вертикальная компонента силы упругости F_упр_y (направлена вверх, вдоль оси Y).
Из рисунка видно, что вертикальная компонента силы упругости находится через косинус угла α: F_упр_y = F_упр * cos(α). Условие равновесия по оси Y записывается так:
F_упр * cos(α) — mg = 0
Отсюда мы можем выразить полную силу упругости, действующую в шнуре:
F_упр = mg / cos(α).
Используя известные нам значения m = 0,5 кг и g ≈ 9,81 м/с², мы можем найти эту силу, как только понадобятся численные расчеты.
Шаг 4. Анализ движения по горизонтальной оси и природа центростремительной силы
Теперь рассмотрим движение по горизонтальной оси X, направленной к центру вращения. Единственная сила, имеющая проекцию на эту ось, — это горизонтальная компонента силы упругости, F_упр_x. Она равна F_упр * sin(α). Именно эта компонента постоянно «тянет» гирю к центру, заставляя ее траекторию искривляться и превращаться в окружность.
Таким образом, эта компонента и есть та самая центростремительная сила (F_c). Она не появляется из ниоткуда, а является физическим проявлением горизонтальной составляющей упругости шнура. Согласно второму закону Ньютона, эта сила сообщает телу массой m центростремительное ускорение a_c:
F_упр * sin(α) = m * a_c
Центростремительное ускорение для вращательного движения рассчитывается по формуле a_c = ω² * R, где ω — наша угловая скорость, а R — радиус окружности, по которой движется гиря. Подставив это в наше уравнение, получаем:
F_упр * sin(α) = m * ω² * R
Этот момент является фундаментальным: центростремительная сила — это не отдельный вид взаимодействия, а роль, которую выполняет одна из реальных сил (в данном случае — компонента силы упругости), чтобы поддерживать движение по окружности.
Теперь у нас есть два уравнения, но в них присутствуют две неизвестные: полная длина шнура (через радиус R) и сила упругости F_упр. Нужна еще одна связь.
Шаг 5. Как закон Гука связывает механику и геометрию
Третьим китом, на котором держится решение этой задачи, является закон Гука. Он описывает, как деформируется упругое тело (наш шнур) под действием приложенной к нему силы. Закон гласит, что сила упругости прямо пропорциональна удлинению тела:
F_упр = k * Δl
Здесь k — это жесткость шнура, а Δl — его удлинение, то есть разница между его текущей (растянутой) длиной L и начальной (нерастянутой) длиной l₀. То есть, Δl = L — l₀.
Теперь вернемся к геометрии нашей системы. Из силового чертежа очевидно, что радиус вращения R связан с полной (растянутой) длиной шнура L и углом α через синус:
R = L * sin(α)
Заменив L на (l₀ + Δl), мы получаем ключевую связь:
R = (l₀ + Δl) * sin(α)
Именно закон Гука и геометрические соотношения позволили нам связать воедино динамику (силы и ускорение) и исходный искомый параметр — начальную длину шнура l₀. Мы получили замкнутую систему уравнений.
Шаг 6. Синтез уравнений и математическое решение
Теперь у нас есть все необходимое для нахождения l₀. Проведем последовательные алгебраические подстановки, чтобы выразить искомую величину.
- Находим силу упругости. Из уравнения для вертикальной оси (Шаг 3) мы уже знаем:
F_упр = mg / cos(α)
- Находим удлинение шнура (Δl). Подставим это выражение для F_упр в закон Гука (Шаг 5):
mg / cos(α) = k * Δl
Отсюда легко выразить удлинение:
Δl = mg / (k * cos(α))
- Находим радиус вращения (R). Возьмем уравнение для горизонтальной оси из Шага 4 (F_упр * sin(α) = mω²R) и подставим в него выражение для F_упр из пункта 1:
(mg / cos(α)) * sin(α) = mω²R
Заметив, что sin(α)/cos(α) = tg(α) и масса m сокращается, получаем:
g * tg(α) = ω²R
Отсюда выражаем радиус:
R = g * tg(α) / ω²
- Находим начальную длину (l₀). У нас есть геометрическое соотношение из Шага 5: R = (l₀ + Δl) * sin(α). Выразим из него скобку: (l₀ + Δl) = R / sin(α), и, наконец, саму l₀:
l₀ = (R / sin(α)) — Δl
Теперь подставляем в эту финальную формулу выражения для R и Δl, которые мы нашли в пунктах 2 и 3.
Это и есть наше решение в общем виде. Осталось только подставить числа.
Шаг 7. Финальный расчет и проверка размерности
Подставим все числовые значения из Шага 1 в выведенные формулы.
Сначала вычислим промежуточные величины:
- Радиус R = (9,81 м/с² * tg(30°)) / (4π рад/с)² ≈ (9,81 * 0,577) / 157,9 ≈ 0,0358 м
- Удлинение Δl = (0,5 кг * 9,81 м/с²) / (600 Н/м * cos(30°)) ≈ 4,905 / (600 * 0,866) ≈ 0,00945 м
Теперь находим искомую начальную длину l₀:
l₀ = (R / sin(α)) — Δl = (0,0358 м / sin(30°)) — 0,00945 м = (0,0358 / 0,5) — 0,00945 = 0,0716 — 0,00945 = 0,06215 м.
Округляя, получаем примерно 6,2 см.
Проведем быструю проверку размерности для l₀ = (g*tgα)/(ω²*sinα) — mg/(k*cosα). Единицы измерения: [(м/с²)/( (1/с)² )] — [кг*м/с² / (Н/м)] = [м] — [(Н)/(Н/м)] = [м] — [м]. Размерность сходится, что дает уверенность в правильности выведенной формулы. Если бы в конце получились не метры, это был бы верный признак ошибки в алгебраических преобразованиях.
Заключение. Разбор ключевой ошибки и выводы
Мы успешно решили задачу и получили численный ответ. Но что было самым сложным и важным моментом в этом процессе? Самая распространенная ошибка в подобных задачах — это попытка использовать начальную, нерастянутую длину шнура l₀ при расчете геометрии и центростремительной силы. Многие ошибочно пишут R = l₀ * sin(α), игнорируя тот факт, что шнур растягивается.
Это в корне неверно, потому что реальный радиус вращения определяется именно растянутой длиной шнура L. Деформация упругой связи — это не побочный эффект, а ключевой элемент, меняющий всю геометрию системы. Невозможно правильно описать динамику, не учтя изменение длины.
Главный вывод, который мы можем сделать: в задачах с упругими связями необходимо всегда составлять полную систему уравнений, включающую:
- Второй закон Ньютона для всех осей.
- Закон Гука, описывающий деформацию.
- Геометрические соотношения, связывающие деформацию с параметрами движения (например, с радиусом).
Пройдя через все шаги анализа, вы теперь обладаете не просто решением одной задачи, а надежным методом для исследования целого класса сложных физических систем.