Интерполирование и экстраполирование функций

Содержание

Работа 1

Задание. Найти приближенное значение функции при данном значении аргумента с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа, если функция задана: 1) в неравноотстоящих узлах таблицы; 2) в равноотстоящих узлах таблицы.

Варианты к заданию 1) приведены в табл. 5.1 прил. 5.

ВариантТаблица

значений

№ вар.xxy

80,1140,352,73951

0,412,30080

0,471,96864

0,511,78776

0,561,59502

0,641,34310

Варианты к заданию 2) приведены в табл. 5.2 прил. 5.

ВариантТаблица значений

№ вар.xxy

80,13150,1506,61659

0,1556,39989

0,1606,19658

0,1656,00551

0,1705,82558

0,1755,65583

Работа 2

Задание. 1) Используя линейную интерполяцию, вычислить значения функции при заданных значениях аргумента. Предварительно убедиться в применимости формулы, для чего выбрать шесть значений из таблицы синусов (точность 0,000001) и составить таблицу разностей.

2) Используя квадратичную интерполяцию, вычислить значения функции при данных значениях аргумента. Предварительно убедиться в применимости формулы.

Варианты к заданию 1) приведены в табл. 5.3 прил. 5.

№

вар.Задание а)Задание б)

8а) sin 1,0618б) cos 0,1458

Варианты к заданию 2) приведены в табл. 5.4. прил. 5.

81,68371,6814

xy

1,6759,5618

1,6769,4703

1,6779,3804

1,6789,2923

1,6799,2057

1,6809,1208

1,6819,0373

1,6828,9554

1,6838,8749

1,6848,7959

1,6858,7182

1,6868,6418

1,6878,5668

1,6888,4931

Выдержка из текста

Решение:

1) Выберем из таблицы синусов несколько значений и составим таблицу разностей первого и второго порядков:

xsin xyi2yi

1,030,85730,0051-0,0001

1,040,86240,0050-0,0001

1,050,86740,0049-0,0001

1,060,87240,0048-0,0001

1,070,87720,0048

1,080,8820

На возможность использования линейной интерполяции указывает тот факт, что разности первого порядка практически постоянны, а также выполнение соотношения ; действительно, .

При вычислении пользуемся формулой:

(x)= (x0)+q(x0),

где q=(x – x0)/h, а x0 – ближайшее значение в таблице, меньшее чем 1,0618. Имеем x0 =1,06; q =(1,0618 –1,06)/0,01=0,18;

sin 1,0618 0,8724+0,180,0049 = 0,873282.

Выберем теперь из таблицы косинусов несколько значений и составим таблицу разностей первого и второго порядков:

xcos xyi2yi

0,110,99396-0,0011-0,0001

0,120,99281-0,0012-0,0001

0,130,99156-0,0013-0,0001

0,140,99022-0,0014-0,0001

0,150,98877-0,0015

0,160,98723

Разности первого порядка практически постоянны, а также справедливо соотношение (так как ), что указывает на возможность применения линейной интерполяции.

Полагаем x0 = 0,14; тогда q = (0,1458 – 0,14)/0,01=0,58; значит,

cos 0,1458 0,99022+0,58(−0,0014) = 0,989408.

2) Формула квадратичной интерполяции:

,

где q = (x – x0)/h, h = xi+1 – xi (i = 0, 1, …, n).

Составим расчетную таблицу:

yi2yi3yi

1,6759,5618-0,09150,00160,00020

1,6769,4703-0,08990,0018-0,00030

1,6779,3804-0,08810,00150,00020

1,6789,2923-0,08660,0017-0,00030

1,6799,2057-0,08490,00140,00020

1,689,1208-0,08350,0016-0,00020

1,6819,0373-0,08190,00140,00010

1,6828,9554-0,08050,0015-0,00020

1,6838,8749-0,0790,00130,00000

1,6848,7959-0,07770,00130,00010

1,6858,7182-0,07640,0014-0,00010

1,6868,6418-0,0750,0013

1,6878,5668-0,0737

1,6888,4931

Разности первого порядка практически постоянны, а также справедливо соотношение (так как ), что указывает на возможность применения квадратичной интерполяции.

Вычислим значение функции в точке 1,6837:

;

и вычислим значение функции в точке 1,6814:

;