Детальное решение задачи: Отношение потенциальных энергий двух последовательно соединенных пружин в контрольной работе

Представьте себе мир, где каждая механическая система стремится к равновесию, а энергия постоянно трансформируется, но никогда не исчезает. В этом мире, законы физики – это не просто формулы, а элегантные повествования о взаимодействии материи и сил. Одной из таких классических историй, которую часто предлагают разгадать студентам технических и естественно-научных вузов, а также учащимся старших классов, является задача о последовательном соединении двух пружин с различными жесткостями, на которые действует общий груз. Конечная цель этого путешествия в мир механики – определить отношение их потенциальных энергий.

Эта, на первый взгляд, простая задача скрывает в себе глубину фундаментальных принципов, от понимания которых зависит не только успешная сдача контрольной работы, но и формирование крепкого аналитического мышления. Наша работа призвана не просто дать готовый ответ, а провести читателя через весь путь академического исследования: от истоков базовых понятий до детального вывода целевой формулы, с критическим анализом всех допущений. Мы шаг за шагом раскроем каждый аспект, обеспечивая полное и всестороннее понимание предмета.

Фундаментальные основы: Закон Гука и свойства одной пружины

Что такое Закон Гука? История и основные определения

В XVII веке, в эпоху великих научных открытий, английский ученый Роберт Гук, один из самых выдающихся умов своего времени, представил миру принцип, который лег в основу всей механики деформируемых тел. В 1660 году, когда Гуку было всего 25 лет, он сформулировал свой знаменитый закон, ставший краеугольным камнем в понимании упругости материалов. Закон Гука гласит: деформация, возникающая в упругом теле, прямо пропорциональна силе упругости, которая в этом теле возникает. Это означает, что чем сильнее вы тянете или сжимаете, тем больше сопротивление вы чувствуете.

Математически это выражается через формулу: F = kx или F = -kx. Здесь:

• F — это сила упругости, измеряемая в ньютонах (Н). Эта сила всегда стремится вернуть деформированное тело в его первоначальное состояние.
• x (или ΔL) — это величина деформации, то есть абсолютное удлинение или сжатие пружины, измеряемое в метрах (м).
• k — это коэффициент упругости, или жесткость пружины, измеряемый в ньютонах на метр (Н/м).

Знак минус в формуле F = -kx имеет глубокий физический смысл. Он указывает на то, что сила упругости всегда направлена в сторону, противоположную направлению деформации. Если вы растягиваете пружину, сила упругости тянет её обратно; если сжимаете, она толкает её наружу. Это проявление стремления системы к равновесию.

Коэффициент жесткости k — это не просто число, а характеристика, которая определяет, насколько «упряма» пружина. Чем больше значение k, тем больше усилие потребуется, чтобы вызвать ту же деформацию. Жесткость пружины зависит от многих факторов: от материала, из которого она изготовлена (например, сталь или бронза), до её геометрических параметров – диаметра проволоки, диаметра витков и общего количества витков.

Пределы применимости Закона Гука

Однако, как и многие законы природы, Закон Гука не является универсальным и имеет свои границы применимости. Он справедлив только для малых упругих деформаций. Что это означает?

• Упругие деформации: Это такие деформации, которые полностью исчезают, как только внешняя сила, вызвавшая их, снимается. Пружина возвращается в исходное состояние без остаточных изменений.
• Малые деформации: Закон Гука перестает быть линейным при значительных деформациях. При превышении определенного порога, который называется пределом пропорциональности (σ_пц), связь между силой и деформацией становится нелинейной. Дальнейшее увеличение нагрузки приведет к деформации, которая уже не будет прямо пропорциональна приложенной силе.

Предел пропорциональности — это максимальное механическое напряжение, при котором ещё действует линейная зависимость F = kx. За ним следует предел упругости, который является максимальным напряжением, после снятия которого тело не имеет остаточных (пластических) деформаций. Для большинства материалов эти два предела практически совпадают, но в некоторых случаях могут немного отличаться. Если нагрузка превышает предел упругости, деформация становится пластической, и пружина не возвращается в исходное состояние, оставаясь деформированной навсегда, или даже разрушается.

Влияние на применимость Закона Гука оказывают и другие факторы:

• Материал пружины: Для некоторых материалов, например, для резины или биологических тканей, закон Гука может быть неприменим даже при малых деформациях, так как их упругие свойства изначально нелинейны.
• Температура: Температура существенно влияет на свойства материала. При высоких температурах материал пружины может стать более пластичным или размягчиться, что снизит её жесткость и приведет к нарушению линейной зависимости. Напротив, при очень низких температурах некоторые материалы становятся хрупкими, что также ограничивает применимость закона Гука.

Таким образом, хотя Закон Гука является мощным инструментом для анализа упругих систем, всегда важно помнить о контексте и условиях, при которых он остается верным. Упущение этих нюансов может привести к ошибочным расчетам в реальных инженерных задачах.

Потенциальная энергия упруго деформированной пружины

Понятие потенциальной энергии в контексте пружины

В физике энергия является центральным понятием, описывающим способность системы совершать работу. Среди различных форм энергии особое место занимает потенциальная энергия – это энергия, обусловленная взаимным расположением или взаимодействием тел в системе, которая обладает способностью трансформироваться в другие виды энергии, например, в кинетическую, совершая при этом работу.

Растянутая или сжатая пружина – это классический пример системы, обладающей потенциальной энергией. Когда мы деформируем пружину, мы совершаем работу против сил упругости. Эта работа не исчезает бесследно, а накапливается в пружине в виде потенциальной энергии. Почему? Потому что деформированная пружина, будучи предоставленной самой себе, стремится вернуться в свое исходное, недеформированное состояние, и в этом процессе она способна совершить работу. Например, она может привести в движение прикрепленное к ней тело, как это происходит в часовых механизмах, амортизаторах или детских игрушках.

Потенциальной энергией упруго деформированной пружины называют величину, численно равную работе, которую совершит сила упругости при переходе пружины из текущего деформированного состояния в состояние с нулевой деформацией. Это означает, что чем сильнее деформирована пружина, тем больше работы она способна совершить и, следовательно, тем больше потенциальной энергии в ней запасено.

Вывод формулы потенциальной энергии

Для количественного выражения потенциальной энергии упруго деформированной пружины нам потребуется использовать принцип работы сил. Рассмотрим процесс деформации пружины от её недеформированного состояния (x = 0) до некоторого удлинения (или сжатия) x.

Сила упругости, как мы знаем из Закона Гука, линейно зависит от деформации: Fупр = kx. Это означает, что по мере увеличения деформации x, сила упругости также растет от нуля до максимального значения Fмакс = kx.

Поскольку сила упругости изменяется в процессе деформации, для определения работы, совершаемой этой силой (или работы, которая требуется для её преодоления), мы не можем просто умножить силу на перемещение. Мы должны использовать среднее значение силы. Если сила изменяется линейно, то средняя сила будет равна полусумме начальной и конечной сил:

Fср = (Fнач + Fкон) / 2

В нашем случае, Fнач = 0 (при нулевой деформации) и Fкон = kx (при деформации x).

Следовательно, Fср = (0 + kx) / 2 = 0.5kx.

Работа (A), совершаемая для деформации пружины, или, что эквивалентно, потенциальная энергия (W), запасенная в пружине, определяется как произведение средней силы на перемещение:

A = W = Fср ⋅ x

Подставляем выражение для средней силы:

W = (0.5kx) ⋅ x

Таким образом, получаем ключевую формулу для потенциальной энергии упруго деформированной пружины:

W = 0.5kx2

Эта формула показывает, что потенциальная энергия пропорциональна квадрату деформации и напрямую зависит от жесткости пружины. Удвоение деформации приводит к учетверению запасенной энергии, что подчеркивает нелинейный характер этого процесса. Единицей измерения потенциальной энергии, как и любой другой энергии, является Джоуль (Дж).

Последовательное соединение пружин: Принципы и расчеты

Принципы последовательного соединения

Когда мы соединяем две или более пружин последовательно, это означает, что они располагаются друг за другом, образуя цепочку. Представьте себе гирлянду из пружин, где конец одной пружины прикреплен к началу следующей. Такой тип соединения имеет свои уникальные физические свойства, которые отличают его от параллельного соединения. Что же это означает для распределения сил и деформаций в такой системе?

Ключевые принципы последовательного соединения пружин:

1. Единство силы: Главный принцип заключается в том, что сила упругости, действующая на каждую отдельную пружину в системе, одинакова и равна внешней силе, приложенной ко всей системе. Если мы подвешиваем груз к нижней пружине в последовательной цепочке, этот груз растягивает последнюю пружину, которая, в свою очередь, передает ту же силу на предыдущую пружину, и так далее по всей цепочке.
   Fобщ = F1 = F2 = ... = Fn
2. Суммирование удлинений: Общее удлинение (или деформация) всей системы последовательно соединенных пружин равно сумме удлинений каждой отдельной пружины. Каждая пружина вносит свой вклад в общую деформацию системы.
   xобщ = x1 + x2 + ... + xn

Эти два принципа являются основополагающими для анализа и расчета характеристик последовательно соединенных пружин.

Вывод формулы эквивалентной жесткости

Для того чтобы упростить анализ сложной системы из нескольких пружин, мы часто вводим понятие эквивалентной жесткости (k_экв). Это такая жесткость одной гипотетической пружины, которая при приложении той же внешней силы Fобщ даст то же общее удлинение xобщ, что и вся система последовательно соединенных пружин.

Используя принципы, изложенные выше, и Закон Гука (F = kx), мы можем вывести формулу для kэкв.
Из Закона Гука: x = F/k.

1. Запишем общее удлинение системы для двух пружин:
   xобщ = x1 + x2
2. Выразим каждое удлинение через силу и жесткость соответствующей пружины:
   x1 = F1/k1
x2 = F2/k2
3. Поскольку сила одинакова для всех пружин и равна общей силе Fобщ:
   x1 = Fобщ/k1
x2 = Fобщ/k2
4. Подставим эти выражения в формулу для общего удлинения:
   xобщ = Fобщ/k1 + Fобщ/k2
5. Вынесем Fобщ за скобки:
   xобщ = Fобщ ⋅ (1/k1 + 1/k2)
6. С другой стороны, для эквивалентной пружины:
   xобщ = Fобщ/kэкв
7. Приравниваем два выражения для xобщ:
   Fобщ/kэкв = Fобщ ⋅ (1/k1 + 1/k2)
8. Сокращаем Fобщ с обеих сторон:
   1/kэкв = 1/k1 + 1/k2

Это и есть формула для эквивалентной жесткости двух последовательно соединенных пружин. Если мы хотим выразить kэкв явно, мы можем привести дроби к общему знаменателю:

1/kэкв = (k2 + k1) / (k1 ⋅ k2)

Отсюда, перевернув обе части уравнения, получаем:

kэкв = (k1 ⋅ k2) / (k1 + k2)

Важным выводом из этой формулы является то, что общая жесткость при последовательном соединении пружин всегда меньше, чем жесткость любой из составляющих пружин. Это логично, поскольку добавление каждой следующей пружины увеличивает общую податливость системы, делая её «мягче», что позволяет всей системе деформироваться сильнее под той же нагрузкой.

Распределение деформаций и сил в последовательно соединенных пружинах

Взаимосвязь силы, жесткости и удлинения для каждой пружины

Один из ключевых аспектов анализа последовательного соединения пружин, который часто упускается из виду в поверхностных обзорах, касается распределения удлинений между отдельными компонентами системы. Мы уже установили, что при последовательном соединении каждая пружина испытывает одну и ту же силу F. Это является фундаментальным принципом.

Теперь давайте глубже посмотрим, как эта общая сила F влияет на деформацию каждой пружины, если их жесткости k1 и k2 различны. Используя Закон Гука, F = kx, мы можем выразить удлинение (деформацию) каждой пружины:

• Для первой пружины: x1 = F/k1
• Для второй пружины: x2 = F/k2

Эти простые соотношения раскрывают важную закономерность: удлинение каждой пружины будет обратно пропорционально её жесткости при условии, что приложенная к ним сила одинакова.

Что это означает на практике?

Представим две пружины, одна из которых очень «мягкая» (малая жесткость k1), а другая — «жесткая» (большая жесткость k2). Если к системе приложить одинаковую внешнюю силу F, то пружина с меньшей жесткостью (k1) будет деформироваться (удлиняться) значительно сильнее, чем пружина с большей жесткостью (k2).

Пример:
Пусть F = 10 Н.
Пружина 1: k1 = 100 Н/м. Тогда x1 = 10 Н / 100 Н/м = 0.1 м.
Пружина 2: k2 = 200 Н/м. Тогда x2 = 10 Н / 200 Н/м = 0.05 м.

Как видно из примера, удлинение первой пружины (x1) в два раза больше, чем удлинение второй пружины (x2), потому что её жесткость в два раза меньше. Этот интуитивно понятный результат подтверждается математически и является критически важным для понимания того, как энергия распределяется в такой системе.

Параметр	Пружина 1 (жесткость k1)	Пружина 2 (жесткость k2)
Приложенная сила	F	F
Удлинение (деформация)	x1 = F/k1	x2 = F/k2
Взаимосвязь	Чем меньше k, тем больше x	Чем больше k, тем меньше x

Это распределение удлинений напрямую повлияет на количество потенциальной энергии, запасенной в каждой пружине, что является нашей главной целью.

Детальный вывод отношения потенциальных энергий

Формулировка задачи и исходные данные

Перед нами стоит классическая задача по физике: имеются две пружины с жесткостями k1 и k2, соединенные последовательно. К этой системе подвешен груз, который вызывает суммарное удлинение, а значит, и деформацию каждой пружины под действием одной и той же силы F. Наша цель – найти отношение потенциальных энергий, запасенных в этих пружинах: Wп1/Wп2.

В качестве исходных данных нам даны:

• Жесткость первой пружины: k1
• Жесткость второй пружины: k2
• Тип соединения: последовательное
• Приложенная сила: F (это может быть сила тяжести груза, F = mg, или любая другая внешняя сила).

Выражение потенциальных энергий через силу и жесткость

Мы знаем универсальную формулу для потенциальной энергии упруго деформированной пружины:
W = 0.5kx2

Также мы знаем Закон Гука, который связывает силу, жесткость и деформацию:
F = kx

Из Закона Гука мы можем выразить деформацию x:
x = F/k

Теперь подставим ��то выражение для x в формулу потенциальной энергии. Это позволит нам выразить потенциальную энергию через силу F и жесткость k, что будет очень удобно для последовательного соединения, где сила F одинакова для обеих пружин:

W = 0.5k(F/k)2
W = 0.5k(F2/k2)
W = 0.5F2/k

Теперь у нас есть удобная форма для расчета потенциальной энергии каждой пружины в последовательном соединении:

• Для первой пружины: Wп1 = 0.5F2/k1
• Для второй пружины: Wп2 = 0.5F2/k2

Вывод отношения W_п1/W_п2

Теперь, когда у нас есть выражения для потенциальных энергий каждой пружины через общую силу F и их индивидуальные жесткости, мы можем легко найти их отношение.

Отношение потенциальных энергий Wп1/Wп2 будет выглядеть так:
Wп1/Wп2 = (0.5F2/k1) / (0.5F2/k2)

Давайте внимательно рассмотрим это выражение. В числителе и знаменателе присутствует общий множитель 0.5F2. Мы можем сократить этот множитель, так как он не равен нулю (если F=0, то и потенциальные энергии равны нулю, и отношение становится неопределенным, но задача подразумевает наличие деформации).

После сокращения получаем:
Wп1/Wп2 = (1/k1) / (1/k2)

Чтобы упростить деление дробей, мы можем перевернуть знаменатель и умножить:
Wп1/Wп2 = 1/k1 ⋅ k2/1

И окончательно, получаем:
Wп1/Wп2 = k2/k1

Таким образом, мы приходим к элегантному и крайне важному результату: отношение потенциальных энергий двух последовательно соединенных пружин обратно пропорционально отношению их жесткостей. Это означает, что пружина с меньшей жесткостью (т.е., более «мягкая») будет накапливать больше потенциальной энергии, чем пружина с большей жесткостью, при условии, что на них действует одна и та же сила. Это логично, так как «мягкая» пружина деформируется сильнее под той же силой, а энергия зависит от квадрата деформации.

Критический анализ допущений при решении задачи

В мире идеальных физических моделей мы часто используем упрощения, которые позволяют нам решать сложные задачи с помощью относительно простых математических инструментов. Однако важно понимать, какие именно допущения мы делаем и когда они являются валидными. Без такого критического анализа решение задачи, пусть и математически верное, может оказаться неприменимым к реальным физическим системам.

Пренебрежение массой пружин

Одним из наиболее распространенных и фундаментальных допущений при решении задач с пружинами является пренебрежение массой самой пружины по сравнению с массой подвешенного груза или взаимодействующих тел.

Почему это важно? Если бы масса пружины была сопоставима с массой груза, то каждый элемент пружины имел бы свою собственную кинетическую энергию, и её деформация зависела бы от распределения массы. Это сделало бы математическую модель значительно более сложной, потребовав интегрирования по всей длине пружины и учёта динамики распределенной массы.

Когда это допущение валидно?

• Соотношение масс: Это допущение считается валидным, когда масса пружины (mпружины) значительно меньше массы подвешенного груза (mгруза), то есть mпружины ≪ mгруза. Например, если масса груза в 10-20 раз больше массы пружины, это допущение обычно приемлемо.
• Упрощение динамики: Пренебрежение массой пружины позволяет считать всю массу системы сосредоточенной в грузе, что значительно упрощает анализ динамики (например, колебаний), позволяя использовать простые уравнения движения.

В результате мы рассматриваем пружину как идеальный элемент, который обладает только упругими свойствами и не вносит инерции в систему.

Идеальная пружина и линейная упругость

Закон Гука – это линейная модель упругости. Соответственно, когда мы применяем его, мы делаем несколько важных предположений о самой пружине:

• Идеальная упругость: Мы предполагаем, что пружина является идеально упругой. Это означает, что она полностью и мгновенно восстанавливает свою первоначальную форму и размеры после снятия внешней силы. Материал пружины не имеет «памяти» деформации и не проявляет гистерезиса.
• Линейная упругость: Как уже обсуждалось, ключевое предположение — это линейная упругость, то есть деформация прямо пропорциональна приложенной силе в пределах упругости. Если пружина изготовлена из материала, который не подчиняется Закону Гука (например, резина, как уже упоминалось), или если деформации выходят за пределы пропорциональности, тогда наши формулы будут неверны.
• Отсутствие демпфирования: В базовых задачах мы обычно пренебрегаем силами демпфирования. Это включает сопротивление воздуха (для колебаний) и внутреннее трение в материале пружины. В реальных системах эти силы всегда присутствуют и приводят к потере механической энергии, но их учет значительно усложняет математическую модель.
• Постоянная жесткость: Мы считаем, что коэффициент жесткости (k) является постоянным в рассматриваемом диапазоне деформаций и не изменяется ни от величины деформации, ни от времени, ни от температуры (хотя в реальности температура может влиять на k).

Работа в пределах упругости

Это допущение тесно связано с линейной упругостью и пределами применимости Закона Гука. Мы акцентируем внимание на том, что все деформации пружины не выходят за предел упругости. Разве не очевидно, что игнорирование этого может привести к фатальным ошибкам в расчетах?

• Предотвращение пластических деформаций: Если бы деформации превысили предел упругости, пружина получила бы пластические (остаточные) деформации. Это означало бы, что после снятия нагрузки она не вернулась бы в исходное состояние, и наши формулы для потенциальной энергии (W = 0.5kx2) и Закона Гука потеряли бы свою актуальность, так как пружина уже не была бы «той же» пружиной с постоянным k.
• Сохранение свойств: Работа в пределах упругости гарантирует, что материал пружины сохраняет свои первоначальные упругие свойства, и мы можем использовать коэффициент k как постоянную величину.

Понимание этих допущений не просто академическое упражнение. Оно позволяет инженеру или физику критически оценивать применимость теоретических моделей к реальным системам и, при необходимости, модифицировать эти модели, чтобы учесть дополнительные факторы.

Заключение и выводы

Мы совершили глубокое погружение в механику упругих систем, начиная от исторических корней Закона Гука и заканчивая комплексным анализом поведения последовательно соединенных пружин. Наше путешествие подтвердило, что решение типовых физических задач требует не только знания формул, но и глубокого понимания фундаментальных принципов, а также критического осмысления используемых допущений.

Главный результат нашего исследования – это вывод, что отношение потенциальных энергий двух последовательно соединенных пружин обратно пропорционально отношению их жесткостей: Wп1/Wп2 = k2/k1. Этот элегантный результат является прямым следствием Закона Гука и принципов распределения сил и деформаций в последовательных системах. Он ясно демонстрирует, что «мягкая» пружина (с меньшей жесткостью) будет накапливать больше энергии под действием той же силы, чем «жесткая» пружина, поскольку она деформируется сильнее.

В процессе работы мы подчеркнули:

• Исторический контекст Закона Гука: Роль Роберта Гука и ограничения его закона в зависимости от величины деформации, свойств материала и температуры.
• Физический смысл потенциальной энергии: Объяснение того, почему деформированная пружина является накопителем энергии и как она совершает работу.
• Принципы последовательного соединения: Единство силы и суммирование удлинений как краеугольные камни для анализа таких систем.
• Критический анализ допущений: Подробное рассмотрение предположений о невесомости пружин, их идеальной упругости, линейности деформаций и работе в пределах упругости. Этот аспект является ключевым для понимания границ применимости физических моделей в реальном мире.

Для студентов технических и естественно-научных специальностей, а также для учащихся старших классов, освоение этой задачи – это не просто тренировка навыков решения, но и важный шаг к формированию системного мышления. Понимание того, почему формулы работают и когда они применимы, является гораздо более ценным, чем простое запоминание.

Рекомендуется для дальнейшего изучения: рассмотреть параллельное соединение пружин и сравнить распределение сил, удлинений и потенциальных энергий в этой конфигурации. Также полезно проанализировать системы, где допущения (например, о невесомости пружин) не выполняются, и изучить более сложные модели, описывающие динамику таких систем.

Список использованной литературы

1. Закон Гука – Викиконспекты. URL: https://phys.libretexts.org/Bookshelves/Mechanics/Book%3A_Physics_for_Engineers_and_Scientists_II_(K-State)/01%3A_Oscillatory_Motion/1.02%3A_The_Simple_Harmonic_Oscillator (дата обращения: 04.11.2025).
2. В чем заключается физический смысл коэффициента жесткости пружины? – Вопросы к Поиску с Алисой (Яндекс Нейро). URL: https://yandex.ru/q/question/v_chem_zakliuchaetsia_fizicheskii_smysl_1b504620/ (дата обращения: 04.11.2025).
3. Соединение пружин. Физика 10 класс. Генденштейн. URL: http://школа.рф/fizika/10-klass/gendenshtejn/paragraf-15-sily-uprugosti-soedinenie-pruzhin (дата обращения: 04.11.2025).
4. Закон Гука – Техническая механика. URL: https://tech-mech.ru/sopromat/zakon-guka/ (дата обращения: 04.11.2025).
5. Закон Гука: формула, сила упругости, коэффициент и применение в физике. URL: https://skillbox.ru/media/science/zakon-guka-formula-sila-uprugosti-koeffitsient-i-primenenie-v-fizike/ (дата обращения: 04.11.2025).
6. Потенциальная энергия пружины. Потенциальная энергия в поле тяготения. URL: https://studfile.net/preview/4488346/page:19/ (дата обращения: 04.11.2025).
7. Потенциальная энергия, ее определение, виды и формулы – Просвещение. URL: https://prosv.ru/pages/potentsialnaya-energiya-ee-opredelenie-vidy-i-formuly.html (дата обращения: 04.11.2025).
8. Параллельное соединение пружин – Ростовский Государственный Университет Путей Сообщения. URL: https://www.rgups.ru/sites/default/files/users/user193/uchposob_fizika/html/glava2.htm (дата обращения: 04.11.2025).
9. Что такое сила упругости, формула – Дом Знаний. URL: https://domznaniy.com/fizika/sila-uprugosti.html (дата обращения: 04.11.2025).
10. Сила упругости. URL: https://www.fxyz.ru/формулы_по_физике/механика/сила_упругости/ (дата обращения: 04.11.2025).
11. Иродов И. Е. Задачи по общей физике. URL: https://www.studizba.com/files/show/1111903-1111903-i.e.irodov-zadachi-po-obschey-fizike.html (дата обращения: 04.11.2025).
12. Закон Гука • Джеймс Трефил, энциклопедия – Элементы большой науки. URL: https://elementy.ru/nauchno-populyarnaya_biblioteka/430819/Zakon_Guka (дата обращения: 04.11.2025).
13. Найти отношение потенциальных энергий. URL: https://physics-lectures.ru/zadacha/najti-otnoshenie-potentsialnyh-energij (дата обращения: 04.11.2025).
14. Отношение потенциальных энергий – viktoria_korne | Ответы Mail. URL: https://otvet.mail.ru/question/70868172 (дата обращения: 04.11.2025).