Руководство по решению задач на тему «Внешний фотоэффект»

Задачи на фотоэффект часто кажутся студентам набором разрозненных и сложных формул. Возникает ощущение, что нужно просто вызубрить десятки уравнений, и любая нестандартная формулировка в условии ставит в тупик. Но это ловушка восприятия. Историческая значимость этого явления, открытого Герцем и гениально объясненного Эйнштейном, кроется в его элегантной логике. Успех в решении этих задач зависит не от зубрежки, а от четкого понимания трех ключевых элементов — энергии прилетающего фотона, работы, которую нужно совершить для «освобождения» электрона, и кинетической энергии, с которой он улетает.

Это руководство покажет вам, что за кажущимся хаосом стоит стройная система. Мы проведем вас от базовой теории до уверенной практики, чтобы вы могли подходить к задачам не со страхом, а со стратегией. Итак, прежде чем бросаться в бой с задачами, давайте соберем наш арсенал — ключевые концепции и формулы, которые станут нашими инструментами.

Ваш теоретический фундамент, или все нужные формулы фотоэффекта

Чтобы уверенно решать задачи, нам нужен не список формул, а система. В центре этой системы находится уравнение Эйнштейна для фотоэффекта — это наш главный закон, связывающий все воедино.

E_{k_max} = hν — A

Простыми словами, это можно описать так: энергия, которую принес с собой фотон (hν), расходуется на две вещи. Первая часть, равная работе выхода (A), уходит на то, чтобы «вырвать» электрон из металла. Все, что осталось, переходит в кинетическую энергию (E_{k_max}) этого электрона, заставляя его двигаться. Теперь разберем каждый компонент подробнее.

• Энергия фотона (E): Это порция энергии, которую несет свет определенной частоты или длины волны. Ее можно рассчитать двумя способами:
  • Через частоту: E = hν
  • Через длину волны: E = hc/λ (поскольку частота ν = c/λ)

  Здесь h — это постоянная Планка (6.63 × 10⁻³⁴ Дж·с), а c — скорость света (3 × 10⁸ м/с).

• Работа выхода (A): Это минимальная энергия, которую нужно сообщить электрону, чтобы он покинул поверхность металла. Это уникальная характеристика каждого материала. Нельзя выбить электрон, если энергия фотона меньше работы выхода.
• Красная граница (ν₀ или λₘₐₓ): Это пороговое значение. hν₀ = A. Если частота света ν меньше минимальной частоты ν₀, фотоэффекта не будет, сколько бы света мы ни направили на металл.
• Запирающее напряжение (V₀): Это напряжение, которое нужно приложить, чтобы остановить даже самые быстрые фотоэлектроны. Энергия, которую создает это напряжение (e V₀), равна максимальной кинетической энергии электронов: e V₀ = E_{k_max}.

И последнее важное замечание о единицах. Энергию часто измеряют в электрон-вольтах (эВ). Для расчетов в системе СИ всегда переводите их в джоули: 1 эВ ≈ 1.6 × 10⁻¹⁹ Дж.

Универсальный алгоритм решения задач, который работает всегда

Теория — это карта, а алгоритм — это компас, который не даст сбиться с пути. Вместо того чтобы хаотично подставлять числа в формулы, следуйте этим простым шагам, и любая задача станет прозрачной и понятной.

1. Анализ «Дано»: Внимательно прочитайте условие и выпишите все известные величины. Сразу же переведите их в систему СИ. Нанометры (нм) — в метры (м), электрон-вольты (эВ) — в джоули (Дж). Этот шаг избавляет от 90% ошибок в вычислениях.
2. Определение цели: Четко сформулируйте для себя, какую физическую величину нужно найти. Запишите ее со знаком вопроса (например, A = ?).
3. Выбор основной формулы: Посмотрите на известные и искомую величины. Какая формула напрямую связывает большинство из них? Почти всегда отправной точкой будет уравнение Эйнштейна (E_{k_max} = hν — A) или формула красной границы (A = hν₀).
4. Математические преобразования: Не спешите подставлять числа. Сначала выразите искомую величину из выбранной формулы в общем виде. Например, если нужно найти работу выхода, преобразуйте уравнение к виду A = hν — E_{k_max}.
5. Расчет и проверка: Только теперь подставляйте числовые значения в полученную формулу. После расчета обязательно проверьте размерность ответа. Если вы искали энергию, у вас должны получиться джоули, если скорость — м/с.

Этот структурированный подход превращает решение задачи из угадывания в логический процесс. Теория и метод ясны. Лучший способ закрепить их — это практика. Перейдем к разбору типовых задач, начав с самых основ.

Практикум. Часть 1, где мы отрабатываем базовые расчеты

Задача №1: Расчет энергии фотона

Условие: Определите энергию фотона для фиолетового света с длиной волны 400 нм.

Решение:

1. Дано: λ = 400 нм. Переводим в СИ: λ = 400 × 10⁻⁹ м.
2. Цель: Найти энергию фотона E.
3. Формула: Энергия связана с длиной волны формулой E = hc/λ.
4. Преобразования: Формула уже в готовом виде.
5. Расчет: E = (6.63 × 10⁻³⁴ Дж·с × 3 × 10⁸ м/с) / (400 × 10⁻⁹ м) ≈ 4.97 × 10⁻¹⁹ Дж.

Ответ: Энергия фотона составляет примерно 4.97 × 10⁻¹⁹ Дж.

Задача №2: Определение красной границы

Условие: Работа выхода для цезия составляет 1.97 эВ. Найдите частоту красной границы для этого металла.

Решение:

1. Дано: A = 1.97 эВ. Переводим в СИ: A = 1.97 × 1.6 × 10⁻¹⁹ Дж ≈ 3.15 × 10⁻¹⁹ Дж.
2. Цель: Найти частоту красной границы ν₀.
3. Формула: Красная граница определяется условием A = hν₀.
4. Преобразования: Выражаем искомую величину: ν₀ = A/h.
5. Расчет: ν₀ = (3.15 × 10⁻¹⁹ Дж) / (6.63 × 10⁻³⁴ Дж·с) ≈ 4.75 × 10¹⁴ Гц.

Ответ: Частота красной границы для цезия равна 4.75 × 10¹⁴ Гц.

Задача №3: Нахождение кинетической энергии

Условие: На металлическую пластину с работой выхода 2.3 эВ падает свет с энергией фотонов 4 эВ. Какова максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов?

Решение:

1. Дано: A = 2.3 эВ, E = 4 эВ. Здесь удобно оставить единицы в эВ, так как ответ тоже просят в них.
2. Цель: Найти E_{k_max}.
3. Формула: Используем напрямую уравнение Эйнштейна: E_{k_max} = E — A (так как E = hν).
4. Преобразования: Не требуются.
5. Расчет: E_{k_max} = 4 эВ — 2.3 эВ = 1.7 эВ.

Ответ: Максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов равна 1.7 эВ.

Отлично, прямые расчеты мы освоили. Теперь немного усложним задачу и посмотрим, как связывать несколько концепций в одном решении.

Практикум. Часть 2, в которой мы учимся связывать понятия

Задача №4: Расчет максимальной скорости

Условие: Какова максимальная скорость фотоэлектронов, вылетающих из натрия (работа выхода 2.28 эВ) при освещении его светом с длиной волны 450 нм?

Решение:

1. Дано: A = 2.28 эВ = 2.28 × 1.6 × 10⁻¹⁹ Дж ≈ 3.65 × 10⁻¹⁹ Дж. λ = 450 нм = 450 × 10⁻⁹ м. Масса электрона mₑ ≈ 9.1 × 10⁻³¹ кг.
2. Цель: Найти v_max.
3. Формулы: Нам понадобится два шага. Шаг 1: Найти кинетическую энергию через уравнение Эйнштейна E_{k_max} = hc/λ — A. Шаг 2: Связать ее со скоростью через формулу E_{k_max} = (mₑv_max²)/2.
4. Преобразования: Из второй формулы выражаем скорость: v_max = √(2E_{k_max} / mₑ).
5. Расчет:
   • Сначала энергия фотона: E = (6.63×10⁻³⁴ × 3×10⁸) / (450×10⁻⁹) ≈ 4.42 × 10⁻¹⁹ Дж.
   • Затем кинетическая энергия: E_{k_max} = 4.42 × 10⁻¹⁹ Дж — 3.65 × 10⁻¹⁹ Дж = 0.77 × 10⁻¹⁹ Дж.
   • Наконец, скорость: v_max = √(2 × 0.77×10⁻¹⁹ / 9.1×10⁻³¹) ≈ 4.1 × 10⁵ м/с.

Ответ: Максимальная скорость фотоэлектронов составляет примерно 4.1 × 10⁵ м/с.

Задача №5: Определение работы выхода через запирающее напряжение

Условие: При освещении катода светом с частотой 10¹⁵ Гц фототок прекращается при запирающем напряжении 1.5 В. Определите работу выхода материала катода.

Решение:

1. Дано: ν = 10¹⁵ Гц, V₀ = 1.5 В. Заряд электрона e ≈ 1.6 × 10⁻¹⁹ Кл.
2. Цель: Найти A.
3. Формулы: Снова комбинация. Шаг 1: Находим кинетическую энергию из запирающего напряжения: E_{k_max} = e V₀. Шаг 2: Используем уравнение Эйнштейна: E_{k_max} = hν — A.
4. Преобразования: Выражаем работу выхода: A = hν — E_{k_max} = hν — e V₀.
5. Расчет: A = (6.63 × 10⁻³⁴ × 10¹⁵) — (1.6 × 10⁻¹⁹ × 1.5) = 6.63 × 10⁻¹⁹ — 2.4 × 10⁻¹⁹ = 4.23 × 10⁻¹⁹ Дж.

Ответ: Работа выхода материала составляет 4.23 × 10⁻¹⁹ Дж (или около 2.64 эВ).

Мы научились решать стандартные задачи. Но иногда условия даны не в виде чисел, а в виде графика. Давайте разберем самый показательный пример такого типа.

Практикум. Часть 3, где мы анализируем данные и работаем с графиком

Задача №7: Анализ графика зависимости запирающего напряжения от частоты

Условие: На рисунке представлен график зависимости запирающего напряжения V₀ от частоты падающего света ν. Используя данные графика, определите работу выхода A и постоянную Планка h.

Объяснение и решение:

Такой график — настоящий кладезь информации. Чтобы «прочитать» его, давайте обратимся к теории. Мы знаем, что e V₀ = hν — A. Разделив обе части на заряд электрона e, получим:

V₀ = (h/e)ν — A/e

Это уравнение прямой вида y = kx + b, где:

• y — это запирающее напряжение V₀.
• x — это частота ν.
• k = h/e — это тангенс угла наклона графика.
• b = -A/e — это точка пересечения с осью ординат (напряжений).

Теперь мы можем извлечь из графика все необходимое:

1. Как найти работу выхода (A): Найдите на графике точку, где прямая пересекает ось частот (ν). В этой точке V₀ = 0, а значит, это и есть красная граница ν₀. Работа выхода вычисляется как A = hν₀.
2. Как найти постоянную Планка (h): Выберите на графике две удобные точки (ν₁, V₁) и (ν₂, V₂). Тангенс угла наклона (k) будет равен (V₂ — V₁) / (ν₂ — ν₁). Так как мы знаем, что k = h/e, то постоянную Планка можно выразить как h = e × k.

Этот метод демонстрирует, как из экспериментальных данных можно определить фундаментальные физические константы.

Работа с графиками — важный навык. Теперь, вооружившись всеми полученными знаниями, давайте решим несколько задач повышенной сложности для полной уверенности.

Практикум. Часть 4, на которой мы закрепляем мастерство

Задача №8: Сравнение двух металлов

Условие: Максимальная кинетическая энергия электронов, выбитых светом с поверхности калия, равна 1.2 эВ. Для другого металла под действием того же света максимальная кинетическая энергия составила 2.5 эВ. Работа выхода для калия равна 2.3 эВ. Найдите работу выхода для второго металла.

Решение:

1. Дано: E_k1 = 1.2 эВ, A₁ = 2.3 эВ (для калия). E_k2 = 2.5 эВ (для второго металла). Свет один и тот же, значит энергия фотонов E одинакова.
2. Цель: Найти A₂.
3. Логика: Ключевая идея — энергия фотонов E в обоих случаях одинакова. Мы можем найти ее из данных для калия, а затем использовать для второго металла.
4. Формулы: E = E_k1 + A₁ и E = E_k2 + A₂.
5. Расчет:
   • Найдем энергию фотона: E = 1.2 эВ + 2.3 эВ = 3.5 эВ.
   • Теперь для второго металла: 3.5 эВ = 2.5 эВ + A₂.
   • Отсюда A₂ = 3.5 эВ — 2.5 эВ = 1 эВ.

Ответ: Работа выхода для второго металла составляет 1 эВ.

Задача №9: Задача с «ловушкой»

Условие: Красная граница для вольфрама соответствует длине волны 275 нм. Будет ли наблюдаться фотоэффект, если освещать вольфрам светом с частотой 10¹⁵ Гц?

Решение:

1. Дано: λ_max = 275 нм = 275 × 10⁻⁹ м. Частота падающего света ν = 10¹⁵ Гц.
2. Цель: Сравнить частоту света ν с частотой красной границы ν₀.
3. Логика: Фотоэффект наблюдается, если ν ≥ ν₀. Нам нужно найти ν₀, зная λ_max.
4. Формула: ν₀ = c / λ_max.
5. Расчет: ν₀ = (3 × 10⁸ м/с) / (275 × 10⁻⁹ м) ≈ 1.09 × 10¹⁵ Гц.
6. Сравнение: Падающий свет имеет частоту ν = 1 × 10¹⁵ Гц, а красная граница ν₀ ≈ 1.09 × 10¹⁵ Гц. Поскольку 1 × 10¹⁵ < 1.09 × 10¹⁵, частота падающего света недостаточна.

Ответ: Нет, фотоэффект наблюдаться не будет.

Поздравляем, вы прошли весь путь! Но на пути к мастерству важно знать не только правильные шаги, но и типичные ошибки. Давайте их рассмотрим.

Частые ошибки студентов, или на что обратить внимание на экзамене

Даже при отличном знании теории можно потерять баллы из-за досадных ошибок. Вот список самых распространенных ловушек, которых следует избегать:

• Неправильный перевод единиц. Самая частая ошибка. Всегда переводите нанометры в метры, а электрон-вольты в джоули (если того требуют расчеты в СИ). Запишите это первым пунктом в своем плане решения.
• Путаница между энергиями. Четко различайте энергию падающего фотона (E = hν) и кинетическую энергию вылетевшего электрона (E_k). Это разные величины, связанные уравнением Эйнштейна.
• Забывают возвести скорость в квадрат. В формуле кинетической энергии E_k = mv²/2 скорость стоит в квадрате. При вычислении скорости не забудьте извлечь квадратный корень в самом конце.
• Неправильное понимание интенсивности света. Запомните: интенсивность (яркость) света влияет на количество вылетающих электронов, но не на их энергию или скорость. Энергию электронов определяет только частота (цвет) света.

Теперь вы знаете не только, как делать правильно, но и чего следует избегать. Подведем итоги нашего пути.

Ключ к успеху — системный подход

Мы прошли большой путь: от разбора базовых понятий до решения комплексных задач. Главный вывод, который стоит сделать, — фотоэффект не набор случайных фактов, а абсолютно логичная система. В ее основе лежит фундаментальный закон сохранения энергии, выраженный в уравнении Эйнштейна.

Используйте предложенный универсальный алгоритм как надежный инструмент на любой контрольной или экзамене. Он поможет вам навести порядок в мыслях и действиях. Помните, что практика и системный подход — это ваш ключ к успеху и высокой оценке. Удачи!

Список использованной литературы

1. Рымкевич, А. П. Физика. Задачник. 1011 кл.: пособие для общеобразоват. Учреждений / А. П. Рымкевич. 10-е изд., стереотип. М.: Дрофа, 2006. 188, с.: ил.