Задачи по теме «Закон сохранения энергии при вертикальном движении тела»

Что нужно знать перед тем, как решать задачи по теме

Прежде чем погружаться в формулы и вычисления, крайне важно понять фундаментальные принципы, управляющие движением тела в поле тяготения. Без этого фундамента решение задач превращается в бессмысленное подставление чисел. В основе всего лежит понятие полной механической энергии — это общая сумма двух ее ключевых компонентов: энергии движения и энергии положения.

Первый компонент — кинетическая энергия ($E_k = \frac{1}{2}mv^2$). Она напрямую зависит от скорости тела: чем быстрее движется объект, тем больше его кинетическая энергия. Если тело неподвижно, его кинетическая энергия равна нулю.

Второй компонент — потенциальная энергия ($E_p = mgh$). Она определяется положением тела в поле тяготения, то есть его высотой над условным «нулевым» уровнем (например, поверхностью Земли). Чем выше тело, тем больше его потенциальная энергия.

Главный тезис, который мы будем использовать, — это Закон сохранения механической энергии. Он гласит, что если на тело действуют только консервативные силы (в нашем случае — сила тяжести), то его полная механическая энергия ($E = E_k + E_p$) остается неизменной на протяжении всего движения.

Траектория тела, брошенного вертикально вверх, является идеальной моделью для применения этого закона. В точке старта (у земли) высота равна нулю, поэтому вся энергия — кинетическая. По мере подъема скорость уменьшается, а высота растет, то есть кинетическая энергия превращается в потенциальную. На максимальной высоте тело на мгновение замирает (скорость равна нулю), и здесь вся его энергия становится потенциальной. При падении происходит обратный процесс. Понимание этого непрерывного перехода — ключ к решению любой задачи по теме.

Ваш инструментарий, или все необходимые формулы в одном месте

Чтобы уверенно решать задачи, необходимо иметь под рукой набор ключевых уравнений. Этот раздел — ваша краткая шпаргалка. Мы разделили формулы на две группы: одни описывают движение (кинематика), другие — энергию.

• Кинетическая энергия: $E_k = \frac{1}{2}mv^2$ — энергия движения, зависящая от массы (m) и скорости (v).
• Потенциальная энергия: $E_p = mgh$ — энергия положения, зависящая от массы (m), высоты (h) и ускорения свободного падения ($g \approx 9.8 \, м/с^2$).
• Закон сохранения энергии: $E_{k1} + E_{p1} = E_{k2} + E_{p2}$ — полная энергия в точке 1 равна полной энергии в точке 2.

Иногда для проверки или для решения задач другим способом полезно помнить и основные кинематические уравнения для вертикального броска:

• Зависимость скорости от времени: $v = v_0 — gt$
• Зависимость высоты от времени: $h = v_0t — \frac{1}{2}gt^2$
• Максимальная высота подъема: $H = \frac{v_0^2}{2g}$ — вытекает из закона сохранения энергии.
• Полное время полета: $t_{flight} = \frac{2v_0}{g}$ — время подъема и падения до начального уровня.

С таким набором инструментов мы готовы к практике. Начнем с базовой задачи, чтобы отточить применение основных принципов.

Разбираем первую задачу, где тело достигает максимальной высоты

Это классическая задача, которая идеально демонстрирует мощь закона сохранения энергии. Давайте разберем ее пошагово.

Условие: Тело массой m брошено вертикально вверх с начальной скоростью $v_0$. Используя закон сохранения энергии, найдите максимальную высоту подъема H, на которую поднимется тело.

Решение строится на простом алгоритме из четырех шагов:

1. Анализ системы. Мы должны выбрать две ключевые точки (или состояния) для сравнения. Первая точка — это момент старта у поверхности земли (назовем ее точка 1). Вторая — момент достижения телом максимальной высоты H (точка 2).
2. Запись закона сохранения энергии. Запишем закон в общем виде для этих двух точек: $E_{k1} + E_{p1} = E_{k2} + E_{p2}$. Теперь распишем энергию для каждой точки:
   • В точке 1 (у земли): $E_{k1} = \frac{1}{2}mv_0^2$, а $E_{p1} = mg \cdot 0 = 0$ (так как высота равна нулю).
   • В точке 2 (на высоте H): $E_{k2} = \frac{1}{2}m \cdot 0^2 = 0$ (так как на максимальной высоте скорость на мгновение становится равной нулю), а $E_{p2} = mgH$.
3. Упрощение уравнения. Подставим наши значения в общее уравнение: $\frac{1}{2}mv_0^2 + 0 = 0 + mgH$. Вся начальная кинетическая энергия полностью перешла в потенциальную энергию на максимальной высоте.
4. Вычисления. Из полученного простого уравнения $\frac{1}{2}mv_0^2 = mgH$ выразим искомую высоту H. Обратите внимание, что масса (m) сокращается, что означает, что максимальная высота подъема не зависит от того, насколько тяжелым был брошенный предмет.

   $H = \frac{\frac{1}{2}mv_0^2}{mg} = \frac{v_0^2}{2g}$

Мы не просто получили ответ, а вывели одну из ключевых формул кинематики, опираясь исключительно на закон сохранения энергии. Отлично, с основами мы разобрались. Теперь усложним условие и посмотрим, как закон работает не только в крайних точках траектории, но и в любой промежуточной.

Решаем задачу, в которой нужно найти точку равенства энергий

Эта задача — еще один популярный тип заданий на контрольных. Она показывает, что закон сохранения энергии универсален и применим для абсолютно любой точки на траектории полета.

Условие: Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью $v_0$. На какой высоте $h$ его кинетическая энергия будет равна его потенциальной энергии?

Действуем по уже знакомому алгоритму, но с одним дополнительным шагом.

1. Анализ системы. Снова выбираем две точки. Точка 1 — это старт, где тело имеет начальную скорость $v_0$ и нулевую высоту. Полная энергия здесь $E_1 = \frac{1}{2}mv_0^2$. Точка 2 — это искомая высота $h$, где тело имеет некую скорость $v$ и, соответственно, и кинетическую, и потенциальную энергию. Полная энергия здесь $E_2 = E_k + E_p$.
2. Использование дополнительного условия. Главная «фишка» задачи — это условие, что в точке 2 $E_k = E_p$. Это наше дополнительное уравнение, которое поможет решить задачу.
3. Запись закона сохранения энергии. Приравниваем полную энергию в точке 1 к полной энергии в точке 2: $E_1 = E_2$.

   $\frac{1}{2}mv_0^2 = E_k + E_p$

4. Подстановка условия. Теперь в правую часть уравнения подставим наше условие $E_k = E_p$. Мы можем заменить $E_k$ на $E_p$, получив:

   $\frac{1}{2}mv_0^2 = E_p + E_p = 2E_p$

5. Вычисления. Распишем формулу для потенциальной энергии $E_p = mgh$ и подставим ее в наше уравнение:

   $\frac{1}{2}mv_0^2 = 2mgh$

   Осталось только выразить искомую высоту $h$. Как и в прошлой задаче, масса сокращается.

   $h = \frac{\frac{1}{2}mv_0^2}{2mg} = \frac{v_0^2}{4g}$

   Интересный вывод: высота, на которой энергии равны, составляет ровно половину от максимальной высоты подъема ($H = \frac{v_0^2}{2g}$).

Мы научились находить высоту и скорость в любой точке. А что, если в задаче фигурирует не одна, а две разные скорости? Перейдем к еще более продвинутому типу заданий.

Осваиваем сложную задачу с изменением скорости на разных высотах

Эта задача требует не просто применения формулы, а составления и решения системы уравнений. Она отлично проверяет глубину понимания принципа сохранения энергии.

Условие: Тело, брошенное вертикально вверх с поверхности земли, на высоте $h_1$ имело скорость $v_1$, а на большей высоте $h_2$ — скорость $v_2$. Найдите начальную скорость $v_0$ и максимальную высоту подъема $H$.

Здесь нам нужно связать между собой несколько состояний системы.

1. Анализ системы. Ключевая идея в том, что полная механическая энергия остается постоянной на протяжении всего полета. Это значит, что мы можем приравнять ее значения в любой точке: на старте (0), на высоте $h_1$, на высоте $h_2$ и на максимальной высоте $H$.

   $E_{start} = E_1 = E_2 = E_{max}$

2. Запись закона для разных точек. Распишем энергию для каждой точки, помня, что полная энергия — это сумма $E_k + E_p$:
   • На старте: $\frac{1}{2}mv_0^2 + 0$
   • На высоте $h_1$: $\frac{1}{2}mv_1^2 + mgh_1$
   • На высоте $h_2$: $\frac{1}{2}mv_2^2 + mgh_2$
   • На максимальной высоте H: $0 + mgH$
3. Составление системы уравнений. Мы можем приравнять выражения для энергии в точках 1 и 2, так как они обе равны начальной энергии (и друг другу). Массу $m$ можно сразу сократить во всех членах уравнения:

   $\frac{1}{2}v_1^2 + gh_1 = \frac{1}{2}v_2^2 + gh_2$

   В этом уравнении нам известны все величины, кроме $g$, которое является константой. Оно позволяет проверить корректность данных, но для нахождения $v_0$ и $H$ нам нужно приравнять энергию в известных точках к энергии в неизвестных.

4. Решение и выводы. Чтобы найти начальную скорость $v_0$, приравняем энергию на старте к энергии в точке 1:

   $\frac{1}{2}v_0^2 = \frac{1}{2}v_1^2 + gh_1 \implies v_0 = \sqrt{v_1^2 + 2gh_1}$

   Чтобы найти максимальную высоту $H$, приравняем энергию в точке 1 к энергии на максимальной высоте:

   $\frac{1}{2}v_1^2 + gh_1 = gH \implies H = \frac{v_1^2}{2g} + h_1$

   Таким образом, зная параметры движения хотя бы в одной точке траектории, мы можем восстановить всю картину полета.

Мы разобрали несколько типов задач от простых до сложных. Однако знание алгоритмов не защищает от досадных ошибок. Давайте рассмотрим самые частые из них, чтобы вы точно их не допустили на контрольной.

Какие типичные ошибки допускают на контрольной и как их избежать

Даже при идеальном знании теории можно потерять баллы из-за невнимательности. Вот несколько «подводных камней», о которых стоит помнить.

• Ошибка: Забыть про квадрат скорости в формуле кинетической энергии ($E_k = \frac{1}{2}mv$ вместо $E_k = \frac{1}{2}mv^2$).
  Как избежать: После записи каждой формулы мысленно проговаривайте ее название и содержание. Многократное решение задач закрепит правильный вид формулы в памяти.
• Ошибка: Неправильно выбрать или забыть про нулевой уровень потенциальной энергии.
  Как избежать: Всегда начинайте решение с мысленного (или на черновике) определения: «Примем за нулевой уровень потенциальной энергии поверхность земли». Это внесет ясность в дальнейшие расчеты высоты $h$.
• Ошибка: Путать полную механическую энергию с одним из ее видов. Например, приравнивать начальную кинетическую энергию к промежуточной кинетической, забывая про потенциальную.
  Как избежать: Всегда записывайте закон сохранения энергии в полной форме: $E_{k1} + E_{p1} = E_{k2} + E_{p2}$. И только после этого зануляйте те члены, которые равны нулю в данных точках.
• Ошибка: Арифметические ошибки при выражении неизвестной из уравнения. Особенно при работе с дробями и корнями.
  Как избежать: Не торопитесь. Выполняйте алгебраические преобразования пошагово, а не в уме. После получения ответа проверьте его на правдоподобность и размерность.

Теперь вы не только умеете решать задачи, но и знаете о всех «подводных камнях». Осталось сделать финальный шаг — закрепить материал.

Финальная самопроверка, или чек-лист вашей готовности

Перед тем как закрыть эту страницу и пойти на контрольную, честно ответьте себе на несколько вопросов. Это поможет вам обрести уверенность.

• Могу ли я своими словами объяснить закон сохранения механической энергии?
• Знаю ли я наизусть формулы для кинетической ($E_k$) и потенциальной ($E_p$) энергии?
• Понимаю ли я, почему на максимальной высоте кинетическая энергия ($E_k$) равна нулю, а у земли — потенциальная ($E_p$)?
• Смогу ли я без подглядывания воспроизвести решение базовой задачи на нахождение максимальной высоты?

Если вы уверенно ответили «да» на все вопросы — вы готовы. Помните, что практика и глубокое понимание основ, а не зазубривание, — ваш главный ключ к успеху на любой контрольной работе. Удачи!

Список использованной литературы

1. Рымкевич, А. П. Физика. Задачник. 1011 кл.: пособие для общеобразоват. Учреждений / А. П. Рымкевич. 10-е изд., стереотип. М.: Дрофа, 2006. 188, с.: ил.