Анализ движения и энергии тела, брошенного вертикально вверх.

Постановка задачи как ключ к пониманию физического процесса

Типичная контрольная работа по физике часто начинается не с громоздких формул, а с простой, на первый взгляд, жизненной ситуации. Представим именно такую: камень массой 1 кг брошен вертикально вверх с начальной скоростью 9,8 м/с. Что с ним происходит? Он летит вверх, замедляется, на мгновение замирает и начинает падать, набирая скорость. Но что происходит с его энергией?

Наша цель — не просто рассчитать, когда и куда он упадет. Наша задача глубже: построить и проанализировать графики зависимости его кинетической, потенциальной и полной энергий от времени в интервале от 0 до 2 секунд. Именно понимание того, как эти три величины ведут себя, как они взаимосвязаны и во что превращаются, является ключом к пониманию одного из фундаментальных законов природы.

Фундаментальные законы энергии, управляющие полетом

Прежде чем браться за калькулятор, необходимо разобраться в теоретической основе. Движение нашего камня подчиняется трем ключевым понятиям, связанным с энергией.

1. Кинетическая энергия (Wk): Это энергия движения. Чем быстрее движется тело, тем она больше. Рассчитывается она по формуле Wk = 0.5 * m * v², где m — масса, а v — скорость. В момент броска, когда скорость максимальна, кинетическая энергия тоже максимальна.
2. Потенциальная энергия (Wn): Это энергия положения в поле тяжести. Чем выше тело поднято над землей, тем большим запасом этой энергии оно обладает. Ее формула: Wn = m * g * y, где g — ускорение свободного падения (примем за 9,8 м/с²), а y — высота. В самом начале полета, когда камень еще у земли, его потенциальная энергия равна нулю.
3. Полная механическая энергия (W): Это просто сумма кинетической и потенциальной энергий в любой момент времени: W = Wk + Wn.

Здесь и кроется главный физический принцип, который мы будем проверять: закон сохранения полной механической энергии. Он гласит, что если на тело не действуют силы сопротивления (в нашей задаче мы пренебрегаем сопротивлением воздуха), то его полная механическая энергия остается неизменной на всем протяжении полета. Энергия не исчезает и не появляется из ниоткуда, она лишь переходит из одной формы в другую: кинетическая превращается в потенциальную при подъеме, а потенциальная обратно в кинетическую при падении.

Формализуем условие задачи для структурированного решения

Чтобы подойти к решению системно, как того требует академический стандарт, запишем все наши исходные данные и цели в четком формате. Это помогает избежать путаницы и структурировать мысли.

Дано:

• Масса камня (m) = 1 кг
• Начальная скорость (v₀) = 9,8 м/с
• Ускорение свободного падения (g) ≈ 9,8 м/с²
• Временной интервал для анализа (t) = [0 с; 2 с]

Найти:

Требуется найти и построить графики зависимостей от времени для следующих величин:

• Кинетическая энергия: Wk(t)
• Потенциальная энергия: Wn(t)
• Полная механическая энергия: W(t)

Разработка плана вычислений и выбор рабочих уравнений

Решение любой физической задачи — это логическая последовательность шагов. Чтобы найти зависимости энергий от времени, нам сначала нужно понять, как главные кинематические параметры — высота и скорость — меняются с течением времени. Для этого мы используем стандартные уравнения равноускоренного движения (в нашем случае — равнозамедленного при подъеме и равноускоренного при падении).

1. Уравнение для скорости: Скорость тела, брошенного вверх, будет уменьшаться под действием силы тяжести. Ее зависимость от времени описывается простым линейным уравнением:
   

   v(t) = v₀ — gt

2. Уравнение для высоты: Высота подъема тела со временем будет меняться по квадратичному закону:
   

   y(t) = v₀t — gt²/2

Ключевая идея нашего плана заключается в том, чтобы подставить эти зависимости в формулы для энергий. Подставив v(t) в формулу для кинетической энергии и y(t) в формулу для потенциальной, мы получим искомые Wk(t) и Wn(t). Это свяжет кинематику движения с динамикой его энергий.

Вычисление ключевых временных точек полета

Чтобы построить точные графики, нам нужны опорные точки. Самые важные моменты в полете — это старт, достижение максимальной высоты и возвращение на исходный уровень. Найдем время, которое им соответствует.

Ключевой признак верхней точки траектории — мгновенная остановка. Скорость тела в этот момент становится равной нулю. Используем это условие (v(t) = 0) в нашем уравнении для скорости:

0 = v₀ - gt

Отсюда легко выразить время подъема до пиковой точки (t_пик):

t_пик = v₀ / g = 9,8 м/с / 9,8 м/с² = 1 с

Поскольку движение симметрично (сколько времени тело летело вверх, столько же оно будет падать), полное время полета (T_полета) до возвращения на начальную высоту будет вдвое больше:

T_полета = 2 * t_пик = 2 * 1 с = 2 с

Таким образом, заданный в условии интервал от 0 до 2 секунд в точности покрывает весь цикл полета: от старта до возвращения в исходную точку.

Расчет значений энергии в трех критических точках траектории

Теперь, зная ключевые моменты времени, мы можем сделать «фотографии» энергетического состояния системы в каждой из этих точек. Это наглядно покажет нам процесс взаимопревращения энергий.

1. Момент старта (t = 0 с)

• Высота: y(0) = 0 м
• Скорость: v(0) = v₀ = 9,8 м/с
• Потенциальная энергия: Wn = mgy = 1 * 9,8 * 0 = 0 Дж
• Кинетическая энергия: Wk = 0.5mv₀² = 0.5 * 1 * (9,8)² = 48,02 Дж
• Полная энергия: W = Wk + Wn = 48,02 + 0 = 48,02 Дж

2. Верхняя точка траектории (t = 1 с)

• Высота (максимальная): y(1) = v₀²/ (2g) = (9,8)² / (2 * 9,8) = 4,9 м
• Скорость: v(1) = 0 м/с
• Потенциальная энергия: Wn = mgy = 1 * 9,8 * 4,9 = 48,02 Дж
• Кинетическая энергия: Wk = 0.5mv² = 0.5 * 1 * 0² = 0 Дж
• Полная энергия: W = Wk + Wn = 0 + 48,02 = 48,02 Дж

3. Момент возвращения (t = 2 с)

• Высота: y(2) = 0 м
• Скорость: v(2) = v₀ — gt = 9,8 — 9,8 * 2 = -9,8 м/с (знак «минус» означает направление вниз)
• Потенциальная энергия: Wn = mgy = 1 * 9,8 * 0 = 0 Дж
• Кинетическая энергия: Wk = 0.5mv² = 0.5 * 1 * (-9,8)² = 48,02 Дж
• Полная энергия: W = Wk + Wn = 48,02 + 0 = 48,02 Дж

Обратите внимание: как и предсказывал закон сохранения энергии, значение полной энергии W осталось строго постоянным во всех трех точках.

Вывод явных зависимостей всех видов энергии от времени

Расчеты в отдельных точках — это хорошо, но наша цель — получить непрерывные функции, описывающие «кино» изменения энергий. Для этого мы подставим уравнения v(t) и y(t) в общие формулы энергий.

Зависимость кинетической энергии Wk(t)

Берем формулу Wk = 0.5mv² и подставляем в нее v(t) = v₀ — gt:

Wk(t) = 0.5 * m * (v₀ - gt)²

Это уравнение параболы, ветви которой направлены вверх относительно оси времени. Раскрыв скобки, мы получим явную квадратичную зависимость.

Зависимость потенциальной энергии Wn(t)

Аналогично поступаем с Wn = mgy, подставляя y(t) = v₀t — gt²/2:

Wn(t) = mg * (v₀t - gt²/2)

Это также уравнение параболы, описывающее изменение потенциальной энергии.

Зависимость полной энергии W(t)

Теперь — кульминация. Сложим полученные выражения для Wk(t) и Wn(t). После алгебраических преобразований и сокращений всех членов, содержащих время (t и t²), мы получим удивительно простой результат:

W(t) = Wk(t) + Wn(t) = 0.5 * m * (v₀ - gt)² + mg * (v₀t - gt²/2) = 0.5mv₀²

Результат W(t) = 0.5mv₀² — это константа, не зависящая от времени. Она в точности равна начальной кинетической энергии. Таким образом, мы только что математически доказали закон сохранения энергии для нашей задачи. Полная энергия системы действительно не меняется со временем.

Построение и детальный анализ графиков энергий

Имея на руках уравнения и опорные точки, мы можем визуализировать весь процесс. Построим все три графика в одной системе координат, где по горизонтальной оси отложено время t (в секундах), а по вертикальной — энергия W (в Джоулях).

Что мы видим на этих графиках?

• График потенциальной энергии Wn(t) — это парабола, начинающаяся в точке (0,0), достигающая своего максимума (48,02 Дж) в момент времени t=1 с (пик траектории) и возвращающаяся в ноль в момент t=2 с. Это логично: камень начинает с нулевой высоты, поднимается на максимальную и возвращается обратно.
• График кинетической энергии Wk(t) — это «перевернутая» парабола. Она начинается со своего максимального значения (48,02 Дж) в момент t=0, когда скорость наибольшая. Затем она плавно снижается до нуля в момент t=1 с, когда камень замирает на вершине. После этого она снова симметрично возрастает до максимума в момент t=2 с, когда камень достигает земли с максимальной скоростью.
• График полной энергии W(t) — это горизонтальная прямая на уровне 48,02 Дж. Эта линия наглядно демонстрирует закон сохранения энергии. В любой момент времени, если сложить значения на графиках Wn(t) и Wk(t) (синий и красный), их сумма будет в точности равна значению на графике W(t) (зеленый).

Эти графики — не просто картинки. Это мощный визуальный инструмент, который показывает, как энергия движения (кинетическая) постоянно переходит в энергию положения (потенциальную) и обратно, в то время как их общая сумма остается нерушимой.

Итоговые выводы и обобщение результатов анализа

Мы прошли полный путь решения типовой контрольной задачи: от постановки условия до глубокого анализа графиков. Давайте систематизируем главные выводы, которые необходимо усвоить.

1. Энергия не исчезает, а трансформируется. При движении тела, брошенного вертикально вверх, происходит непрерывное взаимопревращение кинетической энергии в потенциальную во время подъема и обратный процесс во время падения.
2. Закон сохранения энергии — фундаментален. В идеальных условиях (без учета сопротивления воздуха) полная механическая энергия системы «тело-Земля» остается строго постоянной величиной на всем протяжении движения.
3. Графики — это язык физики. Визуализация зависимостей Wk(t), Wn(t) и W(t) позволяет не просто увидеть числа, а понять физическую суть процесса: параболический характер изменения Wk и Wn отражает квадратичную зависимость от времени, а прямая линия W доказывает ее постоянство.

Понимание этих трех принципов и умение применять их на практике, как мы сделали в этом разборе, является залогом не просто получения хорошей оценки, а формирования глубокого и ясного представления о законах механики.