Детальное решение задачи: Максимальная высота подъема камня после обрыва веревки при движении по вертикальной окружности

В мире классической механики, где силы и движение управляют повседневными явлениями, встречаются задачи, требующие глубокого понимания взаимосвязи между различными физическими принципами. Одной из таких задач является определение максимальной высоты подъема объекта после обрыва удерживающей его нити, когда сам объект до этого двигался по окружности. Эта проблема не только является классическим примером для демонстрации Второго закона Ньютона и закона сохранения энергии, но и требует внимательной интерпретации условий, что часто становится камнем преткновения для студентов.

Настоящая работа предлагает детальное, пошаговое академическое решение подобной задачи, фокусируясь на всестороннем анализе каждого этапа. Мы не просто приведем формулы, но и разберем их вывод, контекст применимости, а также углубимся в нюансы, которые обычно остаются за кадром стандартных решебников. Структура работы призвана обеспечить максимально полное и прозрачное понимание процесса решения, от динамики движения по окружности до кинематики свободного падения, делая акцент на точности и обоснованности каждого шага. Это означает, что читатель получит не только готовый ответ, но и глубокое экспертное понимание логики и физических основ, стоящих за каждым вычислением.

Теоретические основы: Динамика движения по окружности в вертикальной плоскости

Движение тела по окружности — это фундаментальный концепт в механике, который находит свое применение во множестве инженерных и природных явлений. Когда речь идет о движении в вертикальной плоскости, к обычным силам добавляется сила тяжести, которая постоянно меняет свое направление относительно вектора скорости, тем самым усложняя динамическую картину. Рассмотрим случай камня, вращающегося на веревке.

Действующие силы и их направления

В любой момент времени движения камня по вертикальной окружности на него действуют как минимум две силы: сила тяжести и сила натяжения веревки.

Сила тяжести (F_тяж) — это гравитационная сила, с которой Земля притягивает камень. Она всегда направлена вертикально вниз, к центру Земли, и ее величина определяется классической формулой:

Fтяж = mg

где:

• m — масса камня;
• g — ускорение свободного падения.

Сила натяжения (T) — это сила, с которой веревка удерживает камень, препятствуя его свободному падению или отрыву от окружности. Эта сила всегда направлена вдоль веревки, к центру окружности, то есть к точке подвеса. В отличие от силы тяжести, величина силы натяжения может меняться в зависимости от положения камня на траектории и его скорости.

Особый интерес представляет нижняя точка траектории. Здесь сила тяжести F_тяж направлена строго вертикально вниз, а сила натяжения T — строго вертикально вверх, к центру окружности.

Применение Второго закона Ньютона

Второй закон Ньютона гласит, что равнодействующая всех сил, приложенных к телу, равна произведению массы тела на его ускорение. Для движения по окружности это ускорение называется центростремительным (a_ц) и всегда направлено к центру окружности. Его величина определяется как:

aц = v2/L

где:

• v — мгновенная скорость камня;
• L — радиус окружности (в данном случае, длина веревки).

В нижней точке окружности, выбрав вертикальную ось, направленную вверх (к центру окружности), мы можем записать уравнение Второго закона Ньютона в проекциях на эту ось:

ΣFy = maц

Поскольку сила натяжения T направлена вверх (в положительном направлении оси), а сила тяжести mg — вниз (в отрицательном направлении), уравнение приобретает вид:

T - mg = m ⋅ (v2/L)

Это уравнение позволяет нам найти скорость камня в нижней точке, если известны сила натяжения, масса камня и длина веревки. Выразив v из этого уравнения, получаем:

v = √((T - mg)L / m)

Таким образом, для того чтобы камень двигался по окружности в нижней точке с определенной скоростью, сила натяжения веревки должна превышать силу тяжести, обеспечивая необходимое центростремительное ускорение. Что из этого следует? Чем больше разница между силой натяжения и силой тяжести, тем выше скорость камня и, соответственно, тем большую потенциальную энергию он сможет набрать после обрыва, что является ключевым для определения максимальной высоты подъема.

Интерпретация условий задачи: «Скорость направлена вертикально вверх»

Задачи по физике часто содержат условия, требующие не буквального, а контекстуального понимания. Фраза «скорость направлена вертикально вверх» в контексте обрыва веревки для объекта, движущегося по вертикальной окружности, является именно таким случаем, который может привести к заблуждениям.

Анализ момента обрыва веревки

Рассмотрим стандартную ситуацию: камень вращается на веревке по вертикальной окружности.

• Если веревка обрывается в верхней точке, скорость камня будет направлена горизонтально, и он начнет параболическое движение.
• Если веревка обрывается в нижней точке, скорость камня также будет направлена горизонтально, и он снова начнет двигаться по параболе.
• Если веревка обрывается в боковой точке (на одном уровне с центром), скорость будет направлена вертикально вниз или вверх, в зависимости от направления вращения.

Однако в нашей задаче явно указано, что «скорость направлена вертикально вверх» после обрыва веревки. Это условие является ключевым и требует особой интерпретации. Оно означает, что, несмотря на стандартную динамику движения по окружности (где в нижней точке скорость горизонтальна), для последующего этапа движения мы должны принять, что камень приобрел скорость, направленную строго вертикально вверх.

Почему такая интерпретация? Возможно, это упрощение, призванное сфокусировать внимание на одномерном движении под действием силы тяжести, или же сценарий, где обрыв произошел в какой-то конкретной точке, после чего заданная скорость стала начальной вертикальной компонентой. Для целей данной задачи мы будем считать, что обрыв веревки произошел таким образом, что вся кинетическая энергия, связанная с круговым движением в нижней точке, была преобразована в энергию вертикального подъема, и камень мгновенно получил начальную вертикальную скорость. Важный нюанс здесь упускается: в реальности такой мгновенной и полной трансформации энергии без внешнего воздействия не происходит, но для учебных задач подобные идеализации допустимы, чтобы сосредоточиться на конкретных физических принципах.

Определение начальных условий для последующего движения

Приняв, что камень после обрыва веревки начинает движение строго вертикально вверх, нам необходимо определить его начальные условия для этого этапа.

1. Начальная скорость (v₀): Скорость, которую камень имел в нижней точке кругового движения (найденная из уравнения Второго закона Ньютона), теперь будет трактоваться как его начальная вертикальная скорость для последующего свободного падения. То есть, v₀ = v, где v — скорость в нижней точке окружности.
2. Начальная высота (h₀): Это высота, на которой находился камень в момент обрыва веревки. Обычно нижняя точка траектории принимается за нулевой уровень отсчета потенциальной энергии (h₀ = 0), если не указано иное. Однако, если точка подвеса находится на некоторой высоте над землей, и веревка имеет длину L, то начальной высотой h₀ может быть длина веревки L или расстояние от земли до нижней точки траектории. Для простоты и ясности в решении примем, что h₀ — это высота нижней точки траектории относительно выбранного нами нулевого уровня отсчета.

Такая интерпретация позволяет нам перейти от двумерного кругового движения к одномерному движению по вертикали, существенно упрощая последующие расчеты.

Методы определения максимальной высоты подъема

После того как веревка оборвалась и камень начал движение вертикально вверх под действием силы тяжести, задача сводится к определению максимальной высоты его подъема. Для этого существуют два основных, но эквивалентных метода: кинематические уравнения и закон сохранения механической энергии.

Метод 1: Кинематика свободного падения

Кинематика — это раздел механики, изучающий движение тел без учета действующих на них сил. В случае свободного падения или вертикального броска, единственной силой, оказывающей существенное влияние на движение, является сила тяжести, что приводит к постоянному ускорению, направленному вниз — ускорению свободного падения g.

Основные кинематические уравнения для вертикального движения с постоянным ускорением (a = -g, если ось Y направлена вверх) следующие:

1. v = v₀ + at
2. h = h₀ + v₀t + (1/2)at2
3. v2 = v₀2 + 2aΔh

где:

• v — конечная скорость;
• v₀ — начальная скорость;
• a — ускорение (в нашем случае a = -g);
• t — время;
• h — конечная высота;
• h₀ — начальная высота;
• Δh — изменение высоты (h - h₀).

На максимальной высоте подъема мгновенная вертикальная скорость камня становится равной нулю (v = 0). Используя третье кинематическое уравнение с a = -g и v = 0, мы можем найти изменение высоты Δh, которое камень преодолеет от начальной точки броска до максимальной высоты:

02 = v₀2 + 2(-g)Δh
0 = v₀2 - 2gΔh
2gΔh = v₀2
Δh = v₀2 / (2g)

Тогда максимальная высота подъема hmax относительно выбранного нулевого уровня будет равна:

hmax = h₀ + Δh = h₀ + v₀2 / (2g)

Детализация: Обсуждение причин вариации ускорения свободного падения (g) на Земле

При проведении расчетов часто используется стандартное значение g ≈ 9,81 м/с2. Однако, на самом деле, ускорение свободного падения не является абсолютно постоянной величиной на всей поверхности Земли. Его значение может варьироваться:

• На экваторе: g ≈ 9,780 м/с2
• На полюсах: g ≈ 9,832 м/с2
• Стандартное (нормальное) значение: 9,80665 м/с2 (принятое в системе единиц)

Эти вариации обусловлены несколькими ключевыми факторами:

1. Вращение Земли: Вращение Земли вокруг своей оси приводит к возникновению центробежной силы, которая направлена от оси вращения и максимальна на экваторе, уменьшая эффективное ускорение свободного падения. На полюсах центробежная сила равна нулю.
2. Несферическая форма Земли: Земля не является идеальной сферой, а представляет собой сплюснутый эллипсоид вращения. Это означает, что радиус Земли на полюсах меньше, чем на экваторе. Поскольку сила гравитации обратно пропорциональна квадрату расстояния до центра масс, меньшее расстояние до центра Земли на полюсах приводит к большему значению g.
3. Высота над уровнем моря и плотность земной коры: Ускорение g также немного уменьшается с высотой над уровнем моря и может варьироваться из-за локальных аномалий плотности земной коры.

Для большинства учебных задач допускается округление g до 9,81 м/с2, 9,8 м/с2 или даже 10 м/с2 для упрощения расчетов. Однако в высокоточных инженерных и научных расчетах необходимо использовать более точные значения, соответствующие конкретной географической широте и высоте. Разве не удивительно, как даже такая, казалось бы, константная величина, как ускорение свободного падения, на самом деле подвержена тонким, но измеримым вариациям?

Метод 2: Закон сохранения механической энергии

Закон сохранения механической энергии — один из фундаментальных принципов физики, утверждающий, что полная механическая энергия системы остается постоянной, если на тела действуют только консервативные силы.

Полная механическая энергия E системы определяется как сумма кинетической Eк и потенциальной Eп энергий:

E = Eк + Eп

Детализация: Четкое определение консервативных и диссипативных сил с примерами

Чтобы понять условия применимости закона сохранения механической энергии, важно различать типы сил:

• Консервативные силы: Это силы, работа которых по перемещению тела между двумя точками не зависит от траектории движения, а определяется только начальным и конечным положениями. Эквивалентное определение: работа консервативной силы по любой замкнутой траектории равна нулю. Для консервативных сил может быть определена потенциальная энергия.
  • Примеры: Сила тяжести (гравитационная сила), сила упругости (например, пружины), электростатическая (кулоновская) сила.
• Диссипативные силы: Это силы, при действии которых полная механическая энергия системы убывает, переходя в другие, немеханические формы энергии (например, теплоту, звук). Работа диссипативных сил зависит от траектории движения и всегда отрицательна в замкнутой системе, поскольку они обычно направлены противоположно скорости, вызывая торможение.
  • Примеры: Силы трения (вязкого, сухого), сила аэродинамического сопротивления воздуха.

В нашей задаче, после обрыва веревки, на камень действует только сила тяжести (консервативная сила), и мы предполагаем отсутствие сопротивления воздуха (диссипативная сила). Следовательно, закон сохранения механической энергии применим.

Формулы для кинетической и потенциальной энергии

• Кинетическая энергия (E_к) — это энергия движения тела:
  Eк = (1/2)mv2
  где:
  • m — масса тела;
  • v — скорость тела.
• Потенциальная энергия (E_п) в поле силы тяжести — это энергия положения тела относительно выбранного нулевого уровня:
  Eп = mgh
  где:
  • m — масса тела;
  • g — ускорение свободного падения;
  • h — высота тела над нулевым уровнем.

Применение закона сохранения энергии для вывода формулы hmax = h₀ + v₀2 / (2g)

Применим закон сохранения механической энергии между двумя ключевыми точками:

1. Точка обрыва веревки: Камень имеет начальную скорость v₀ и находится на начальной высоте h₀. Его полная механическая энергия в этой точке:
   E₁ = (1/2)mv₀2 + mgh₀
2. Точка максимального подъема: На этой высоте hmax камень на мгновение останавливается, то есть его скорость v равна нулю. Его полная механическая энергия в этой точке:
   E₂ = (1/2)m(0)2 + mghmax = mghmax

Согласно закону сохранения механической энергии, E₁ = E₂:

(1/2)mv₀2 + mgh₀ = mghmax

Мы можем разделить все члены уравнения на m (предполагая, что масса m не равна нулю):

(1/2)v₀2 + gh₀ = ghmax

Теперь выразим hmax:

ghmax = gh₀ + (1/2)v₀2
hmax = h₀ + v₀2 / (2g)

Как видим, оба метода — кинематика и закон сохранения энергии — приводят к одной и той же формуле для максимальной высоты подъема, что подтверждает их эквивалентность и корректность. Выбор метода зависит от предпочтений решающего и конкретных условий задачи.

Пошаговое решение задачи (пример с численными значениями)

Представим конкретный пример для иллюстрации всего вышеизложенного.

Условия задачи: Камень массой m = 0,5 кг вращают равномерно в вертикальной плоскости на веревке длиной L = 1,2 м. В нижней точке траектории сила натяжения веревки T = 10 Н. В этот момент веревка обрывается, и камень начинает движение вертикально вверх. Определить максимальную высоту, на которую поднимется камень относительно нижней точки траектории. Принять g = 9,81 м/с2.

Иллюстрация и исходные данные

Для лучшего понимания процесса представим схематический рисунок.


Верхняя точка
(v = 0, h_max)
^
|
| (движение после обрыва)
|
|
/ \
/ \
/ \
/ \
(Обрыв веревки) --> * (v₀, h₀)
(Нижняя точка круговой траектории)


Исходные данные:

• Масса камня m = 0,5 кг
• Длина веревки L = 1,2 м
• Сила натяжения в нижней точке T = 10 Н
• Ускорение свободного падения g = 9,81 м/с2

Цель: Найти максимальную высоту подъема hmax относительно нижней точки траектории (то есть, h₀ = 0 для последующего движения).

Расчет скорости камня в нижней точке

Сначала найдем скорость камня v в нижней точке траектории, используя Второй закон Ньютона:

T - mg = m ⋅ (v2/L)

Выражаем v:

v = √((T - mg)L / m)

Подставляем численные значения:

v = √((10 Н - 0,5 кг ⋅ 9,81 м/с2) ⋅ 1,2 м / 0,5 кг)
v = √((10 - 4,905) Н ⋅ 1,2 м / 0,5 кг)
v = √((5,095 Н) ⋅ 1,2 м / 0,5 кг)
v = √(6,114 / 0,5) м²/с²
v = √(12,228) м²/с²
v ≈ 3,497 м/с

Таким образом, начальная вертикальная скорость камня после обрыва веревки (v₀) составляет приблизительно 3,497 м/с.

Расчет максимальной высоты подъема

Теперь, когда известна начальная скорость v₀ = 3,497 м/с и мы приняли h₀ = 0 (поскольку ищем высоту относительно нижней точки), используем формулу для максимальной высоты подъема:

hmax = h₀ + v₀2 / (2g)

Подставляе�� численные значения:

hmax = 0 м + (3,497 м/с)2 / (2 ⋅ 9,81 м/с2)
hmax = 12,229 м²/с² / (19,62 м/с²)
hmax ≈ 0,623 м

Максимальная высота, на которую поднимется камень относительно нижней точки траектории, составляет приблизительно 0,623 метра.

Анализ размерности и единиц измерения

Важным аспектом в физических расчетах является проверка размерности, которая позволяет убедиться в корректности формул и вычислений.

Для скорости:

• Выражение под корнем: (Н ⋅ м / кг)
• Ньютон (Н) = кг ⋅ м/с²
• Значит: (кг ⋅ м/с² ⋅ м / кг) = м²/с²
• Корень из м²/с² = м/с. Размерность скорости корректна.

Для высоты:

• Выражение v₀² / (2g): (м/с)² / (м/с²) = (м²/с²) / (м/с²) = м. Размерность высоты корректна.

Проверка размерности подтверждает, что все формулы использованы правильно и результаты представлены в соответствующих единицах измерения СИ.

Заключение

Выполненный анализ и пошаговое решение задачи продемонстрировали комплексный подход к проблемам классической механики. Мы начали с детального рассмотрения динамики движения по вертикальной окружности, применив Второй закон Ньютона для определения скорости камня в нижней точке траектории. Особое внимание было уделено интерпретации условия обрыва веревки и трансформации движения в вертикальный подъем, что является критически важным для правильной постановки задачи. Понимание этих начальных условий является фундаментом для любых последующих расчетов.

Далее мы рассмотрели два эквивалентных метода для определения максимальной высоты подъема: кинематические уравнения свободного падения и закон сохранения механической энергии. Оба метода подтвердили друг друга, приведя к одной и той же формуле, что подчеркивает взаимосвязь различных физических принципов. В рамках этого раздела было дано углубленное объяснение вариаций ускорения свободного падения и различий между консервативными и диссипативными силами, что обогащает академическое понимание базовых концепций.

Численный пример позволил применить всю теоретическую базу на практике, детально проиллюстрировав каждый этап расчета, от определения начальной скорости до нахождения конечной высоты подъема. Проверка размерности на каждом шаге обеспечила дополнительную уверенность в точности полученных результатов.

Эта работа подчеркивает важность не только умения применять формулы, но и глубокого понимания физических явлений, лежащих в их основе, а также внимательной и обоснованной интерпретации условий задачи. Системный подход, включающий анализ сил, выбор подходящих законов и тщательную проверку расчетов, является залогом успешного решения любых физических проблем.

Список использованной литературы

1. Решебник Иродов. URL: https://test-uz.ru/load/reshebnik_irodov/17-1-0-120 (дата обращения: 12.10.2025).
2. Закон сохранения механической энергии // Виртуальная лаборатория ВиртуЛаб. URL: http://www.virtulab.net/index.php?option=com_content&view=article&id=132&Itemid=41 (дата обращения: 12.10.2025).
3. Полная механическая энергия. Закон сохранения механической энергии — ЯКласс. URL: https://www.yaklass.ru/p/fizika/9-klass/zakony-dvizheniia-i-vzaimodeistviia-tel-34220/polnaia-mekhanicheskaia-energiia-zakon-sokhraneniia-mekhanicheskoi-ener-34221/re-6bf79e0a-2007-4c4f-94fc-33230a84d47d (дата обращения: 12.10.2025).
4. Решебник Иродова — Решение задач. URL: https://kvadromir.com/reshebnik_irodov_i_e.html (дата обращения: 12.10.2025).
5. Максимальная высота подъема тела, брошенного под углом к горизонту — Инфофиз. URL: https://infofiz.ru/kinematika/maksimalnaya-vysota-podema-tela-broshennogo-pod-uglom-k-gorizontu.html (дата обращения: 12.10.2025).
6. Савельев, И. В. Курс общей физики, том I. Механика, колебания и волны, моле. URL: https://fizteh.ru/upload/files/1_kurs_obschei_fiziki.pdf (дата обращения: 12.10.2025).
7. Второй закон Ньютона — EarthZ. URL: https://earthz.ru/articles/vtoroj-zakon-nyutona (дата обращения: 12.10.2025).
8. Глава 7 ДИНАМИКА §7.1. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ И ЕГО. URL: https://www.msu.ru/projects/shvedov/pdf/7.pdf (дата обращения: 12.10.2025).
9. Савельев, И. В. Курс общей физики — 1. URL: https://uchebniki-online.com/fizika/savelev_i_v_kurs_obschey_fiziki_1/index.html (дата обращения: 12.10.2025).
10. Максимальная высота подъема тела. Формула. — elena_khlebnitsyna // Ответы Mail. URL: https://otvet.mail.ru/question/62657805 (дата обращения: 12.10.2025).
11. Савельев, И. В. Курс общей физики. В 5 тт. Т. 1. Механика: Учебное пособие. 5-е изд., испр. СПб.: Издательство Лань, 2011. 352 с. URL: https://library.atu.kz/wp-content/uploads/2021/01/Savelev-I.V.-K_urs-obshhej-fiziki.-V-5-tt.-T.-1.-Mehanika-Uchebnoe-posobie.-5-e-izd.-ispr.-SPb.-Izdatelstvo-Lan_.-2011.-352-s.-il.-Uchebniki-dlya-vuzov.-Specialnaya-literatura.-ISBN-978-5-8114-1206-8-obshhij.-ISBN-978-5-8114-1207-5-t.1.pdf (дата обращения: 12.10.2025).
12. Камень массой 400 г вращают равномерно в вертикальной плоскости на веревке длиной 1 м со скоростью — Школьные Знания.com. URL: https://znanija.com/task/1410492 (дата обращения: 12.10.2025).
13. Второй закон Ньютона // Физика | Фоксфорд Учебник. URL: https://foxford.ru/wiki/fizika/vtoroy-zakon-nyutona (дата обращения: 12.10.2025).
14. Равномерное движение по окружности. Закон всемирного тяготения — NeoFamily. URL: https://neofamily.ru/physics/ravnomernoe-dvizhenie-po-okruzhnosti-zakon-vsemirnogo-tyagoteniya-teoriya-i-praktika-ege-2026-po-fizike/ (дата обращения: 12.10.2025).
15. Взаимодействие тел. Второй закон Ньютона | Физика 10 класс #10 | Инфоурок. URL: https://videouroki.net/video/10-vzaimodejstvie-tel-vtoroj-zakon-nyutona.html (дата обращения: 12.10.2025).
16. Задача: Если камень массой кг бросить вертикально вверх со. URL: https://www.soloby.ru/771501-esli-kamen-massoj-015-kg-brosit-vertikalno-vverh/ (дата обращения: 12.10.2025).
17. Камень бросают вертикально вверх. Одинаковая ли сила тяжести действует на камень в следующие моменты: — Универ soloBY. URL: https://univer.soloby.ru/326850-kamen-brosayut-vertikalno-vverh-odinakovaya-li-sila-tyazhesti-deystvuet-na-kamen-v-sleduyushchie-momenty-a-kogda-on-nahoditsya-v-ruke-b-v-moment-broska-v-kogda-on-letit-vverh-g-v-verhney-tochke-traektorii-d-k/ (дата обращения: 12.10.2025).
18. Невесомость и перегрузки // Физика. URL: https://e-mogilev.by/fizika/9-klass/puryisheva/glava-1-zakonyi-mehaniki/-16-nevesomost-i-peregruzki-okonchanie.html (дата обращения: 12.10.2025).
19. Учебное пособие «ПРАКТИКУМ ПО РЕШЕНИЮ ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧ» — Инфоурок. URL: https://infourok.ru/uchebnoe-posobie-praktikum-po-resheniyu-fizicheskih-zadach-5197775.html (дата обращения: 12.10.2025).
20. Движение тела, брошенного вертикально вверх и вниз — iTest. URL: https://itest.kz/kz/ent/fizika/kinematika_dinamika/dvizhenie_tela_broshennogo_vertikalno_vverh_i_vniz (дата обращения: 12.10.2025).
21. Как рассчитать максимальную высоту полета при броске предмета вертикально вверх? — Вопросы к Поиску с Алисой (Яндекс Нейро). URL: https://yandex.ru/q/question/kak_rasschitat_maksimalnuiu_vysotu_poleta_c7a7b973/ (дата обращения: 12.10.2025).
22. Задачи по общей физике — И.Е. Иродов | бесплатный решебник онлайн — 4stu.ru. URL: https://4stu.ru/online/irodov/ (дата обращения: 12.10.2025).
23. Савельев, И. В. Курс физики. Т.1 Механика молекулярная физика. 1989. URL: https://fizmatkniga.ru/assets/pdf/fizika/uchebnye-materialy/savelev-i.v.-kurs-fiziki.-tom-1.-mekhanika.-molekulyarnaya-fizika.-1989.pdf (дата обращения: 12.10.2025).