Подробное решение задачи по динамике вращательного движения: Камень на нити в вертикальной плоскости

Представьте себе мир, где башни не качались бы на ветру, спутники не удерживались бы на орбите, а карусели не вращались бы, даря радость детям. В основе всех этих явлений лежит динамика вращательного движения — раздел механики, изучающий движение тел по круговой траектории под действием приложенных сил. Одной из классических и наиболее наглядных задач, позволяющих глубоко погрузиться в эту тему, является анализ движения камня, привязанного к нити и равномерно вращающегося в вертикальной плоскости. Эта задача не только служит отличной основой для понимания фундаментальных законов физики, но и является частым элементом контрольных работ и экзаменов, требуя четкого и структурированного подхода.

Цель данной работы — предоставить исчерпывающее и максимально детализированное решение подобной задачи. Мы пройдем путь от определения базовых понятий и формулировки ключевых законов до пошагового вывода формул для натяжения нити в различных точках траектории и, наконец, расчета критической частоты вращения. Структура решения будет включать теоретическое обоснование, математические выкладки и практический пример, чтобы обеспечить полное и глубокое понимание предмета.

Теоретические основы динамики вращательного движения

Чтобы уверенно ориентироваться в мире вращательных процессов, необходимо четко представлять себе его «азбуку» – ключевые термины и законы. Именно они служат фундаментом для построения любой аналитической модели, позволяя предсказывать и объяснять поведение систем.

Основные понятия кругового движения

Когда мы говорим о движении по кругу, сразу представляется объект, описывающий окружность. Однако за этой простотой кроется целая система взаимосвязанных величин.

Круговое движение — это не просто движение по кривой. Это специфический вид вращательного движения, при котором материальная точка или тело движется по окружности, а ось вращения при этом остается неподвижной и не проходит через центр тела. Важно отметить, что даже при «равномерном» круговом движении, когда модуль скорости остается постоянным, направление вектора скорости непрерывно меняется. А это значит, что присутствует ускорение.

Именно это изменение направления скорости вызывает появление центростремительного ускорения (a_ц). Это ускорение всегда направлено перпендикулярно вектору линейной скорости, точно к центру окружности, поддерживая тело на заданной траектории. Его модуль определяется как:

aц = v2/R = ω2R

где v — линейная скорость (скорость движения по касательной к окружности), R — радиус окружности (длина нити в нашей задаче), и ω — угловая скорость.

Анализируя природу сил, мы неизбежно сталкиваемся с центростремительной силой (F_ц). Это не какая-то отдельная, «особая» сила, а равнодействующая всех внешних сил, которая и обеспечивает наличие центростремительного ускорения. То есть, центростремительная сила — это именно та составляющая результирующей силы, которая «тянет» тело к центру, заставляя его двигаться по кругу. Согласно Второму закону Ньютона, её можно записать как:

Fц = m aц = m v2/R = mω2R

где m — масса тела.

Помимо линейной скорости, описывающей движение по траектории, существует и угловая скорость (ω). Она характеризует скорость изменения угла поворота тела за единицу времени и выражается в радианах в секунду (рад/с). Формально это отношение изменения угла (dφ) к изменению времени (dt):

ω = dφ/dt

Часто в задачах удобнее оперировать частотой вращения (f), которая показывает, сколько полных оборотов совершает тело за единицу времени (обычно в секунду, измеряется в Герцах, Гц). Связь между угловой скоростью и частотой вращения очень проста и фундаментальна:

ω = 2πf

Если частота дана в оборотах в минуту (n об/мин), то для перевода в радианы в секунду используется соотношение:

ω = (2πn)/60 рад/с

Наконец, линейная и угловая скорости тесно связаны через радиус окружности:

v = ωR

Эти взаимосвязи представлены в следующей таблице:

Величина	Определение	Формула	Единицы измерения (СИ)
Круговое движение	Вращательное движение материальной точки/тела по окружности с неподвижной осью вращения.	—	—
Центростремительное ускорение (aц)	Ускорение, направленное к центру окружности, изменяющее направление скорости.	aц = v2/R = ω2R	м/с2
Центростремительная сила (Fц)	Составляющая равнодействующей силы, обеспечивающая центростремительное ускорение.	Fц = m aц = m v2/R = mω2R	Ньютон (Н)
Угловая скорость (ω)	Быстрота изменения угла поворота.	ω = dφ/dt; ω = 2πf	рад/с
Частота вращения (f)	Количество оборотов в единицу времени.	f = ω/(2π)	Герц (Гц)
Линейная скорость (v)	Скорость движения по касательной к окружности.	v = ωR	м/с

Законы Ньютона в контексте вращательного движения

Динамика, как известно, базируется на трёх китах — законах Ньютона. Они универсальны и применимы как к поступательному, так и к вращательному движению, хотя для последнего и имеют свои особенности интерпретации.

Первый закон Ньютона, или закон инерции, гласит, что тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, если на него не действуют силы или их действие скомпенсировано. В контексте кругового движения это означает, что для отклонения тела от прямолинейной траектории и удержания его на круговой орбите, обязательно должна присутствовать внешняя, нескомпенсированная сила. Если бы такой силы не было, камень, вращающийся на нити, мгновенно улетел бы по касательной, как только нить оборвалась, что наглядно демонстрирует необходимость постоянного воздействия для поддержания криволинейной траектории.

Второй закон Ньютона является сердцем всей динамики. Он устанавливает прямую связь между силой, массой и ускорением: F = ma. Ускорение, которое приобретает тело, прямо пропорционально равнодействующей силе, действующей на него, и обратно пропорционально его массе. Направление ускорения совпадает с направлением этой силы.

Применительно к вращательному движению, Второй закон Ньютона особенно важен. В этом случае ускорение, как мы уже знаем, имеет центростремительную составляющую (a_ц), направленную к центру. Поэтому равнодействующая сил вдоль радиуса должна быть равна m aц. Если движение неравномерное, появляется ещё и тангенциальное ускорение (a_τ), направленное по касательной и отвечающее за изменение модуля скорости. Хотя при движении в вертикальной плоскости под действием гравитации скорость будет меняться, и тангенциальная составляющая ускорения будет присутствовать, для идеализированного «равномерного» вращения (без учета гравитации) её можно было бы пренебречь.

Для удобства анализа сил и ускорений при круговом движении часто используют систему координат, ориентированную по траектории:

• Радиальная ось (или нормальная) направлена вдоль радиуса к центру окружности. Проекция Второго закона Ньютона на эту ось описывает центростремительное ускорение, которое отвечает за изменение направления вектора скорости. Все силы, направленные к центру, считаются положительными, от центра — отрицательными.
• Тангенциальная ось направлена по касательной к траектории движения, перпендикулярно радиальной оси. Проекция на эту ось описывает тангенциальное ускорение, отвечающее за изменение модуля линейной скорости.

Наконец, Третий закон Ньютона о равенстве действия и противодействия не менее важен. Он напоминает, что все силы возникают парами. Если нить тянет камень к центру, то и камень тянет нить в противоположную сторону с такой же по модулю силой. Это позволяет нам анализировать внутренние напряжения в системе, такие как сила натяжения нити.

Хотя законы сохранения энергии (полная механическая энергия E = Eк + Eп) могут быть применимы в задачах, где скорость тела изменяется под действием потенциальных сил (например, гравитации), для задачи с «равномерным» вращением (в смысле поддержания постоянной скорости, если бы не гравитация), акцент делается именно на динамике сил. В случае, когда внешние силы (например, мышца, раскручивающая камень) совершают работу, полная механическая энергия системы не сохраняется.

Анализ сил, действующих на тело при вертикальном круговом движении

Теперь, вооружившись теоретическим аппаратом, давайте рассмотрим конкретный сценарий: камень, привязанный к нити, вращается в вертикальной плоскости. Это движение не является таким уж «равномерным» в строгом смысле, поскольку гравитация постоянно вмешивается в процесс, изменяя скорость камня на разных участках траектории.

Силы, действующие на камень

На камень, движущийся по вертикальной окружности, действуют две основные силы:

1. Сила тяжести (mg): Эта сила всегда направлена вертикально вниз, к центру Земли. Её величина определяется массой камня (m) и ускорением свободного падения (g ≈ 9,81 м/с²).
2. Сила натяжения нити (T): Эта сила возникает в результате упругой деформации нити и всегда направлена вдоль нити, от камня к центру вращения. Именно эта сила, совместно с силой тяжести, обеспечивает необходимое центростремительное ускорение.

Важно понимать, что центростремительная сила — это не отдельная «дополнительная» сила, а результирующая проекция всех реальных сил (тяжести и натяжения) на радиальную ось. Её величина должна быть достаточной для поддержания движения по окружности, иначе траектория изменится.

Анализ сил в нижней точке траектории

Представим камень, проходящий самую нижнюю точку своей круговой траектории. В этот момент он движется горизонтально, а нить натянута вертикально вверх.

• Сила натяжения нити (T_н) направлена вертикально вверх, то есть к центру окружности.
• Сила тяжести (mg) направлена вертикально вниз, то есть от центра окружности.
• Центростремительное ускорение (a_цн) направлено к центру, то есть вертикально вверх.

Применяем Второй закон Ньютона, проецируя все силы на радиальную ось, направленную вверх (к центру):

Tн - mg = m aцн

Поскольку aцн = vн2/R (где vн — линейная скорость камня в нижней точке), уравнение примет вид:

Tн - mg = m vн2/R

Отсюда выражаем силу натяжения в нижней точке:

Tн = m vн2/R + mg

Из этой формулы становится очевидно, почему натяжение нити в нижней точке максимально. Здесь сила натяжения должна не только обеспечить центростремительную силу (m vн2/R), но и дополнительно скомпенсировать действие силы тяжести (mg), которая «тянет» камень вниз, в противоположную от центра сторону. Поэтому Tн является суммой этих двух составляющих.

Анализ сил в верхней точке траектории

Теперь рассмотрим ситуацию, когда камень достигает наивысшей точки своей траектории. Здесь он также движется горизонтально, но нить снова натянута вертикально, но теперь уже вниз.

• Сила натяжения нити (T_в) направлена вертикально вниз, то есть к центру окружности.
• Сила тяжести (mg) также направлена вертикально вниз, то есть к центру окружности.
• Центростремительное ускорение (a_цв) направлено к центру, то есть вертикально вниз.

Снова применяем Второй закон Ньютона, проецируя силы на радиальную ось, направленную вниз (к центру):

Tв + mg = m aцв

Подставляя aцв = vв2/R (где vв — линейная скорость камня в верхней точке):

Tв + mg = m vв2/R

Выражаем силу натяжения в верхней точке:

Tв = m vв2/R - mg

Это уравнение показывает, что в верхней точке сила натяжения нити должна обеспечивать центростремительную силу, но при этом ей «помогает» сила тяжести. Именно поэтому натяжение в верхней точке, как правило, меньше, чем в нижней (при прочих равных условиях). Но что это означает для безопасности и устойчивости движения?

Для того чтобы камень мог совершить полный оборот и не упасть (или чтобы нить не провисла), необходимо, чтобы в верхней точке сила натяжения нити была либо положительной, либо равной нулю:

Tв ≥ 0

Если Tв = 0, это означает, что минимальная центростремительная сила, достаточная для поддержания кругового движения, обеспечивается исключительно силой тяжести. В этом случае:

mg = m vmin2/R

Откуда минимальная скорость в верхней точке, при которой камень ещё может пройти «мертвую петлю» или совершить полный оборот без провисания нити:

vmin = √(gR)

Это критически важное условие для устойчивого вращения в вертикальной плоскости. Невыполнение этого условия приведет к тому, что камень сойдет с круговой траектории или нить провиснет, что зачастую становится причиной прерывания движения.

Определение максимального натяжения и вывод формулы критической частоты вращения

Понимание того, как силы распределяются по траектории, позволяет нам перейти к ключевым задачам — определению максимального натяжения и вычислению частоты вращения, при которой нить испытывает определенную критическую нагрузку.

Максимальное натяжение веревки

Как мы уже детально проанализировали, максимальное натяжение веревки при вращении в вертикальной плоскости возникает не где-нибудь, а именно в нижней точке траектории. Этот вывод является прямым следствием уравнений динамики. Напомним формулу для натяжения в нижней точке:

Tн = m vн2/R + mg

А для верхней точки:

Tв = m vв2/R - mg

Даже если бы скорости vн и vв были одинаковыми (что в реальных условиях движения под действием гравитации невозможно без внешнего воздействия), Tн все равно было бы больше Tв на величину 2mg. Однако, поскольку под действием гравитации скорость в нижней точке vн всегда больше, чем скорость в верхней точке vв (в отсутствие внешних сил, совершающих работу), то разница между Tн и Tв становится ещё более выраженной. Чем больше скорость, тем больше центростремительная составляющая m v2/R, которая в нижней точке складывается с mg, а в верхней — вычитается из неё. Следовательно, максимальное натяжение однозначно приходится на нижнюю точку.

Таким образом, максимальное натяжение (T_max) равно натяжению в нижней точке: Tmax = Tн = m vн2/R + mg. Это критически важно учитывать при проектировании систем, где прочность нити или стержня играет ключевую роль.

Вывод формулы для критической частоты вращения

Теперь предположим, что мы хотим найти такую частоту вращения, при которой натяжение нити в нижней точке достигает определенного критического значения. Пусть, например, это критическое значение Tкрит равно десятикратной силе тяжести камня, то есть Tкрит = 10mg. Это может быть условием, при котором нить рискует порваться.

Воспользуемся формулой для натяжения в нижней точке:

Tн = m vн2/R + mg

По условию, Tн = 10mg. Подставим это значение в уравнение:

10mg = m vн2/R + mg

Теперь наша задача — выразить скорость vн:

10mg - mg = m vн2/R
9mg = m vн2/R

Масса ‘m’ сокращается с обеих сторон:

9g = vн2/R

Отсюда находим квадрат скорости:

vн2 = 9gR

И саму линейную скорость в нижней точке:

vн = √(9gR) = 3√(gR)

Далее нам нужно связать линейную скорость с частотой вращения (f). Мы знаем, что линейная скорость v связана с угловой скоростью ω и радиусом R как v = ωR, а угловая скорость ω, в свою очередь, связана с частотой вращения f как ω = 2πf. Значит, v = 2πfR.

Подставляем это выражение для vн:

3√(gR) = 2πfR

И выражаем частоту вращения f:

f = (3√(gR)) / (2πR)

Эту формулу можно упростить, если вспомнить, что R = √(R2):

f = (3√(gR)) / (2π√(R2))
f = (3 / (2π)) * √(gR/R2)
f = (3 / (2π)) * √(g/R)

Таким образом, мы получили окончательную формулу для критической частоты вращения, при которой натяжение нити в нижней точке достигает десятикратной силы тяжести камня. Этот вывод демонстрирует, как последовательное применение законов динамики и алгебраических преобразований позволяет решать сложные физические задачи, а также предсказывать поведение системы в условиях предельных нагрузок.

Пример решения типовой задачи

Для закрепления понимания и демонстрации практического применения выведенных формул, рассмотрим конкретный пример.

Условие задачи

Камень массой 0,5 кг привязан к нити длиной 1,2 м и равномерно вращается в вертикальной плоскости. Определить частоту вращения камня, при которой максимальное натяжение нити составляет 10-кратную силу тяжести камня. Ускорение свободного падения принять равным 9,8 м/с².

Дано:

• Масса камня m = 0,5 кг
• Длина нити R = 1,2 м (радиус окружности)
• Максимальное натяжение нити Tmax = 10mg
• Ускорение свободного падения g = 9,8 м/с²

Найти:

• Частоту вращения f

Пошаговое решение

1. Определение максимального натяжения:

   Мы знаем, что максимальное натяжение нити возникает в нижней точке траектории. Формула для натяжения в нижней точке (Tн):

   Tн = m vн2/R + mg

2. Использование условия критического натяжения:

   По условию задачи, максимальное натяжение Tmax = 10mg. Поскольку Tmax = Tн, мы можем записать:

   10mg = m vн2/R + mg

3. Выражение линейной скорости в нижней точке (vн):

   Перенесем член с mg в левую часть уравнения:

   10mg - mg = m vн2/R
9mg = m vн2/R

   Сократим массу m с обеих сторон уравнения (поскольку m ≠ 0):

   9g = vн2/R

   Выразим квадрат скорости vн2:

   vн2 = 9gR

   И саму линейную скорость vн:

   vн = √(9gR)

4. Связь линейной скорости с частотой вращения (f):

   Мы знаем, что линейная скорость v связана с частотой вращения f и радиусом R формулой:

   v = 2πfR

   Применим это к скорости в нижней точке:

   vн = 2πfR

5. Вывод формулы для частоты вращения и подстановка значений:

   Приравняем два выражения для vн:

   2πfR = √(9gR)

   Теперь выразим частоту вращения f:

   f = √(9gR) / (2πR)

   Упростим выражение:

   f = (3√(gR)) / (2πR)
f = (3 / (2π)) * √(g/R)

   Теперь подставим числовые значения:

   g = 9,8 м/с²
   R = 1,2 м

   f = (3 / (2π)) * √(9,8 / 1,2)
   f ≈ (3 / 6,283) * √(8,1667)
   f ≈ 0,477 * 2,8577
   f ≈ 1,364 Гц

   Таким образом, частота вращения камня, при которой максимальное натяжение нити составит десятикратную силу тяжести, приблизительно равна 1,364 Герца. Это означает, что камень будет совершать примерно 1,364 оборота в секунду. Этот результат наглядно демонстрирует, как теоретические выкладки находят практическое применение в конкретных расчетах.

Заключение

Путешествие по динамике вращательного движения, от фундаментальных законов Ньютона до практического расчета критической частоты, демонстрирует, как глубоко взаимосвязаны теоретические основы и их прикладное значение. Задача о камне, вращающемся на нити в вертикальной плоскости, является не просто академическим упражнением, но и мощным инструментом для развития аналитического мышления. Теоретические основы динамики позволили нам построить надежную модель для этого феномена.

Мы убедились, что сила тяжести играет ключевую роль в распределении натяжения нити по траектории, приводя к максимальному значению в нижней точке. Детальный анализ сил в критических точках позволил нам не только вывести общие формулы для натяжения, но и, что особенно важно, определить минимальные условия для устойчивого движения, а также рассчитать частоту вращения, необходимую для достижения заданного критического натяжения.

Понимание этих принципов не ограничивается лишь данной задачей. Методы векторного анализа сил, применения Второго закона Ньютона в проекциях и перехода между кинематическими характеристиками (линейная скорость, угловая скорость, частота) являются универсальными. Они применимы к широкому кругу физических явлений: от проектирования безопасных аттракционов и центрифуг до анализа движения космических аппаратов по орбите. Освоение этих основ закладывает прочный фундамент для дальнейшего изучения более сложных разделов физики и инженерии, открывая двери к глубокому пониманию окружающего нас динамичного мира, что подтверждает неоспоримую ценность глубокого знания механики.

Список использованной литературы

1. Вопросы к Поиску с Алисой (Яндекс Нейро) [Электронный ресурс] // Дзен. URL: https://dzen.ru/q/kak_svyazana_uglovaya_skorost_s_chastotoj_vrashcheniya_obyekta-yandex_alisa/ (дата обращения: 12.10.2025).
2. Центростремительная сила [Электронный ресурс] // Википедия. URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A6%D0%B5%D0%BD%D1%82%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D0%B8%D0%BB%D0%B0 (дата обращения: 12.10.2025).
3. Что такое центростремительная сила? (формула и примеры) [Электронный ресурс] // Physigeek. URL: https://physigeek.com/ru/chto-takoe-centrostremitelnaya-sila/ (дата обращения: 12.10.2025).
4. Центростремительная сила [Электронный ресурс] // chem-astu.ru. URL: https://www.chem-astu.ru/lectures/lecture_phys/part1/1_5_2.html (дата обращения: 12.10.2025).
5. Центростремительная сила [Электронный ресурс] // femto.com.ua. URL: http://www.femto.com.ua/articles/part_1/3745.html (дата обращения: 12.10.2025).
6. Второй закон Ньютона для вращательного движения + примеры решения задач [Электронный ресурс] // engineering-solutions.ru. URL: https://engineering-solutions.ru/physics/newtons-second-law-for-rotational-motion/ (дата обращения: 12.10.2025).
7. Угловая скорость вращения [Электронный ресурс] // Системы Электропривода. URL: https://reductors.com/uglovaya-skorost-vrashheniya (дата обращения: 12.10.2025).
8. Второй закон Ньютона для вращательного движения [Электронный ресурс] // StudFiles. URL: https://studfile.net/preview/363943/page:15/ (дата обращения: 12.10.2025).
9. Законы Ньютона для поступательного и вращательного движений [Электронный ресурс] // StudFiles. URL: https://studfile.net/preview/442750/ (дата обращения: 12.10.2025).
10. 4.3. Второй закон Ньютона вращательного движения [Электронный ресурс] // StudFiles. URL: https://studfile.net/preview/6787998/page:16/ (дата обращения: 12.10.2025).
11. Угловая скорость [Электронный ресурс] // Википедия. URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D0%B3%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D0%BA%D0%BE%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C (дата обращения: 12.10.2025).
12. Центростремительное ускорение и центростремительная сила [Электронный ресурс] // Skysmart. URL: https://skysmart.ru/articles/physics/centrostremitelnoe-uskorenie-i-centrostremitelnaya-sila (дата обращения: 12.10.2025).
13. Угловая скорость и угловое ускорение — формулы и примеры расчета [Электронный ресурс] // dpva.ru. URL: https://dpva.ru/Guide/GuideMathematics/GuideMathematicsFormulae/AngularSpeedAcceleration/ (дата обращения: 12.10.2025).
14. Центробежная сила [Электронный ресурс] // Википедия. URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A6%D0%B5%D0%BD%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B1%D0%B5%D0%B6%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D0%B8%D0%BB%D0%B0 (дата обращения: 12.10.2025).
15. Центростремительная сила [Электронный ресурс] // PLANETCALC. URL: https://www.planetcalc.ru/1520/ (дата обращения: 12.10.2025).
16. ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА [Электронный ресурс] // БНТУ. URL: https://bntu.by/ucg/fizy/kurs-fiziki/2-mehanika/lab-raboty/3-vrashchatelnoe-dvizhenie.pdf (дата обращения: 12.10.2025).
17. Закон сохранения механической энергии [Электронный ресурс] // Фоксфорд Учебник. URL: https://foxford.ru/wiki/fizika/zakon-sohraneniya-mehanicheskoy-energii (дата обращения: 12.10.2025).
18. Физические основы механики [Электронный ресурс] // old.tpu.ru. URL: http://old.tpu.ru/fmf/study/op/Lec_1_Fis_Osnovi_M.pdf (дата обращения: 12.10.2025).
19. Формула угловой скорости в физике [Электронный ресурс] // Webmath.ru. URL: https://webmath.ru/formula/uglovaya-skorost.php (дата обращения: 12.10.2025).
20. Сила натяжения нити: формула, как найти, куда направлена [Электронный ресурс] // Vuzlit.ru. URL: https://vuzlit.ru/806456/sila_natyazheniya_niti_formula_nayti_napravlena (дата обращения: 12.10.2025).
21. Закон сохранения механической энергии. Движение по окружности [Электронный ресурс] // Фоксфорд. URL: https://foxford.ru/wiki/fizika/dvizhenie-po-okruzhnosti (дата обращения: 12.10.2025).
22. Понятие и формула силы натяжения нити в физике [Электронный ресурс] // fizika-helper.ru. URL: https://fizika-helper.ru/ponyatie-i-formula-sily-natyazheniya-niti-v-fizike/ (дата обращения: 12.10.2025).
23. Второй закон Ньютона [Электронный ресурс] // Википедия. URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%B9_%D0%B7%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9D%D1%8C%D1%8E%D1%82%D0%BE%D0%BD%D0%B0 (дата обращения: 12.10.2025).
24. Глава 7 ДИНАМИКА §7.1. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ И ЕГО [Электронный ресурс] // phys.nsu.ru. URL: http://www.phys.nsu.ru/lectures/shvedov/mechanics/chapter7.pdf (дата обращения: 12.10.2025).
25. Формула центростремительного ускорения в физике [Электронный ресурс] // Work5. URL: https://work5.ru/spravochnik/fizika/centrostremitelnoe-uskorenie (дата обращения: 12.10.2025).
26. Закон сохранения энергии [Электронный ресурс] // Википедия. URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D1%81%D0%BE%D1%85%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D1%8D%D0%BD%D0%B5%D1%80%D0%B3%D0%B8%D0%B8 (дата обращения: 12.10.2025).
27. Лекция 6. Кинетическая энергия системы [Электронный ресурс] // opds.altstu.ru. URL: http://opds.altstu.ru/media/uploads/2017/02/09/lekciya-6.pdf (дата обращения: 12.10.2025).
28. Динамика вращающегося тела: задачи по динамике с ответами [Электронный ресурс] // AFPortal.ru. URL: https://afportal.ru/fizika/dinamika/dinamika-vrashhajushhegosja-tela-zadachi-po-dinamike-s-otvetami/ (дата обращения: 12.10.2025).
29. Круговое движение [Электронный ресурс] // Википедия. URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D1%80%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D0%B5_%D0%B4%D0%B2%D0%B8%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5 (дата обращения: 12.10.2025).
30. Силы при равномерном движении по окружности [Электронный ресурс] // Вся физика. URL: http://kvant.mccme.ru/1987/11/116_sily_pri_ravnomernom_dvizhen.htm (дата обращения: 12.10.2025).
31. Движение тела под действием нескольких сил по окружности [Электронный ресурс] // ЕГЭ-Студия. URL: https://ege-studio.ru/fizika/dvizhenie-tela-pod-dejstviem-neskolkih-sil-po-okruzhnosti (дата обращения: 12.10.2025).
32. Поиск натяжения нити; круговое движение [Электронный ресурс] // Reddit. URL: https://www.reddit.com/r/AskPhysics/comments/2ltm6m/finding_tension_string_circular_motion/ (дата обращения: 12.10.2025).