Контрольная работа по физике. Взгляд падает на задачу по динамике вращательного движения, и появляется знакомое чувство неуверенности. Но что, если посмотреть на нее не как на препятствие, а как на тренажер? Любая, даже самая сложная на вид задача — это всего лишь последовательность простых и логичных шагов. Давайте вместе пройдем этот путь на примере конкретного задания и выработаем универсальный алгоритм, который поможет вам в будущем.
Вот наша задача: Колесо, вращаясь равнозамедленно, уменьшило за время t = 1 мин частоту вращения от n₁ = 300 об/мин до n₂ = 180 об/мин. Момент инерции колеса J = 2 кг*м². Найти: угловое ускорение ε колеса, момент сил торможения M, работу A сил торможения и число оборотов N, сделанных колесом за это время.
Теперь, когда задача перед нами, давайте разобьем ее на составные части и подготовим теоретический фундамент для ее решения.
Какие физические законы управляют вращением твердого тела
Чтобы осознанно решать задачу, а не просто подставлять числа в формулы, нужно понимать несколько ключевых концепций. Вращательное движение во многом похоже на поступательное, и у каждой привычной нам величины есть свой «двойник».
Скорость при вращении — это угловая скорость (ω), которая показывает, на какой угол (в радианах) тело поворачивается за секунду. Ее изменение характеризует угловое ускорение (ε или α).
Аналогом массы, которая показывает инертность тела при поступательном движении, выступает момент инерции (J или I). Он определяет, насколько трудно раскрутить тело или остановить его вращение. Причиной же изменения вращения, аналогом обычной силы (F), является момент силы (M или τ).
Эти понятия связывают между собой фундаментальные законы и формулы, которые станут нашими главными инструментами:
- Основное уравнение динамики вращательного движения, аналог второго закона Ньютона: M = J * ε (Момент силы равен произведению момента инерции на угловое ускорение).
- Теорема о кинетической энергии: Работа внешних сил (A) равна изменению кинетической энергии системы (ΔK).
- Формула для кинетической энергии вращательного движения: K = (J * ω²) / 2.
Вооружившись этой теорией, мы готовы приступить к первому и самому важному этапу практической работы — анализу исходных данных.
Как правильно «прочитать» условие задачи и составить «Дано»
Методичный подход начинается с аккуратной фиксации всех известных и неизвестных величин. Это создает опорный пункт для всех дальнейших вычислений и помогает ничего не упустить. Пройдемся по тексту нашей задачи и выпишем все данные.
Дано:
- Время замедления: t = 1 мин
- Начальная частота вращения: n₁ = 300 об/мин
- Конечная частота вращения: n₂ = 180 об/мин
- Момент инерции колеса: J = 2 кг*м²
Найти:
- Угловое ускорение: ε
- Тормозящий момент сил: M
- Работу сил торможения: A
- Число оборотов за время замедления: N
Мы структурировали данные, но сразу видим проблему: они представлены в разных, несистемных единицах (минуты, обороты в минуту). Прежде чем подставлять их в формулы, необходимо привести всё к единой системе.
Шаг 1. Приводим все величины к системе СИ
Это критически важный этап. Большинство физических формул корректно работают только тогда, когда все величины выражены в Международной системе единиц (СИ). Использование в расчетах минут или оборотов в минуту вместо секунд и радиан в секунду — одна из самых частых причин ошибок.
1. Время. Здесь все просто: в одной минуте 60 секунд.
t = 1 мин = 60 с
2. Частота вращения. Нам нужно перейти от частоты (n) в «оборотах в минуту» к угловой скорости (ω) в «радианах в секунду». Один полный оборот — это угол 2π радиан. В одной минуте — 60 секунд. Поэтому для перевода мы используем коэффициент 2π/60.
- Начальная угловая скорость: ω₁ = n₁ * 2π / 60 = 300 * 2π / 60 = 10π ≈ 31,4 рад/с
- Конечная угловая скорость: ω₂ = n₂ * 2π / 60 = 180 * 2π / 60 = 6π ≈ 18,84 рад/с
Теперь, когда все наши данные подготовлены и выражены в правильных единицах, мы можем приступить к первому расчетному этапу — поиску углового ускорения.
Шаг 2. Находим угловое ускорение колеса (ε)
Угловое ускорение по определению — это быстрота изменения угловой скорости. Нам известны начальная скорость (ω₁), конечная скорость (ω₂) и время (t), за которое это изменение произошло. Этого достаточно, чтобы использовать основную кинематическую формулу для равноускоренного (в нашем случае — равнозамедленного) вращательного движения:
ω₂ = ω₁ + εt
Наша цель — найти угловое ускорение ε. Выразим его из этой формулы:
ε = (ω₂ — ω₁) / t
Теперь подставим наши подготовленные значения в единицах СИ:
ε = (6π — 10π) рад/с / 60 с = -4π рад/с / 60 с ≈ -12,56 / 60 рад/с² ≈ -0,21 рад/с²
Результат получился отрицательным, и это совершенно правильно. Знак «минус» указывает на то, что ускорение направлено против начальной скорости вращения, то есть движение является равнозамедленным. Колесо тормозит, как и сказано в условии.
Шаг 3. Рассчитываем тормозящий момент сил (М)
Мы определили кинематическую характеристику движения — его ускорение. Теперь перейдем к динамике и найдем причину этого замедления — момент тормозящих сил. Для этого мы используем основное уравнение динамики вращательного движения, которое является аналогом второго закона Ньютона:
M = J * ε
Все величины в правой части уравнения нам уже известны: момент инерции (J) дан в условии, а угловое ускорение (ε) мы только что рассчитали. Подставим значения:
M = 2 кг*м² * (-0,21 рад/с²) = -0,42 Н*м
Знак «минус» и здесь имеет физический смысл: он показывает, что момент сил является тормозящим, то есть его действие направлено в сторону, противоположную вращению колеса.
Шаг 4. Определяем работу сил торможения (А)
Мы нашли силу, которая замедляет колесо. Логично теперь определить, какую работу эта сила совершила за время торможения. Самый простой способ сделать это — применить теорему о кинетической энергии: работа всех внешних сил равна изменению кинетической энергии системы.
A = K₂ — K₁
Где K₁ и K₂ — начальная и конечная кинетическая энергия вращения. Формула для кинетической энергии вращающегося тела:
K = (J * ω²) / 2
Распишем нашу формулу для работы:
A = (J * ω₂²) / 2 — (J * ω₁²) / 2 = (J / 2) * (ω₂² — ω₁²)
Подставляем известные нам значения:
A = (2 кг*м² / 2) * ((6π рад/с)² — (10π рад/с)²) = 1 * (36π² — 100π²) = -64π² ≈ -631 Дж
Работа получилась отрицательной. Это логично, поскольку тормозящая сила совершает отрицательную работу, забирая энергию у системы и замедляя вращение.
Шаг 5. Вычисляем общее число оборотов (N) за время замедления
Остался последний вопрос: сколько полных оборотов успело сделать колесо за минуту, пока замедлялось? Для этого нам сначала нужно найти полное угловое перемещение (угол поворота θ) в радианах. Используем кинематическое уравнение, связывающее перемещение, начальную скорость, время и ускорение:
θ = ω₁t + (εt²) / 2
Все данные у нас есть, подставляем их:
θ = (10π рад/с * 60 с) + ((-0,21 рад/с² * (60 с)²)/2) = 600π — (0,21 * 3600)/2 = 600π — 378 ≈ 1884 — 378 = 1506 рад
Мы нашли угол поворота в радианах. Чтобы перевести его в привычные нам обороты, нужно вспомнить, что один полный оборот — это 2π радиан. Следовательно:
N = θ / 2π = 1506 / (2 * 3,14) = 1506 / 6,28 ≈ 240 оборотов
Все неизвестные найдены. Осталось грамотно оформить результат.
Как собрать все полученные данные в итоговый ответ
Аккуратно оформленный ответ — важная часть решения, демонстрирующая ясность вашего мышления. Давайте сведем все наши результаты воедино, последовательно отвечая на поставленные в задаче вопросы.
Ответ:
- Угловое ускорение колеса: ε ≈ -0,21 рад/с².
- Момент сил торможения: M ≈ -0,42 Н*м.
- Работа сил торможения: A ≈ -631 Дж.
- Число оборотов, сделанных колесом: N = 240.
Задача решена. Но что самое важное мы вынесем из этого процесса?
Самое ценное — не конкретные цифры в ответе, а освоенная методика. Мы увидели, что залог успеха — это четкий алгоритм: внимательный анализ условия и составление «Дано», обязательный перевод всех величин в систему СИ, последовательное применение нужных физических законов для нахождения каждой неизвестной и, наконец, аккуратное оформление ответа. Теперь, вооружившись этим методом, вы сможете уверенно подойти к решению любой подобной задачи.