Содержание
Задача 1.10
В коробке 30 конфет из них 10 с кофейной начинкой. Наугад берут 3 конфеты. Найти вероятность того, что среди них две конфеты с кофейной начинкой.
Задача 2.10
Устройство содержит два независимо работающих элемента. Вероятности отказа элементов соответственно равны 0,05 и 0,08. Найти вероятность отказа устройства, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент.
Задача 3.10
Литье в болванках поступает из двух заготовительных цехов: 70% из первого цеха и 30% из второго. При этом материал первого цеха имеет 10% брака, а второго – 20%. Найдите вероятность того, что одна наугад взятая болванка не имеет дефектов.
Задача 4.10
Из 18 стрелков 5 попадают в мишень с вероятностью 0,8; 7 – с вероятностью 0,7, 4 – с вероятностью 0,6 и 2 – с вероятностью 0,5. Наудачу выбранный стрелок произвел выстрел, но в мишень не попал. К какой из групп вероятнее всего принадлежал этот стрелок?
Задача 5.10
Всхожесть семян данного сорта растений равна 80%. Найти вероятность того, что из 5 посеянных семян: а) взойдет не менее 4; б) точно 3.
Задача 6.10
Дискретная случайная величина Х задана законом распределения. Вычислить неизвестную вероятность , математическое ожидание и дисперсию случайной величины. Найти функцию распределения и построить ее график.
-2 0 5 10
0,15
0,2 0,3
Задача 7.10
Случайная величина задана функцией распределения . Найти: а) плотность распределения , б) математическое ожидание , в) дисперсию , г) вероятность . Построить графики и .
, , .
Задача 8.10
Диаметр деталей, изготовленных цехом, является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Математическое ожидание равно 2,5, а дисперсия – 0,0001. В каких границах можно практически гарантировать диаметр детали (за достоверное принимается событие, вероятность которого равна 0,9973)?
Задача 9.10
Дан совместный закон распределения двумерной случайной величины . Найти закон распределения случайной величины , математическое ожидание и условное математическое ожидание при .
-1 2 3
-2 0,1 0,2 0
0 0,05 0,4 0,25
Задача 10.10
Постройте вариационный ряд, гистограмму, полигон, кумулятивную кривую. Вычислите выборочную среднюю, моду, медиану, выборочную дисперсию, среднеквадратичное отклонение, асимметрию и эксцесс.
Результаты исследования объема работ текущего ремонта (%):
70; 20; 125; 30; 35; 40; 115; 115; 95; 100; 30; 70; 10; 15; 120; 140; 115; 135;
38; 42; 95; 10; 10; 15; 30; 135; 140; 115; 110; 120; 110; 115; 95; 40; 35; 48;
45; 40; 10; 20; 45; 25; 110; 125; 120; 135; 60; 70; 40; 50; 45; 40; 55; 40; 10;
25; 100; 140; 125; 125; 115; 100; 118; 112; 110; 38; 25; 18; 15; 30; 35; 95;
85; 70; 65; 30; 15; 35; 120; 125; 100; 35; 40; 140; 100; 30; 45; 56; 68; 72; 65;
40; 35; 80; 40; 100; 110; 112
Задача 11.10
Дано статистическое распределение выборки (в первой строке указаны выборочные варианты , а во второй строке – соответственные частоты количественного признака ). Найти:
1) выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное среднеквадратичное отклонение;
2) доверительные интервалы для оценки неизвестного математического ожидания с заданной надежностью , считая дисперсию известной и равной .
Пользуясь критерием Пирсона, при уровне значимости 0,05 установить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности с данными выборки.
105 110 115 120 125 130 135
4 6 10 30 30 15 5
Задача 12.10
Даны результаты 10 наблюдений величин Х и У. Найти выборочные уравнения прямых линий регрессии У на Х, Х на У, вычислить выборочный коэффициент корреляции . Сделать чертеж.
х -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
у -5,5 -4,7 -3,4 -2,9 -0,6 -0,4 1,6 2,3 3,1 4,8
Задача 13.10
Дана матрица вероятностей перехода цепи Маркова Р и распределение вероятностей по состояниям в момент времени . Найти:
1) распределение вероятностей по состояниям в моменты и ;
2) стационарное распределение вероятностей .
;
Задача 14.10
Задана матрица А интенсивностей переходов Марковского процесса с непрерывным временем. Составить размеченный граф состояний, соответствующий матрице А; составить систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний; найти предельное распределение вероятностей.
Задача 15.10
Вход на станцию метро оборудован системой из k турникетов. При выходе из строя одного из турникетов остальные продолжают нормально функционировать. Вход на станцию перекрывается, если выйдут из строя все турникеты. Поток отказов каждого турникета – простейший, среднее время безотказной работы одного турникета t часов. Время ремонта распределено по показательному закону и в среднем составляет s часов. В начальный момент все турникеты исправны. Используя формулы Эрланга, найти предельное распределение вероятностей состояния системы. Найти среднюю пропускную способность системы турникетов в процентах от номинальной, если с выходом из строя каждого турникета система теряет своей номинальной пропускной способности.
k = 4, t = 78, s =
Выдержка из текста
Задача 1.10
В коробке 30 конфет из них 10 с кофейной начинкой. Наугад берут 3 конфеты. Найти вероятность того, что среди них две конфеты с кофейной начинкой.
Задача 2.10
Устройство содержит два независимо работающих элемента. Вероятности отказа элементов соответственно равны 0,05 и 0,08. Найти вероятность отказа устройства, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент.
Задача 3.10
Литье в болванках поступает из двух заготовительных цехов: 70% из первого цеха и 30% из второго. При этом материал первого цеха имеет 10% брака, а второго – 20%. Найдите вероятность того, что одна наугад взятая болванка не имеет дефектов.
Задача 4.10
Из 18 стрелков 5 попадают в мишень с вероятностью 0,8; 7 – с вероятностью 0,7, 4 – с вероятностью 0,6 и 2 – с вероятностью 0,5. Наудачу выбранный стрелок произвел выстрел, но в мишень не попал. К какой из групп вероятнее всего принадлежал этот стрелок?
Задача 5.10
Всхожесть семян данного сорта растений равна 80%. Найти вероятность того, что из 5 посеянных семян: а) взойдет не менее 4; б) точно 3.
Задача 6.10
Дискретная случайная величина Х задана законом распределения. Вычислить неизвестную вероятность , математическое ожидание и дисперсию случайной величины. Найти функцию распределения и построить ее график.
-2 0 5 10
0,15
0,2 0,3
Задача 7.10
Случайная величина задана функцией распределения . Найти: а) плотность распределения , б) математическое ожидание , в) дисперсию , г) вероятность . Построить графики и .
, , .
Задача 8.10
Диаметр деталей, изготовленных цехом, является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Математическое ожидание равно 2,5, а дисперсия – 0,0001. В каких границах можно практически гарантировать диаметр детали (за достоверное принимается событие, вероятность которого равна 0,9973)?
Задача 9.10
Дан совместный закон распределения двумерной случайной величины . Найти закон распределения случайной величины , математическое ожидание и условное математическое ожидание при .
-1 2 3
-2 0,1 0,2 0
0 0,05 0,4 0,25
Задача 10.10
Постройте вариационный ряд, гистограмму, полигон, кумулятивную кривую. Вычислите выборочную среднюю, моду, медиану, выборочную дисперсию, среднеквадратичное отклонение, асимметрию и эксцесс.
Результаты исследования объема работ текущего ремонта (%):
70; 20; 125; 30; 35; 40; 115; 115; 95; 100; 30; 70; 10; 15; 120; 140; 115; 135;
38; 42; 95; 10; 10; 15; 30; 135; 140; 115; 110; 120; 110; 115; 95; 40; 35; 48;
45; 40; 10; 20; 45; 25; 110; 125; 120; 135; 60; 70; 40; 50; 45; 40; 55; 40; 10;
25; 100; 140; 125; 125; 115; 100; 118; 112; 110; 38; 25; 18; 15; 30; 35; 95;
85; 70; 65; 30; 15; 35; 120; 125; 100; 35; 40; 140; 100; 30; 45; 56; 68; 72; 65;
40; 35; 80; 40; 100; 110; 112
Задача 11.10
Дано статистическое распределение выборки (в первой строке указаны выборочные варианты , а во второй строке – соответственные частоты количественного признака ). Найти:
1) выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное среднеквадратичное отклонение;
2) доверительные интервалы для оценки неизвестного математического ожидания с заданной надежностью , считая дисперсию известной и равной .
Пользуясь критерием Пирсона, при уровне значимости 0,05 установить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности с данными выборки.
105 110 115 120 125 130 135
4 6 10 30 30 15 5
Задача 12.10
Даны результаты 10 наблюдений величин Х и У. Найти выборочные уравнения прямых линий регрессии У на Х, Х на У, вычислить выборочный коэффициент корреляции . Сделать чертеж.
х -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
у -5,5 -4,7 -3,4 -2,9 -0,6 -0,4 1,6 2,3 3,1 4,8
Задача 13.10
Дана матрица вероятностей перехода цепи Маркова Р и распределение вероятностей по состояниям в момент времени . Найти:
1) распределение вероятностей по состояниям в моменты и ;
2) стационарное распределение вероятностей .
;
Задача 14.10
Задана матрица А интенсивностей переходов Марковского процесса с непрерывным временем. Составить размеченный граф состояний, соответствующий матрице А; составить систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний; найти предельное распределение вероятностей.
Задача 15.10
Вход на станцию метро оборудован системой из k турникетов. При выходе из строя одного из турникетов остальные продолжают нормально функционировать. Вход на станцию перекрывается, если выйдут из строя все турникеты. Поток отказов каждого турникета – простейший, среднее время безотказной работы одного турникета t часов. Время ремонта распределено по показательному закону и в среднем составляет s часов. В начальный момент все турникеты исправны. Используя формулы Эрланга, найти предельное распределение вероятностей состояния системы. Найти среднюю пропускную способность системы турникетов в процентах от номинальной, если с выходом из строя каждого турникета система теряет своей номинальной пропускной способности.
k = 4, t = 78, s =
Список использованной литературы
Список использованных источников
1. Вентцель, Е. С. Задачи и упражнения по теории вероятностей: учеб. пособие для втузов / Е. С. Вентцель, Л. А. Овчаров. – 7-е изд., стер. – М.: Высш. шк., 2010. – 448 с.
2. Вентцель, Е. С. Теория вероятностей: учебник для вузов / Е. С. Вентцель. – 12-е изд., стер. – М.: КноРус, 2010. – 575 с.
3. Гмурман, В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: учеб. пособие / В. Е. Гмурман. –11-е изд., перераб. – М.: Высш. образование, 2006. – 404 с.
4. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие / В. Е. Гмурман. – 12-е изд., перераб. – М.: Высш. образование, 2006. – 479 с.
5. Гнеденко, Б. В. Курс теории вероятностей: учебник / Б. В. Гнеденко. – 10-е изд., доп. – М.: Либроком, 2011. – 488 с.