Комплексный Методический План: Пошаговое Решение Контрольных Работ по Теории Вероятностей и Математической Статистике

Ежегодно тысячи студентов технических, экономических и естественнонаучных специальностей сталкиваются с необходимостью решения комплексных задач по Теории Вероятностей и Математической Статистике. Часто это требует не только глубоких знаний предмета, но и строгого соблюдения академических стандартов оформления, что, к сожалению, упускается во многих доступных источниках. Наш методический мануал призван заполнить этот пробел, предоставляя исчерпывающее руководство по выполнению и оформлению контрольных работ, соответствующих самым высоким университетским требованиям.

Введение: Цель, Структура и Академические Требования к Оформлению

Цель данного методического мануала — предоставить студентам детальный, пошаговый план для успешного выполнения контрольных работ №1 (Теория Вероятностей) и №2 (Математическая Статистика). Это не просто сборник решений, а интегрированный подход, который охватывает теоретические обоснования, практические вычисления и строгие правила оформления. Материал структурирован таким образом, чтобы читатель мог последовательно освоить каждый этап, от выбора правильной формулы до интерпретации полученных результатов и их графического представления. Мы стремимся обеспечить не только правильность ответов, но и понимание логики каждого шага, что критически важно для развития аналитических навыков, способствующих глубокому осмыслению предмета, а не простому заучиванию.

Принципы Оформления

Академическая работа, особенно в области математики, требует безупречной точности не только в расчетах, но и в их представлении. Исходные данные должны быть четко обозначены, а все преобразования и формулы — явно прописаны. Использование стандартной математической нотации, например, через HTML-сущности для верхних и нижних индексов или специальных символов (Σ, ≥), обеспечивает универсальность и читаемость. Округление промежуточных и конечных результатов должно производиться согласно общепринятым правилам математической статистики, чтобы избежать накопления ошибок и обеспечить сопоставимость с табличными значениями. Любое отклонение от этих принципов может привести к недопониманию или даже к снижению оценки, несмотря на верное решение по сути, что подчёркивает важность скрупулёзного подхода к каждой детали.

Часть I. Теория Вероятностей (КР №1): Деконструкция Задач и Методы Решения

Первая часть нашей контрольной работы погружает нас в мир неопределенности, где мы учимся количественно измерять шансы и анализировать последствия случайных событий. Здесь мы последовательно применяем классические теоремы, чтобы деконструировать сложные вероятностные сценарии и получить осмысленные выводы. Это позволяет не только решить конкретную задачу, но и развить интуицию для работы с неопределенностью в реальном мире.

Задача 1: Анализ Гипотез (Формула Полной Вероятности и Байеса)

Представьте себе ситуацию, когда результат эксперимента зависит от нескольких скрытых условий, или «гипотез», каждая из которых имеет свою собственную вероятность. Например, качество произведенной продукции может зависеть от используемого оборудования (Гипотеза H₁) или квалификации оператора (Гипотеза H₂). Именно для таких сценариев разработаны Формула полной вероятности и Формула Байеса.

Формула полной вероятности позволяет определить вероятность наступления события A, которое может произойти только при выполнении одной из взаимоисключающих гипотез H₁, H₂, …, H_n, образующих полную группу. Это выглядит как взвешенное среднее условных вероятностей, где весами выступают априорные вероятности гипотез.

P(A) = Σni=1 P(Hi) ⋅ P(A|Hi)

Здесь P(Hi) — это априорные, то есть доопытные, вероятности каждой гипотезы (насколько вероятно, что именно эта гипотеза верна до начала эксперимента). P(A|Hi) — это условные вероятности события A при условии, что гипотеза H_i истинна.

После того как событие A произошло, мы получаем новую информацию. Эта информация позволяет нам «переоценить» наши первоначальные убеждения о вероятности каждой гипотезы. Именно для этого служит Формула Байеса. Она позволяет рассчитать апостериорную (послеопытную) вероятность P(Hk|A) того, что гипотеза H_k верна, при условии, что событие A уже произошло:

P(Hk|A) = (P(Hk) ⋅ P(A|Hk)) / P(A)

Применение Формулы Байеса начинается с четкой записи всех известных априорных вероятностей гипотез (P(Hi)) и условных вероятностей события A при каждой гипотезе (P(A|Hi)). Далее последовательно вычисляется полная вероятность события A, после чего для каждой интересующей нас гипотезы применяется формула Байеса. Этот процесс является краеугольным камнем в задачах диагностики, классификации и принятия решений в условиях неопределенности, что позволяет принимать более обоснованные решения в условиях неполной информации.

Пример: Допустим, у нас есть две гипотезы: H₁ (деталь произведена на станке А) и H₂ (деталь произведена на станке Б). Известно, что P(H1) = 0.6, P(H2) = 0.4. Вероятность брака (событие A) для станка А P(A|H1) = 0.01, для станка Б P(A|H2) = 0.05.

1. Полная вероятность брака:
   P(A) = P(H1) ⋅ P(A|H1) + P(H2) ⋅ P(A|H2) = 0.6 ⋅ 0.01 + 0.4 ⋅ 0.05 = 0.006 + 0.02 = 0.026.
2. Апостериорная вероятность: Если обнаружена бракованная деталь, какова вероятность, что она со станка А?
   P(H1|A) = (P(H1) ⋅ P(A|H1)) / P(A) = (0.6 ⋅ 0.01) / 0.026 = 0.006 / 0.026 ≈ 0.231.

   Это показывает, что несмотря на то, что станок А производит больше деталей, найденная бракованная деталь с большей вероятностью могла быть произведена на станке Б, так как вероятность брака на нем выше. Это важнейший вывод для принятия управленческих решений, например, для целевого аудита качества на станке Б.

Задачи 2-3: Схема Бернулли и Критерии Выбора Распределения

Когда мы имеем дело с серией независимых испытаний, где каждый исход может быть либо «успехом», либо «неудачей» (например, подбрасывание монеты, проверка качества продукции), мы попадаем в область схемы Бернулли. Однако выбор конкретного закона распределения для расчета вероятностей зависит от параметров этих испытаний.

Биномиальное распределение является основой для схемы Бернулли, если число испытаний n относительно невелико, а вероятность успеха p не слишком близка к 0 или 1. Оно позволяет вычислить вероятность ровно k успехов в n испытаниях:

Pn(k) = Ckn ⋅ pk ⋅ qn-k

где Ckn = n! / (k!(n-k)!) — число сочетаний, p — вероятность успеха, q = 1 - p — вероятность неудачи. Математическое ожидание M(X) = n ⋅ p, а дисперсия D(X) = n ⋅ p ⋅ q.

Приближение Пуассона становится актуальным, когда число испытаний n велико, а вероятность успеха p очень мала. В таких условиях, когда редкие события происходят в большом количестве испытаний (например, число дефектов на большом производстве), произведение λ = n ⋅ p остается примерно постоянным. Формула Пуассона упрощает расчет:

Pλ(k) = (λk / k!) ⋅ e-λ

Это приближение особенно удобно, когда прямое биномиальное вычисление становится громоздким, значительно упрощая расчёты без потери точности.

Нормальное приближение (Теоремы Муавра-Лапласа) используется, когда число испытаний n достаточно велико (как правило, n > 30), а вероятность p не является крайне малой или крайне большой (то есть, не близка к 0 или 1). Критическим условием для корректного применения этих теорем является выполнение неравенства n ⋅ p ⋅ q ≥ 20. Это условие гарантирует, что распределение уже достаточно симметрично и колоколообразно, чтобы быть аппроксимированным нормальным, что позволяет использовать аппарат нормального распределения для сложных расчётов.

• Локальная теорема Муавра-Лапласа используется для расчета вероятности наступления ровно k успехов:
  Pn(k) ≈ (1 / √(n p q)) ⋅ φ(x), где x = (k - n p) / √(n p q). Функция φ(x) — это функция плотности стандартного нормального распределения.
• Интегральная теорема Муавра-Лапласа применяется для расчета вероятности попадания числа успехов в определенный интервал [k1, k2]:
  P(k1 ≤ k ≤ k2) ≈ Φ(x2) - Φ(x1), где Φ(x) — функция Лапласа (функция распределения стандартного нормального распределения), а xi = (ki - n p) / √(n p q).

Методологический выбор между этими тремя распределениями является ключевым шагом. Он определяется не только численным значением n и p, но и проверкой условия n ⋅ p ⋅ q ≥ 20 для нормального приближения, или устойчивостью произведения n ⋅ p для приближения Пуассона. Четкое обоснование выбора — залог академической корректности, подтверждающее глубокое понимание предмета и исключающее ошибочные выводы.

Задача 4: Совместное Распределение Дискретных Величин

Иногда нам необходимо анализировать не одну, а несколько случайных величин одновременно, особенно когда они взаимодействуют друг с другом. В этой задаче мы рассмотрим, как построить закон распределения для новой случайной величины Z, которая является произведением двух других дискретных случайных величин X и Y.

Пусть X и Y — дискретные случайные величины, заданные своими законами распределения (таблицами значений и соответствующих вероятностей). Для того чтобы составить закон распределения произведения Z = X ⋅ Y, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить все возможные значения Z: Перемножить каждое возможное значение xi из распределения X на каждое возможное значение yj из распределения Y. Полученные произведения zij = xi ⋅ yj составят множество возможных значений для Z.
2. Вычислить соответствующие вероятности: Для каждого zij необходимо найти вероятность P(Z = zij). Если X и Y независимы, то P(X = xi, Y = yj) = P(X = xi) ⋅ P(Y = yj). Если несколько пар (xi, yj) дают одно и то же значение z, то их вероятности суммируются.

Критический Тезис: Проверка независимости через свойство математического ожидания.
Одним из фундаментальных свойств независимых случайных величин является то, что математическое ожидание их произведения равно произведению их математических ожиданий:

M(X ⋅ Y) = M(X) ⋅ M(Y)

Эта формула является мощным инструментом для проверки независимости. Если это равенство выполняется, это сильное доказательство в пользу независимости X и Y, что упрощает дальнейший анализ и моделирование их поведения.

Для проверки необходимо:

1. Вычислить M(X): M(X) = Σ xi ⋅ P(X = xi)
2. Вычислить M(Y): M(Y) = Σ yj ⋅ P(Y = yj)
3. Вычислить M(Z): M(Z) = Σ zij ⋅ P(Z = zij) (из полученного закона распределения Z).
4. Сравнить M(X) ⋅ M(Y) и M(Z). Если они равны, свойство подтверждено, что косвенно указывает на независимость (или по крайней мере, на выполнение этого свойства).

Таблица 1: Пример закона распределения для X и Y

X	P(X)	Y	P(Y)
1	0.5	2	0.4
3	0.5	4	0.6

Таблица 2: Расчет значений Z = X ⋅ Y и их вероятностей

X	Y	Z = X⋅Y	P(X)⋅P(Y) = P(Z)
1	2	2	0.5 ⋅ 0.4 = 0.2
1	4	4	0.5 ⋅ 0.6 = 0.3
3	2	6	0.5 ⋅ 0.4 = 0.2
3	4	12	0.5 ⋅ 0.6 = 0.3

Таблица 3: Закон распределения Z

Z	P(Z)
2	0.2
4	0.3
6	0.2
12	0.3

Теперь проверим свойство M(Z) = M(X)M(Y):

M(X) = 1 ⋅ 0.5 + 3 ⋅ 0.5 = 0.5 + 1.5 = 2
M(Y) = 2 ⋅ 0.4 + 4 ⋅ 0.6 = 0.8 + 2.4 = 3.2
M(X) ⋅ M(Y) = 2 ⋅ 3.2 = 6.4
M(Z) = 2 ⋅ 0.2 + 4 ⋅ 0.3 + 6 ⋅ 0.2 + 12 ⋅ 0.3 = 0.4 + 1.2 + 1.2 + 3.6 = 6.4

Поскольку M(Z) = M(X) ⋅ M(Y) = 6.4, свойство подтверждено, что указывает на независимость X и Y. Этот результат не просто констатация факта, а основа для дальнейшего упрощения статистического моделирования этих величин.

Задача 5: Числовые Характеристики Непрерывной Случайной Величины (НСВ)

В отличие от дискретных величин, которые принимают отдельные значения, непрерывные случайные величины (НСВ) могут принимать любые значения в некотором интервале. Например, время ожидания автобуса, рост человека или температура — все это НСВ. Для их описания используются функция распределения F(x) и функция плотности вероятности f(x).

Функция распределения F(x) определяет вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее или равное x: P(X ≤ x). Она является неубывающей функцией, F(-∞) = 0 и F(+∞) = 1.
Функция плотности вероятности f(x) является производной от функции распределения:

f(x) = F'(x)

Эта функция описывает, как «плотно» распределены вероятности по числовой оси. Важно помнить, что f(x) ≥ 0 для всех x, и интеграл от f(x) по всей области определения равен 1 (условие нормировки).

Вычисление математического ожидания M(X) и дисперсии D(X):
Для НСВ эти числовые характеристики вычисляются с помощью определенных интегралов:

• Математическое ожидание M(X) (среднее значение):
  M(X) = ∫+∞-∞ x ⋅ f(x) d x
• Дисперсия D(X) (мера разброса значений вокруг среднего):
  D(X) = ∫+∞-∞ (x - M(X))2 ⋅ f(x) d x
  Для упрощения расчетов часто используется другая формула:
  D(X) = M(X2) - (M(X))2
  где M(X2) = ∫+∞-∞ x2 ⋅ f(x) d x.

Расчет вероятности попадания НСВ в заданный интервал:
Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет значение в интервале (a, b), можно найти двумя способами:

1. Через функцию распределения:
   P(a < X < b) = F(b) - F(a)
2. Через функцию плотности вероятности:
   P(a < X < b) = ∫ba f(x) d x

Эти расчеты позволяют не только понять центральную тенденцию и разброс НСВ, но и предсказывать вероятности наступления событий в определенных диапазонах. Это имеет прямое практическое применение, например, при оценке рисков или планировании ресурсов.

Часть II. Математическая Статистика (КР №2): Оценивание, Проверка Гипотез и Регрессия

Во второй части мы переходим от теоретических абстракций к работе с реальными данными. Здесь мы учимся извлекать информацию из выборок, строить статистические оценки, проверять наши предположения о генеральной совокупности и выявлять взаимосвязи между переменными. Это практический фундамент для принятия решений на основе эмпирических данных.

Задача 1: Доверительные Интервалы и Объем Выборки

В статистике мы редко имеем дело со всей генеральной совокупностью, чаще всего у нас есть лишь выборка из нее. Наша задача — использовать эту выборку для получения надежных оценок параметров генеральной совокупности, таких как среднее значение или доля. Однако точечная оценка (например, выборочное среднее) сама по себе не дает представления о точности. Здесь на помощь приходят доверительные интервалы.

Доверительный интервал для среднего значения генеральной совокупности (μ):
Когда дисперсия генеральной совокупности неизвестна, а объем выборки n невелик (или используется выборочное стандартное отклонение s), мы полагаемся на t-распределение Стьюдента. Доверительный интервал строится по формуле:

&bar;x ± tγ, n-1 ⋅ (s / √n)

где &bar;x — выборочное среднее, s — выборочное стандартное отклонение, n — объем выборки, а tγ, n-1 — это критическое значение t-распределения, которое находится по таблицам для заданного уровня доверия γ (или уровня значимости α = 1 - γ) и числа степеней свободы ν = n-1.

Доверительный интервал для генеральной доли p:
Если мы оцениваем долю какого-либо признака в генеральной совокупности (например, долю бракованных изделий), и объем выборки n достаточно велик, мы можем использовать нормальное приближение. Доверительный интервал для доли строится следующим образом:

&hat;p ± Zγ ⋅ √(&hat;p(1 - &hat;p) / n)

где &hat;p — выборочная доля, n — объем выборки, а Zγ — критическое значение стандартного нормального распределения (Z-критерий), которое определяется для заданного уровня доверия γ.

Закрытие слепой зоны: Расчет минимального объема выборки n.
Прежде чем проводить исследов��ние, крайне важно определить, сколько наблюдений нам потребуется для получения оценок с заданной точностью и надежностью. Недооценка этого шага может привести к неточным или бесполезным результатам.

• Для оценки среднего значения μ с предельной ошибкой ε и доверительной вероятностью γ:
  n = (Zγ ⋅ σ / ε)2
  Здесь σ — генеральное стандартное отклонение (если неизвестно, можно использовать предварительную оценку или максимальное значение). Zγ — критическое значение Z-критерия.
• Для оценки генеральной доли p с предельной ошибкой ε и доверительной вероятностью γ:
  n = (Zγ2 ⋅ &hat;p(1 - &hat;p)) / ε2
  Важный момент: если выборочная доля &hat;p заранее неизвестна, для получения максимального и гарантированного объема выборки рекомендуется принять &hat;p = 0.5. В этом случае произведение &hat;p(1 - &hat;p) = 0.25, что максимизирует числитель и, соответственно, объем выборки, гарантируя заданную точность вне зависимости от истинного значения доли. Это критично для избежания невалидных выводов из исследования.

Задача 2: Проверка Гипотезы о Законе Распределения (χ²-Пирсона)

Часто перед началом статистического анализа данных нам нужно убедиться, что наши выборочные данные согласуются с каким-либо предполагаемым теоретическим законом распределения (например, нормальным, экспоненциальным или равномерным). Для этого используется критерий согласия χ²-Пирсона. Он позволяет проверить нулевую гипотезу H0: «эмпирическое распределение выборки соответствует предполагаемому теоретическому закону».

Алгоритм проверки гипотезы χ²-Пирсона:

1. Группировка данных: Исходные данные разбиваются на k интервалов (разрядов). Для каждого интервала подсчитывается эмпирическая частота ni — число наблюдений, попавших в этот интервал.
2. Расчет выборочных параметров: Если параметры теоретического распределения (например, среднее и стандартное отклонение для нормального распределения) неизвестны, они оцениваются по выборочным данным (&bar;x, s).
3. Вычисление теоретических частот n’_i: Для каждого интервала вычисляется теоретическая (ожидаемая) частота n'i, которая показывает, сколько наблюдений должно было бы попасть в этот интервал, если бы нулевая гипотеза была верна. Это делается путем умножения общего объема выборки n на вероятность попадания в интервал, рассчитанную по предполагаемому теоретическому закону.
4. Критический Тезис: Обязательная проверка условия n'i ≥ 5. Это одно из важнейших условий корректного применения критерия χ2. Если в каком-либо интервале теоретическая частота n'i оказывается меньше 5, необходимо объединить этот интервал с соседним, чтобы обеспечить соблюдение условия. В противном случае результаты проверки будут некорректными, что сделает все последующие выводы недостоверными.
5. Расчет наблюдаемого значения критерия χ²_набл:
   χ2набл = Σki=1 (ni - n'i)2 / n'i
   Эта статистика измеряет «расстояние» между эмпирическими и теоретическими частотами.
6. Определение числа степеней свободы ν: Для сложной гипотезы (когда параметры распределения оцениваются по выборке) число степеней свободы рассчитывается как:
   ν = k - r - 1
   где k — число интервалов после возможного объединения, r — число оцененных параметров теоретического распределения (например, для нормального распределения r=2, поскольку оцениваются среднее и стандартное отклонение).
7. Сравнение с критическим значением: По таблицам χ2-распределения для заданного уровня значимости α и числа степеней свободы ν находится критическое значение χ2крит.
8. Принятие решения:
   • Если χ2набл < χ2крит, то нулевая гипотеза H0 принимается: нет статистически значимых оснований отвергать предположение о том, что выборка соответствует выбранному теоретическому закону распределения.
   • Если χ2набл ≥ χ2крит, то нулевая гипотеза H0 отвергается: имеются статистически значимые различия между эмпирическим и теоретическим распределениями, что требует пересмотра исходных предположений о данных.

Задача 3: Корреляционно-Регрессионный Анализ

Часто в данных нас интересует не только описание отдельных переменных, но и взаимосвязи между ними. Корреляционно-регрессионный анализ позволяет количественно оценить тесноту и направление связи, а также построить модель для предсказания одной переменной на основе другой.

Линейный коэффициент корреляции Пирсона r_xy — это числовая мера, которая показывает степень и направление линейной связи между двумя количественными признаками X и Y. Значение rxy находится в диапазоне от -1 до +1. Чем ближе |rxy| к 1, тем сильнее линейная связь. Положительное значение указывает на прямую связь, отрицательное — на обратную.

Вычисление выборочных статистик по корреляционной таблице:
Для сгруппированных данных (корреляционной таблицы) сначала необходимо вычислить выборочные средние (&bar;x, &bar;y), дисперсии (s2x, s2y) и стандартные отклонения (sx, sy) для обеих переменных. Это делается с учетом частот попадания в интервалы.

Построение эмпирических линий регрессии:
Эмпирические линии регрессии отображают среднюю зависимость одной переменной от другой.

• Эмпирическая линия регрессии Y на X строится по групповым средним &bar;yx. Каждая точка (&bar;xi, &bar;yxi) на графике представляет среднее значение Y для каждого интервала X.
• Эмпирическая линия регрессии X на Y строится аналогично по групповым средним &bar;xy.

Нахождение уравнений прямых регрессии:

• Уравнение выборочной прямой регрессии Y на X: Это уравнение позволяет предсказать значение &hat;y (ожидаемое значение Y) при заданном значении X.
  &hat;y - &bar;y = rxy ⋅ (sy / sx) ⋅ (&hat;x - &bar;x)
  Здесь sy/sx — отношение стандартных отклонений, rxy — коэффициент корреляции.
• Уравнение выборочной прямой регрессии X на Y: Аналогично, для предсказания &hat;x (ожидаемое значение X) при заданном значении Y.
  &hat;x - &bar;x = rxy ⋅ (sx / sy) ⋅ (&hat;y - &bar;y)

Критический Тезис: Проверка статистической значимости коэффициента корреляции rxy.
Даже если мы рассчитали коэффициент корреляции, он может оказаться случайным и не отражать реальную связь в генеральной совокупности. Для проверки значимости rxy используется t-критерий Стьюдента:

tнабл = (|rxy| ⋅ √(n-2)) / √(1 - rxy2)

где n — объем выборки.

Далее сравниваем tнабл с критическим значением tкрит из таблицы t-распределения для заданного уровня значимости α и числа степеней свободы ν = n-2.

• Если tнабл > tкрит, то коэффициент корреляции признается статистически значимым. Нулевая гипотеза об отсутствии линейной связи (H0: rxy = 0) отвергается. Это означает, что наблюдаемая связь не является случайной, а отражает реальное взаимодействие между переменными, что критично для построения надёжных моделей.
• Если tнабл ≤ tкрит, то коэффициент корреляции не является статистически значимым, и мы не можем отвергнуть гипотезу об отсутствии линейной связи, что указывает на отсутствие статистически подтверждённой взаимосвязи.

Оценка тесноты связи через коэффициент детерминации R².
Коэффициент детерминации (R-квадрат) — это одна из наиболее важных мер качества регрессионной модели. Он показывает, какую долю общей вариации зависимой переменной Y объясняет построенная регрессионная модель. Для парной линейной регрессии R2 равен квадрату коэффициента корреляции Пирсона:

R2 = rxy2

Например, если R2 = 0.64, это означает, что 64% вариации Y объясняется изменением X, а оставшиеся 36% объясняются другими факторами или случайностью. Понимание этого коэффициента позволяет оценить прогностическую силу модели и выявить области для дальнейшего исследования неучтенных факторов.

Заключение: Графическое Представление Результатов и Финальные Выводы

В завершение нашей комплексной работы, необходимо подвести итоги и визуализировать полученные аналитические выводы. Графики не только облегчают понимание сложных статистических закономерностей, но и являются обязательным элементом академического оформления, позволяющим наглядно продемонстрировать соответствие эмпирических данных теоретическим моделям.

По итогам Части I (Теория Вероятностей) и Части II (Математическая Статистика) мы достигли основной цели: деконструировали комплексное учебное задание и разработали детальный, методически корректный план его пошагового решения. Мы рассмотрели методы оценки априорных и апостериорных вероятностей с помощью Формулы Байеса, изучили нюансы выбора между Биномиальным, Пуассоновским и Нормальным распределениями для схемы Бернулли, а также научились строить законы распределения для произведения дискретных случайных величин, подтверждая их независимость через математическое ожидание. Для непрерывных случайных величин мы освоили вычисление ключевых числовых характеристик и вероятностей попадания в интервалы.

В области математической статистики мы построили доверительные интервалы для средних и долей, а также определили необходимый объем выборки для достижения заданной точности, устранив «слепую зону» путем рекомендации использования &hat;p=0.5 для оценки доли при отсутствии предварительных данных. Особое внимание было уделено проверке гипотезы о законе распределения с помощью критерия χ2-Пирсона, включая обязательную проверку условия n'i ≥ 5. Наконец, мы провели полный корреляционно-регрессионный анализ, построив эмпирические и теоретические линии регрессии, оценив значимость коэффициента корреляции и тесноту связи через коэффициент детерминации.

Закрытие слепой зоны: Подробная инструкция по созданию необходимых графических иллюстраций.
Для каждой задачи, где это применимо, необходимо подготовить графики:

1. Для проверки гипотезы о законе распределения (χ²-Пирсона):
   • Построить гистограмму эмпирических частот, используя интервалы, на которые были разбиты данные.
   • На ту же гистограмму наложить теоретическую нормальную кривую (или кривую другого предполагаемого распределения), построенную на основе оцененных параметров. Это позволит визуально оценить степень согласия эмпирических данных с теоретическим распределением. График должен быть снабжен осями, подписями и легендой.
2. Для корреляционно-регрессионного анализа:
   • Создать диаграмму рассеяния (scatterplot) для исходных данных X и Y. Каждая точка на графике будет соответствовать паре значений (xi, yi).
   • Нанести на этот же график эмпирические линии регрессии (по групповым средним &bar;yx и &bar;xy).
   • Добавить теоретические прямые регрессии Y на X и X на Y, построенные по найденным уравнениям. Это позволит сравнить, насколько хорошо линейная модель описывает фактические зависимости. Графики должны быть четкими, с обозначениями осей, единиц измерения и легендой.

Интерпретация этих графиков в тексте работы должна быть столь же тщательной, как и числовые расчеты. Визуальное подтверждение или опровержение гипотез, а также оценка адекватности моделей, усиливает аналитическую ценность работы и демонстрирует полное владение методологией.

Таким образом, представленный методический план является всеобъемлющим руководством, которое обеспечивает не только корректность математических расчетов, но и полное соответствие академическим требованиям по оформлению и интерпретации результатов.

Список использованной литературы

1. Губарь, Л. Н., Ермоленко, А. В. Теория вероятностей и математическая статистика: учебное пособие. Сыктывкар: Изд-во СГУ имени Питирима Сорокина, 2015. 120 с.
2. Критерий корреляции Пирсона. URL: https://medstatistic.ru/articles/kriterij-korrelyatsii-pirsona.html (дата обращения: 06.10.2025).
3. Оценка статистической значимости парного линейного коэффициента корреляции с помощью t-критерия Стьюдента. URL: https://bstudy.net/603403/statistika/otsenka_statisticheskoy_znachimosti_parnogo_lineynogo_koeffitsienta_pomoschyu_kriteriya_styudenta (дата обращения: 06.10.2025).
4. Доверительный интервал средней при неизвестной дисперсии. URL: https://cyclowiki.org/wiki/%D0%94%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B2%D0%B0%D0%BB_%D1%81%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BD%D0%B5%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%B8_%D0%BD%D0%B5%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%B4%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%B5%D1%80%D1%81%D0%B8%D0%B8 (дата обращения: 06.10.2025).
5. Построение доверительного интервала для доли признака в генеральной совокупности. URL: https://studfile.net/preview/4300438/page:12/ (дата обращения: 06.10.2025).
6. Критерий хи-квадрат Пирсона: что это такое и как рассчитать. URL: https://www.calltouch.ru/blog/kriteriy-khi-kvadrat-pirsona/ (дата обращения: 06.10.2025).
7. Считаем доверительные интервалы для долей и медианы по нормальному распределению (готовимся к собесу на Аналитика). URL: https://habr.com/ru/articles/785002/ (дата обращения: 06.10.2025).
8. Определение минимального объема выборки. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/opredelenie-minimalnogo-obema-vyborki (дата обращения: 06.10.2025).
9. Методы определения минимально необходимого объема выборки в медицинских исследованиях. URL: https://mednet.ru/publication/metody-opredeleniya-minimalno-neobhodimogo-obema-vyborki-v-meditsinskih-issledovaniyah/ (дата обращения: 06.10.2025).
10. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий. URL: https://studfile.net/preview/3494576/page:13/ (дата обращения: 06.10.2025).
11. Доверительный интервал для генеральной средней и генеральной доли по большим выборкам. URL: https://studfile.net/preview/2607590/page:2/ (дата обращения: 06.10.2025).
12. Функция распределения и плотность вероятности. Числовые характеристики непрерывной случайной величины. URL: http://portal.tpu.ru/SHARED/g/GVF/ucheba/Tab3/metodichka.pdf (дата обращения: 06.10.2025).
13. Числовые характеристики непрерывной случайной величины. Функция распределения и плотность вероятности. URL: https://matem96.ru/teorver/chislovye-harakteristiki-nepreryvnoi-sluchaynoi-velichiny-funktsiya-raspredeleniya-i-plotnost-veroyatnosti.html (дата обращения: 06.10.2025).
14. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Примеры решений. URL: http://old.kpfu.ru/f7/bin_files/5.%20Формула%20полной%20вероятности.pdf (дата обращения: 06.10.2025).
15. Критерий хи-квадрат Пирсона. URL: https://lit-review.ru/kriterij-hi-kvadrat-pirsona/ (дата обращения: 06.10.2025).
16. Уравнение линейной регрессии Y на X. Примеры решений. URL: https://mathter.pro/teoriya-veroyatnostej/linejnaya-regressiya-y-na-x/ (дата обращения: 06.10.2025).
17. Биномиальное распределение. URL: https://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%91%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%80%D0%B0%D1%81%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5 (дата обращения: 06.10.2025).
18. Критерий согласия Пирсона. URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B9_%D1%81%D0%BE%D0%B3%D0%BB%D0%B0%D1%81%D0%B8%D1%8F_%D0%9F%D0%B8%D1%80%D1%81%D0%BE%D0%BD%D0%B0 (дата обращения: 06.10.2025).
19. Критерий Хи-квадрат. URL: https://kpfu.ru/docs/F402030615/Statistika.pdf (дата обращения: 06.10.2025).
20. Формулы Бернулли, Пуассона и Муавра-Лапласа. URL: https://studfile.net/preview/4300438/page:14/ (дата обращения: 06.10.2025).
21. Числовые характеристики непрерывной случайной величины. URL: https://www.mrsu.ru/ru/info/file/uchebnye/TV_2_2.pdf (дата обращения: 06.10.2025).
22. Непрерывная случайная величина для «чайников». URL: https://mathprofi.ru/nepreryvnaya_sluchaynaya_velichina.html (дата обращения: 06.10.2025).
23. Теорема Пуассона. URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%9F%D1%83%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%BE%D0%BD%D0%B0 (дата обращения: 06.10.2025).
24. Уравнение линейной регрессии X на Y. URL: https://mathter.pro/teoriya-veroyatnostej/linejnaya-regressiya-x-na-y/ (дата обращения: 06.10.2025).
25. Выборочное уравнение линейной регрессии y на X и X на y. URL: https://studfile.net/preview/4300438/page:18/ (дата обращения: 06.10.2025).
26. Локальная теорема Муавра — Лапласа. URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%9C%D1%83%D0%B0%D0%B2%D1%80%D0%B0_%E2%80%94_%D0%9B%D0%B0%D0%BF%D0%BB%D0%B0%D1%81%D0%B0 (дата обращения: 06.10.2025).