Содержание
1. Найдите максимальную линейно независимую подсистему системы квадратичных форм {2x^2-xy+2y^2, 2xy-4x^2-4y^2, xy-2x^2+y^2, 3xy-6x^2, 2x^2-xy+5y^2} и выразите каждый из остальных квадратичных форм из этой системы в виде линейной комбинации квадратичных форм из выбранной максимально независимой подсистемы.
2. Пусть U линейное пространство функций, задаваемых выражениями вида Сe^x+De^-x+Ee^2x+Fe^3x+Ge^4x, где C,D,E,F,G — произвольные вещественные числа. Подмножество Vсостоит из таких функций y(x) из U, что 2(e^-x+e^4x)y»-(4e^-x+3e^4x)y’-6e^-xy=0. Положим W=shx. Докажите, что V — подпространство и задайте его системой линейных однородных уравнений. Найдите ФСР этой системы и базис этого подпространства. Найдите сумму и пересечение подпространств V и W.
3. Перепишите матричное уравнение
2 -1 -3 1 4 2 1 х1 0
4 -1 -5 3 8 3 4 х2 0
2 -3 -5 -3 2 2-3 х3 0
2 -2 -4 -2 2 -1 1 х4 0
4 0 -4 6 10 5 5 х5 0
х6 0
х7 0
в виде системы однородных линейных уравнений. Найдите фундаментальную систему решений, фундаментальную матрицу и общее решение этой системы уравнений.
4. Задача о линейном пространсве многочленов. Найти матрицу перехода, найти в базисах координаты векторов и проверить равенство.
5. Задача об евклидовом пространстве квадратичных форм. Найти матрицу Грама, с помощью процесса ортогонализации Грама-Шмидта преобразовать базис в ортонормированный, найти ортогональное дополнение.