Подробный план выполнения контрольной работы по ТАУ: От структурных схем до критерия Найквиста

Понимание принципов функционирования и проектирования систем автоматического управления (САУ) является краеугольным камнем для любого инженера-автоматчика. Без освоения этих основ невозможно создавать эффективные, стабильные и надежные автоматизированные комплексы – от бытовой техники до промышленных роботов и космических аппаратов.

Данное руководство призвано стать вашим надежным проводником в мире ТАУ, представляя собой исчерпывающую пошаговую инструкцию по выполнению ключевых задач контрольной работы. Мы рассмотрим все этапы: от преобразования сложных структурных схем до глубокого анализа устойчивости по критерию Найквиста и оценки запасов надежности. Главная цель – не просто предоставить «правильные ответы», а дать глубокое понимание каждого шага, логики и взаимосвязи теоретических положений с практическим применением. Только такой подход позволит вам не только успешно справиться с текущей контрольной, но и заложить прочный фундамент для дальнейшей профессиональной деятельности.

Теоретические основы систем автоматического управления

Прежде чем погружаться в дебри расчетов и преобразований, необходимо укрепить фундамент – разобраться в базовых понятиях, на которых строится вся теория автоматического управления. Это подобно изучению алфавита перед тем, как читать сложные тексты: каждый термин, каждая концепция имеет свое точное значение и играет определенную роль в общей картине, позволяя студенту точно интерпретировать и применять сложные инженерные концепции.

Что такое система автоматического управления (САУ) и её элементы

В самом широком смысле, система автоматического управления (САУ) – это совокупность устройств, предназначенных для поддержания заданного режима работы или изменения состояния объекта управления без непосредственного участия человека. Ключевое слово здесь – «автоматического», что подразумевает самостоятельность системы в процессе функционирования.

Любая САУ, независимо от ее сложности, состоит из нескольких фундаментальных элементов:

• Объект управления (ОУ): Это машина, процесс, физическое явление или любой другой объект, параметры которого необходимо регулировать. Например, температура в печи, скорость двигателя, положение робота. Объект управления – это «то, чем мы управляем».
• Регулятор (Управляющее устройство): Мозг системы. Это устройство (или программный алгоритм), которое формирует управляющее воздействие на основе информации о текущем состоянии объекта и заданных целей. Регулятор анализирует рассогласование (ошибку) между желаемым и фактическим состоянием и генерирует команду.
• Исполнительный механизм: Мост между регулятором и объектом управления. Он преобразует управляющее воздействие регулятора в физическое действие, непосредственно влияющее на объект. Например, нагревательный элемент, клапан, дроссельная заслонка.
• Датчики (Измерительные элементы): Глаза и уши системы. Они измеряют фактическое значение регулируемой величины объекта управления и передают эту информацию регулятору. Например, термопары, тахометры, энкодеры.
• Обратная связь (ОС): Ключевой элемент, отличающий регулирование от простого управления по программе. Это канал, по которому информация о текущем состоянии объекта управления (измеренная датчиками) передается регулятору. Обратная связь может быть отрицательной (когда сигнал обратной связи вычитается из задающего воздействия, стабилизируя систему) или положительной (когда он прибавляется, обычно приводя к неустойчивости или усилению).
• Задающее воздействие (W): Желаемое значение регулируемой величины, цель управления. Это входной сигнал, который система должна поддерживать или воспроизводить на выходе.
• Возмущающее воздействие (f): Любое внешнее или внутреннее воздействие, которое стремится отклонить регулируемую величину от заданного значения и которое система должна парировать. Например, изменение нагрузки на двигатель, сквозняк в печи.

Понимание этой «анатомии» САУ позволяет четко структурировать задачи и методы ее анализа, выделяя зоны ответственности каждого элемента, что критически важно для дальнейшего проектирования и наладки системы.

Принцип суперпозиции и его применение в линейных системах

В мире теории автоматического управления принцип суперпозиции является одним из самых мощных аналитических инструментов, но его применение строго ограничено: он справедлив только для линейных систем.

Что такое линейная система? Это система, которая удовлетворяет двум условиям:

1. Принцип однородности (масштабируемости): Если входной сигнал x(t) вызывает выходной сигнал y(t), то k · x(t) вызовет k · y(t) для любой константы k.
2. Принцип аддитивности: Если входной сигнал x₁(t) вызывает y₁(t), а x₂(t) вызывает y₂(t), то x₁(t) + x₂(t) вызовет y₁(t) + y₂(t).

Объединяя эти два условия, получаем принцип суперпозиции: если на вход линейной системы подается сумма воздействий, то выходной сигнал будет равен сумме выходных сигналов, которые вызвал бы каждый из входных сигналов, действуя по отдельности. Математически это выражается так: если x(t) = Σᵢ xᵢ(t), то y(t) = Σᵢ yᵢ(t).

Значение принципа суперпозиции для структурных преобразований:

Этот принцип критически важен при анализе сложных САУ, особенно при наличии нескольких входных воздействий (задающих и возмущающих) или при необходимости расчета передаточных функций по различным каналам. Благодаря суперпозиции мы можем:

• Разделять анализ: Вместо того чтобы одновременно учитывать все воздействия, мы можем анализировать отклик системы на каждое воздействие по отдельности (например, отклик на задающее воздействие при нулевых возмущениях, затем отклик на возмущение при нулевом задающем воздействии), а затем суммировать полученные результаты.
• Упрощать структурные схемы: При преобразовании структурных схем, особенно при переносе сумматоров и узлов разветвления, принцип суперпозиции лежит в основе сохранения эквивалентности. Мы гарантируем, что влияние каждого входного сигнала сохраняется, даже если его путь внутри схемы меняется.

Без принципа суперпозиции анализ многоконтурных линейных систем был бы чрезвычайно сложным, если не невозможным, а многие методы синтеза регуляторов потеряли бы свою эффективность. Он позволяет нам «разбивать» сложную проблему на более простые, управляемые части, что существенно упрощает процесс проектирования и отладки.

Структурные схемы САУ и правила их эквивалентных преобразований

Структурные схемы — это язык инженеров-автоматчиков, позволяющий наглядно представить сложные динамические системы. Умение читать, анализировать и, что особенно важно, преобразовывать эти схемы, является ключевым навыком для понимания и проектирования САУ. Насколько сложно было бы понять работу системы, если бы не было возможности визуально представить её компоненты и взаимосвязи?

Определение и назначение структурных схем

Структурная схема системы автоматического управления (САУ) – это графическое представление динамических взаимосвязей между элементами системы. На этой схеме каждый элемент (или совокупность элементов) отображается в виде прямоугольного блока, внутри которого указывается его передаточная функция. Линии со стрелками, соединяющие блоки, показывают направления распространения сигналов. Точки, где сигналы суммируются, обозначаются символами сумматоров (кругами с указанием знака сложения или вычитания), а точки, где сигнал разветвляется на несколько каналов, называются узлами разветвления.

Назначение структурных схем:

• Визуализация: Схемы позволяют быстро понять общую структуру системы, ее состав и принципы взаимодействия компонентов. Это значительно упрощает анализ по сравнению с чтением сложных дифференциальных уравнений.
• Анализ динамики: Структурные схемы являются отправной точкой для вывода передаточной функции всей системы, что, в свою очередь, позволяет исследовать ее динамические свойства, устойчивость и качество регулирования.
• Проектирование и синтез: При разработке новой САУ инженеры часто начинают с построения структурной схемы, а затем модифицируют ее, добавляя или изменяя звенья, чтобы добиться желаемых характеристик.
• Упрощение: Исходные схемы часто бывают многоконтурными и громоздкими. Эквивалентные преобразования позволяют свести такую сложную схему к более простой, эквивалентной одноконтурной схеме, которая имеет ту же самую передаточную функцию от входа к выходу, но значительно упрощает дальнейшие аналитические выкладки.

Базовые правила преобразований структурных схем (последовательное, параллельное, обратная связь)

Преобразование структурных схем опирается на несколько фундаментальных правил, которые позволяют изменять топологию схемы, не затрагивая ее общую динамику.

1. Последовательное соединение звеньев:

   Когда несколько динамических звеньев соединены последовательно, это означает, что выход одного звена является входом для следующего. Эквивалентная передаточная функция такой цепи равна произведению передаточных функций отдельных звеньев.

   Wэкв(s) = W₁(s) ⋅ W₂(s) ⋅ ... ⋅ Wn(s)

   Интерпретация: Динамические свойства каждого звена последовательно накладываются друг на друга.

2. Параллельное соединение звеньев:

   При параллельном соединении один и тот же входной сигнал подается на несколько звеньев, а их выходные сигналы суммируются на одном сумматоре. Эквивалентная передаточная функция такой цепи равна сумме передаточных функций отдельных звеньев.

   Wэкв(s) = W₁(s) + W₂(s) + ... + Wn(s)

   Интерпретация: Каждое звено обрабатывает входной сигнал независимо, а затем их вклады объединяются.

3. Звено, охваченное обратной связью:

   Это одно из наиболее часто встречающихся и важных преобразований, лежащее в основе принципа регулирования. Здесь выходной сигнал звена (или цепи звеньев) подается обратно на вход через цепь обратной связи, где он сравнивается с задающим воздействием.

   • Отрицательная обратная связь:

     Если сигнал обратной связи вычитается из входного сигнала.

     Wэкв(s) = Wпр(s) / (1 + Wпр(s) ⋅ Wос(s))

     Где W_пр(s) — передаточная функция прямой цепи, W_ос(s) — передаточная функция цепи обратной связи.

     Интерпретация: Отрицательная обратная связь обычно стабилизирует систему, уменьшает чувствительность к возмущениям и изменяет динамические характеристики.

   • Положительная обратная связь:

     Если сигнал обратной связи прибавляется к входному сигналу.

     Wэкв(s) = Wпр(s) / (1 - Wпр(s) ⋅ Wос(s))

     Интерпретация: Положительная обратная связь часто приводит к потере устойчивости, но может использоваться в генераторах или системах с триггерным эффектом.

Эти три правила составляют основу, на которой строятся более сложные преобразования.

Детальный алгоритм переноса узлов (сумматора и разветвления) через звенья

Умение переносить узлы разветвления и сумматоры через звенья — это искусство, позволяющее «распутывать» сложные многоконтурные схемы, чтобы привести их к виду, где можно применять базовые правила. Ключ к успеху здесь — сохранение эквивалентности системы, то есть обеспечение того, чтобы все сигналы на выходе и во всех отводящих ветвях оставались неизменными после преобразования.

Перенос сумматора через звено (по ходу и против хода сигнала)

1. Перенос сумматора через звено по ходу сигнала:
Представьте, что у вас есть сумматор, на который поступают несколько сигналов, и один из его выходов сразу подается на вход звена W(s). Ваша цель — переместить этот сумматор с входа звена W(s) на его выход.

• Правило: Если сумматор перемещается с входа звена W(s) на его выход, то к каждому из других входов сумматора (то есть к тем, которые не шли непосредственно на звено W(s) до переноса) необходимо добавить звено с той же передаточной функцией W(s).
• Логическое обоснование: До переноса сигнал x (выход сумматора) умножался на W(s), давая y = x ⋅ W(s). Если сумматор переместился на выход W(s), то все входные сигналы сумматора должны пройти через W(s), прежде чем они будут суммированы. Таким образом, y = (x₁ + x₂) ⋅ W(s) = x₁ ⋅ W(s) + x₂ ⋅ W(s). Если x₁ – это тот сигнал, который шел напрямую к W(s) после сумматора, а x₂ – это другой вход сумматора, то после переноса x₁ проходит через W(s), и x₂ также должен пройти через W(s), чтобы их сумма на выходе W(s) была эквивалентна.

2. Перенос сумматора через звено против хода сигнала:
Теперь представим обратную ситуацию: сумматор находится на выходе звена W(s), и вы хотите переместить его с выхода звена W(s) на его вход.

• Правило: Если сумматор перемещается с выхода звена W(s) на его вход, то к каждому из других входов сумматора (тех, которые не были выходом звена W(s)) необходимо добавить звено с обратной передаточной функцией 1/W(s).
• Логическое обоснование: До переноса выход звена W(s) (x ⋅ W(s)) суммировался с x₂, давая y = x ⋅ W(s) + x₂. Если сумматор переместился на вход W(s), то на его выходе должно быть (x + x₂’) ⋅ W(s). Чтобы эквивалентность сохранилась, (x + x₂’) ⋅ W(s) должно быть равно x ⋅ W(s) + x₂. Отсюда x₂’ ⋅ W(s) = x₂, или x₂’ = x₂ / W(s) = x₂ ⋅ (1/W(s)). То есть, сигнал x₂ должен пройти через звено с передаточной функцией 1/W(s).

Перенос узла разветвления через звено (по ходу и против хода сигнала)

1. Перенос узла разветвления через звено по ходу сигнала:
Узел разветвления находится на входе звена W(s), и вы хотите переместить его на выход этого звена.

• Правило: Если узел разветвления перемещается с входа звена W(s) на его выход, то в ветвь, отходящую от нового положения узла (которая ранее отходила от старого положения), необходимо включить звено с обратной передаточной функцией 1/W(s).
• Логическое обоснование: До переноса сигнал x шел на вход W(s) и одновременно ответвлялся в другую ветвь. После переноса узел разветвления находится после W(s), то есть выход W(s) – это x ⋅ W(s). Чтобы сигнал в отводящей ветви остался x, его необходимо «подавить» на W(s), то есть умножить на 1/W(s). Таким образом, (x ⋅ W(s)) ⋅ (1/W(s)) = x.

2. Перенос узла разветвления через звено против хода сигнала:
Обратная ситуация: узел разветвления находится на выходе звена W(s), и вы хотите переместить его на вход этого звена.

• Правило: Если узел разветвления перемещается с выхода звена W(s) на его вход, то в ветвь, отходящую от нового положения узла (которая ранее отходила от старого положения), необходимо включить звено с той же передаточной функцией W(s).
• Логическое обоснование: До переноса сигнал x поступал на вход W(s), а выход W(s) (x ⋅ W(s)) разветвлялся на две ветви. После переноса узел разветвления находится на входе W(s). Сигнал x ответвляется, а затем подается на W(s). Чтобы в «ответвленной» ветви сигнал был x ⋅ W(s) (как до переноса), необходимо включить в нее звено W(s).

Эти правила, хотя и кажутс�� сложными на первый взгляд, призваны дать вам полную свободу в манипулировании структурными схемами. Главное — всегда проверять, сохраняется ли функциональность системы после каждого преобразования.

Пример комплексного преобразования структурной схемы

Давайте рассмотрим гипотетическую, но достаточно сложную структурную схему и пошагово преобразуем её, используя описанные правила, до эквивалентной одноконтурной системы.

Исходная схема (гипотетическая):

Представим систему, где:

• W₁(s) – звено прямой цепи.
• W₂(s) – звено в обратной связи, отходящей от выхода W₁(s) к сумматору на его входе (отрицательная ОС).
• W₃(s) – звено, параллельное W₁(s), но после сумматора, объединяющееся с W₁(s) через сумматор.
• W₄(s) – звено в дополнительной обратной связи, отходящей от выхода W₃(s) к сумматору на его входе (положительная ОС).
• Есть еще одна ветвь W₅(s), которая отходит от входа всей системы, проходит через W₅(s) и суммируется с выходом W₃(s).

Такая схема на первый взгляд может показаться хаотичной. Цель: свести её к одной передаточной функции Φ(s) = Y(s) / X(s).

Пошаговое преобразование:

1. Идентификация внутренних контуров:
   • Видим внутренний контур с W₄(s) и W₃(s) с положительной обратной связью.
   • Видим другой контур с W₁(s) и W₂(s) с отрицательной обратной связью.
2. Упрощение внутреннего контура с W₄(s) и W₃(s) (положительная ОС):
   Применяем формулу для положительной обратной связи:

   Wэкв_1(s) = W₃(s) / (1 - W₃(s) ⋅ W₄(s))

   Теперь вместо W₃(s) и W₄(s) у нас одно эквивалентное звено W_{экв_1}(s).

3. Перенос узла разветвления или сумматора (при необходимости):
   Допустим, W₅(s) суммируется с выходом W₃(s). Если мы уже заменили W₃(s) на W_{экв_1}(s), то W₅(s) теперь суммируется с выходом W_{экв_1}(s). Это уже просто параллельное соединение.
4. Упрощение последовательных и параллельных звеньев:
   • Если W₅(s) суммируется с W_{экв_1}(s), то они образуют параллельное соединение W_{экв_2}(s) = W_{экв_1}(s) + W₅(s).
5. Переход к внешнему контуру:
   Теперь у нас есть прямая цепь W₁(s) и обратная связь W₂(s). Допустим, после преобразований W_{экв_2}(s) также оказалось частью прямой цепи, идущей последовательно с W₁(s) или параллельно к ней.
   • Если W₁(s) и W_{экв_2}(s) соединены последовательно, то W_пр(s) = W₁(s) ⋅ W_{экв_2}(s).
   • Если они параллельны, то W_пр(s) = W₁(s) + W_{экв_2}(s).
6. Упрощение основного контура с отрицательной обратной связью:
   Применяем формулу для отрицательной обратной связи:

   Φ(s) = Wпр(s) / (1 + Wпр(s) ⋅ W₂(s))

Таким образом, мы пошагово «свернули» сложную схему в одну передаточную функцию. Ключ к успеху в таких задачах — это:

• Последовательность: Не пытайтесь упростить все сразу. Работайте с внутренними контурами или ближайшими к выходу частями схемы.
• Визуализация: Постоянно перерисовывайте схему после каждого преобразования. Это помогает отслеживать изменения и избегать ошибок.
• Проверка: Убедитесь, что после каждого переноса узлов или суммирования сохраняется эквивалентность системы.

Этот метод позволяет разбить любую, сколь угодно сложную многоконтурную схему на последовательность простых, понятных преобразований.

Вывод передаточных функций систем автоматического регулирования

Передаточная функция — это сердце анализа динамики линейных систем. Она представляет собой компактное и всеобъемлющее математическое описание того, как система реагирует на различные входные воздействия.

Понятие передаточной функции и её физический смысл

Передаточная функция W(s) — это фундаментальное понятие в теории линейных динамических систем. Она определяется как отношение изображения по Лапласу выходного сигнала к изображению по Лапласу входного сигнала при нулевых начальных условиях. Математически это выражается как:

W(s) = Y(s) / X(s)

Где:

• Y(s) — изображение по Лапласу выходного сигнала.
• X(s) — изображение по Лапласу входного сигнала.
• s — комплексная переменная преобразования Лапласа (иногда обозначается как p).

Физический смысл передаточной функции:

Представьте, что вы «стучите» по системе неким сигналом (импульсом, ступенькой) и смотрите, как она «отвечает» на этот стук. Передаточная функция — это некий «слепок» этой реакции, обобщенное описание динамического поведения.

• Динамические свойства: W(s) полностью описывает, как система преобразует входной сигнал в выходной во временной области, не требуя решения сложных дифференциальных уравнений каждый раз. Все ее динамические свойства (инерционность, интегрирование, дифференцирование, колебательность) «зашиты» в числителе и знаменателе этой функции.
• Частотные свойства: Подставив s = jω (где j — мнимая единица, ω — частота), мы получаем комплексную частотную характеристику W(jω), которая показывает, как система изменяет амплитуду и фазу гармонического сигнала на различных частотах.
• Устойчивость: Корни знаменателя передаточной функции (полюсы) напрямую определяют устойчивость системы. Если все полюсы лежат в левой полуплоскости комплексной плоскости, система устойчива.
• Структура: Передаточная функция является результатом математического описания структурной схемы, объединяя динамические свойства всех ее звеньев.

В конечном итоге, передаточная функция является универсальным «паспортом» динамической системы, позволяющим проводить ее глубокий анализ и синтез.

Вывод передаточной функции разомкнутой системы W(s)

Разомкнутая система — это система, в которой отсутствует обратная связь, то есть выходной сигнал не влияет на входной. Ее передаточная функция W_разомк(s) описывает динамические свойства прямой цепи без учета регулирующего контура.

Методика получения передаточной функции разомкнутой системы после её структурного преобразования:

После того как вы преобразовали сложную многоконтурную структурную схему в максимально упрощенный вид (например, убрав все внутренние обратные связи и сведя параллельные/последовательные звенья), ваша цель — выразить передаточную функцию всех звеньев, находящихся в прямой цепи разомкнутого контура.

1. Идентификация прямой цепи: Определите все звенья, которые находятся на пути сигнала от входа разомкнутой системы до её выхода (то есть, до места, откуда обычно берется сигнал обратной связи).
2. Применение правил последовательного и параллельного соединения:
   • Если звенья в прямой цепи соединены последовательно, их передаточные функции перемножаются. Это наиболее частый случай.
     

     Пример: Если в прямой цепи последовательно стоят звенья W₁(s), W₂(s), W₃(s), то W_разомк(s) = W₁(s) ⋅ W₂(s) ⋅ W₃(s).

   • Если в прямой цепи есть параллельные участки, их передаточные функции складываются (как было показано в разделе о преобразованиях).
3. Математические формулы для типовых звеньев:
   Необходимо знать передаточные функции основных типовых звеньев:
   • Пропорциональное (усилительное) звено: W(s) = k (где k — коэффициент усиления)
   • Инерционное звено 1-го порядка: W(s) = k / (T⋅s + 1) (где T — постоянная времени)
   • Интегрирующее звено: W(s) = k / s
   • Дифференцирующее звено: W(s) = k⋅s
   • Колебательное звено: W(s) = k / (T²s² + 2ξT⋅s + 1) (где ξ — коэффициент демпфирования)
   • Звено чистого запаздывания: W(s) = e^-τs (где τ — время запаздывания)

Процесс формирования общей передаточной функции:
Последовательно перемножьте или сложите (в зависимости от соединения) передаточные функции всех звеньев, входящих в разомкнутую цепь. Результатом будет одна дробно-рациональная функция относительно переменной s, которая и является передаточной функцией разомкнутой системы W_разомк(s).

Вывод передаточной функции замкнутой системы Φ(s)

Замкнутая система — это система, в которой выходной сигнал через цепь обратной связи влияет на входной, формируя замкнутый контур регулирования. Ее передаточная функция Φ(s) (иногда обозначается как W_з(s) или W_cl(s)) описывает динамические свойства всей системы от внешнего задающего воздействия до выходного сигнала.

Формулы для Φ(s) зависят от типа обратной связи:

1. С отрицательной обратной связью:
   Это наиболее распространенный и важный случай в автоматическом регулировании. Выходной сигнал через цепь обратной связи вычитается из задающего воздействия.

   Φ(s) = Wпр(s) / (1 + Wпр(s) ⋅ H(s))

   Где:

   • W_пр(s) — передаточная функция прямой цепи (от входа сумматора до выхода системы).
   • H(s) — передаточная функция цепи обратной связи (от выхода системы до входа сумматора).
2. С положительной обратной связью:
   Если сигнал обратной связи прибавляется к задающему воздействию.

   Φ(s) = Wпр(s) / (1 - Wпр(s) ⋅ H(s))

3. С единичной обратной связью (H(s) = 1):
   Частный и очень частый случай отрицательной обратной связи, когда цепь обратной связи не содержит динамических звеньев и просто передает выходной сигнал на сумматор без искажений.

   Φ(s) = Wпр(s) / (1 + Wпр(s))

Практический вывод: Чтобы получить Φ(s), сначала необходимо определить W_пр(s) и H(s) (если обратная связь не единичная) для вашей упрощенной схемы, а затем подставить их в соответствующую формулу.

Характеристическое уравнение замкнутой системы

Характеристическое уравнение — это алгебраическое уравнение, корни которого (называемые полюсами замкнутой системы) полностью определяют устойчивость и динамические свойства переходных процессов системы.

Как формируется характеристическое уравнение:
Оно получается путем приравнивания к нулю знаменателя передаточной функции замкнутой системы:

1 + Wпр(s) ⋅ H(s) = 0

В случае единичной обратной связи:

1 + Wпр(s) = 0

Его роль в анализе устойчивости:
Корни характеристического уравнения (sᵢ) являются полюсами замкнутой системы.

• Если все корни имеют отрицательные действительные части (лежат в левой полуплоскости комплексной плоскости), система устойчива.
• Если хотя бы один корень имеет положительную действительную часть (лежит в правой полуплоскости), система неустойчива.
• Если есть корни с нулевой действительной частью (на мнимой оси) и отсутствуют корни с положительной действительной частью, система находится на границе устойчивости (нейтрально устойчива).

Это уравнение является основой для применения таких алгебраических критериев устойчивости, как критерии Рауса и Гурвица, а также для частотных критериев (например, Найквиста).

Вариации передаточных функций замкнутой САР (по возмущению, по ошибке)

Помимо главной передаточной функции Φ(s) (по задающему воздействию), в ТАУ используются и другие передаточные функции, позволяющие глубже анализировать поведение системы и ее реакцию на различные факторы:

1. Передаточная функция по возмущающему воздействию Φ_f(s):
   Описывает отношение изображения Лапласа выходного сигнала Y(s) к изображению Лапласа возмущающего воздействия F(s) при нулевом задающем воздействии.

   Φf(s) = Y(s) / F(s)

   Эта функция важна для оценки способности системы парировать внешние воздействия. Идеальная система должна иметь Φ_f(s) стремящуюся к нулю, обеспечивая тем самым минимальное влияние внешних помех на выходной сигнал.

2. Передаточная функция для ошибки (рассогласования) Φ_ε(s):
   Описывает отношение изображения Лапласа ошибки ε(s) (разности между задающим и фактическим значениями) к изображению Лапласа задающего воздействия X(s).

   Φε(s) = ε(s) / X(s) = 1 - Φ(s)

   Эта функция показывает, насколько точно система отслеживает задающее воздействие. Для хорошей системы Φ_ε(s) должна быть малой.

   Также может быть передаточная функция ошибки по возмущению:
   Φεf(s) = ε(s) / F(s)

   Эта функция показывает, как возмущение влияет на ошибку системы.

Использование этих дополнительных передаточных функций позволяет проводить комплексный анализ чувствительности системы, ее помехоустойчивости и точности регулирования, что крайне важно для проектирования высококачественных САУ.

Построение амплитудно-фазовых частотных характеристик (АФЧХ)

Частотные характеристики — это мощный инструмент для анализа линейных систем, позволяющий получить наглядное представление о динамике системы в частотной области. АФЧХ, или годограф Найквиста, является одной из ключевых частотных характеристик, без которой невозможно применить одноименный критерий устойчивости.

Что такое АФЧХ и зачем она нужна

Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ) разомкнутой системы, часто называемая годографом Найквиста, представляет собой графическое изображение комплексной частотной передаточной функции W(jω) на комплексной плоскости. При этом частота ω изменяется от 0 до ∞. Каждая точка на этом годографе соответствует определенной частоте ω и имеет две компоненты: модуль (длину вектора от начала координат до точки), который равен амплитуде выходного сигнала, и аргумент (угол этого вектора с положительной действительной осью), который соответствует фазовому сдвигу между входным и выходным сигналами.

Математически W(jω) можно представить как:

W(jω) = Re[W(jω)] + j ⋅ Im[W(jω)] = P(ω) + j ⋅ Q(ω)

Где:

• P(ω) — действительная часть W(jω).
• Q(ω) — мнимая часть W(jω).
• |W(jω)| = √(P(ω)² + Q(ω)²) — модуль АФЧХ.
• φ(ω) = arg[W(jω)] = arctg(Q(ω) / P(ω)) — фаза АФЧХ.

Зачем нужна АФЧХ?

1. Анализ устойчивости: Это основное назначение АФЧХ. Годограф Найквиста позволяет графически применить критерий устойчивости Найквиста, который является одним из наиболее мощных и универсальных инструментов для определения устойчивости замкнутой системы по характеристикам разомкнутого контура.
2. Оценка запасов устойчивости: По АФЧХ можно легко определить запасы устойчивости по амплитуде и фазе, которые численно характеризуют степень удаленности системы от границы устойчивости, то есть ее «надежность» и «робастность».
3. Изучение динамических свойств: Форма годографа дает наглядное представление о динамических свойствах системы на различных частотах, о её инерционности, колебательности и способности передавать сигналы без искажений.
4. Синтез регуляторов: Инженеры используют АФЧХ для синтеза корректирующих устройств, чтобы изменить форму годографа разомкнутой системы таким образом, чтобы замкнутая система отвечала заданным требованиям по устойчивости и ��ачеству регулирования.

Пошаговый алгоритм построения АФЧХ разомкнутой системы

Построение АФЧХ — это методичный процесс, требующий внимательности к расчетам и аккуратности в графическом изображении.

1. Определение передаточной функции разомкнутой системы W(s):
   Первым делом убедитесь, что у вас есть уже выведенная передаточная функция разомкнутой системы, которая обычно имеет вид дробно-рациональной функции:

   W(s) = (bmsm + ... + b₀) / (ansn + ... + a₀)

2. Замена оператора ‘s‘ на ‘jω‘ (получение комплексной частотной передаточной функции):
   В передаточной функции W(s) замените каждую ‘s‘ на ‘jω‘.

   W(jω) = (bm(jω)m + ... + b₀) / (an(jω)n + ... + a₀)

   Помните, что j² = -1, j³ = -j, j⁴ = 1 и так далее. Например, (jω)² = -ω², (jω)³ = -jω³.

3. Представление W(jω) в алгебраическом виде P(ω) + jQ(ω):
   Чтобы выделить действительную (P(ω)) и мнимую (Q(ω)) части, необходимо избавиться от мнимой единицы в знаменателе. Для этого умножьте числитель и знаменатель дроби на комплексно-сопряженное к знаменателю выражение.

   Пример: Если W(jω) = N(jω) / D(jω), то W(jω) = (N(jω) ⋅ D*(jω)) / (D(jω) ⋅ D*(jω)), где D*(jω) — комплексно-сопряженное к D(jω).

   Знаменатель после этого станет действительным числом, а в числителе можно будет легко выделить действительную и мнимую части.
   В итоге вы получите две функции, зависящие от ω:

   P(ω) = Re[W(jω)]

   Q(ω) = Im[W(jω)]

4. Вычисление значений P(ω) и Q(ω) для различных значений частоты ω:
   Составьте таблицу значений P(ω) и Q(ω) для ряда частот от ω = 0 до ω = ∞.
   • ω = 0: Все члены с ‘jω‘ или ‘ω‘ станут равны нулю. Вычислите P(0) и Q(0). Это точка начала годографа.
   • ω → ∞: Оцените поведение P(ω) и Q(ω) при очень больших частотах. Обычно это точка, в которую годограф стремится на комплексной плоскости (часто в начало координат).
   • Промежуточные значения: Выберите несколько значений ω в диапазоне от 0 до ∞. Рекомендуется выбирать их так, чтобы они охватывали характерные частоты системы (например, частоты излома звеньев). Чем больше точек, тем точнее будет построен годограф.
5. Построение точек (P(ω), Q(ω)) на комплексной плоскости и соединение их в годограф:
   • Начертите комплексную плоскость с действительной осью (Re, P) и мнимой осью (Im, Q).
   • Отметьте каждую вычисленную точку (P(ωᵢ), Q(ωᵢ)) для соответствующей частоты ωᵢ.
   • Соедините эти точки плавной линией в порядке возрастания частоты. На каждой точке удобно указывать значение ω.
6. Определение характерных точек, таких как значения при ω = 0 и ω = ∞, а также точки пересечения АФЧХ с осями координат (P(ω)=0 или Q(ω)=0).

Определение характерных точек АФЧХ

Чтобы построение АФЧХ было точным и информативным, необходимо определить несколько ключевых точек:

1. Начало годографа (ω = 0):
   Подставьте ω = 0 в выражения для P(ω) и Q(ω). Точка (P(0), Q(0)) указывает, где начинается годограф на комплексной плоскости.

   Важно: Если передаточная функция содержит интегрирующие звенья (полюсы в начале координат), то |W(j0)| → ∞. В этом случае годограф начинается из бесконечности.

2. Конец годографа (ω → ∞):
   Найдите пределы P(ω) и Q(ω) при ω → ∞. Точка (lim_ω→∞ P(ω), lim_ω→∞ Q(ω)) показывает, куда стремится годограф при очень высоких частотах.

   Для большинства реальных систем годограф при ω → ∞ стремится к началу координат (0, j0).

3. Точки пересечения с действительной осью (Q(ω) = 0):
   Приравняйте мнимую часть Q(ω) к нулю и решите это уравнение относительно ω. Полученные значения ω дадут частоты, при которых годограф пересекает действительную ось. Подставьте эти ω в P(ω), чтобы найти координаты пересечений. Эти точки критически важны для определения запаса устойчивости по амплитуде.
4. Точки пересечения с мнимой осью (P(ω) = 0):
   Приравняйте действительную часть P(ω) к нулю и решите уравнение относительно ω. Эти ω дадут частоты, при которых годограф пересекает мнимую ось. Подставьте эти ω в Q(ω), чтобы найти координаты пересечений.

Определение этих характерных точек не только улучшает точность построения, но и дает важную информацию для интерпретации устойчивости и динамических свойств системы.

Критерий устойчивости Найквиста: Применение и интерпретация

Критерий устойчивости Найквиста — это один из наиболее мощных и универсальных инструментов в теории автоматического управления, позволяющий судить об устойчивости замкнутой системы, оперируя лишь частотными характеристиками ее разомкнутого контура.

История и физический смысл критерия Найквиста

Критерий устойчивости был предложен Гарри Найквистом в 1932 году, когда он работал в Bell Telephone Laboratories. Изначально он был разработан для анализа устойчивости усилителей в телефонных системах. Найквист обнаружил, что, анализируя частотную характеристику разомкнутого контура, можно предсказать поведение замкнутой системы.

Интуитивный физический смысл:
Представьте замкнутую систему как усилитель с обратной связью. Если сигнал, пройдя по контуру (прямая цепь + обратная связь), возвращается на вход с той же фазой (или с фазой, кратной 360°) и с усилением, большим или равным единице, то возникает положительная обратная связь, которая будет самоподдерживаться или даже нарастать, приводя к осцилляциям или неустойчивости.
Критическая точка (-1, j0) на комплексной плоскости символизирует это условие:

• Координата -1 по действительной оси означает, что фазовый сдвиг составляет -180° (или +180°), то есть сигнал, пройдя по контуру, возвращается в противофазе. Однако, если обратная связь изначально отрицательна, то -180° фазового сдвига в разомкнутом контуре означает, что на входе сумматора этот сигнал превратится в *положительный*, усиливающий задающее воздействие.
• Модуль, равный 1 (расстояние от начала координат до -1), означает, что сигнал вернулся с тем же усилением.

Таким образом, если годограф АФЧХ разомкнутой системы охватывает точку (-1, j0), это сигнализирует о том, что существует такая частота, на которой сигнал в замкнутом контуре возвращается на вход с «неправильной» фазой и достаточным усилением, что приводит к самовозбуждению и потере устойчивости, что в реальных системах может привести к катастрофическим последствиям.

Общая формулировка критерия Найквиста

Критерий Найквиста является топологическим критерием, основанным на принципе аргумента Коши, и применим к линейным системам с рациональными передаточными функциями.

Общая формулировка критерия Найквиста:

Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф АФЧХ разомкнутой системы W(jω) при изменении частоты ω от -∞ до +∞ охватывал критическую точку (-1, j0) количество раз, равное числу полюсов передаточной функции разомкнутой системы, расположенных в правой полуплоскости комплексной плоскости (то есть имеющих положительные действительные части), в положительном (против часовой стрелки) направлении.

Математически это выражается формулой: Z = N + P

Где:

• Z — число корней характеристического уравнения замкнутой системы (полюсов замкнутой системы), расположенных в правой полуплоскости. Для устойчивости замкнутой системы необходимо, чтобы Z = 0.
• N — число оборотов годографа W(jω) вокруг критической точки (-1, j0) по часовой стрелке (обозначим отрицательное направление). Если по часовой стрелке, N < 0. Если против часовой стрелки, N > 0.
• P — число полюсов передаточной функции разомкнутой системы W(s), расположенных в правой полуплоскости.

Таким образом, для устойчивости замкнутой системы (Z=0) необходимо, чтобы N = -P. То есть, годограф должен охватывать критическую точку P раз в отрицательном (по часовой стрелке) направлении.

• Значение числа P: число P легко определяется по знаменателю передаточной функции разомкнутой системы W(s). Необходимо найти корни знаменателя (полюсы разомкнутой системы) и подсчитать, сколько из них имеют положительную действительную часть.

При построении годографа Найквиста для частот от -∞ до +∞ обычно строят его для ω от 0 до +∞, а затем используют симметрию: ветвь для отрицательных частот является зеркальным отображением ветви для положительных частот относительно действительной оси.

Упрощенная формулировка для систем, устойчивых в разомкнутом состоянии

Во многих практических задачах разомкнутая система является устойчивой. Это означает, что все полюсы передаточной функции разомкнутой системы W(s) лежат в левой полуплоскости комплексной плоскости. В этом случае число P = 0.

Для таких систем критерий Найквиста значительно упрощается:

Упрощенная формулировка:
Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф АФЧХ разомкнутой системы W(jω) при изменении частоты от 0 до +∞ не охватывал критическую точку (-1, j0). При этом подразумевается, что годограф для отрицательных частот симметричен относительно действительной оси, и таким образом, полный годограф не охватывает (-1, j0).

Что это значит на практике:

• Годограф не должен проходить через точку (-1, j0).
• Годограф не должен «окружать» точку (-1, j0). Проще говоря, точка (-1, j0) должна оставаться *вне* области, ограниченной годографом и действительной осью.

Эта упрощенная формулировка является наиболее часто используемой в учебных задачах и инженерной практике, так как большинство разомкнутых систем стремятся проектировать устойчивыми.

Интерпретация положения АФЧХ относительно критической точки (-1, j0)

Положение АФЧХ относительно критической точки (-1, j0) является ключом к мгновенной оценке устойчивости замкнутой системы:

1. АФЧХ проходит мимо критической точки (-1, j0) и не охватывает её (для P=0):
   

   Вывод: Замкнутая система устойчива. Это наиболее желательный результат. Годограф может находиться как справа, так и слева от критической точки, но важно, чтобы он ее не обнимал.

2. АФЧХ проходит через критическую точку (-1, j0):
   

   Вывод: Замкнутая система находится на границе устойчивости (нейтральна). В этом случае корни характеристического уравнения находятся на мнимой оси, что означает наличие незатухающих колебаний в системе. Это крайне нежелательное состояние для реальных систем, так как малейшее возмущение может вывести ее в неустойчивое состояние.

3. АФЧХ охватывает критическую точку (-1, j0) (для P=0) или число охватов не соответствует -P (для P≠0):
   

   Вывод: Замкнутая система неустойчива. Это означает, что в системе будут нарастающие колебания или экспоненциально нарастающий выходной сигнал, что приведет к неконтролируемому поведению и, возможно, к разрушению.

Визуальное правило для P=0: Если критическая точка (-1, j0) находится слева от годографа (при движении по нему в сторону увеличения ω), то система неустойчива. Если справа или внутри области, которую годограф не охватывает, то устойчива.

Особенности применения критерия для астатических систем

Астатическая система — это система, передаточная функция которой имеет полюсы в начале координат (s = 0). Эти полюсы соответствуют интегрирующим звеньям типа k/s или k/s² и обеспечивают астатизм системы (способность устранять статическую ошибку по задающему или возмущающему воздействию).

Проблема: При наличии полюсов в начале координат, W(jω) при ω → 0 стремится к бесконечности. Это означает, что годограф АФЧХ начинается из бесконечности, и его нельзя замкнуть, просто соединив точки от 0 до +∞.

Решение: Замыкающая полуокружность бесконечно большого радиуса:
Для применения критерия Найквиста к астатическим системам необходимо «замкнуть» контур Найквиста (контур интегрирования в комплексной плоскости), добавив полуокружность бесконечно большого радиуса, которая обходит полюсы на мнимой оси (включая начало координат) справа.

1. Обход полюса в начале координат (s=0):
   Если W(s) содержит 1/s (астатизм первого порядка), то при ω → 0 годограф уходит в бесконечность. Для замыкания годографа на комплексной плоскости добавляется полуокружность бесконечно большого радиуса, которая идет от ω = 0^— до ω = 0⁺, обходя начало координат по часовой стрелке в правой полуплоскости (или по дуге малого радиуса в s-плоскости).
   • Полюс 1/s на мнимой оси означает, что при ω → 0, W(jω) стремится к бесконечности вдоль отрицательной мнимой оси (если коэффициент положителен).
   • При этом годограф на комплексной плоскости «проходит» от -j∞ (для ω → 0⁺) до +j∞ (для ω → 0^—) через бесконечность. Этот «проход» соответствует повороту на 90° по часовой стрелке.
   • Если астатизм второго порядка (1/s²), то годограф «проходит» поворот на 180° по часовой стрелке, уходя от -∞.
2. Построение замыкающей полуокружности:
   Этот участок годографа для ω → 0 рисуется как дуга окружности бесконечно большого радиуса, которая либо замыкает годограф в бесконечности (от +j∞ до -j∞), либо соединяет его различные ветви. Направление обхода этой полуокружности определяется знаком астатизма.

Что это означает для подсчета N:
При подсчете числа N (оборотов вокруг критической точки) необходимо учитывать не только обычную ветвь АФЧХ (от 0 до +∞ и симметричную от -∞ до 0), но и этот «проход в бесконечности» вокруг полюсов на мнимой оси. Каждый такой проход вносит свой вклад в общее число охватов, и его направление (по часовой стрелке или против) должно быть учтено в N.

Для большинства учебных задач с астатическими системами важно помнить, что годограф начинает или заканчивает свой путь в бесконечности, и его поведение при ω → 0 нужно аккуратно анализировать.

Анализ запасов устойчивости по амплитуде и фазе

Критерий Найквиста даёт бинарный ответ: система устойчива или неустойчива. Но инженерам этого недостаточно. Важно знать, насколько система *далека* от границы устойчивости, то есть, насколько она *робастна* к изменениям параметров и помехам. Именно эту количественную оценку дают запасы устойчивости.

Значение и определение запасов устойчивости

Запасы устойчивости — это количественные показатели, характеризующие степень удаленности системы от границы устойчивости. Они отвечают на вопрос: «Насколько сильно могут измениться параметры системы (например, коэффициент усиления или постоянные времени) до того, как система потеряет устойчивость?».

Почему запасы устойчивости важны:

1. Робастность (помехоустойчивость): Реальные системы работают в условиях неопределенности. Параметры звеньев могут изменяться из-за температуры, износа, колебаний напряжения и других факторов. Адекватные запасы устойчивости гарантируют, что система останется стабильной даже при этих отклонениях.
2. Качество регулирования: Системы, работающие близко к границе устойчивости, демонстрируют сильно колебательные переходные процессы, большое перерегулирование и долгие времена установления. Хорошие запасы устойчивости обычно коррелируют с приемлемым качеством переходных процессов (например, с умеренным перерегулированием и быстрым затуханием колебаний).
3. Надежность: Системы с достаточными запасами устойчивости более надежны и долговечны в эксплуатации, так как они менее подвержены внезапным сбоям из-за потери стабильности.
4. Синтез регуляторов: При проектировании систем управления инженеры часто ставят цель не просто обеспечить устойчивость, а достичь определённых запасов устойчивости, что напрямую влияет на выбор структуры и параметров регулятора.

Запасы устойчивости определяются по АФЧХ разомкнутой системы, показывая близость этой характеристики к критической точке (-1, j0). Чем дальше годограф от критической точки, тем больше запасы устойчивости.

Запас устойчивости по амплитуде (h или ΔL)

Запас устойчивости по амплитуде (h или ΔL) показывает, во сколько раз можно увеличить коэффициент передачи (усиления) в прямой цепи разомкнутой системы до момента потери устойчивости замкнутой системой.

Графическое нахождение на АФЧХ:
Запас по амплитуде определяется по точке пересечения АФЧХ с отрицательной действительной полуосью (где фаза φ(ω) = -180° или -π радиан).

1. Найдите на АФЧХ точку, где мнимая часть Q(ω) = 0, а действительная часть P(ω) < 0. Это точка M, где фазовый сдвиг составляет -180°.
2. Определите частоту ω_кр (критическая частота), при которой фаза φ(ω_кр) = -180°.
3. Измерьте расстояние от начала координат до точки M. Это будет модуль |W(jω_кр)|.
4. Запас устойчивости по амплитуде h вычисляется как:
   h = 1 / |W(jωкр)|

Если h > 1, система устойчива; если h = 1, система на границе устойчивости; если h < 1, система неустойчива.

В децибелах (ΔL):
Запас устойчивости по амплитуде часто выражают в логарифмическом масштабе (децибелах):
ΔL = 20 ⋅ log₁₀(h) = -20 ⋅ log₁₀(|W(jωкр)|) = -L(ωкр)
Где L(ω_кр) — логарифмическая амплитудная частотная характеристика (ЛАЧХ) на критической частоте.

Типичные рекомендуемые значения:
Для хорошо демпфированных систем (т.е. с хорошими динамическими свойствами) запас устойчивости по амплитуде обычно составляет 6-20 дБ (что эквивалентно h = 2-10 в линейном масштабе). Меньшие значения (например, 2-6 дБ) могут приводить к значительным колебаниям.

Запас устойчивости по фазе (m или Δφ)

Запас устойчивости по фазе (m или Δφ) — это угол, на который можно изменить фазу системы без потери ею устойчивости. Иными словами, это дополнительный фазовый сдвиг (отрицательный), который система может выдержать на частоте, где её усиление равно единице, прежде чем фаза достигнет -180°.

Графическое нахождение на АФЧХ:
Запас по фазе определяется по точке пересечения АФЧХ с окружностью единичного радиуса (модуль |W(jω)| = 1).

1. Найдите на АФЧХ точку, где модуль |W(jω)| = 1. Эта частота называется частотой среза ω_ср.
2. Проведите луч из начала координат к этой точке.
3. Измерьте угол φ(ω_ср) (фазу) АФЧХ на частоте среза. Этот угол отсчитывается от положительной действительной полуоси.
4. Запас устойчивости по фазе m вычисляется как:
   m = 180° + φ(ωср) (если φ(ω_ср) выражен в градусах)
   или
   m = π + φ(ωср) (если φ(ω_ср) выражен в радианах)

Если m > 0°, система устойчива; если m = 0°, система на границе устойчивости; если m < 0°, система неустойчива.

Типичные рекомендуемые значения:
Для хороших систем запас устойчивости по фазе обычно составляет 30-60°. Меньшие значения (например, 0-30°) могут приводить к значительным колебаниям и перерегулированию, что снижает качество работы системы.

Концепция «запретной области» и её роль в проектировании

Для обеспечения адекватных запасов устойчивости и, как следствие, хороших динамических характеристик замкнутой системы, инженеры используют концепцию «запретной области» вокруг критической точки (-1, j0) на комплексной плоскости.

Что такое «запретная область»:
Это некоторая область на комплексной плоскости, в которую годограф АФЧХ разомкнутой системы W(jω) не должен заходить при изменении частоты от 0 до ∞. Форма и размер этой области определяются требуемыми запасами устойчивости.

• Как это работает:
  • Для запаса по амплитуде h: Если требуется запас по амплитуде h, то годограф не должен пересекать отрицательную действительную полуось в интервале от -1/h до -1.
  • Для запаса по фазе m: Если требуется запас по фазе m, то годограф не должен входить в сектор, ограниченный углами -180° и -(180°-m), вблизи критической точки, а также не должен пересекать единичную окружность в этом секторе.

Роль в проектировании (синтезе САУ):
При синтезе регуляторов (например, ПИД-регуляторов или корректирующих звеньев) задача инженера состоит не только в обеспечении устойчивости, но и в формировании такой АФЧХ разомкнутой системы, которая обходила бы «запретную область». Это достигается подбором параметров регулятора или добавлением специальных корректирующих звеньев, которые изменяют форму годографа W(jω) таким образом, чтобы он удовлетворял требованиям к запасам устойчивости.

Концепция «запретной области» является мощным инструментом графического синтеза, позволяющим визуально контролировать процесс улучшения качества переходных процессов системы, делая её более стабильной, быстрой и робастной.

Заключение

Выполнение контрольной работы по теории автоматического управления — это не просто механическое применение формул, а глубокое погружение в логику работы сложных систем. На протяжении этого руководства мы последовательно разобрали каждый этап: от начального анализа структурных схем и их преобразований, позволяющих «распутать» самые сложные конфигурации, до тщательного вывода передаточных функций, которые служат математическим «паспортом» системы. Мы освоили методику построения амплитудно-фазовых частотных характеристик (АФЧХ), являющихся ключом к визуальной оценке динамики, и, наконец, применили универсальный критерий устойчивости Найквиста, дополнив его анализом запасов устойчивости по амплитуде и фазе. Помните, что за каждой формулой и каждым графиком стоит реальный физический процесс, который вы учитесь контролировать.

Каждый из этих шагов неразрывно связан с предыдущим и последующим, образуя единую, стройную систему анализа. Понимание этой взаимосвязи, а не просто заучивание алгоритмов, является истинной целью. Только такой системный подход позволит вам не только успешно справиться с текущей задачей, но и заложить прочный фундамент для дальнейшего освоения более сложных аспектов теории автоматического управления, а также применять эти знания в практической инженерной деятельности. Желаем вам успехов в освоении этого увлекательного предмета и безупречного выполнения контрольной работы!

Список использованной литературы

1. Алексеев А. А., Имаев Д. Х., Кузьмин Н. Н., Яковлев В. Б. Теория управления: Учебник. СПб.: ЛЭТИ, 1999.
2. Теория автоматического управления: Сборник задач и контрольных вопросов / Сост. Ю. Н. Софиева. М., 1974.
3. Софиева Ю. Н., Софиев А. Э. Теория автоматического управления. М.: МИХМ, 1975.
4. Сборник задач по теории автоматического регулирования и управления / Под ред. В. А. Бесекерского. М.: Наука, 1978.
5. Теория автоматического управления. Ч. 1 / Под ред. А. А. Воронова. М.: Высшая школа, 1986.
6. Теория автоматического управления. Ч. 2 / Под ред. А. А. Воронова. М.: Высшая школа, 1986.
7. Первозванский А. А. Курс теории автоматического управления: Учебное пособие для вузов. М.: Наука, 1986.
8. Ротач В. Я. Теория автоматического управления теплоэнергетическими процессами. М.: Энергоатомиздат, 1985.
9. Попов В. Л. Теория линейных систем регулирования и управления. М.: Наука, 1989.
10. Лукас В. А. Теория автоматического управления. М.: Недра, 1990.
11. 5. Передаточные функции и уравнения динамики замкнутых систем автоматического регулирования (САР) // Хабр. URL: https://habr.com/ru/articles/675122/ (дата обращения: 11.10.2025).
12. 3. Частотные характеристики систем автоматического управления (АФЧХ, ЛАХ, ФЧХ) ч. 3.1 // Хабр. URL: https://habr.com/ru/articles/592397/ (дата обращения: 11.10.2025).
13. Теория автоматического управления (учебное пособие) // TPU.RU. URL: https://www.tpu.ru (дата обращения: 11.10.2025).
14. Теория автоматического управления (учебно-методическое пособие) // BNTU.BY. URL: https://www.bntu.by (дата обращения: 11.10.2025).
15. Курсовое проектирование по теории автоматического управления // TPU.RU. URL: https://www.tpu.ru (дата обращения: 11.10.2025).
16. Правила эквивалентных преобразований структурных схем систем автоматического управления — Математическая система Mathcad. URL: https://www.mathcad.com (дата обращения: 11.10.2025).
17. Практическая работа №2 КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ. URL: https://www.example.com (дата обращения: 11.10.2025).
18. ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ | УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ. URL: https://www.example.com (дата обращения: 11.10.2025).
19. Теория управления (учебно-методическое пособие). URL: https://www.example.com (дата обращения: 11.10.2025).
20. Структурные схемы САУ и их преобразования. URL: https://www.example.com (дата обращения: 11.10.2025).
21. Эквивалентные преобразования структурных схем. URL: https://www.example.com (дата обращения: 11.10.2025).
22. Правила преобразования структурных схем. URL: https://www.example.com (дата обращения: 11.10.2025).
23. 5.2. Преобразование структурных схем | KAI.RU. URL: https://www.kai.ru (дата обращения: 11.10.2025).
24. 7.3. Эквивалентные преобразования структурных схем | MAGTU.RU. URL: https://www.magtu.ru (дата обращения: 11.10.2025).