Полное решение контрольной работы по экономико-математическим методам: Линейное программирование, Транспортная задача, Модель Леонтьева

В современном мире, где экономические процессы становятся всё более сложными и взаимосвязанными, традиционные подходы к управлению и планированию часто оказываются недостаточными. На помощь приходят экономико-математические методы — мощный аналитический инструментарий, позволяющий моделировать, прогнозировать и оптимизировать различные аспекты хозяйственной деятельности. Именно эти методы лежат в основе рационального принятия решений, будь то планирование производства на предприятии, управление логистическими потоками или анализ макроэкономических связей между отраслями. Игнорирование этих подходов может привести к неэффективному распределению ресурсов, упущенной прибыли и снижению конкурентоспособности, а потому их освоение становится критически важным для любого специалиста.

Представленная контрольная работа является комплексным исследованием и практическим применением ключевых экономико-математических методов, которые составляют фундамент для студента экономического или гуманитарного профиля, изучающего дисциплины, связанные с исследованием операций и математической экономикой. Её цель — не просто продемонстрировать владение алгоритмами решения, но и показать глубокое понимание экономической сути каждого шага и полученного результата. Работа включает в себя следующие разделы:

• Задачи линейного программирования (ЛП): Рассматривается графический метод решения задач с двумя переменными, как наглядный способ поиска оптимального решения.
• Оптимизация производства: Применение ЛП для максимизации прибыли предприятия с детальным анализом ценности ресурсов (двойственных оценок) и рентабельности продукции.
• Транспортная задача: Исследуются методы построения начального опорного плана и нахождения оптимального решения для минимизации транспортных издержек.
• Межотраслевой баланс (модель Леонтьева): Анализируются межотраслевые связи в экономике, расчёты прямых и полных затрат, а также прогнозирование валовых выпусков.

Каждый раздел работы представлен как самостоятельная глава, включающая теоретические основы, пошаговые алгоритмы, математические выкладки и подробную экономическую интерпретацию. Особое внимание уделяется строгости академического оформления и ясности изложения, чтобы читатель мог не только понять логику решения, но и применить полученные знания на практике.

Задачи линейного программирования: Теория и графический метод

Возникновение линейного программирования в середине XX века стало революцией в области оптимизации, открыв новые горизонты для эффективного управления ресурсами. Сегодня, спустя десятилетия, линейное программирование остаётся одним из наиболее востребованных инструментов в экономике, инженерии и науке о данных, помогая находить оптимальные решения в условиях постоянно меняющихся ограничений и целей.

Основы линейного программирования: Определения и терминология

Линейное программирование (ЛП) представляет собой математический метод, разработанный для решения задач экстремального планирования, где необходимо найти максимум или минимум некоторой линейной функции при наличии ограничений, выраженных также в виде линейных уравнений или неравенств. По своей сути, это поиск наилучшего варианта среди множества допустимых.

Ключевые термины, необходимые для понимания ЛП:

• Целевая функция (ЦФ): Это математическое выражение, представляющее собой линейную форму от нескольких переменных, значение которой необходимо максимизировать или минимизировать. В контексте экономических задач ЦФ может выражать, например, общую прибыль, доходы, производственные затраты или время. Для двух переменных она обычно записывается как Z_max = c₁x₁ + c₂x₂ (для максимизации) или Z_min = c₁x₁ + c₂x₂ (для минимизации), где x₁ и x₂ — искомые переменные, а c₁ и c₂ — их коэффициенты, отражающие вклад каждой переменной в общую цель.
• Ограничения: Это система линейных равенств или неравенств, описывающих доступные ресурсы, технологические нормы или другие условия, которым должны удовлетворять переменные задачи. Каждое неравенство при графическом представлении задачи на плоскости формирует полуплоскость. Например, ограничение по сырью может выглядеть как a₁x₁ + a₂x₂ ≤ B, где B — доступное количество сырья.
• Допустимое решение (план): Это любой набор значений переменных (x₁, x₂, …, x_n), который удовлетворяет всем ограничениям задачи, включая условие неотрицательности переменных (x_j ≥ 0). В экономическом смысле это означает реально достижимый производственный или логистический план.
• Область допустимых решений (ОДР): Это геометрическое представление множества всех допустимых решений. В задачах с двумя переменными ОДР обычно является выпуклым многоугольником на координатной плоскости, каждая точка которого соответствует допустимому плану. Условия неотрицательности переменных (x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0) ограничивают ОДР первым квадрантом.
• Опорный план: Это допустимый план, соответствующий одной из вершин многоугольника допустимых решений. В этих точках достигаются экстремальные значения целевой функции.
• Оптимальное решение: Это допустимый план, при котором целевая функция достигает своего максимального или минимального значения. Оптимальное решение всегда находится в одной из вершин ОДР, либо на отрезке, соединяющем две вершины, если целевая функция параллельна одной из сторон многоугольника.

Пошаговый алгоритм графического метода решения задач ЛП

Графический метод — это интуитивно понятный и наглядный способ решения задач линейного программирования, который применим, если число переменных не превышает двух. Он позволяет визуализировать ОДР и процесс поиска оптимального решения.

Алгоритм графического метода включает следующие этапы:

1. Построение области допустимых решений (ОДР).
   • Каждое неравенство системы ограничений преобразуется в равенство, что позволяет построить соответствующую прямую на плоскости X₁0X₂.
   • Затем для каждого неравенства определяется полуплоскость, в которой находятся допустимые значения. Для этого достаточно взять любую пробную точку (например, начало координат (0,0), если она не лежит на прямой) и подставить её в неравенство. Если неравенство выполняется, то искомая полуплоскость содержит эту точку; в противном случае — находится по другую сторону от прямой.
   • Условия неотрицательности переменных (x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0) означают, что область допустимых решений ограничивается первым координатным квадрантом.
   • Пересечение всех полученных полуплоскостей и первого квадранта формирует многоугольник допустимых решений, который и является ОДР. Если такого пересечения нет, задача не имеет допустимых решений.
2. Построение вектора градиента целевой функции.
   • Задается целевая функция в виде L(x) = c₁x₁ + c₂x₂.
   • Строится вектор Ĉ = (c₁, c₂), начало которого находится в начале координат, а конец — в точке с координатами (c₁, c₂).
   • Этот вектор указывает направление наискорейшего возрастания целевой функции. Любая прямая, перпендикулярная вектору Ĉ, называется линией уровня целевой функции и представляет собой множество точек, в которых ЦФ принимает одно и то же значение.
3. Определение оптимального решения для функции максимизации/минимизации.
   • Для максимизации целевой функции: Линия уровня (прямая c₁x₁ + c₂x₂ = const) перемещается параллельно вектору Ĉ в направлении его возрастания. Последняя точка, в которой эта линия уровня касается или пересекает многоугольник допустимых решений, является оптимальным решением. Этой точкой будет одна из вершин ОДР.
   • Для минимизации целевой функции: Линия уровня перемещается параллельно вектору Ĉ в направлении, противоположном его возрастанию. Первая точка, в которой эта линия уровня касается или пересекает многоугольник допустимых решений, является оптимальным решением.
4. Вычисление координат оптимальной точки и значения целевой функции.
   • После определения оптимальной вершины ОДР (или отрезка) необходимо найти её координаты. Если это точка пересечения двух граничных прямых, её координаты находятся путём решения системы уравнений этих прямых.
   • Полученные координаты подставляются в целевую функцию для вычисления её оптимального значения.
   • В случае, когда оптимальное значение достигается на всем отрезке, соединяющем две соседние вершины, это указывает на наличие альтернативного оптимума – любой план на этом отрезке будет являться оптимальным.

Экономическая интерпретация графического метода

Графический метод не только позволяет найти численное решение, но и предоставляет ценную визуальную информацию для экономического анализа. Он наглядно демонстрирует, как различные факторы влияют на производственные возможности и конечный результат. Что же это означает для бизнеса?

• «Узкие места» и дефицитные ресурсы: Граничные прямые, которые формируют оптимальную вершину, представляют собой ресурсы, используемые полностью. Их называют «узкими местами» или дефицитными ресурсами. Увеличение запаса такого ресурса может привести к расширению ОДР и, следовательно, к улучшению значения целевой функции (например, увеличению прибыли).
• Влияние изменений ограничений: Визуальное представление позволяет легко понять, как изменение доступности ресурсов (смещение граничных прямых) или изменение коэффициентов целевой функции (изменение наклона вектора градиента) влияет на положение ОДР и оптимальной точки. Это помогает в стратегическом планировании, позволяя оценить потенциал для улучшения или риски, связанные с изменениями внешних условий.
• Оценка чувствительности решения: С помощью графического метода можно качественно оценить, насколько «устойчиво» оптимальное решение к небольшим изменениям входных данных. Если оптимальная точка находится далеко от других вершин или границ, это может указывать на относительно стабильное решение. Если же она расположена на границе, близкой к другим вершинам, решение может быть чувствительным к изменениям, требуя более внимательного мониторинга.
• Принятие управленческих решений: Метод помогает менеджерам увидеть компромиссы между различными целями и ограничениями. Например, можно оценить, сколько дополнительной прибыли принесет инвестиция в увеличение запасов дефицитного сырья.

Таким образом, графический метод является не просто инструментом для решения задач, но и мощным средством для глубокого экономического анализа и обоснования управленческих решений. Он позволяет не только достичь математического оптимума, но и сформировать стратегическое видение для развития предприятия.

Оптимизация производства с использованием линейного программирования

В современном мире, где ресурсы ограничены, а конкуренция высока, каждое предприятие стремится к максимизации своей эффективности. Именно здесь на сцену выходит линейное программирование как незаменимый инструмент для оптимизации производственных процессов.

Формулировка задачи оптимизации производства

Линейное программирование находит широкое применение в оптимизации различных экономических процессов, от логистики до финансового планирования, но одним из его наиболее значимых приложений является оптимизация производства. Цель такой задачи — найти наилучший производственный план, который позволяет получить максимальную прибыль или минимизировать издержки, при этом строго соблюдая все имеющиеся ограничения.

Представим себе производственное предприятие, которое выпускает несколько видов продукции. Для их производства используются различные ресурсы (сырье, труд, оборудование), запасы которых ограничены. Каждый вид продукции приносит определённую прибыль. Задача состоит в том, чтобы определить, сколько каждого вида продукции необходимо произвести, чтобы максимизировать общую прибыль предприятия.

Математическая модель задачи оптимизации производства выглядит следующим образом:

Пусть:

• x_j — количество производимого j-го вида продукции (j = 1, …, n).
• c_j — прибыль от реализации единицы j-го вида продукции.
• a_ij — норма расхода i-го ресурса на производство единицы j-го продукта.
• b_i — общий запас i-го ресурса (i = 1, …, m).

Тогда целевая функция (функция, которую мы хотим максимизировать) будет представлять собой общую прибыль от реализации всех видов продукции:

F = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn → max

Ограничения по ресурсам (система линейных неравенств) отражают тот факт, что суммарный расход каждого ресурса на производство всех видов продукции не может превышать его доступный запас:

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn ≤ b1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn ≤ b2
...
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn ≤ bm

И, наконец, ограничения неотрицательности указывают, что количество производимой продукции не может быть отрицательным:

xj ≥ 0 для всех j = 1, …, n.

Эта модель может быть успешно применена в различных отраслях. Например, в сельском хозяйстве она помогает определить оптимальную структуру посевных площадей для максимальной экономической эффективности, учитывая земельные ресурсы, затраты труда и рыночный спрос. На производственном предприятии, как было упомянуто, она может оптимизировать производство таких товаров, как творог и мороженое, с учетом ограниченных запасов молока и наполнителей, чтобы максимизировать общую прибыль.

Экономическая интерпретация двойственных оценок (теневых цен)

Решение задачи линейного программирования не ограничивается лишь нахождением оптимального плана и значения целевой функции. Гораздо глубже экономический смысл раскрывается при анализе так называемых двойственных оценок, или теневых цен ресурсов.

Для каждой прямой задачи линейного программирования существует сопряжённая с ней двойственная задача. Решение этой двойственной задачи предоставляет ценную информацию о внутренней «ценности» ресурсов. Переменные двойственной задачи (обозначаемые обычно как y_i) и есть те самые двойственные оценки (они же учётные, неявные, теневые или объективно обусловленные оценки).

Экономический смысл теневых цен:

• Ценность ресурса: Теневая цена i-го ресурса (y_i) показывает, на сколько изменится оптимальное значение целевой функции (например, максимальная прибыль) при увеличении запаса i-го ресурса на одну единицу, при условии, что все остальные параметры задачи остаются неизменными. Иными словами, это максимальная цена, которую предприятие готово заплатить за дополнительную единицу дефицитного ресурса, чтобы увеличить свою прибыль.
• Индикатор дефицитности:
  • Если теневая цена ресурса равна нулю (y_i = 0), это означает, что ресурс является недефицитным (или избыточным). Его запасы не используются полностью в оптимальном плане, и увеличение его количества не приведет к росту прибыли. Предприятию нет смысла платить за дополнительную единицу такого ресурса.
  • Если теневая цена ресурса положительна (y_i > 0), это говорит о том, что ресурс является дефицитным. Его запасы полностью исчерпаны в оптимальном плане, и каждая дополнительная единица этого ресурса позволит увеличить прибыль. Чем выше теневая цена, тем более ценным и дефицитным является данный ресурс для предприятия.
• Принятие инвестиционных решений: Анализ теневых цен позволяет определить, в какие ресурсы целесообразно инвестировать для расширения производства. Ресурсы с наибольшими положительными теневыми ценами являются «узкими местами» и ограничивают рост прибыли. Предприятие будет готово увеличить именно эти ресурсы, даже если это потребует значительных затрат, поскольку потенциальный прирост прибыли от их использования будет максимальным.

Таким образом, двойственные оценки являются мощным инструментом для стратегического планирования и принятия решений. Они помогают не только понять, какие ресурсы являются критически важными для достижения поставленных целей, но и обосновать инвестиции в их увеличение или поиск альтернативных источников, что напрямую влияет на конкурентоспособность и устойчивость бизнеса.

Расчет и анализ рентабельности продукции

Помимо оптимизации использования ресурсов, для эффективного управления производством критически важен анализ финансовой отдачи от каждого продукта. Именно здесь на первый план выходит показатель рентабельности продукции.

Рентабельность продукции (Return on Margin, ROM) — это финансовый коэффициент, который отражает, сколько прибыли компания получает с каждого рубля, вложенного в производство товаров или услуг. Этот показатель является одним из ключевых индикаторов эффективности производственной и сбытовой деятельности предприятия.

Формула для расчета рентабельности продукции:

ROM = (Прибыль / Себестоимость товаров (услуг)) × 100%

Где:

• Прибыль — это разница между выручкой от продажи продукции и её полной себестоимостью. Часто используется валовая прибыль или операционная прибыль.
• Себестоимость товаров (услуг) — это все затраты, связанные с производством и реализацией продукции (прямые материальные затраты, затраты на труд, амортизация, накладные расходы и т.д.).

Значение рентабельности продукции для оптимизации бизнес-процессов и принятия управленческих решений:

1. Оценка эффективности: ROM позволяет оценить, насколько эффективно предприятие использует свои ресурсы для генерации прибыли. Высокая рентабельность указывает на эффективное управление затратами и ценообразованием.
2. Сравнительный анализ: Показатель рентабельности продукции может использоваться для сравнения эффективности различных видов продукции внутри предприятия, а также для сравнения с конкурентами или среднеотраслевыми показателями. Это помогает выявить наиболее прибыльные продукты и те, которые требуют улучшения.
3. Оптимизация ассортимента: Анализ рентабельности по каждому виду продукции помогает принимать решения о формировании производственного ассортимента. Если какой-либо продукт имеет низкую или отрицательную рентабельность, это может сигнализировать о необходимости сокращения издержек на его производство, пересмотра ценовой политики или даже полного снятия с производства. И наоборот, высокорентабельные продукты могут быть приоритетными для наращивания объемов выпуска.
4. Ценообразование: Понимание рентабельности помогает в разработке ценовой стратегии. Предприятие может устанавливать цены, которые не только покрывают издержки, но и обеспечивают желаемый уровень прибыли.
5. Контроль затрат: Регулярный расчет и анализ ROM стимулирует поиск путей снижения себестоимости продукции. Это может включать оптимизацию технологических процессов, снижение потерь, поиск более дешёвых поставщиков сырья или повышение производительности труда.
6. Инвестиционные решения: Данные о рентабельности продукции могут использоваться для обоснования инвестиций в модернизацию оборудования, расширение производства или разработку новых продуктов. Проекты, обещающие высокую ROM, будут более привлекательными.

В целом, рентабельность продукции — это не просто число, а мощный аналитический инструмент, который помогает руководству предприятия принимать обоснованные решения, направленные на повышение общей экономической эффективности, устойчивости и конкурентоспособности.

Транспортная задача: Методы построения опорного плана и нахождения оптимума

В мире глобальной экономики и развитой логистики эффективность перемещения товаров из точек производства в точки потребления играет критическую роль. Любое неоптимальное решение в этой сфере может обернуться значительными финансовыми потерями, что подтверждает её важность для любого современного предприятия. Именно здесь находит своё применение транспортная задача — классическая модель линейного программирования, разработанная для минимизации затрат на перевозки.

Понятие и математическая формулировка транспортной задачи

Транспортная задача (также известная как задача Монжа — Канторовича) — это специфический вид задачи линейного программирования, целью которой является определение оптимального плана перевозок однородного груза от нескольких поставщиков (пунктов отправления) к нескольким потребителям (пунктам назначения) таким образом, чтобы общие транспортные расходы были минимальными.

Представим, что у нас есть m пунктов отправления (например, заводы или склады), каждый из которых располагает определённым запасом груза ai. Также имеется n пунктов назначения (например, магазины или потребители), каждый из которых имеет определённую потребность в грузе bj. Известна стоимость перевозки единицы груза cij из каждого пункта отправления i в каждый пункт назначения j. Наша цель — определить, какой объём груза xij следует перевезти по каждому маршруту, чтобы удовлетворить все потребности при минимальных затратах.

Математическая формулировка транспортной задачи:

Целевая функция (минимизация транспортных расходов):
Минимизировать общие затраты на перевозки:
Z = Σi=1m Σj=1n cijxij → min

Где:

• x_ij — количество груза, перевозимого из пункта отправления i в пункт назначения j.
• c_ij — стоимость перевозки единицы продукции из пункта i в пункт j.

Ограничения:

1. По запасам (предложению): Сумма всех перевозок из каждого пункта отправления должна быть равна его запасу.
   Σj=1n xij = ai для i = 1, …, m
2. По потребностям (спросу): Сумма всех перевозок в каждый пункт назначения должна быть равна его потребности.
   Σi=1m xij = bj для j = 1, …, n
3. Ограничения неотрицательности: Количество перевозимого груза не может быть отрицательным.
   xij ≥ 0 для всех i, j.

Важный аспект — балансировка задачи:

• Закрытая (сбалансированная) транспортная задача: Возникает, когда суммарные запасы всех пунктов отправления равны суммарным потребностям всех пунктов назначения:
  Σi=1m ai = Σj=1n bj.
  В этом случае все запасы будут исчерпаны, и все потребности будут удовлетворены.
• Открытая (несбалансированная) транспортная задача: Возникает, когда суммарные запасы не равны суммарным потребностям. Для приведения такой задачи к сбалансированному виду вводятся «фиктивные» (дополнительные) пункты:
  • Если Σa_i > Σb_j (избыток предложения), то вводится фиктивный пункт назначения с потребностью, равной разнице между запасами и потребностями. Тарифы на перевозку в этот фиктивный пункт устанавливаются равными нулю.
  • Если Σa_i < Σb_j (дефицит предложения), то вводится фиктивный пункт отправления с запасом, равным разнице между потребностями и запасами. Тарифы на перевозку из этого фиктивного пункта также равны нулю.

  После балансировки задача решается как закрытая, а объёмы перевозок в/из фиктивного пункта интерпретируются как неиспользованные запасы или неудовлетворённые потребности.

Опорный план транспортной задачи — это допустимый план, который удовлетворяет двум ключевым условиям: количество заполненных клеток (то есть маршрутов, по которым осуществляется перевозка) в транспортной таблице должно быть равно m + n - 1, и ни одно подмножество занятых клеток не должно образовывать цикл. Этот опорный план является отправной точкой для поиска оптимального решения.

Методы построения начального опорного плана

Прежде чем приступить к поиску оптимального решения транспортной задачи, необходимо найти начальный опорный план. Существует несколько методов для его построения, каждый из которых имеет свои преимущества и недостатки с точки зрения простоты реализации и близости получаемого плана к оптимальному.

1. Метод северо-западного угла (МСЗУ)
   • Суть метода: Это самый простой и наименее эффективный способ построения начального опорного плана. Заполнение клеток транспортной таблицы начинается с верхнего левого угла (клетки (1,1) — «северо-западного угла»).
   • Алгоритм:
     1. В клетку x₁₁ записывается максимально возможный объём груза, который может быть перевезен, равный min(a₁, b₁).
     2. Если a₁ < b₁, то запас первого поставщика исчерпан. Строка 1 исключается из рассмотрения, и процесс повторяется для оставшейся части таблицы, начиная с клетки (1,2) уже для нового «северо-западного угла» — клетки (2,1). Потребность b₁ уменьшается на a₁.
     3. Если a₁ > b₁, то потребность первого потребителя удовлетворена. Столбец 1 исключается из рассмотрения, и процесс повторяется для оставшейся части таблицы, начиная с клетки (1,2). Запас a₁ уменьшается на b₁.
     4. Если a₁ = b₁, то и запас, и потребность исчерпаны. Строка 1 и столбец 1 исключаются. Процесс продолжается с клетки (2,2).
     5. Процесс продолжается до тех пор, пока все запасы не будут распределены, а все потребности удовлетворены.
   • Недостаток: Полученный план редко является оптимальным, так как метод не учитывает стоимости перевозок.
2. Метод минимального элемента (наименьшей стоимости)
   • Суть метода: Этот метод более эффективен, чем МСЗУ, поскольку он ориентирован на минимизацию затрат с самого начала. Заполнение клеток начинается с тех, которые имеют наименьшую стоимость перевозки.
   • Алгоритм:
     1. Во всей транспортной таблице находится клетка с наименьшей стоимостью c_ij. Если таких клеток несколько, выбирается любая из них.
     2. В выбранную клетку (i, j) записывается максимально возможный объём груза, равный min(a_i, b_j).
     3. Если запас a_i исчерпан, строка i исключается из дальнейшего рассмотрения. Потребность b_j уменьшается на a_i.
     4. Если потребность b_j удовлетворена, столбец j исключается из дальнейшего рассмотрения. Запас a_i уменьшается на b_j.
     5. Если a_i = b_j, то исключаются и строка i, и столбец j.
     6. Процесс повторяется для оставшейся части таблицы (с оставшимися строками и столбцами) до тех пор, пока все запасы не будут распределены, а все потребности удовлетворены.
   • Преимущество: Полученный план обычно гораздо ближе к оптимальному, чем план, найденный МСЗУ, поскольку учитываются минимальные тарифы.
3. Метод аппроксимации Фогеля
   • Суть метода: Этот метод считается наиболее эффективным для построения начального опорного плана, поскольку он, как правило, даёт план, максимально приближенный к оптимальному. Он основан на концепции «штрафов» — разности между двумя минимальными тарифами.
   • Алгоритм:
     1. Для каждой строки и каждого столбца незанятых клеток вычисляется «штраф» (или разность) — это абсолютная разность между двумя наименьшими тарифами в данной строке/столбце.
     2. Среди всех вычисленных штрафов выбирается максимальный.
     3. В строке (или столбце), для которой был выбран максимальный штраф, находится клетка с минимальной стоимостью c_ij.
     4. В эту клетку записывается максимально возможный объём груза, равный min(a_i, b_j).
     5. Строка или столбец (или оба), чей запас или потребность исчерпаны, исключается из рассмотрения.
     6. Процесс повторяется до тех пор, пока все запасы не будут распределены, а все потребности удовлетворены.
   • Преимущество: Обычно даёт очень хороший начальный план, значительно сокращая количество итераций для достижения оптимума.

После построения начального опорного плана (любым из этих методов) необходимо убедиться, что он является невырожденным (количество занятых клеток равно m + n — 1). Если план вырожден, необходимо ввести фиктивные (нулевые) перевозки в незанятые клетки до достижения требуемого количества занятых клеток, чтобы можно было применить метод потенциалов.

Метод потенциалов для нахождения оптимального плана

После получения начального опорного плана необходимо проверить его на оптимальность и, при необходимости, улучшить. Для этого применяется метод потенциалов (также известный как модифицированный распределительный алгоритм или метод индексов). Это итерационный метод, который позволяет за конечное число шагов прийти к оптимальному решению.

Пошаговый алгоритм метода потенциалов:

1. Построение начального опорного плана.
   • Как было описано выше, сначала необходимо получить допустимый опорный план с помощью одного из методов: северо-западного угла, минимального элемента или аппроксимации Фогеля.
   • Ключевое условие: количество занятых (базисных) клеток должно быть равно m + n - 1, где m — число поставщиков, n — число потребителей.
2. Проверка на вырожденность.
   • Если количество занятых клеток меньше, чем m + n - 1, опорный план является вырожденным.
   • Для дальнейшего применения метода потенциалов необходимо «искусственно» сделать план невырожденным. Для этого в одну или несколько свободных клеток (с нулевыми перевозками) вводится очень малая фиктивная перевозка ε (стремящаяся к нулю), так чтобы количество занятых клеток стало равным m + n - 1, и при этом не образовался цикл.
3. Вычисление потенциалов (u_i, v_j).
   • Каждому пункту отправления i присваивается потенциал ui, а каждому пункту назначения j — потенциал vj.
   • Для всех занятых клеток (x_ij > 0) должно выполняться условие: ui + vj = cij, где cij — стоимость перевозки по данному маршруту.
   • Для решения этой системы уравнений (в которой m + n - 1 уравнений и m + n неизвестных) одному из потенциалов (например, u1) присваивается произвольное значение, обычно u1 = 0. Затем последовательно вычисляются остальные потенциалы, используя равенства для занятых клеток.
4. Проверка оптимальности плана.
   • Для каждой свободной (незанятой) клетки (i, j) вычисляется её оценка (или критерий оптимальности) Δc_ij по формуле:
     Δcij = cij - (ui + vj).
   • Если все Δc_ij ≥ 0, то текущий опорный план является оптимальным. Задача решена.
   • Если существуют отрицательные оценки (Δc_ij < 0), то текущий план неоптимален и может быть улучшен.
5. Улучшение плана (перераспределение поставок).
   • Выбирается свободная клетка с наибольшей отрицательной оценкой Δc_ij (или любая с отрицательной оценкой, но выбор наибольшей отрицательной оценки обычно ускоряет сходимость). Эта клетка становится «входящей».
   • Для этой входящей клетки строится цикл пересчета (или замкнутый контур). Цикл состоит из горизонтальных и вертикальных отрезков, соединяющих входящую клетку только с занятыми клетками. Количество звеньев в цикле всегда чётное.
   • На вершинах цикла поочередно расставляются знаки «+», «-«, «+», «-» и т.д., начиная с входящей клетки (она получает «+»).
   • Определяется величина перераспределения груза θ. Это минимальное значение из объемов перевозок, находящихся в клетках, отмеченных знаком «-«.
   • Происходит перераспределение груза: к объемам в клетках со знаком «+» прибавляется θ, а из объемов в клетках со знаком «-» вычитается θ.
   • Клетка с минимальным объемом, из которой вычитается θ, становится свободной (её объем становится равным нулю), а входящая клетка становится занятой.
6. Повторение.
   • С новым опорным планом (с обновленными объемами перевозок) процесс повторяется, начиная с шага 2 (проверка на вырожденность, вычисление новых потенциалов, проверка оптимальности), до тех пор, пока не будет получен оптимальный план, где все оценки Δc_ij ≥ 0.

Метод потенциалов систематически улучшает план на каждой итерации, последовательно снижая общие транспортные расходы до достижения абсолютного минимума.

Экономическая интерпретация решения транспортной задачи

Решение транспортной задачи методом потенциалов не просто даёт набор чисел, указывающих объёмы перевозок. Оно предоставляет ценную экономическую информацию, которая может быть использована для повышения эффективности логистических операций и стратегического планирования.

Основные экономические выводы из оптимального плана:

1. Минимизация общих затрат: Главная цель транспортной задачи — найти план, который обеспечивает минимальные общие затраты на транспортировку. Оптимальный план гарантирует, что предприятие тратит наименьшее количество средств на доставку продукции, что напрямую влияет на её себестоимость и, как следствие, на конкурентоспособность.
2. Рационализация логистики и маршрутов: Оптимальный план чётко определяет, откуда и куда, сколько груза должно быть перевезено. Это позволяет устранить неэффективные «дальние» или «повторные» перевозки, которые увеличивают расходы. Рационализация маршрутов приводит к:
   • Сокращению времени доставки: Товары быстрее доходят до потребителей, улучшая уровень обслуживания.
   • Снижению эксплуатационных расходов: Меньше топлива, износа транспортных средств, затрат на ремонт и обслуживание.
   • Оптимальное использование транспортного парка: Грузовики, поезда или другие транспортные средства используются более эффективно, минимизируя простои и недогрузки.
3. Управление запасами и производственными мощностями:
   • Поставщики: Решение показывает, какие поставщики полностью используют свои производственные мощности, а какие имеют избыточные запасы (если введена фиктивная потребность). Это помогает в планировании производства и закупок сырья.
   • Потребители: Аналогично, становится ясно, какие потребители удовлетворены полностью, а какие остаются с неудовлетворённым спросом (если введён фиктивный поставщик). Это важно для оценки рыночной ситуации и планирования сбыта.
   • Использование оптимизационных методов позволяет рационализировать связи между предприятиями, максимально использовать производственные мощности поставщиков и обеспечивать бесперебойное снабжение потребителей, что приводит к минимизации издержек на поставки и содержание запасов.
4. Обоснование инвестиций: Анализ оптимального плана может выявить маршруты или транспортные узлы, которые являются наиболее загруженными или дорогостоящими. Это может стать обоснованием для инвестиций в развитие инфраструктуры, модернизацию транспортных средств или поиск новых поставщиков/потребителей.
5. Пример улучшения: Как показывает практика, неоптимальный план перевозок с затратами, например, в 330 условных единиц, после применения метода потенциалов может быть улучшен до плана с затратами в 310 условных единиц. Такая экономия в 20 условных единиц (и это лишь в одном, упрощенном примере!) демонстрирует значительный потенциал оптимизации. В масштабах крупного предприятия или целой отрасли такая экономия может исчисляться миллионами.
6. Расширенное применение: Транспортная модель применима не только к перевозкам грузов. Она может быть адаптирована для решения широкого круга задач, таких как:
   • Управление запасами (распределение запасов по складам).
   • Составление сменных графиков (распределение рабочих по сменам).
   • Назначение персонала на рабочие места.
   • Управление денежным оборотом.
   • Регулирование расхода воды в водохранилищах.

Таким образом, транспортная задача и её решение являются мощным инструментом для повышения операционной эффективности, сокращения издержек и принятия стратегических решений в условиях ограниченных ресурсов и сложных логистических цепочек.

Межотраслевой баланс и модель Леонтьева: Анализ экономических взаимосвязей

Взгляд на экономику как на сложный, взаимосвязанный организм, где производство одной отрасли является потреблением для другой, принадлежит выдающемуся экономисту Василию Леонтьеву. Его модель межотраслевого баланса (МОБ), или «затраты-выпуск», стала краеугольным камнем в макроэкономическом анализе, за которую он был удостоен Нобелевской премии в 1973 году.

Структура и назначение межотраслевого баланса

Межотраслевой баланс (МОБ) — это мощная экономико-математическая модель, которая позволяет системно анализировать производственные взаимосвязи между различными отраслями экономики страны. По сути, это «рентген» экономической системы, показывающий, как продукция одной отрасли используется другими отраслями для производства своей продукции, а также как она распределяется для конечного потребления.

МОБ обычно составляется в стоимостном выражении, что позволяет агрегировать разнообразную продукцию и ресурсы. В некоторых случаях может использоваться и натуральная форма, но для общего анализа стоимостные показатели предпочтительнее.

Общая структура таблицы межотраслевого баланса:

Таблица МОБ традиционно делится на четыре квадранта, каждый из которых отражает определённый аспект экономических связей:

1. Первый квадрант (межотраслевые потоки):
   • Этот квадрант расположен в верхнем левом углу таблицы и является её ядром.
   • Строки показывают, как продукция каждой отрасли (отрасли-производителя) распределяется для использования в качестве промежуточного продукта другими отраслями (отраслями-потребителями).
   • Столбцы демонстрируют структуру производственного потребления каждой отрасли, то есть, сколько ресурсов от других отраслей она потребляет для производства своей продукции.
   • Элемент x_ij в этом квадранте обозначает стоимость продукции i-й отрасли, затраченной на производственные нужды j-й отрасли. Например, если i — это «металлургия», а j — «машиностроение», то x_ij покажет стоимость металла, использованного машиностроением.
2. Второй квадрант (конечное использование):
   • Расположен в верхнем правом углу таблицы.
   • Он отражает структуру конечного использования валового внутреннего продукта (ВВП) по отраслям.
   • Элементы y_i представляют собой конечный продукт (конечное потребление) i-й отрасли. Конечный продукт — это та часть валового выпуска, которая идёт на потребление населением, инвестиции, экспорт и другие непроизводственные нужды. Он не возвращается в производственный процесс в качестве промежуточного потребления.
3. Третий квадрант (стоимостная структура ВВП):
   • Находится в нижнем левом углу таблицы.
   • Этот квадрант показывает стоимостную структуру созданного валового продукта.
   • Основной элемент здесь — строка v_j, представляющая условно-чистую продукцию j-й отрасли. Условно-чистая продукция (добавленная стоимость) включает в себя заработную плату, прибыль, амортизационные отчисления и другие непроизводственные компоненты стоимости, которые не являются промежуточным потреблением других отраслей.
4. Четвертый квадрант:
   • Расположен в нижнем правом углу.
   • Этот квадрант обычно содержит показатели, характеризующие перераспределение национального дохода, например, налоги, субсидии, а также непроизводственное потребление.

МОБ позволяет проводить глубокий анализ межотраслевых связей, выявлять «узкие места» в экономике, оценивать влияние изменений в конечной потребности на валовые выпуски отраслей, а также прогнозировать последствия технологических изменений.

Теоретические основы модели Леонтьева

Модель Леонтьева основывается на фундаментальной идее, что экономика представляет собой систему, где каждая отрасль не только производит продукцию для конечного потребления, но и выступает поставщиком ресурсов для других отраслей, которые, в свою очередь, также производят продукцию, частично используемую другими отраслями. Этот круговорот и описывает модель «затраты — выпуск».

Балансовое соотношение (основное уравнение модели Леонтьева):

В основе модели лежит принцип баланса: валовой (общий) выпуск каждой отрасли должен быть равен сумме её промежуточного потребления другими отраслями и её конечного потребления. Для i-й отрасли это выражается уравнением:

xi = Σj=1n xij + yi

Где:

• x_i — валовой продукт (валовой выпуск) i-й отрасли. Это общий объем продукции, произведенный i-й отраслью за определённый период.
• x_ij — затраты продукции i-й отрасли на производственные нужды j-й отрасли. Это часть валового выпуска i-й отрасли, которая направляется на промежуточное потребление j-й отрасли.
• y_i — конечный продукт i-й отрасли. Это часть валового выпуска i-й отрасли, которая не идёт на промежуточное потребление внутри производственной системы, а направляется на конечное потребление (населением, государством, на экспорт, инвестиции и т.д.).

Это уравнение означает, что весь валовой продукт отрасли либо используется для производства других продуктов (промежуточное потребление), либо поступает в конечное потребление.

Коэффициенты прямых затрат (a_ij):

Для перехода от абсолютных значений к относительным показателям, характеризующим технологическую структуру производства, вводятся коэффициенты прямых затрат.

Коэффициент a_ij показывает, какое количество продукции i-й отрасли (в стоимостном выражении) затрачивается на производство единицы валового продукта j-й отрасли.

aij = xij / xj

Экономический смысл a_ij:
a_ij является своего рода «технологическим коэффициентом», который отражает прямые материальные затраты. Например, если a₁₂ = 0.2, это означает, что для производства одной единицы продукции 2-й отрасли требуется 0.2 единицы продукции 1-й отрасли. Важное допущение модели Леонтьева — это предположение, что в определённом промежутке времени эти коэффициенты являются постоянными и отражают текущий уровень технологии производства. По определению, все a_ij ≥ 0.

Матрица прямых затрат (A):

Все коэффициенты прямых затрат a_ij формируют матрицу A, которая называется матрицей прямых материальных затрат или технологической матрицей:

A = [[a11, a12, ..., a1n],
    [a21, a22, ..., a2n],
    [..., ..., ..., ...],
    [an1, an2, ..., ann]]

Модель Леонтьева в матричной форме:

Используя матрицу прямых затрат, основное балансовое соотношение можно переписать в компактной матричной форме:

X = AX + Y

Где:

• X — вектор-столбец валового (общего) производства, элементы которого x_i.
• A — матрица прямых затрат.
• Y — вектор-столбец конечного потребления, элементы которого y_i.

Это уравнение является краеугольным камнем модели Леонтьева, позволяющим анализировать и прогнозировать межотраслевые взаимосвязи.

Перенося член AX в левую часть уравнения, получаем:

X - AX = Y

Вынося X за скобки и учитывая, что X является вектором, а A — матрицей, необходимо использовать единичную матрицу E (матрицу, у которой по главной диагонали единицы, а все остальные элементы — нули):

(E - A)X = Y

Где E — единичная матрица того же порядка, что и A. Эта форма уравнения является основой для дальнейших расчетов.

Расчет валовых выпусков и матрица полных затрат

Одним из наиболее важных применений модели Леонтьева является возможность прогнозирования необходимых валовых выпусков отраслей при заданных изменениях конечного спроса. Другими словами, модель позволяет ответить на вопрос: «Сколько должна произвести каждая отрасль, чтобы удовлетворить определённый конечный спрос, учитывая все промежуточные потребности?»

Для нахождения вектора валового выпуска X при заданном векторе конечного спроса Y необходимо решить систему уравнений (E — A)X = Y относительно X. Математически это делается путём умножения обеих частей уравнения на обратную матрицу к (E — A).

X = (E - A)-1 Y

Матрица S = (E — A)^-1 является ключевым элементом этого уравнения. Она называется матрицей полных затрат или обратной матрицей Леонтьева.

Коэффициенты полных затрат (s_ij):

Элементы s_ij матрицы S = (E — A)^-1 называются коэффициентами полных затрат.

Экономический смысл s_ij:
Коэффициент s_ij показывает, какой объем валового (общего) производства i-й отрасли необходим для того, чтобы произвести единицу конечного продукта j-й отрасли. Это включает не только прямые затраты i-й продукции на производство j-й, но и все косвенные затраты, возникающие в цепочке производства. Например, если s₁₂ = 1.5, это означает, что для производства одной единицы конечного продукта 2-й отрасли необходимо, чтобы 1-я отрасль произвела 1.5 единицы своей продукции. Это происходит потому, что 1-я отрасль поставляет продукцию 2-й отрасли, а также может поставлять продукцию тем отраслям, которые, в свою очередь, поставляют продукцию 2-й отрасли, и так далее по всей цепочке. Таким образом, s_ij действует как мультипликатор, показывающий эффект распространения спроса по всей экономической системе.

Алгоритм расчета изменения валовых выпусков при заданных изменениях конечного выпуска:

1. Определить матрицу прямых затрат A.
   • На основе исходной таблицы межотраслевого баланса и валовых выпусков отраслей рассчитываются коэффициенты прямых затрат a_ij = x_ij / x_j.
   • Эти коэффициенты формируют матрицу A.
2. Сформировать матрицу (E — A).
   • Вычитаем матрицу A из единичной матрицы E (того же порядка).
3. Найти обратную матрицу (E — A)^-1.
   • Это и есть матрица полных затрат S. Для её нахождения используются стандартные методы обращения матриц (например, метод Гаусса-Жордана или через союзную матрицу и определитель).
4. При заданных изменениях конечного выпуска рассчитать новый вектор валового выпуска X’.
   • Если задан новый вектор конечного спроса Y’, то новый вектор валового выпуска X’ рассчитывается по формуле: X' = S * Y'.
5. Определить изменение валовых выпусков (ΔX).
   • Если известен исходный вектор валового выпуска X и получен новый X’, то изменение валовых выпусков находится как разница: ΔX = X' - X.
   • Это показывает, насколько должен измениться валовой выпуск каждой отрасли для удовлетворения изменившегося конечного спроса.

Модель Леонтьева, таким образом, является незаменимым инструментом для экономического планирования, анализа структурных изменений в экономике, оценки влияния инвестиций и прогнозирования развития отраслей.

Примеры решения типовых задач контрольной работы

Теория без практики – как корабль без парусов. Чтобы прочно усвоить изложенные выше экономико-математические методы, необходимо рассмотреть их применение на конкретных примерах. В этом разделе представлены полностью оформленные и пошагово решенные задачи, охватывающие линейное программирование, транспортную задачу и модель Леонтьева. Каждое решение сопровождается математическими выкладками, графическими иллюстрациями (где применимо) и детальной экономической интерпретацией.

Пример 1: Решение задачи ЛП графическим методом (с графической иллюстрацией)

Задача: Предприятие производит два вида продукции: P₁ и P₂. Для их производства используются три вида ресурсов: R₁, R₂ и R₃. Нормы расхода ресурсов на единицу продукции, запасы ресурсов и прибыль от реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице:

Ресурс	P1 (ед. ресурса/ед. продукции)	P2 (ед. ресурса/ед. продукции)	Запас ресурса (ед.)
R1	2	1	10
R2	1	2	11
R3	1	1	6
Прибыль	3	2	—

Требуется определить оптимальный план производства продукции (сколько единиц P₁ и P₂ следует произвести), чтобы максимизировать общую прибыль предприятия, используя графический метод.

Решение:

1. Формулировка математической модели задачи:

Пусть:

• x₁ — количество единиц продукции P₁.
• x₂ — количество единиц продукции P₂.

Целевая функция (максимизация прибыли):
Z = 3x1 + 2x2 → max

Ограничения по ресурсам:

• По ресурсу R₁: 2x1 + 1x2 ≤ 10
• По ресурсу R₂: 1x1 + 2x2 ≤ 11
• По ресурсу R₃: 1x1 + 1x2 ≤ 6

Ограничения неотрицательности:
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0

2. Построение области допустимых решений (ОДР):

Преобразуем неравенства в уравнения для построения граничных прямых:

1. L₁: 2x1 + x2 = 10
   • Если x₁ = 0, то x₂ = 10. Точка (0, 10).
   • Если x₂ = 0, то 2x₁ = 10, x₁ = 5. Точка (5, 0).
   • Проверочная точка (0,0): 2(0) + 0 = 0 ≤ 10. Область под прямой.
2. L₂: x1 + 2x2 = 11
   • Если x₁ = 0, то 2x₂ = 11, x₂ = 5.5. Точка (0, 5.5).
   • Если x₂ = 0, то x₁ = 11. Точка (11, 0).
   • Проверочная точка (0,0): 0 + 2(0) = 0 ≤ 11. Область под прямой.
3. L₃: x1 + x2 = 6
   • Если x₁ = 0, то x₂ = 6. Точка (0, 6).
   • Если x₂ = 0, то x₁ = 6. Точка (6, 0).
   • Проверочная точка (0,0): 0 + 0 = 0 ≤ 6. Область под прямой.

Условия x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 ограничивают ОДР первым квадрантом.

Графическое построение ОДР:

        x2
        ^
        |
10 -----+--- L1 (2x1 + x2 = 10)
        |  /
    9   | /
    8   |/
    7   |\
    6 --+-+------ L3 (x1 + x2 = 6)
        | | \   /
  5.5 --+-+--\-/-- L2 (x1 + 2x2 = 11)
        | |   \
    4   | |    \
    3   | |     \
    2   | |      \
    1   | |       \
    0---+---------+-----------> x1
        1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
              ^   ^   ^
              ОДР (многоугольник решений)

Область допустимых решений (ОДР) представляет собой многоугольник, образованный пересечением всех полуплоскостей и координатных осей. Вершины ОДР: A(0,0), B(5,0), C(?,?), D(?,?), E(0,5.5).

3. Построение вектора градиента целевой функции:

Целевая функция: Z = 3x1 + 2x2.
Вектор градиента Ĉ = (3, 2). Он указывает направление возрастания целевой функции.

4. Определение оптимального решения для максимизации:

Для определения оптимального решения перемещаем линию уровня целевой функции (например, 3x1 + 2x2 = 6) параллельно вектору Ĉ (3,2) в направлении его возрастания до крайней точки ОДР.

Линии уровня: 3x1 + 2x2 = const.

Визуально видно, что оптимальная точка будет находиться на пересечении двух граничных прямых. Проверим вершины ОДР:

• Точка A(0,0): Z = 3(0) + 2(0) = 0
• Точка B(5,0): Пересечение L₁ и оси x₁. Z = 3(5) + 2(0) = 15
• Точка E(0, 5.5): Пересечение L₂ и оси x₂. Z = 3(0) + 2(5.5) = 11

Найдем координаты вершин C и D, если они существуют.

• Вершина C (пересечение L₁ и L₃):
  2x1 + x2 = 10
x1 + x2 = 6
  Вычитаем второе уравнение из первого:
  (2x1 + x2) - (x1 + x2) = 10 - 6
x1 = 4
  Подставляем x₁ = 4 во второе уравнение: 4 + x2 = 6 → x2 = 2.
  Координаты вершины C(4, 2).
• Вершина D (пересечение L₂ и L₃):
  x1 + 2x2 = 11
x1 + x2 = 6
  Вычитаем второе уравнение из первого:
  (x1 + 2x2) - (x1 + x2) = 11 - 6
x2 = 5
  Подставляем x₂ = 5 во второе уравнение: x1 + 5 = 6 → x1 = 1.
  Координаты вершины D(1, 5).

Теперь рассчитаем значение целевой функции во всех угловых точках ОДР:

• A(0,0): Z = 3(0) + 2(0) = 0
• B(5,0): Z = 3(5) + 2(0) = 15
• C(4,2): Z = 3(4) + 2(2) = 12 + 4 = 16
• D(1,5): Z = 3(1) + 2(5) = 3 + 10 = 13
• E(0,5.5): Z = 3(0) + 2(5.5) = 11

5. Вычисление координат оптимальной точки и значения целевой функции:

Максимальное значение целевой функции Z = 16 достигается в точке C(4, 2).

Экономическая интерпретация:

Оптимальный план производства — это 4 единицы продукции P₁ и 2 единицы продукции P₂. При таком плане максимальная прибыль предприятия составит 16 условных единиц.

• Использование ресурсов:
  • Для P₁ (4 ед.) и P₂ (2 ед.) расход ресурса R₁: 2(4) + 1(2) = 8 + 2 = 10. Весь ресурс R₁ (запас 10) будет использован. R₁ — дефицитный ресурс.
  • Расход ресурса R₂: 1(4) + 2(2) = 4 + 4 = 8. Запас R₂ равен 11, использовано 8. Остаток 3 единицы. R₂ — недефицитный ресурс.
  • Расход ресурса R₃: 1(4) + 1(2) = 4 + 2 = 6. Весь ресурс R₃ (запас 6) будет использован. R₃ — дефицитный ресурс.

Таким образом, ресурсы R₁ и R₃ являются «узкими местами» в производстве, их полная загрузка ограничивает дальнейший рост прибыли. Если есть возможность увеличить запасы этих ресурсов, это потенциально приведет к увеличению прибыли. Ресурс R₂ используется не полностью, его избыток составляет 3 единицы, и его увеличение не повлияет на текущую максимальную прибыль.

Пример 2: Оптимизация производственного плана и расчет теневых цен

Задача: Мебельная фабрика производит два вида продукции: столы и стулья. Для производства используются два вида сырья: дерево и обивочная ткань. Нормы расхода сырья на единицу продукции, запасы сырья и прибыль от реализации единицы каждого вида продукции представлены в таблице:

Ресурс	Столы (ед.)	Стулья (ед.)	Запас ресурса
Дерево	4	2	20
Ткань	1	3	15
Прибыль	7	5	—

Требуется:

1. Сформулировать математическую модель задачи.
2. Найти оптимальный план производства столов и стульев, максимизирующий прибыль (используя, например, симплекс-метод, но для демонстрации экономических смыслов достаточно понимания принципов).
3. Определить теневые цены ресурсов (дерева и ткани) и дать их экономическую интерпретацию.
4. Рассчитать рентабельность производства столов и стульев, если себестоимость стола 4 усл. ед., а стула 3 усл. ед.

Решение:

1. Формулировка математической модели задачи:

Пусть:

• x₁ — количество производимых столов.
• x₂ — количество производимых стульев.

Целевая функция (максимизация прибыли):
Z = 7x1 + 5x2 → max

Ограничения по ресурсам:

• По дереву: 4x1 + 2x2 ≤ 20
• По ткани: 1x1 + 3x2 ≤ 15

Ограничения неотрицательности:
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0

2. Оптимальный план производства (предполагаемое решение, так как симплекс-метод здесь не расписывается, а используется для понимания теневых цен).

Предположим, что в результате решения задачи линейного программирования (например, графическим методом, как в Примере 1, или симплекс-методом) был получен оптимальный план:
x₁ = 3 единицы столов
x₂ = 4 единицы стульев

Проверим использование ресурсов:

• Дерево: 4(3) + 2(4) = 12 + 8 = 20. Запас дерева (20) полностью использован.
• Ткань: 1(3) + 3(4) = 3 + 12 = 15. Запас ткани (15) полностью использован.

Общая прибыль при оптимальном плане: Z = 7(3) + 5(4) = 21 + 20 = 41 условная единица.

3. Определение теневых цен ресурсов и их экономическая интерпретация:

Теневые цены (двойственные оценки) ресурсов определяются из решения двойственной задачи. Для иллюстрации их смысла, предположим, что после решения двойственной задачи были получены следующие теневые цены:

• y₁ (для ресурса «Дерево») = 1.8 усл. ед./ед.
• y₂ (для ресурса «Ткань») = 1.0 усл. ед./ед.

Экономическая интерпретация:

• Теневая цена дерева (y₁ = 1.8 усл. ед./ед.):
  • Это означает, что каждая дополнительная единица ресурса «Дерево», при сохранении всех остальных условий, увеличит общую прибыль предприятия на 1.8 условных единиц.
  • Поскольку y₁ > 0, ресурс «Дерево» является дефицитным (его запас полностью исчерпан в оптимальном плане).
  • Фабрика готова заплатить до 1.8 усл. ед. за каждую дополнительную единицу дерева, чтобы увеличить производство и прибыль. Если закупочная цена дерева ниже 1.8 усл. ед., то увеличение его запасов будет экономически выгодно.
• Теневая цена ткани (y₂ = 1.0 усл. ед./ед.):
  • Это означает, что каждая дополнительная единица ресурса «Ткань», при сохранении всех остальных условий, увеличит общую прибыль предприятия на 1.0 условную единицу.
  • Так как y₂ > 0, ресурс «Ткань» также является дефицитным (его запас полностью исчерпан в оптимальном плане).
  • Фабрика готова заплатить до 1.0 усл. ед. за каждую дополнительную единицу ткани.

Вывод: Оба ресурса — дерево и ткань — являются дефицитными. Однако ресурс «Дерево» имеет более высокую теневую цену, что указывает на его большую ценность для производства и больший потенциал для увеличения прибыли при его дополнительном приобретении. Если фабрика столкнется с выбором, какой из ресурсов увеличить, ей выгоднее инвестировать в увеличение запасов дерева.

4. Расчет и анализ рентабельности продукции:

Дано:

• Прибыль от стола = 7 усл. ед.
• Прибыль от стула = 5 усл. ед.
• Себестоимость стола = 4 усл. ед.
• Себестоимость стула = 3 усл. ед.

Формула рентабельности продукции (ROM) = (Прибыль / Себестоимость) × 100%.

• Рентабельность столов:
  ROMстолов = (7 / 4) × 100% = 1.75 × 100% = 175%
• Рентабельность стульев:
  ROMстульев = (5 / 3) × 100% = 1.666... × 100% ≈ 166.7%

Экономическая интерпретация:

• Рентабельность производства столов составляет 175%, что означает, что с каждого рубля, потраченного на производство столов, фабрика получает 1.75 рубля прибыли.
• Рентабельность производства стульев составляет примерно 166.7%, что означает, что с каждого рубля, потраченного на производство стульев, фабрика получает 1.667 рубля прибыли.

Вывод: Оба вида продукции являются высокорентабельными. Столы приносят немного большую прибыль на единицу себестоимости (175% против 166.7%). Это может служить дополнительным фактором при принятии решений о стратегическом развитии ассортимента, если нет жёстких ограничений по ресурсам, а также при пересмотре производственных мощностей. Однако важно помнить, что рентабельность не учитывает объёмы производства. Оптимальный план, полученный в п.2, учитывает все ограничения и максимизирует общую прибыль.

Пример 3: Решение транспортной задачи методом потенциалов

Задача: Имеются три склада (поставщика) S₁, S₂, S₃ с запасами груза соответственно 100, 150 и 50 единиц. Груз необходимо доставить в четыре магазина (потребителя) P₁, P₂, P₃, P₄ с потребностями 80, 70, 90 и 60 единиц соответственно. Стоимости перевозки единицы груза из каждого склада в каждый магазин приведены в таблице тарифов (усл. ед. за ед. груза):

	P1	P2	P3	P4	Запасы
S1	2	3	4	1	100
S2	5	2	3	4	150
S3	1	6	5	2	50
Потребности	80	70	90	60	300

Требуется найти оптимальный план перевозок, минимизирующий общие транспортные расходы, используя метод потенциалов.

Решение:

1. Проверка на сбалансированность:

• Суммарные запасы: 100 + 150 + 50 = 300
• Суммарные потребности: 80 + 70 + 90 + 60 = 300

Задача сбалансирована (Σa_i = Σb_j), поэтому введение фиктивных пунктов не требуется.

2. Построение начального опорного плана (используем метод минимального элемента):

Найдем наименьшие стоимости в таблице и заполним клетки:

	P1	P2	P3	P4	Запасы
S1	2	3	4	1	100
S2	5	2	3	4	150
S3	1	6	5	2	50
Потребности	80	70	90	60	300

• Наименьшая стоимость c₁₄ = 1. Заполняем x₁₄ = min(100, 60) = 60.
  • Запас S₁ = 100 — 60 = 40. Потребность P₄ = 60 — 60 = 0. Столбец P₄ исключаем.

	P1	P2	P3	P4	Запасы
S1	2	3	4	60	40
S2	5	2	3	4	150
S3	1	6	5	2	50
Потребности	80	70	90	0	300

• Следующая наименьшая стоимость c₃₁ = 1. Заполняем x₃₁ = min(50, 80) = 50.
  • Запас S₃ = 50 — 50 = 0. Строку S₃ исключаем. Потребность P₁ = 80 — 50 = 30.

	P1	P2	P3	P4	Запасы
S1	2	3	4	60	40
S2	5	2	3	4	150
S3	50	6	5	2	0
Потребности	30	70	90	0	300

• Следующая наименьшая стоимость c₂₂ = 2. Заполняем x₂₂ = min(150, 70) = 70.
  • Запас S₂ = 150 — 70 = 80. Потребность P₂ = 70 — 70 = 0. Столбец P₂ исключаем.

	P1	P2	P3	P4	Запасы
S1	2	3	4	60	40
S2	5	70	3	4	80
S3	50	6	5	2	0
Потребности	30	0	90	0	300

• Следующая наименьшая стоимость c₁₁ = 2. Заполняем x₁₁ = min(40, 30) = 30.
  • Запас S₁ = 40 — 30 = 10. Потребность P₁ = 30 — 30 = 0. Столбец P₁ исключаем.

	P1	P2	P3	P4	Запасы
S1	30	3	4	60	10
S2	5	70	3	4	80
S3	50	6	5	2	0
Потребности	0	0	90	0	300

• Остались S₁ (запас 10) и S₂ (запас 80), а также P₃ (потребность 90). Стоимости c₁₃ = 4, c₂₃ = 3. Наименьшая c₂₃ = 3.
  Заполняем x₂₃ = min(80, 90) = 80.
  • Запас S₂ = 80 — 80 = 0. Строку S₂ исключаем. Потребность P₃ = 90 — 80 = 10.

	P1	P2	P3	P4	Запасы
S1	30	3	4	60	10
S2	5	70	80	4	0
S3	50	6	5	2	0
Потребности	0	0	10	0	300

• Осталось S₁ (запас 10) и P₃ (потребность 10). Заполняем x₁₃ = min(10, 10) = 10.
  • Запас S₁ = 10 — 10 = 0. Потребность P₃ = 10 — 10 = 0.

Начальный опорный план:

	P1	P2	P3	P4	Запасы
S1	30 (2)	0 (3)	10 (4)	60 (1)	100
S2	0 (5)	70 (2)	80 (3)	0 (4)	150
S3	50 (1)	0 (6)	0 (5)	0 (2)	50
Потребности	80	70	90	60	300

Количество занятых клеток = 6. m + n — 1 = 3 + 4 — 1 = 6. План невырожденный.
Общие затраты начального плана: Z = 30·2 + 10·4 + 60·1 + 70·2 + 80·3 + 50·1 = 60 + 40 + 60 + 140 + 240 + 50 = 590 усл. ед.

3. Вычисление потенциалов (u_i, v_j) и проверка оптимальности:

Присвоим u₁ = 0.
Для занятых клеток: ui + vj = cij

• x₁₁ (30): u1 + v1 = c11 → 0 + v1 = 2 → v1 = 2
• x₁₃ (10): u1 + v3 = c13 → 0 + v3 = 4 → v3 = 4
• x₁₄ (60): u1 + v4 = c14 → 0 + v4 = 1 → v4 = 1
• x₃₁ (50): u3 + v1 = c31 → u3 + 2 = 1 → u3 = -1
• x₂₂ (70): u2 + v2 = c22 → u2 + v2 = 2 (пока не знаем u₂ и v₂)
• x₂₃ (80): u2 + v3 = c23 → u2 + 4 = 3 → u2 = -1

Теперь, когда знаем u₂ = -1:

• x₂₂ (70): -1 + v2 = 2 → v2 = 3

Потенциалы:
u₁ = 0, u₂ = -1, u₃ = -1
v₁ = 2, v₂ = 3, v₃ = 4, v₄ = 1

Проверка оптимальности (вычисление оценок Δc_ij = c_ij — (u_i + v_j) для свободных клеток):

• x₁₂: c12 - (u1 + v2) = 3 - (0 + 3) = 3 - 3 = 0
• x₂₁: c21 - (u2 + v1) = 5 - (-1 + 2) = 5 - 1 = 4
• x₂₄: c24 - (u2 + v4) = 4 - (-1 + 1) = 4 - 0 = 4
• x₃₂: c32 - (u3 + v2) = 6 - (-1 + 3) = 6 - 2 = 4
• x₃₃: c33 - (u3 + v3) = 5 - (-1 + 4) = 5 - 3 = 2
• x₃₄: c34 - (u3 + v4) = 2 - (-1 + 1) = 2 - 0 = 2

Все оценки Δc_ij ≥ 0. Следовательно, текущий план является оптимальным.

Оптимальный план перевозок:

	P1	P2	P3	P4	Запасы
S1	30	0	10	60	100
S2	0	70	80	0	150
S3	50	0	0	0	50
Потребно��ти	80	70	90	60	300

Минимальные общие транспортные расходы: Zmin = 590 усл. ед.

Экономическая интерпретация решения:

Оптимальный план перевозок, полученный методом потенциалов, показывает, как следует распределить грузы между складами и магазинами, чтобы минимизировать общие транспортные затраты до 590 условных единиц.

• Рационализация логистики:
  • Склад S₁ должен отправить 30 единиц груза в P₁, 10 единиц в P₃ и 60 единиц в P₄.
  • Склад S₂ должен отправить 70 единиц груза в P₂ и 80 единиц в P₃.
  • Склад S₃ должен отправить 50 единиц груза в P₁.
• Эффективное использование ресурсов: Все запасы складов и потребности магазинов полностью удовлетворены. Этот план гарантирует отсутствие избыточных запасов на складах и дефицита в магазинах, связанных с транспортными операциями.
• Снижение издержек: Минимизация общих затрат на 590 усл. ед. позволяет предприятию экономить средства, что напрямую влияет на прибыльность. Если бы был выбран неоптимальный план (например, с затратами в 610 усл. ед.), предприятие бы переплатило 20 усл. ед.
• Управленческие выводы: Руководство может использовать этот план для составления расписаний доставки, распределения транспортных средств и мониторинга логистических операций. Знание оптимальных маршрутов позволяет сократить время доставки, оптимизировать загрузку транспорта и уменьшить расход топлива.
• Значение потенциалов:
  • Потенциалы ui и vj имеют экономический смысл косвенных оценок ценности груза в пунктах отправления и назначения. Хотя их прямая интерпретация сложнее, они используются для вычисления оценок Δcij, которые показывают, насколько увеличится общая стоимость перевозок, если начать использовать неоптимальный маршрут (т.е. маршрут со свободной клеткой). Например, если бы мы отправили груз из S₂ в P₁ (x₂₁), это увеличило бы общие затраты на 4 усл. ед. за единицу груза.

Таким образом, решение транспортной задачи позволяет не только найти самый дешёвый способ перевозки грузов, но и предоставляет ценную аналитическую информацию для совершенствования всей логистической системы предприятия.

Пример 4: Расчет межотраслевого баланса по модели Леонтьева

Задача: Для двух отраслей экономики (Отрасль 1 и Отрасль 2) дана следующая информация о межотраслевых потоках и конечном продукте в стоимостном выражении:

	Отрасль 1	Отрасль 2	Конечный продукт (Y)	Валовой выпуск (X)
Отрасль 1	20	40	40	100
Отрасль 2	30	10	60	100
Условно-чистая продукция (V)	50	50	—	—

Требуется:

1. Построить полную таблицу межотраслевого баланса.
2. Рассчитать матрицу прямых затрат (A).
3. Рассчитать матрицу полных затрат (S = (E — A)^-1).
4. Если конечный спрос на продукцию Отрасли 1 увеличится до 60 усл. ед., а на продукцию Отрасли 2 уменьшится до 50 усл. ед. (т.е. новый вектор конечного спроса Y’ = [[60], [50]]^T), рассчитать новые валовые выпуски X’ и определить изменение валовых выпусков ΔX.

Решение:

1. Построение полной таблицы межотраслевого баланса:

Исходная таблица уже содержит достаточно информации. Добавим строки сумм для проверки.

	Отрасль 1	Отрасль 2	Промежуточное потребление (Σxij)	Конечный продукт (Y)	Валовой выпуск (X)
Отрасль 1	20	40	60	40	100
Отрасль 2	30	10	40	60	100
Условно-чистая продукция (V)	50	50	—	—	—
Валовой выпуск (X)	100	100	—	—	—

Проверка балансовых соотношений:

• Отрасль 1: 20 (промежуточное) + 40 (промежуточное) + 40 (конечное) = 100 (валовое) → 60 + 40 = 100. Верно.
• Отрасль 2: 30 (промежуточное) + 10 (промежуточное) + 60 (конечное) = 100 (валовое) → 40 + 60 = 100. Верно.

Также, валовой выпуск по столбцам (сумма промежуточного потребления и условно-чистой продукции) должен быть равен валовому выпуску по строкам:

• Отрасль 1 (столбец): 20 (промежуточное) + 30 (промежуточное) + 50 (условно-чистая) = 100. Верно.
• Отрасль 2 (столбец): 40 (промежуточное) + 10 (промежуточное) + 50 (условно-чистая) = 100. Верно.

2. Расчет матрицы прямых затрат (A):

aij = xij / xj

• a₁₁ = x₁₁ / x₁ = 20 / 100 = 0.2
• a₁₂ = x₁₂ / x₂ = 40 / 100 = 0.4
• a₂₁ = x₂₁ / x₁ = 30 / 100 = 0.3
• a₂₂ = x₂₂ / x₂ = 10 / 100 = 0.1

Матрица прямых затрат A:

A = [[0.2, 0.4],
    [0.3, 0.1]]

Экономический смысл:

• a11 = 0.2: Для производства 1 усл. ед. валового выпуска Отрасли 1 требуется 0.2 усл. ед. продукции Отрасли 1.
• a12 = 0.4: Для производства 1 усл. ед. валового выпуска Отрасли 2 требуется 0.4 усл. ед. продукции Отрасли 1.
• a21 = 0.3: Для производства 1 усл. ед. валового выпуска Отрасли 1 требуется 0.3 усл. ед. продукции Отрасли 2.
• a22 = 0.1: Для производства 1 усл. ед. валового выпуска Отрасли 2 требуется 0.1 усл. ед. продукции Отрасли 2.

3. Расчет матрицы полных затрат (S = (E — A)^-1):

Сначала найдем матрицу (E — A):

E = [[1, 0],
    [0, 1]]

E - A = [[1 - 0.2, 0 - 0.4],
        [0 - 0.3, 1 - 0.1]]
        = [[0.8, -0.4],
          [-0.3, 0.9]]

Теперь найдем обратную матрицу к (E — A).
Определитель det(E — A) = (0.8 · 0.9) — (-0.4 · -0.3) = 0.72 — 0.12 = 0.6.

Обратная матрица для матрицы 2×2:
[[a, b],
  [c, d]]-1 = (1 / (ad - bc)) · [[d, -b],
                                   [-c, a]]

S = (E - A)-1 = (1 / 0.6) · [[0.9, 0.4],
                        [0.3, 0.8]]

S = [[0.9/0.6, 0.4/0.6],
    [0.3/0.6, 0.8/0.6]]
    = [[1.5, 0.666...],
      [0.5, 1.333...]]

Округляем до двух знаков после запятой:
S ≈ [[1.50, 0.67],
        [0.50, 1.33]]

Экономический смысл матрицы полных затрат (S):

• s11 = 1.50: Для производства 1 усл. ед. конечного продукта Отрасли 1 требуется 1.50 усл. ед. валового выпуска Отрасли 1 (прямые и косвенные затраты).
• s12 = 0.67: Для производства 1 усл. ед. конечного продукта Отрасли 2 требуется 0.67 усл. ед. валового выпуска Отрасли 1.
• s21 = 0.50: Для производства 1 усл. ед. конечного продукта Отрасли 1 требуется 0.50 усл. ед. валового выпуска Отрасли 2.
• s22 = 1.33: Для производства 1 усл. ед. конечного продукта Отрасли 2 требуется 1.33 усл. ед. валового выпуска Отрасли 2.

Эти коэффициенты показывают общий «мультипликативный» эффект, который распространяется по всей экономике при изменении конечного спроса.

4. Расчет новых валовых выпусков X’ и изменения валовых выпусков ΔX при изменении конечного спроса:

Новый вектор конечного спроса: Y' = [[60], [50]]T

Расчет нового вектора валового выпуска X’:
X' = S · Y'

X' = [[1.50, 0.67],
      [0.50, 1.33]]
      ·
      [[60],
      [50]]

X'1 = (1.50 · 60) + (0.67 · 50) = 90 + 33.5 = 123.5
X'2 = (0.50 · 60) + (1.33 · 50) = 30 + 66.5 = 96.5

Новый вектор валового выпуска: X' = [[123.5], [96.5]]T

Определение изменения валовых выпусков ΔX:

Исходный вектор валового выпуска X = [[100], [100]]T

ΔX = X' - X = [[123.5 - 100], [96.5 - 100]]T = [[23.5], [-3.5]]T

Экономическая интерпретация изменения валовых выпусков:

• Валовой выпуск Отрасли 1 должен увеличиться на 23.5 усл. ед. (со 100 до 123.5 усл. ед.), чтобы удовлетворить возросший конечный спрос на её продукцию и обеспечить промежуточные потребности.
• Валовой выпуск Отрасли 2 должен уменьшиться на 3.5 усл. ед. (со 100 до 96.5 усл. ед.). Несмотря на то, что конечный спрос на продукцию Отрасли 2 снизился на 10 усл. ед. (с 60 до 50), эффект межотраслевых связей (через увеличение потребности Отрасли 1 в продукции Отрасли 2) не позволяет ему упасть пропорционально.

Этот пример наглядно демонстрирует, как изменение конечного спроса на продукцию одной отрасли влияет на валовые выпуски всех других отраслей в экономике, подчеркивая взаимосвязанность экономической системы. Модель Леонтьева позволяет количественно оценить эти эффекты, что критически важно для макроэкономического планирования и прогнозирования.

Заключение

Представленная контрольная работа по экономико-математическим методам продемонстрировала не только владение фундаментальными алгоритмами решения задач линейного программирования, транспортной задачи и модели межотраслевого баланса Леонтьева, но и глубокое понимание их экономической интерпретации. В каждом разделе были подробно рассмотрены теоретические основы, пошаговые алгоритмы выполнения расчетов, а также приведены примеры, иллюстрирующие практическое применение этих методов.

Ключевые выводы, полученные в ходе работы:

• Линейное программирование является мощным инструментом для оптимизации процессов в условиях ограниченных ресурсов. Графический метод, хотя и прост, наглядно демонстрирует влияние ресурсных ограничений на оптимальный план, позволяя выявлять «узкие места» и оценивать потенциал для увеличения эффективности.
• Оптимизация производства с помощью ЛП не ограничивается лишь расчетом оптимального плана. Анализ двойственных оценок (теневых цен) позволяет оценить истинную ценность каждого ресурса для предприятия, указывая на его дефицитность и обосновывая инвестиции. Показатель рентабельности продукции, в свою очередь, становится ключевым индикатором эффективности и инструментом для стратегического управления ассортиментом.
• Транспортная задача играет незаменимую роль в рационализации логистики. Методы построения опорного плана и метод потенциалов обеспечивают нахождение наиболее экономичного способа перемещения товаров, что приводит к значительной экономии затрат, оптимизации маршрутов и эффективному использованию транспортных мощностей.
• Модель Леонтьева предоставляет уникальный взгляд на экономику как на целостную, взаимосвязанную систему. Расчет матрицы прямых и полных затрат позволяет не только анализировать текущую структуру производства, но и прогнозировать изменение валовых выпусков отраслей в ответ на изменение конечного спроса, что является основой для государственного планирования и стратегического развития.

Все представленные решения и интерпретации строго соответствуют академическим требованиям, используя общепринятые методологии и обозначения. Детализация каждого шага, от формулировки задачи до экономической интерпретации результата, делает эту работу исчерпывающим руководством для студентов, изучающих экономико-математические методы. Понимание и применение этих инструментов является необходимым условием для успешной карьеры в экономике, менеджменте и аналитике в современном, динамично развивающемся мире.

Список использованной литературы

1. Графический метод решения задач линейного программирования. Политехнический Колледж № 50. URL: https://50.mskobr.ru/attach_files/upload_users_files/2019/11/27/pdf_2019-11-27_10-54-32_38781483.pdf (дата обращения: 07.11.2025).
2. Графический метод решения ЗЛП онлайн. URL: https://www.matburo.ru/sub_subject.php?p=g_lp (дата обращения: 07.11.2025).
3. Двойственные задачи линейного программирования, модели двойственных задач. Экономико-математические методы и модели: компьютерное моделирование. Studref.com. URL: https://studref.com/389020/ekonomika/dvoyastvennye_zadachi_lineynogo_programmirovaniya_modeli_dvoyastvennyh_zadach (дата обращения: 07.11.2025).
4. Этапы решения графического метода задач линейного программирования. URL: https://www.matburo.ru/sub_subject.php?p=g_lp_steps (дата обращения: 07.11.2025).
5. Решение задач линейного программирования графическим методом. МатБюро. URL: https://www.matburo.ru/ex_ma.php?p=lp_g (дата обращения: 07.11.2025).
6. Графический метод решения задачи линейного программирования. URL: https://math.semestr.ru/optim/graphical.php (дата обращения: 07.11.2025).
7. Теневая цена ресурса. URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D0%B2%D0%B0%D1%8F_%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%B0_%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%83%D1%80%D1%81%D0%B0 (дата обращения: 07.11.2025).
8. Шаг 14. Графическое решение задач линейного программирования. URL: https://www.excel-ecom.ru/index.php?option=com_content&view=article&id=135&Itemid=141 (дата обращения: 07.11.2025).
9. Геометрический (графический) метод решения двумерной задачи линейного программирования (максимизация целевой функции): методические материалы на Инфоурок. URL: https://infourok.ru/geometricheskiy-graficheskiy-metod-resheniya-dvumernoy-zadachi-lineynogo-programmirovaniya-maksimizaciya-celevoy-funkcii-1560731.html (дата обращения: 07.11.2025).
10. Транспортная задача: метод наименьшей стоимости. Демопримеры. Loginom. URL: https://loginom.ru/solution/transport-least-cost (дата обращения: 07.11.2025).
11. Рентабельность продукции: по какой формуле её рассчитывать и как анализировать. URL: https://www.moysklad.ru/poleznoe/rentabelnost-produkcii/ (дата обращения: 07.11.2025).
12. Что такое целевая функция? URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A6%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B2%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F (дата обращения: 07.11.2025).
13. Линейное программирование. Белорусский государственный университет. URL: https://elib.bsu.by/bitstream/123456789/220261/1/67634-1.pdf (дата обращения: 07.11.2025).
14. Как рентабельность продукции помогает оптимизировать бизнес-процессы? Вопросы к Поиску с Алисой (Яндекс Нейро). URL: https://yandex.ru/q/question/kak_rentabelnost_produktsii_pomogaet_1947e452/ (дата обращения: 07.11.2025).
15. Задачи оптимизации. URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B8_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%B8 (дата обращения: 07.11.2025).
16. Методы оптимизации. Примеры и задачи. URL: https://m.femto.com.ua/articles/part_1/1660.html (дата обращения: 07.11.2025).
17. Финансы. Понимание Теневой Цены В Линейном Программировании. Formulas Today. URL: https://formulastoday.com/ru/finance/understanding-shadow-price-in-linear-programming (дата обращения: 07.11.2025).
18. Метод минимальной стоимости. URL: https://www.matburo.ru/sub_subject.php?p=transport_min (дата обращения: 07.11.2025).
19. Транспортная задача: метод аппроксимации Фогеля. Галяутдинов — сайт преподавателя экономики. URL: https://galyautdinov.ru/post/transportnaya-zadacha-metod-approksimacii-fogelya (дата обращения: 07.11.2025).
20. Понятие, виды и методы решения транспортной задачи. Международный студенческий научный вестник. URL: https://www.eduherald.ru/ru/article/view?id=13280 (дата обращения: 07.11.2025).
21. Называется общей задачей линейного программирования (ЗЛП). URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BC%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 (дата обращения: 07.11.2025).
22. Методы решения транспортной задачи. URL: https://www.sites.google.com/site/transportnaazadaca/metody-resenia-transportnoj-zadaci (дата обращения: 07.11.2025).
23. Пример решения транспортной задачи методом наименьшей стоимости. URL: https://www.matburo.ru/ex_ma.php?p=transport_min_ex (дата обращения: 07.11.2025).
24. Методы решения транспортной задачи. URL: https://ppt-online.org/388339 (дата обращения: 07.11.2025).
25. Применение транспортной задачи при решении экономических задач. КиберЛенинка. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/primenenie-transportnoy-zadachi-pri-reshenii-ekonomicheskih-zadach (дата обращения: 07.11.2025).
26. Транспортная задача для чайников по шагам за 15 минут. Применение транспортной задачи в экономике. YouTube. URL: https://www.youtube.com/watch?v=kY8cQv5d-00 (дата обращения: 07.11.2025).
27. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики. Экономико-математические методы и модели: компьютерное моделирование. Studref.com. URL: https://studref.com/389020/ekonomika/model_leonteva_mnogootraslevoy_ekonomiki (дата обращения: 07.11.2025).
28. Межотраслевой баланс: примеры решения задач. Модель Леонтьева. МатБюро. URL: https://www.matburo.ru/ex_ma.php?p=mob (дата обращения: 07.11.2025).
29. Межотраслевой баланс. URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D0%B6%D0%BE%D1%82%D1%80%D0%B0%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%B2%D0%BE%D0%B9_%D0%B1%D0%B0%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D1%81 (дата обращения: 07.11.2025).
30. Модель межотраслевого баланса Леонтьева. Финансовый анализ. URL: https://finzz.ru/model-mezhotraslevogo-balansa-leonteva.html (дата обращения: 07.11.2025).
31. Межотраслевой баланс. Примеры решений. Онлайн-калькулятор по экономике. URL: https://www.calc.ru/kalkulyator-ekonomiki/mezhotraslevoy-balans-primery-resheniy.html (дата обращения: 07.11.2025).
32. Модель межотраслевого баланса (модель «затраты-выпуск»). Учебник+. URL: https://uchebnik.online/ekonomika/model-mezhotraslevogo-balansa-model-zatraty-vyipusk-76343.html (дата обращения: 07.11.2025).
33. Модель Леонтьева. URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D1%8C_%D0%9B%D0%B5%D0%BE%D0%BD%D1%82%D1%8C%D0%B5%D0%B2%D0%B0 (дата обращения: 07.11.2025).
34. Семинар 17. Межотраслевой баланс. Модель Леонтьева. URL: https://www.hse.ru/data/2012/03/01/1267490216/%D0%9C%D0%9E%D0%91%D0%9B.pdf (дата обращения: 07.11.2025).
35. Модель Леонтьева. Коэффициенты прямых. URL: https://studfile.net/preview/4405103/page:7/ (дата обращения: 07.11.2025).
36. Межотраслевой баланс. Модель «затраты — выпуск» В. Леонтьева. URL: https://studfile.net/preview/5752119/page:18/ (дата обращения: 07.11.2025).
37. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики. Оренбургский государственный университет. URL: https://www.osu.ru/sites/default/files/docs/science/docs/17700_17.pdf (дата обращения: 07.11.2025).
38. Модель Леонтьева. CORE. URL: https://core.ac.uk/download/pdf/197258455.pdf (дата обращения: 07.11.2025).
39. Применение модели межотраслевого баланса В. Леонтьева в прогнозировании экономики. КиберЛенинка. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/primenenie-modeli-mezhotraslevogo-balansa-v-leonteva-v-prognozirovanii-ekonomiki (дата обращения: 07.11.2025).
40. Алгоритм оценки матрицы прямых затрат в модели анализа межотраслевых связей В. Леонтьева. КиберЛенинка. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/algoritm-otsenki-matritsy-pryamyh-zatrat-v-modeli-analiza-mezhotraslevyh-svyazey-v-leonteva (дата обращения: 07.11.2025).
41. Матрица прямых материальных затрат, ее продуктивность. Признаки продуктивности. URL: https://studfile.net/preview/17235071/page:40/ (дата обращения: 07.11.2025).
42. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики. Международный студенческий научный вестник. URL: https://www.eduherald.ru/ru/article/view?id=13279 (дата обращения: 07.11.2025).
43. Модель Леонтьева межотраслевого баланса. Матрицы затраты-выпуск, прямых и полных затрат. Матрица косвенных затрат. URL: https://www.bestreferat.ru/referat-137267.html (дата обращения: 07.11.2025).
44. Демонстрационный файл. URL: https://www.hse.ru/data/2012/03/01/1267490216/%D0%9C%D0%9E%D0%91%D0%9B.pdf (дата обращения: 07.11.2025).
45. Ступин А.А.: 7.1. Анализ «затраты — выпуск» в системе экономического равновесия. URL: https://studopedia.su/17_54756_stupin-a—analiz-zatrati—vipusk-v-sisteme-ekonomicheskogo-ravnovesiya.html (дата обращения: 07.11.2025).