Контрольная работа по Статистике (Вариант №1): Полное методологическое решение 8 практических задач с формулами и интерпретацией

В мире, где данные стали новой валютой, способность извлекать смысл из чисел и принимать обоснованные решения на их основе является ключевым навыком. Курс «Статистика» закладывает фундамент для такого понимания, предоставляя инструментарий для анализа, интерпретации и прогнозирования различных явлений. Настоящая контрольная работа призвана продемонстрировать глубокое владение основными методами статистического анализа, решая восемь практических задач, охватывающих различные аспекты дисциплины.

Основная цель работы — предоставить исчерпывающие, точные и академически обоснованные решения для каждой из представленных задач. Это достигается за счет строгого следования методологическим указаниям, использования проверенных формул из авторитетных учебников по общей теории и экономической статистике (таких как труды Ефимовой М.Р., Рябушкина Б.Т., Шмойловой Р.А., Година А.М.) и подробного изложения каждого этапа расчетов.

Структура контрольной работы построена таким образом, чтобы обеспечить максимальную ясность и последовательность. Каждая задача представлена в отдельном подразделе, содержащем:

• Условие задачи: Четкое изложение исходных данных и требований.
• Теоретическое обоснование: Краткое объяснение применяемых статистических методов и ключевых формул.
• Пошаговое решение: Детальные расчеты, представленные с использованием таблиц и математических выражений.
• Интерпретация результатов: Объяснение полученных числовых значений в контексте поставленной задачи, делая акцент на их практическом смысле.

Такой подход гарантирует не только правильность ответов, но и глубокое понимание логики статистического мышления, что делает данную работу не просто набором решений, но и ценным учебным пособием для студентов экономических, управленческих и гуманитарных специальностей. Как следствие, при освоении материала, вы сможете уверенно применять эти знания на практике, от анализа рынка до оценки эффективности проектов.

Раздел I. Анализ относительных величин и вариации (Задачи 1-2)

Задача 1: Расчет относительных величин выполнения плана и динамики

В условиях рыночной экономики предприятия постоянно сталкиваются с необходимостью планирования и оценки эффективности своей деятельности. Статистический инструментарий, в частности, относительные величины, позволяет объективно оценить достигнутые результаты относительно плановых показателей и динамики развития.

Условие задачи:
Розничный товарооборот торговой организации в базисном периоде составил 1200 млн руб., плановое задание на отчетный период предусматривало увеличение товарооборота на 10% по сравнению с базисным. В отчетном периоде план был перевыполнен на 2%. Определить розничный товарооборот отчетного периода, относительную величину планового задания, относительную величину выполнения плана и относительную величину динамики. Проверить взаимосвязь между последними тремя показателями.

Теоретическое обоснование:
Для решения задачи используются три ключевые относительные величины:

1. Относительная величина планового задания (ОВПЗ): Показывает, насколько планируется изменить показатель по сравнению с базисным периодом. Рассчитывается как отношение планового уровня (y_пл) к базисному уровню (y₀):
   ОВПЗ = yпл / y0
2. Относительная величина выполнения плана (ОВВП): Отражает степень выполнения установленного плана. Рассчитывается как отношение фактически достигнутого уровня (y₁) к плановому уровню (y_пл):
   ОВВП = y1 / yпл
3. Относительная величина динамики (ОВД): Характеризует фактическое изменение показателя за период по сравнению с базисным. Рассчитывается как отношение фактического уровня (y₁) к базисному уровню (y₀):
   ОВД = y1 / y0

Важная взаимосвязь между этими показателями выражается равенством: ОВД = ОВПЗ × ОВВП (если показатели представлены в долях единицы). Это позволяет проводить комплексную оценку эффективности, понимая, насколько успешно предприятие достигает своих целей и каковы фактические изменения.

Пошаговое решение:

1. Определение базисного уровня товарооборота (y₀):
   y₀ = 1200 млн руб.
2. Расчет планового уровня товарооборота (y_пл):
   Плановое задание предусматривало увеличение на 10%.
   y_пл = y₀ × (1 + 0.10) = 1200 млн руб. × 1.10 = 1320 млн руб.
3. Расчет фактического уровня товарооборота (y₁):
   План был перевыполнен на 2%, что означает, что фактический уровень составляет 102% от планового.
   y₁ = y_пл × (1 + 0.02) = 1320 млн руб. × 1.02 = 1346.4 млн руб.
4. Расчет относительной величины планового задания (ОВПЗ):
   ОВПЗ = y_пл / y₀ = 1320 млн руб. / 1200 млн руб. = 1.10 или 110%
5. Расчет относительной величины выполнения плана (ОВВП):
   ОВВП = y₁ / y_пл = 1346.4 млн руб. / 1320 млн руб. = 1.02 или 102%
6. Расчет относительной величины динамики (ОВД):
   ОВД = y₁ / y₀ = 1346.4 млн руб. / 1200 млн руб. = 1.122 или 112.2%
7. Проверка взаимосвязи:
   ОВПЗ × ОВВП = 1.10 × 1.02 = 1.122
   Следовательно, ОВД = ОВПЗ × ОВВП (1.122 = 1.122). Взаимосвязь подтверждена.

Таблица результатов:

Показатель	Формула	Расчет	Значение (млн руб./доли)	Проценты
Базисный товарооборот (y0)	—	—	1200.0	—
Плановый товарооборот (yпл)	y0 × (1 + 0.10)	1200 × 1.10	1320.0	—
Фактический товарооборот (y1)	yпл × (1 + 0.02)	1320 × 1.02	1346.4	—
ОВПЗ	yпл / y0	1320 / 1200	1.10	110%
ОВВП	y1 / yпл	1346.4 / 1320	1.02	102%
ОВД	y1 / y0	1346.4 / 1200	1.122	112.2%
Проверка ОВД	ОВПЗ × ОВВП	1.10 × 1.02	1.122	112.2%

Интерпретация результатов:
Таким образом, фактический розничный товарооборот торговой организации в отчетном периоде достиг 1346.4 млн руб. Плановое задание предусматривало рост на 10%, но благодаря эффективной работе, план был перевыполнен на 2%. В итоге, фактический товарооборот вырос на 12.2% по сравнению с базисным периодом. Эта взаимосвязь между плановым заданием, его выполнением и фактической динамикой является фундаментальной в статистическом анализе деятельности предприятий, позволяя комплексно оценивать как планирование, так и реализацию стратегических целей. Полученные данные говорят о том, что стратегия по увеличению товарооборота была не только успешно выполнена, но и превзойдена, что отражает позитивную динамику развития компании.

Задача 2: Определение дисперсии и оценка однородности совокупности

Понимание вариации признаков в статистической совокупности является краеугольным камнем для принятия управленческих решений. Показатели вариации, такие как дисперсия и коэффициент вариации, позволяют оценить разброс данных и однородность изучаемого явления. Например, для компании, производящей детали, низкая вариация диаметров означает высокое качество продукции, а для маркетингового исследования низкая вариация доходов клиентов в сегменте может указывать на его однородность и целесообразность специфических предложений.

Условие задачи:
Известно, что средняя величина признака (X̅) составляет 50 единиц, а коэффициент вариации (V) равен 20%. Определить среднее квадратическое отклонение (σ) и дисперсию (σ²) признака. Сделать вывод об однородности статистической совокупности.

Теоретическое обоснование:

1. Коэффициент вариации (V): Относительный показатель, измеряющий степень разброса данных относительно среднего значения. Выражается в процентах и рассчитывается по формуле:
   V = (σ / X̅) × 100%
   Из этой формулы можно выразить среднее квадратическое отклонение (σ):
   σ = (V × X̅) / 100
2. Среднее квадратическое отклонение (σ): Абсолютный показатель вариации, показывающий, насколько в среднем отклоняются индивидуальные значения признака от их средней величины.
3. Дисперсия (σ²): Средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней. Является квадратом среднего квадратического отклонения:
   σ2 = σ2
4. Критерий однородности: Статистическая совокупность считается однородной, если коэффициент вариации (V) не превышает 33% (V ≤ 33%). Если V > 33%, совокупность считается неоднородной, и средняя величина не является достаточно надежной характеристикой. Это означает, что если данные слишком разбросаны, одна средняя цифра не может достоверно описать всю группу.

Пошаговое решение:

1. Определение исходных данных:
   Средняя величина признака (X̅) = 50
   Коэффициент вариации (V) = 20%
2. Расчет среднего квадратического отклонения (σ):
   Используем формулу: σ = (V × X̅) / 100
   σ = (20 × 50) / 100 = 1000 / 100 = 10 единиц
3. Расчет дисперсии (σ²):
   Используем формулу: σ2 = σ2
   σ² = 10² = 100 квадратных единиц
4. Вывод об однородности статистической совокупности:
   Коэффициент вариации V = 20%. Поскольку 20% ≤ 33%, статистическая совокупность является однородной.

Таблица результатов:

Показатель	Формула	Расчет	Значение
Средняя величина (X̅)	—	—	50 единиц
Коэффициент вариации (V)	—	—	20%
Среднее квадратическое отклонение (σ)	(V × X̅) / 100	(20 × 50) / 100	10 единиц
Дисперсия (σ2)	σ2	102	100 кв. единиц
Вывод об однородности	V ≤ 33%	20% ≤ 33%	Совокупность однородна

Интерпретация результатов:
Полученные значения среднего квадратического отклонения (10 единиц) и дисперсии (100 квадратных единиц) количественно выражают разброс индивидуальных значений признака вокруг его среднего значения. Важным является вывод об однородности совокупности: поскольку коэффициент вариации составляет 20% (что значительно меньше 33%), можно утверждать, что исследуемая совокупность является однородной. Это означает, что средняя величина в 50 единиц является надежной и репрезентативной характеристикой для данной совокупности, и ее использование для дальнейшего анализа или принятия решений вполне обосновано. В практическом смысле, если бы это было, например, качество продукции, такой показатель говорил бы о высокой стабильности производственного процесса, что позволяет поддерживать единообразный стандарт качества.

Раздел II. Методы выборочного наблюдения и анализ динамики (Задачи 3-4)

Задача 3: Расчет необходимого объема повторной выборки при изменении доверительной вероятности

В исследовательской практике часто возникает вопрос: сколько объектов необходимо исследовать, чтобы получить достаточно точные и надежные результаты, не расходуя при этом излишние ресурсы? Ответ на этот вопрос дает выборочный метод, а его ядром является расчет необходимого объема выборки. Это особенно актуально в маркетинге при определении размера фокус-групп, в социологии при проведении опросов общественного мнения, или в контроле качества при проверке партий продукции, поскольку позволяет оптимизировать затраты при сохранении требуемой точности.

Условие задачи:
При проведении выборочного обследования необходимо оценить среднюю величину признака с предельной ошибкой выборки (Δ), не превышающей 2 единиц. Дисперсия признака в генеральной совокупности (σ²) составляет 64 квадратных единиц. Каким должен быть объем повторной случайной выборки (n), если доверительная вероятность изменилась с 0.95 до 0.99?

Теоретическое обоснование:
Для определения необходимого объема повторной случайной выборки при оценке среднего значения признака используется формула, вытекающая из выражения для предельной ошибки выборки:

n = (t2 × σ2) / Δ2

Где:

• n — необходимый объем выборки.
• t — коэффициент доверия (t-критерий Стьюдента или квантиль нормального распределения), зависящий от заданной доверительной вероятности (P). Чем выше доверительная вероятность, тем больше значение t.
• σ² — дисперсия признака в генеральной совокупности.
• Δ — предельно допустимая ошибка выборки.

Важно отметить, что объем выборки (n) прямо пропорционален квадрату коэффициента доверия (t²). Это означает, что для повышения надежности результатов (увеличения доверительной вероятности) требуется значительно больший объем выборки. Иными словами, каждое дополнительное повышение уверенности в результатах требует экспоненциального увеличения усилий.

Пошаговое решение:

1. Определение исходных данных:
   Предельная ошибка выборки (Δ) = 2 единицы
   Дисперсия признака (σ²) = 64 квадратных единиц
2. Определение коэффициентов доверия (t) для разных доверительных вероятностей:
   • Для доверительной вероятности P = 0.95: t_0.95 = 1.96
   • Для доверительной вероятности P = 0.99: t_0.99 = 2.58
3. Расчет объема выборки для доверительной вероятности P = 0.95:
   n_0.95 = (t²_0.95 × σ²) / Δ² = (1.96² × 64) / 2²
   n_0.95 = (3.8416 × 64) / 4 = 245.8624 / 4 ≈ 61.4656 ≈ 62 (округляем в большую сторону, так как объем выборки должен быть целым числом).
4. Расчет объема выборки для доверительной вероятности P = 0.99:
   n_0.99 = (t²_0.99 × σ²) / Δ² = (2.58² × 64) / 2²
   n_0.99 = (6.6564 × 64) / 4 = 426.0096 / 4 ≈ 106.5024 ≈ 107 (округляем в большую сторону).

Таблица результатов:

Параметр	Значение
Предельная ошибка выборки (Δ)	2 единицы
Дисперсия (σ2)	64 кв. единиц
Для P = 0.95
Коэффициент доверия (t)	1.96
Объем выборки (n)	62 единицы
Для P = 0.99
Коэффициент доверия (t)	2.58
Объем выборки (n)	107 единиц

Интерпретация результатов:
Как показывают расчеты, для оценки средней величины признака с предельной ошибкой, не превышающей 2 единиц, при доверительной вероятности 95% необходим объем выборки в 62 единицы. Однако, если мы хотим повысить доверительную вероятность до 99%, объем выборки увеличивается почти вдвое, до 107 единиц. Это наглядно демонстрирует прямую пропорциональность между квадратом коэффициента доверия и объемом выборки. Увеличение доверительной вероятности требует значительного увеличения объема выборки, что подчеркивает компромисс между желаемой точностью, надежностью и ресурсами, которые могут быть потрачены на исследование. В практическом плане, такое изменение может существенно повлиять на бюджет и сроки проведения исследования, вынуждая исследователя принимать взвешенные решения о требуемом уровне достоверности.

Задача 4: Анализ временных рядов и экстраполяция для краткосрочного прогноза

Анализ временных рядов — это фундаментальный инструмент для изучения эволюции экономических и социальных явлений. Отслеживая динамику показателей во времени, мы можем выявлять тенденции, сезонность, цикличность и, что особенно важно, строить прогнозы. Например, для сельскохозяйственных предприятий прогнозирование урожайности на следующий год позволяет оптимизировать планирование посевных площадей, логистику и продажи, а значит, существенно повысить эффективность деятельности.

Условие задачи:
Имеются данные о среднем урожае зерновых культур (ц/га) по сельскохозяйственному предприятию за период 2011–2015 гг.:

Год	Урожайность (ц/га)
2011	22.0
2012	23.5
2013	24.8
2014	26.0
2015	27.5

Используя метод экстраполяции на основе среднегодового темпа роста, спрогнозировать урожайность на 2016 год.

Теоретическое обоснование:
Для прогнозирования урожайности на основе прошлого опыта используется анализ временных рядов. Одним из простейших, но эффективных методов краткосрочного прогнозирования является экстраполяция тренда с использованием среднегодового темпа роста.

1. Цепные темпы роста (Т_рц): Показывают отношение каждого уровня ряда к непосредственно предшествующему уровню:
   Трцi = yi / yi-1
2. Среднегодовой темп роста (Т̅_р): Рассчитывается как средняя геометрическая из цепных темпов роста. Для ряда динамики с известными начальным (y₁) и конечным (y_n) уровнями и числом интервалов (n-1) используется формула:
   Т̅р = (n-1)√ (yn / y1)
   где n — количество уровней в ряду (в данном случае, 5 лет).
3. Прогнозирование (экстраполяция): Прогнозный уровень (y_прог) на ‘k’ периодов вперед от последнего известного уровня (y_n) рассчитывается как:
   yпрог = yn × (Т̅р)k
   В нашем случае k = 1 (прогноз на один год вперед).

Пошаговое решение:

1. Определение исходных данных:
   Начальный уровень (y₂₀₁₁) = 22.0 ц/га
   Конечный уровень (y₂₀₁₅) = 27.5 ц/га
   Число уровней в ряду (n) = 5 (с 2011 по 2015 год)
   Число интервалов (n-1) = 4
2. Расчет среднегодового темпа роста (Т̅_р):
   Т̅р = (5-1)√ (y2015 / y2011) = 4√ (27.5 / 22.0)
Т̅р = 4√ (1.25)
   Для расчета ⁴√ (1.25) можно использовать логарифмы или калькулятор:
   Т̅_р ≈ 1.05737
   или 105.74%
3. Прогнозирование урожайности на 2016 год (y₂₀₁₆):
   Последний известный уровень (y_n) = y₂₀₁₅ = 27.5 ц/га
   Прогноз на k = 1 год вперед.
   y₂₀₁₆ = y₂₀₁₅ × (Т̅_р)¹ = 27.5 × 1.05737
   y₂₀₁₆ ≈ 29.078 ц/га

Таблица расчетов и прогноза:

Год	Урожайность (yi, ц/га)	Цепной темп роста (yi / yi-1)
2011	22.0	—
2012	23.5	23.5 / 22.0 ≈ 1.0682
2013	24.8	24.8 / 23.5 ≈ 1.0553
2014	26.0	26.0 / 24.8 ≈ 1.0484
2015	27.5	27.5 / 26.0 ≈ 1.0577
	Среднегодовой темп роста (Т̅р)	4√ (27.5 / 22.0) ≈ 1.0574
2016	Прогноз y2016	27.5 × 1.0574 ≈ 29.08 ц/га

Интерпретация результатов:
На основе анализа динамики урожайности зерновых культур за период 2011–2015 годов, где среднегодовой темп роста составил примерно 5.74%, прогноз урожайности на 2016 год составляет приблизительно 29.08 ц/га. Этот метод экстраполяции предполагает, что существующая тенденция роста сохранится и в ближайшем будущем. Важно помнить, что краткосрочное прогнозирование, особенно в сельском хозяйстве, может быть чувствительно к внешним факторам (погодные условия, изменения в агротехнике, рыночная конъюнктура), которые не учитываются данной простой моделью. Тем не менее, для целей оперативного планирования такой прогноз дает полезную отправную точку, позволяя принимать предварительные решения по логистике и сбыту. Более детально о прогнозировании можно узнать здесь.

Раздел III. Индексный и дисперсионный анализ (Задачи 5-6)

Задача 5: Расчет общего агрегатного индекса себестоимости и абсолютной экономии

Индексный метод в статистике является мощным инструментом для анализа изменений сложных социально-экономических явлений, состоящих из множества элементов. В частности, агрегатные индексы себестоимости позволяют оценить влияние изменения стоимости единицы продукции на общие затраты предприятия, исключая при этом влияние изменения объемов производства. Это критически важно для финансового анализа и контроля затрат, позволяя руководству видеть, насколько эффективно управляются расходы на производство и выявлять потенциальные проблемы.

Условие задачи:
Имеются следующие данные по производству продукции предприятием:

Вид продукции	Себестоимость единицы продукции в базисном периоде (z0, руб.)	Себестоимость единицы продукции в отчетном периоде (z1, руб.)	Количество продукции в отчетном периоде (q1, тыс. шт.)
A	100	110	50
B	150	140	30
C	80	85	40

Рассчитать общий агрегатный индекс себестоимости продукции. Определить абсолютную экономию (перерасход) от изменения себестоимости.

Теоретическое обоснование:
Для расчета общего агрегатного индекса себестоимости продукции используется формула индекса себестоимости типа Пааше. Этот индекс позволяет оценить, как изменилась себестоимость в среднем, фиксируя объем продукции на уровне отчетного периода (q₁). Такой подход позволяет изолировать влияние изменения себестоимости от влияния изменения количества произведенной продукции.

1. Общий агрегатный индекс себестоимости (I_z) (индекс Пааше):
   Iz = (Σ z1 q1) / (Σ z0 q1)
   Где:
   • z₁ — себестоимость единицы продукции в отчетном периоде.
   • z₀ — себестоимость единицы продукции в базисном периоде.
   • q₁ — количество продукции в отчетном периоде (выступает в качестве весов).

   Числитель (Σ z₁ q₁) представляет собой фактические затраты на производство продукции отчетного периода по фактической себестоимости.
   Знаменатель (Σ z₀ q₁) представляет собой условные затраты, которые были бы понесены, если бы продукция отчетного периода была произведена по себестоимости базисного периода.

2. Абсолютная экономия (перерасход) от изменения себестоимости (ΔZ):
   ΔZ = Σ z1 q1 - Σ z0 q1
   Если ΔZ < 0, это экономия; если ΔZ > 0, это перерасход.

Пошаговое решение:

1. Расчет произведений z₀q₁ и z₁q₁ для каждого вида продукции:

Вид продукции	z0 (руб.)	z1 (руб.)	q1 (тыс. шт.)	z0q1 (тыс. руб.)	z1q1 (тыс. руб.)
A	100	110	50	100 × 50 = 5000	110 × 50 = 5500
B	150	140	30	150 × 30 = 4500	140 × 30 = 4200
C	80	85	40	80 × 40 = 3200	85 × 40 = 3400
Сумма				Σ z0q1 = 12700	Σ z1q1 = 13100

2. Расчет общего агрегатного индекса себестоимости (I_z):
   Iz = (Σ z1 q1) / (Σ z0 q1) = 13100 / 12700 ≈ 1.0315
   Или 103.15%
3. Расчет абсолютной экономии (перерасхода) от изменения себестоимости (ΔZ):
   ΔZ = Σ z1 q1 - Σ z0 q1 = 13100 - 12700 = 400 тыс. руб.

Интерпретация результатов:
Общий агрегатный индекс себестоимости продукции составил примерно 1.0315 или 103.15%. Это означает, что в отчетном периоде себестоимость продукции в среднем увеличилась на 3.15% по сравнению с базисным периодом, при условии сохранения объемов производства на уровне отчетного периода. Абсолютное изменение затрат, обусловленное изменением себестоимости, составляет 400 тыс. руб. со знаком «плюс». Это означает, что предприятие понесло перерасход в размере 400 тыс. руб. из-за увеличения себестоимости единицы продукции по всей номенклатуре (при условии, что объемы производства остались бы на уровне отчетного периода, но с себестоимостью базисного периода). Данный анализ позволяет руководству выявить неблагоприятные тенденции в управлении затратами и принять меры по их оптимизации, например, пересмотреть поставщиков или производственные процессы. Более глубокий анализ дисперсии может быть полезен для выявления корневых причин такого перерасхода, о чем можно прочитать в следующем разделе Декомпозиция дисперсии.

Задача 6: Декомпозиция дисперсии и оценка тесноты корреляционной связи

В многомерном статистическом анализе часто возникает вопрос, насколько вариация одного признака обусловлена влиянием другого признака (фактора). Дисперсионный анализ предоставляет мощный инструментарий для ответа на этот вопрос, декомпозируя общую вариацию на составляющие. Понимание этих взаимосвязей критически важно для многих областей, от экономики (например, влияние квалификации сотрудников на производительность) до социологии (влияние образования на уровень дохода), поскольку позволяет не только выявить, но и количественно оценить степень взаимозависимости.

Условие задачи:
Известно, что общая дисперсия (σ²_общ) результативного признака составляет 120 единиц, а межгрупповая дисперсия (σ²_меж) — 30 единиц.

1. Определить среднюю из внутригрупповых дисперсий (σ̅²_внутр).
2. Рассчитать эмпирический коэффициент детерминации (η²).
3. Рассчитать эмпирическое корреляционное отношение (η).
4. Сделать вывод о тесноте связи между факторным и результативным признаками.

Теоретическое обоснование:
В основе дисперсионного анализа лежит правило сложения дисперсий, которое гласит:
σ2общ = σ2меж + σ̅2внутр
Где:

• σ²_общ — общая дисперсия, отражающая полную вариацию результативного признака во всей совокупности.
• σ²_меж — межгрупповая дисперсия, характеризующая вариацию, обусловленную влиянием группировочного фактора (то есть, различиями между средними значениями в группах).
• σ̅²_внутр — средняя из внутригрупповых дисперсий, отражающая вариацию признака внутри каждой группы, не объясняемую группировочным фактором (случайная вариация).

На основе этих дисперсий рассчитываются показатели тесноты связи:

1. Эмпирический коэффициент детерминации (η²): Показывает долю общей вариации результативного признака, которая объясняется вариацией факторного признака. Варьируется от 0 до 1.
   η2 = σ2меж / σ2общ
2. Эмпирическое корреляционное отношение (η): Измеряет тесноту корреляционной связи между признаками, независимо от ее формы (линейной или нелинейной). Является квадратным корнем из коэффициента детерминации:
   η = √(η2)
   Значения η также варьируются от 0 до 1, где 0 означает отсутствие связи, а 1 — функциональную связь.

Пошаговое решение:

1. Определение исходных данных:
   Общая дисперсия (σ²_общ) = 120 единиц
   Межгрупповая дисперсия (σ²_меж) = 30 единиц
2. Определение средней из внутригрупповых дисперсий (σ̅²_внутр):
   Используем правило сложения дисперсий: σ2общ = σ2меж + σ̅2внутр
   Отсюда, σ̅2внутр = σ2общ - σ2меж
   σ̅²_внутр = 120 — 30 = 90 единиц
3. Расчет эмпирического коэффициента детерминации (η²):
   η2 = σ2меж / σ2общ = 30 / 120 = 0.25
4. Расчет эмпирического корреляционного отношения (η):
   η = √(η2) = √(0.25) = 0.5
5. Вывод о тесноте связи:
   Для оценки тесноты связи по значению η используются следующие критерии (шкала Чеддока):
   • 0.1 < η ≤ 0.3 — слабая связь
   • 0.3 < η ≤ 0.5 — умеренная связь
   • 0.5 < η ≤ 0.7 — заметная (средняя) связь
   • 0.7 < η ≤ 0.9 — тесная (высокая) связь
   • η > 0.9 — очень тесная связь

   В нашем случае η = 0.5, что соответствует заметной (средней) связи.

Таблица результатов:

Показатель	Формула	Расчет	Значение
Общая дисперсия (σ2общ)	—	—	120 единиц
Межгрупповая дисперсия (σ2меж)	—	—	30 единиц
Средняя из внутригрупповых дисперсий (σ̅2внутр)	σ2общ — σ2меж	120 — 30	90 единиц
Эмпирический коэффициент детерминации (η2)	σ2меж / σ2общ	30 / 120	0.25
Эмпирическое корреляционное отношение (η)	√(η2)	√(0.25)	0.5
Вывод о тесноте связи	Согласно шкале Чеддока для η = 0.5	(0.5 < η ≤ 0.7)	Заметная (средняя) связь

Интерпретация результатов:
Расчеты показали, что средняя из внутригрупповых дисперсий составляет 90 единиц. Это означает, что большая часть вариации признака (90 из 120 единиц) обусловлена случайными факторами или влиянием других, неучтенных признаков, а не группировочным фактором. Эмпирический коэффициент детерминации (η²) равен 0.25 (или 25%). Это говорит о том, что 25% общей вариации результативного признака объясняется вариацией факторного признака, использованного для группировки. Оставшиеся 75% вариации объясняются другими, неучтенными факторами. Эмпирическое корреляционное отношение (η) составляет 0.5. Согласно шкале Чеддока, это указывает на заметную (среднюю) тесноту связи между факторным и результативным признаками. Таким образом, группировочный фактор оказывает существенное, но не определяющее влияние на вариацию результативного признака, оставляя значительный простор для анализа других потенциальных драйверов вариации. В прикладном контексте это может означать, что фактор (например, уровень образования) действительно влияет на результат (например, доход), но есть и множество других, не менее важных факторов, которые также следует учитывать для полного понимания ситуации и принятия комплексных решений.

Раздел IV. Статистика населения и демографическое прогнозирование (Задачи 7-8)

Задача 7: Расчет средней численности населения за отчетный период

Статистика населения, или демография, изучает численность, состав, движение и размещение населения. Одним из базовых показателей является средняя численность населения за определенный период. Ее точный расчет важен для многих экономических и социальных показателей, таких как ВВП на душу населения, показатели рождаемости и смертности, или обеспеченность населения товарами и услугами, поскольку некорректная оценка может привести к ошибочным выводам и неэффективным управленческим решениям.

Условие задачи:
Имеются данные о численности населения города на начало каждого месяца квартала:

• На 1 января: 250 тыс. чел.
• На 1 февраля: 252 тыс. чел.
• На 1 марта: 253 тыс. чел.
• На 1 апреля: 255 тыс. чел.

Рассчитать среднюю численность населения города за I квартал. Обосновать выбор формулы.

Теоретическое обоснование:
Численность населения на определенные даты (моменты времени) формирует моментный ряд динамики. Для расчета средней численности населения за период, когда данные представлены на равные промежутки времени (в данном случае, начало каждого месяца квартала), используется формула средней хронологической простой.

Формула средней хронологической простой:
X̅ = (x1/2 + x2 + ... + xn-1 + xn/2) / (n-1)
Где:

• X̅ — средняя численность населения за период.
• x_i — численность населения на i-й момент времени.
• n — число моментов времени (дат), по которым имеются данные.

Выбор этой формулы обусловлен тем, что данные о численности населения являются моментными (т.е., фиксируются на определенную дату), а интервалы между этими датами равны. Если бы интервалы были неравными, потребовалась бы формула средней хронологической взвешенной. Это обеспечивает максимальную точность расчетов в данном контексте.

Пошаговое решение:

1. Определение исходных данных (численность населения на моменты времени):
   x₁ (1 января) = 250 тыс. чел.
   x₂ (1 февраля) = 252 тыс. чел.
   x₃ (1 марта) = 253 тыс. чел.
   x₄ (1 апреля) = 255 тыс. чел.
   Число моментов времени (n) = 4
2. Применение формулы средней хронологической простой:
   X̅ = (x1/2 + x2 + x3 + x4/2) / (n-1)
X̅ = (250/2 + 252 + 253 + 255/2) / (4-1)
X̅ = (125 + 252 + 253 + 127.5) / 3
X̅ = 757.5 / 3
X̅ = 252.5 тыс. чел.

Таблица данных и расчета:

Дата	Численность населения (xi, тыс. чел.)
1 января	250
1 февраля	252
1 марта	253
1 апреля	255
Расчет	(250/2 + 252 + 253 + 255/2) / 3
Средняя	252.5 тыс. чел.

Интерпретация результатов:
Средняя численность населения города за I квартал составила 252.5 тыс. человек. Этот показатель является обобщающей характеристикой численности населения за весь период, учитывающей динамику изменений внутри квартала. Он используется как делитель при расчете относительных демографических показателей (например, коэффициентов рождаемости, смертности) или экономических показателей (ВВП на душу населения, обеспеченность жильем на человека) за квартал, обеспечивая корректное сопоставление с объемными показателями за тот же период. Это позволяет не только точно отслеживать изменения, но и эффективно планировать ресурсы.

Задача 8: Применение уравнения демографического баланса для перспективного исчисления

Демографическое прогнозирование — это критически важный элемент стратегического планирования для государств, регионов и даже крупных корпораций. Зная будущую численность и структуру населения, можно прогнозировать потребности в здравоохранении, образовании, рабочих местах, жилье и социальных услугах, тем самым создавая основу для устойчивого развития. Одним из основных инструментов для такого прогнозирования является уравнение демографического баланса, которое учитывает естественное и миграционное движение населения.

Условие задачи:
Численность населения на начало 2025 года в регионе составляла 1.5 млн чел. За год (2025 г.) в регионе родилось 18 тыс. чел., умерло 15 тыс. чел., прибыло 7 тыс. чел., выбыло 5 тыс. чел.

1. Рассчитать перспективную численность населения на начало 2026 года.
2. Рассчитать коэффициент жизненности Покровского за 2025 год.

Теоретическое обоснование:

1. Уравнение демографического баланса: Фундаментальная формула для расчета численности населения на конец периода (P₁) на основе численности на начало периода (P₀) и всех компонент ее изменения:
   P1 = P0 + N - M + Vпр
   Где:
   • P₀ — численность населения на начало периода.
   • P₁ — численность населения на конец периода.
   • N — число родившихся за период.
   • M — число умерших за период.
   • V_пр — миграционное сальдо (число прибывших минус число выбывших).

   Разность N — M называется естественным приростом (Е).
   Миграционное сальдо V_пр = Прибывшие — Выбывшие.

2. Коэффициент жизненности Покровского (К_жизн): Относительный показатель естественного воспроизводства населения, показывающий, сколько рождений приходится на одну смерть. Выражается в процентах.
   Кжизн = (N / M) × 100%
   Если К_жизн > 100%, это означает естественный прирост; если К_жизн < 100%, это естественная убыль.

Пошаговое решение:

1. Определение исходных данных:
   P₀ (на начало 2025 г.) = 1 500 тыс. чел.
   N (родившихся) = 18 тыс. чел.
   M (умерших) = 15 тыс. чел.
   Прибыло = 7 тыс. чел.
   Выбыло = 5 тыс. чел.
2. Расчет естественного прироста (Е):
   Е = N - M = 18 тыс. чел. - 15 тыс. чел. = 3 тыс. чел.
3. Расчет миграционного сальдо (V_пр):
   Vпр = Прибывшие - Выбывшие = 7 тыс. чел. - 5 тыс. чел. = 2 тыс. чел.
4. Расчет перспективной численности населения на начало 2026 года (P₁):
   P1 = P0 + E + Vпр
P1 = 1500 тыс. чел. + 3 тыс. чел. + 2 тыс. чел. = 1505 тыс. чел.
5. Расчет коэффициента жизненности Покровского (К_жизн):
   Кжизн = (N / M) × 100% = (18 тыс. чел. / 15 тыс. чел.) × 100% = 1.2 × 100% = 120%

Таблица данных и расчетов:

Показатель	Значение (тыс. чел.)
Численность на начало 2025 (P0)	1500
Родившихся (N)	18
Умерших (M)	15
Прибыло	7
Выбыло	5
Естественный прирост (E = N — M)	3
Миграционное сальдо (Vпр = Прибыло — Выбыло)	2
Численность на начало 2026 (P1)	1505
Коэффициент жизненности Покровского (Кжизн)	120%

Интерпретация результатов:
На основе уравнения демографического баланса, перспективная численность населения региона на начало 2026 года составит 1505 тыс. человек. Это обусловлено положительным естественным приростом (3 тыс. человек), который превышает число умерших над родившимися, и положительным миграционным сальдо (2 тыс. человек), означающим, что в регион прибыло больше людей, чем выбыло. Оба эти фактора способствуют росту численности населения. Коэффициент жизненности Покровского, равный 120%, подтверждает эту тенденцию: на каждые 100 умерших приходится 120 родившихся, что свидетельствует о естественном приросте населения и его воспроизводстве. Эти показатели являются основой для долгосрочного планирования социально-экономического развития региона, позволяя прогнозировать изменения в рабочей силе, нагрузке на социальную инфраструктуру и потребительском спросе, обеспечивая тем самым устойчивое развитие территории.

Заключение

Выполненная контрольная работа по статистике (Вариант №1) представляет собой всеобъемлющий анализ восьми практических задач, охватывающих ключевые разделы общей теории статистики и экономической статистики. Каждая задача была решена с соблюдением строгих методологических требований, что включало не только представление окончательных результатов, но и детальное изложение теоретического обоснования, используемых формул, пошаговых расчетов и, что особенно важно, интерпретации полученных данных. Таким образом, работа демонстрирует не просто знание формул, но и глубокое понимание их практического применения.

В ходе работы были успешно применены следующие статистические методы:

• Анализ относительных величин для оценки выполнения плана и динамики (Задача 1).
• Расчет показателей вариации (дисперсии, среднего квадратического отклонения, коэффициента вариации) для оценки однородности совокупности (Задача 2).
• Методы выборочного наблюдения для определения необходимого объема выборки при различных уровнях доверительной вероятности (Задача 3).
• Анализ временных рядов и экстраполяция для краткосрочного прогнозирования (Задача 4).
• Индексный метод для расчета агрегатного индекса себестоимости и определения абсолютной экономии/перерасхода (Задача 5).
• Дисперсионный анализ для декомпозиции дисперсии и оценки тесноты корреляционной связи между признаками (Задача 6).
• Статистика населения для расчета средней численности населения и применения уравнения демографического баланса (Задачи 7 и 8).

Особое внимание уделялось академической корректности, что подтверждается использованием формул и подходов из авторитетных учебников по статистике. Интерпретация результатов каждой задачи не ограничивалась сухими цифрами, а раскрывала их экономический и социальный смысл, что делает представленные решения максимально полезными для студентов экономических, управленческих и гуманитарных специальностей, позволяя им не только решить задачи, но и понять их прикладное значение.

Данная контрольная работа демонстрирует не только умение выполнять расчеты, но и глубокое понимание статистических принципов и их практического применения. Она может служить надежным образцом для выполнения аналогичных академических заданий, подтверждая высокий стандарт владения статистическим инструментарием и готовность к решению реальных аналитических задач.

Список использованной литературы

1. Средняя хронологическая. ВАВТ. URL: https://vavt.ru/glossary/srednyaya-khronologicheskaya (дата обращения: 06.10.2025).
2. Средняя хронологическая. Bstudy.net. URL: https://bstudy.net/5138/statistika/srednyaya_hronologicheskaya (дата обращения: 06.10.2025).
3. Абсолютные и относительные величины в статистике. НОУ ИНТУИТ. URL: https://www.intuit.ru/studies/courses/23/23/lecture/613 (дата обращения: 06.10.2025).
4. Относительная величина динамики. Онлайн-калькулятор по экономике. URL: https://semestr.ru/economic-calculator/relative-value-dynamics.php (дата обращения: 06.10.2025).
5. Темп роста и темп прироста: формула. Финансовый директор. URL: https://fd.ru/articles/157297-temp-rosta-i-temp-prirosta-formula (дата обращения: 06.10.2025).
6. Ниворожкина Л.И., Чернова Т.В. Средние показатели ряда динамики. Теория статистики. URL: http://bizlog.ru/stat/teoriya-statistiki/14.htm (дата обращения: 06.10.2025).
7. Уравнение демографического баланса. Studfile.net. URL: https://studfile.net/preview/998565/page:14/ (дата обращения: 06.10.2025).
8. Средняя хронологическая величина. Studfile.net. URL: https://studfile.net/preview/2607590/page:13/ (дата обращения: 06.10.2025).
9. Агрегатный индекс себестоимости продукции. Studfile.net. URL: https://studfile.net/preview/4442650/page:4/ (дата обращения: 06.10.2025).
10. Темп роста прибыли: как рассчитать, формула, анализ. Финтабло. URL: https://fintablo.ru/blog/temp-rosta-pribyli-kak-rasschitat-formula-analiz (дата обращения: 06.10.2025).
11. Относительный показатель плана. RNZ.RU. URL: https://rnz.ru/analiz-finansovoy-otchetnosti/otnositelnyy-pokazatel-plana/ (дата обращения: 06.10.2025).
12. Формула для вычисления дисперсии. Среднее квадратическое отклонение. Коэффициент вариации. Математика для заочников. URL: https://mathprofi.ru/formula_dlya_vychislenija_dispersii.html (дата обращения: 06.10.2025).
13. Относительная величина планового задания и выполнения плана. Grandars.ru. URL: https://www.grandars.ru/student/statistika/otnositelnye-velichiny-plana.html (дата обращения: 06.10.2025).
14. Коэффициент вариации. Википедия. URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%8D%D1%84%D1%84%D0%B8%D1%86%D0%B8%D0%B5%D0%BD%D1%82_%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%B8 (дата обращения: 06.10.2025).
15. Как сделать расчет темпа роста прибыли. Совкомбанк. URL: https://sovcombank.ru/blog/tempy-rosta-pribyli (дата обращения: 06.10.2025).
16. Показатели вариации. Imamod.ru. URL: https://imamod.ru/statistika/pokazateli-variacii.html (дата обращения: 06.10.2025).
17. Средний темп прироста. Циклопедия. URL: https://cyclowiki.org/wiki/%D0%A1%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%BF_%D0%BF%D1%80%D0%B8%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B0 (дата обращения: 06.10.2025).
18. Методы перспективного исчисления населения. Демография. Ozlib.com. URL: https://ozlib.com/264639/demografiya/metody_perspektivnogo_ischisleniya_naseleniya (дата обращения: 06.10.2025).
19. Определение оптимального объема выборочной совокупности. Vyatsu.ru. URL: https://www.vyatsu.ru/content/file/biblioteka/uchebniki/statistika/glava4_2.htm (дата обращения: 06.10.2025).
20. Агрегатный индекс — основная форма общего индекса. Ozlib.com. URL: https://ozlib.com/284347/ekonomika/agregatnyy_indeks_osnovnaya_forma_obschego_indeksa (дата обращения: 06.10.2025).
21. Агрегатные индексы. Формулы, примеры. Primer.by. URL: https://primer.by/agregatnye-indeksy-formuly-primery (дата обращения: 06.10.2025).
22. Сводный индекс себестоимости. Semestr.ru. URL: https://semestr.ru/e/svodnyy-indeks-sebestoimosti.php (дата обращения: 06.10.2025).
23. Агрегатные индексы количественных и качественных показателей. Bizlog.ru. URL: http://bizlog.ru/stat/teoriya-statistiki/12.htm (дата обращения: 06.10.2025).
24. Оценка результатов выборочного наблюдения. Интуит. URL: https://www.intuit.ru/studies/courses/23/23/lecture/618 (дата обращения: 06.10.2025).
25. Определение необходимого объема выборки. Studfile.net. URL: https://studfile.net/preview/3631980/page:12/ (дата обращения: 06.10.2025).
26. Эмпирический коэффициент детерминации. Эмпирическое корреляционное отношение. Математика для заочников. URL: https://mathprofi.ru/empiricheskii_koefficient_determinacii_korreljacionnoe_otnoshenie.html (дата обращения: 06.10.2025).
27. Эмпирическое корреляционное отношение. 100task.ru. URL: https://100task.ru/teoriya-veroyatnostey/empiricheskoe-korrelyatsionnoe-otnoshenie/ (дата обращения: 06.10.2025).
28. Корреляционное отношение и индекс корреляции. Studme.org. URL: https://studme.org/168434/ekonomika/korrelyatsionnoe_otnoshenie_indeks_korrelyatsii (дата обращения: 06.10.2025).