Содержание
Вариант № 3
Задача № 1
Заданы точки А (2; –3), В (–2; 1), С (1; 3). Найти:
1) уравнение прямой АВ;
2) уравнение перпендикуляра, опущенного из точки С на АВ;
3) определить угол между векторами и ;
4) найти расстояние от точки С до прямой АВ.
Задача № 2
Стороны параллелограмма заданы векторами а (4i+j+4.5k ) и b( 2i-j+3.5k). Найти:
1) длины диагоналей параллелограмма; 2) угол между ними.
Задача № 3
Даны матрицы А и В. Найти матрицу D = А (В – 2А)
2 4 1
A=3 2 3
2 0 1
1 3 2
B=4 1 0
2 3 4
Задача № 4
Решить однородную систему уравнений
x1-x2+x3=0
x1+x2+3×3=0
Задача № 5
Вычислив пределы, убедиться в справедливости приведенных соотношений.
1.
2.
3.
Задача № 6
Найдя производные от функций, убедится в правильности приведенных соотношений.
1.
2.
3.
Задача № 7
Картина повешена на стене. Нижний ее конец на b см, а верхний — на a см выше глаза наблюдателя. На каком расстоянии от стены должен встать наблюдатель, чтобы рассмотреть картину под наибольшим углом?
Задача № 8
1.На окружности выбрано 7 точек. Сколько можно построить треугольников с вершинами в этих точках?
2.Вероятности сдать зачет по информатике, экзамены по языку и философии соответственно равны 0,9; 0,7; 0,8. Найти вероятности того, что студент: а) получил зачет, но не сдал ни одного экзамена; б) сдал только один экзамен; в) не сдал ничего; г) сдал все.
3.В урне 7 черных и 3 белых шара. Один за другим вынимают все имеющиеся шары. Найти вероятность того, что последним будет белый шар.
4.Из надписи «ИМПРЕССИОНИЗМ» выпало 4 буквы. Какова вероятность, что из них можно составить слово «МОРЕ»?
5.В первом ящике содержится 20 деталей, из них 15 стандартных; во втором ящике 30 деталей, из них 24 стандартных; в третьем — 10 деталей, из них 6 стандартных. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная деталь из наудачу взятого ящика — стандартная.
6.В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна. Вероятность выполнить квалификационную норму такова: для лыжника 0,9. Для велосипедиста 0,8, для бегуна 0,75. Найти вероятность того, что спортсмен, выбранный наудачу, выполнит норму.
7.В семье 5 детей. Найти вероятность того, что среди этих детей: а) два мальчика; б) не более двух мальчиков; в) более двух мальчиков; г) не менее двух и не более трех мальчиков. Вероятность рождения мальчика принять равной 0,51.
8.Шахматист играет 15 партий, вероятность выигрыша в каждой равна 0,6. Найти математическое ожидание числа выигранных партий.
Задача № 9
1.Перечислить законы распределения для дискретных и непрерывных случайных величин.
Построить графики плотности распределения для непрерывных случайных величин.
2.Случайная величина задана рядом распределения:
xi1015203040
рi0,110,200,300,360,03
Найти функцию распределения F(x) и построить ее график.
Найти вероятность попадания случайной величины в интервал [10;30).
Определить числовые характеристики случайной величины: математическое ожидание (Mx), дисперсию (Dx), среднее квадратическое отклонение (x).
Найти среднее значение, дисперсию и среднее квадратическое отклонение силы шума (в Децибелах) от пролетающих над различными районами города N самолетов:
32; 65; 48; 58; 56; 64; 69; 40; 47; 53; 62; 44; 56; 68; 58; 37; 40; 41; 54; 62.
Выдержка из текста
Задача № 9
1.Перечислить законы распределения для дискретных и непрерывных случайных величин.
Построить графики плотности распределения для непрерывных случайных величин.
Решение:
законы распределения для дискретных случайных величин:
закон распределения вероятностей по формуле Бернулли;
закон распределения вероятностей по формуле Лапласа;
распределение Пуассона.
Законы распределения для непрерывных случайных величин:
1) Непрерывная случайная величина Х имеет равномерное распределение на отрезке [а, b], если на этом отрезке плотность распределения вероятности случайной величины постоянна, т. е. если дифференциальная функция распределения f(х) имеет следующий вид:
2) Непрерывная случайная величина Х имеет нормальное распределение (распределена по нормальному закону), если плотность распределения вероятности f(x) имеет вид
где а и s—некоторые постоянные, называемые параметрами нормального распределения.
3) Непрерывная случайная величина X, функция плотности которой задается выражением
называется случайной величиной, имеющей показательное, или экспоненциальное, распределение.
2.Случайная величина задана рядом распределения:
xi1015203040
рi0,110,200,300,360,03
Найти функцию распределения F(x) и построить ее график.
Найти вероятность попадания случайной величины в интервал [10;30).
Определить числовые характеристики случайной величины: математическое ожидание (Mx), дисперсию (Dx), среднее квадратическое отклонение (x).
Решение:
согласно ряду распределения получим:
построим график полученной функции распределения:
Вероятность попадания случайной величины в интервал [10;30):
.
Вычислим математическое ожидание:
;
дисперсия:
среднее квадратическое отклонение:
.
3. Найти среднее значение, дисперсию и среднее квадратическое отклонение силы шума (в Децибелах) от пролетающих над различными районами города N самолетов:
32; 65; 48; 58; 56; 64; 69; 40; 47; 53; 62; 44; 56; 68; 58; 37; 40; 41; 54; 62.
Решение:
составим статистическое распределение:
, тогда получим:
I(28,3;35,7)(35,7;43,1)(43,1;50,5)(50,5;57,9)(57,9;65,3)(65,3;72,7)
143462
тогда среднее значение силы шума (в Децибелах) от пролетающих над различными районами города 20 самолетов:
,
дисперсия:
среднее квадратическое отклонение:
.
4. Статистическое распределение выборки имеет вид:
Х1346
5764
1) Построить полигон распределения.
2) Вычислить объем выборки.
3) Найти моду, медиану и среднюю выборочную вариационного ряда.
Решение:
1)найдем статистическое распределение:
Х1346
5/227/223/112/11
построим полигон распределения:
2) объем выборки:
;
3) т.к. модой дискретной случайной величины Х называется ее наиболее вероятное значение, то ;
т.к. распределение одномодальное, то медиана совпадает с математическим ожиданием:
;
средняя выборочная вариационного ряда:
.