Высшая математика для контрольных работ: Полное руководство по дифференциальному, интегральному исчислению и рядам с пошаговыми решениями

Представьте себе, что вы строите мост, проектируете космический корабль или создаете алгоритм, способный предсказывать рыночные тренды. Во всех этих амбициозных проектах, за каждой сложной инженерной или научной задачей, незримо стоит мощный, универсальный язык — язык высшей математики. Это не просто набор формул и правил, это фундамент, на котором зиждется современная наука и технологии. Для студентов технических и естественнонаучных специальностей, высшая математика — это не только обязательная дисциплина, но и ключ к пониманию мира, инструмент для решения нетривиальных проблем и развития аналитического мышления.

Данное руководство призвано стать вашим надежным спутником в освоении одного из самых сложных, но увлекательных разделов высшей математики — математического анализа, включающего дифференциальное и интегральное исчисление, а также теорию рядов. Мы не просто представим набор типовых решений для контрольных работ; наша цель гораздо шире. Мы стремимся создать ресурс, который не только покажет «как», но и объяснит «почему», углубляя ваше понимание каждой концепции. Структура руководства построена таким образом, чтобы органично сочетать фундаментальную теорию с практическими примерами, детальным анализом распространенных ошибок и рекомендациями по выбору оптимальных подходов. Это позволит вам не просто механически воспроизводить решения, а развивать подлинные навыки самостоятельного анализа и критического мышления, что крайне важно для будущих инженеров и ученых.

Цели и задачи данного руководства

Основная цель этого руководства — не просто предоставить готовые «рыбы» для решения контрольных работ. Мы ставим перед собой амбициозную задачу: научить вас глубоко понимать предмет, развивать математическую интуицию и формировать навыки самостоятельного анализа. Задачи, которые мы перед собой ставим, включают:

1. Систематизация теоретических знаний: Четкое и логичное изложение ключевых определений, теорем и формул, позволяющее построить прочный теоретический фундамент.
2. Пошаговое освоение практических навыков: Представление алгоритмов решения типовых задач с подробными примерами и промежуточными вычислениями.
3. Предотвращение распространенных ошибок: Детальный разбор типичных заблуждений и ошибок, с объяснением их причин и методов их предотвращения.
4. Развитие методологического мышления: Обучение выбору наиболее эффективных методов и инструментов для решения конкретных задач, с учетом их специфики.
5. Формирование навыков самоконтроля: Рекомендации по проверке и оценке правдоподобности полученных результатов, что является краеугольным камнем успешного математического анализа.

В конечном итоге, это руководство должно стать не просто справочником, а интерактивным учебным пособием, которое позволит вам не только успешно справляться с контрольными работами, но и заложит прочную основу для дальнейшего изучения математики и ее приложений в вашей будущей профессиональной деятельности. Этот подход позволит вам не просто заучивать, но и по-настоящему понимать сложные математические концепции, расширяя горизонты для будущих исследований.

Вычисление площади плоских фигур с использованием определенного интеграла

На первый взгляд, задача вычисления площади может показаться тривиальной, если речь идет о квадратах, треугольниках или кругах. Однако, когда границы фигуры изгибаются и принимают причудливые формы, стандартные геометрические формулы становятся бессильны. Именно здесь на помощь приходит определенный интеграл — мощный инструмент математического анализа, позволяющий «измерить» площадь даже самых замысловатых криволинейных фигур. Этот раздел посвящен подробному освоению методов нахождения площадей, ограниченных кривыми, с акцентом на геометрическую интерпретацию и избегание распространенных ошибок, что является залогом успешного решения практических задач.

Геометрический смысл определенного интеграла

Исторически определенный интеграл возник из задачи определения площади. Представьте себе криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком непрерывной функции y = f(x), снизу — осью абсцисс (OX), а по бокам — вертикальными прямыми x = a и x = b.

Определенный интеграл функции f(x) на отрезке [a, b], обозначаемый как ∫_a^b f(x)dx, геометрически представляет собой площадь S этой криволинейной трапеции, при условии, что функция f(x) неотрицательна на данном отрезке. То есть:

S = ∫_a^b f(x)dx, если f(x) ≥ 0 для x ∈ [a, b].

Однако что произойдет, если кривая расположена под осью OX? Если функция f(x) ≤ 0 на отрезке [a, b], то значение определенного интеграла будет отрицательным, поскольку он суммирует «ориентированные» площади. Площадь же как физическая величина всегда положительна. В этом случае, чтобы найти площадь, необходимо взять интеграл от абсолютного значения функции или просто изменить знак:

S = -∫_a^b f(x)dx, если f(x) ≤ 0 для x ∈ [a, b].

Если же функция f(x) меняет знак на отрезке [a, b], то для корректного вычисления площади необходимо разбить интервал интегрирования на части, где функция сохраняет свой знак, и затем просуммировать абсолютные значения интегралов по каждой части. Это подчеркивает важность построения чертежа перед началом вычислений, позволяющего избежать ошибок в определении знака.

Формулы для вычисления площади в декартовых координатах

В декартовой системе координат существует несколько основных конфигураций для вычисления площади.

1. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной одной функцией и осью X:
   Если фигура ограничена графиком непрерывной функции y = f(x), осью абсцисс и вертикальными прямыми x = a и x = b, и f(x) ≥ 0 на [a, b], то её площадь S вычисляется по формуле:
   S = ∫_a^b f(x)dx
2. Площадь фигуры, ограниченной двумя функциями:
   Предположим, у нас есть две непрерывные функции y = f₁(x) и y = f₂(x), а также две вертикальные прямые x = a и x = b. Если на всем отрезке [a, b] выполняется условие f₁(x) ≥ f₂(x) (то есть график f₁(x) находится выше или совпадает с графиком f₂(x)), то площадь S фигуры, заключенной между этими кривыми, определяется как разность площадей под «верхней» и «нижней» функциями:
   S = ∫_a^b [f₁(x) — f₂(x)]dx
   Здесь f₁(x) — это «верхняя» функция, а f₂(x) — «нижняя». Если функции пересекаются на интервале [a, b], то необходимо разбить этот интервал на несколько подинтервалов, на каждом из которых одна функция стабильно «выше» другой.
3. Площадь фигуры, ограниченной функциями относительно оси Y:
   Иногда удобнее интегрировать по переменной y. Если фигура ограничена кривыми x = φ₁(y) и x = φ₂(y), а также горизонтальными прямыми y = c и y = d, и φ₁(y) ≥ φ₂(y) на [c, d], то площадь S вычисляется по формуле:
   S = ∫_c^d [φ₁(y) — φ₂(y)]dy
   Здесь φ₁(y) — это «правая» функция, а φ₂(y) — «левая».

Площадь фигуры, заданной в параметрическом виде

Когда кривая описывается не явной зависимостью y = f(x) или x = φ(y), а через вспомогательный параметр t, мы имеем дело с параметрическим представлением: x = φ(t), y = ψ(t). Такой подход часто встречается при описании траекторий движения или сложных кривых (например, циклоиды, астроиды).

Для вычисления площади S фигуры, ограниченной кривой, заданной в параметрическом виде, и осью абсцисс, при изменении параметра t от t₁ до t₂, используется следующая формула:
S = ∫_t1^t₂ ψ(t)φ'(t)dt
Где φ'(t) — это производная x(t) по параметру t. Важно при этом условии, что при увеличении t от t₁ до t₂, x(t) монотонно возрастает. Если x(t) убывает, то перед интегралом нужно поставить знак минус, либо изменить пределы интегрирования.

Алгоритм перехода к параметрическим уравнениям:

1. Определить интервал изменения параметра t, соответствующий заданному участку кривой.
2. Найти производную φ'(t) = dx/dt.
3. Подставить y = ψ(t) и dx = φ'(t)dt в формулу определенного интеграла.
4. Вычислить полученный интеграл.

Площадь фигуры в полярных координатах

Полярные координаты — это мощный инструмент для описания и анализа фигур, обладающих радиальной симметрией, таких как круги, кардиоиды, лемнискаты и спирали. Вместо декартовых (x, y) используются полярные (ρ, φ), где ρ — расстояние от начала координат (полюса) до точки, а φ — угол между полярной осью (совпадающей с положительной полуосью OX) и радиус-вектором точки.

Формулы перехода от полярных к декартовым координатам:

x = ρ cosφ
y = ρ sinφ

Площадь сектора, ограниченного непрерывной кривой ρ = ρ(φ) и двумя полупрямыми φ = α и φ = β (где α < β), вычисляется по формуле:
S = ½ ∫_α^β ρ²(φ)dφ

Применение: Эта формула особенно удобна, когда область интегрирования имеет форму «лепестка» или части круга. Например, для вычисления площади круга радиуса R: ρ = R, φ изменяется от 0 до 2π.

S = ½ ∫02π R2 dφ = ½ R2 [φ]02π = ½ R2 (2π - 0) = πR2.

Общий алгоритм вычисления площади плоских фигур

Для успешного вычисления площади плоской фигуры с использованием определенного интеграла, рекомендуется следовать четкому алгоритму:

1. Построение чертежа: Это самый критически важный шаг. Аккуратный и точный чертеж позволяет визуализировать фигуру, определить границы интегрирования и понять, какая функция является «верхней», а какая «нижней» (или «правой»/»левой»). Графическое представление помогает избежать многих ошибок.
2. Определение точек пересечения: Если фигура ограничена несколькими кривыми, необходимо найти координаты их точек пересечения. Эти координаты часто служат пределами интегрирования. Для этого приравниваются уравнения функций и решаются полученные уравнения относительно x или y.
3. Выбор переменной интегрирования и системы координат: В зависимости от формы фигуры и вида уравнений кривых, решите, по какой переменной удобнее интегрировать (dx или dy) и в какой системе координат (декартовой, параметрической, полярной). Если кривые удобнее выразить как x = φ(y), интегрируйте по y. Если область радиально симметрична, рассмотрите полярные координаты.
4. Составление подынтегрального выражения:
   • Если интегрирование по x: Определите «верхнюю» функцию f₁(x) и «нижнюю» функцию f₂(x) на каждом интервале. Подынтегральное выражение будет [f₁(x) — f₂(x)].
   • Если интегрирование по y: Определите «правую» функцию φ₁(y) и «левую» функцию φ₂(y). Подынтегральное выражение будет [φ₁(y) — φ₂(y)].
   • В полярных координатах: Определите ρ(φ) и подынтегральное выражение будет ½ ρ²(φ).
5. Запись определенного интеграла: Запишите интеграл(ы) с найденными пределами и подынтегральным выражением.
6. Вычисление интеграла: Используйте формулу Ньютона-Лейбница (∫_a^b f(x)dx = F(b) — F(a), где F(x) — первообразная f(x)) для вычисления каждого полученного определенного интеграла. Будьте внимательны при подстановке пределов и выполнении арифметических операций.

Типичные ошибки и как их избежать

Ошибки при вычислении площади с помощью определенного интеграла — не редкость и часто являются следствием невнимательности или недопонимания геометрического смысла. Знание этих «подводных камней» поможет их избежать.

1. Некорректное построение чертежа:
   • Ошибка: Отсутствие чертежа или неаккуратный, схематичный чертеж, по которому невозможно точно определить область интегрирования.
   • Причина: Недооценка важности визуализации.
   • Как избежать: Всегда начинайте с тщательного построения чертежа, отмечая все точки пересечения и явно обозначая границы фигуры. Используйте сетку или график-калькулятор для проверки.
   • Пример: Студент не нарисовал графики функций y = x² и y = x + 2, а сразу начал искать пределы интегрирования. В результате он мог ошибочно предположить, что фигура находится только в одной четверти, тогда как ее часть может пересекать оси.
2. Неверное определение «верхней» и «нижней» функций:
   • Ошибка: Перепутывание f₁(x) и f₂(x), что приводит к отрицательной площади или некорректному значению.
   • Причина: Недостаточный анализ чертежа или поспешность.
   • Как избежать: После построения чертежа, выберите любую точку внутри интересующей области интегрирования и проверьте, какая функция имеет большее значение y в этой точке. Та функция и будет «верхней». Если функции пересекаются, разбейте область на части, где соотношение «верхняя/нижняя» сохраняется.
   • Пример: Для фигуры, ограниченной y = x² и y = √x, на интервале [0, 1] функция y = √x является «верхней». Если взять ∫₀¹ (x² — √x)dx, результат будет отрицательным, что указывает на ошибку.
3. Неверный учет знака интеграла или области под осью OX:
   • Ошибка: Игнорирование того факта, что интеграл от отрицательной функции дает отрицательный результат, в то время как площадь всегда положительна.
   • Причина: Путаница между алгебраическим значением интеграла и геометрическим понятием площади.
   • Как избежать: Если часть фигуры находится под осью OX, разбейте область интегрирования на участки. Для участков, где f(x) < 0, возьмите ∫ |f(x)|dx или -∫ f(x)dx.
   • Пример: Площадь между графиком y = sin(x) и осью OX на интервале [0, 2π]. Интеграл ∫₀^2π sin(x)dx = 0, что очевидно не является площадью. Правильно: ∫₀^π sin(x)dx + |-∫_π^2π sin(x)dx|.
4. Ошибки при определении пределов интегрирования:
   • Ошибка: Использование неверных x (или y) значений для a и b, особенно когда пределы не заданы явно, а определяются точками пересечения.
   • Причина: Неточное решение систем уравнений для нахождения точек пересечения.
   • Как избежать: Дважды проверяйте алгебраические вычисления при поиске точек пересечения. Убедитесь, что выбранные пределы соответствуют именно той фигуре, площадь которой нужно найти.
5. Неверное применение формулы для параметрических или полярных координат:
   • Ошибка: Неправильное использование якобиана (в полярных координатах это r), или ошибка в дифференцировании φ'(t) в параметрическом случае.
   • Причина: Недостаточное понимание перехода между системами координат.
   • Как избежать: Запомните, что в полярных координатах всегда присутствует множитель r (или ρ в 3D) в подынтегральном выражении. В параметрическом случае тщательно вычислите производную dx/dt.

Внимательное следование алгоритму, систематическая проверка каждого шага и глубокое понимание геометрического смысла интеграла значительно снижают вероятность этих распространенных ошибок, делая процесс вычисления площади не только точным, но и понятным. Ведь именно через понимание сути, а не простое запоминание, достигается истинное мастерство.

Несобственные интегралы: классификация, критерии и методы сходимости

Когда мы говорим об определенном интеграле, мы обычно подразумеваем, что функция, которую мы интегрируем, является непрерывной на конечном отрезке. Но что, если интервал интегрирования бесконечен, или функция «взрывается» до бесконечности в какой-либо точке этого интервала? Здесь на сцену выходят несобственные интегралы — мощный инструмент для работы с такими «проблемными» ситуациями. Их исследование становится ключом к пониманию поведения функций на бесконечности или в окрестности особых точек, что позволяет анализировать широкий круг физических и инженерных явлений.

Определение и классификация несобственных интегралов

Определенный интеграл называют несобственным, если он не удовлетворяет хотя бы одному из условий определенного интеграла Римана:

1. Интервал интегрирования является конечным.
2. Подынтегральная функция ограничена на этом интервале.

В зависимости от того, какое из этих условий нарушено, несобственные интегралы классифицируются на два основных рода:

1. Несобственные интегралы I рода (с бесконечными пределами интегрирования):
Это интегралы, у которых хотя бы один из пределов интегрирования равен бесконечности. По сути, мы пытаемся «просуммировать» значения функции на бесконечно большом интервале. Определяются они как пределы обычных определенных интегралов:

• ∫_a^+∞ f(x)dx = lim_B→+∞ ∫_a^B f(x)dx
• ∫_-∞^b f(x)dx = lim_A→-∞ ∫_A^b f(x)dx
• ∫_-∞^+∞ f(x)dx = ∫_-∞^c f(x)dx + ∫_c^+∞ f(x)dx, где c – любое действительное число. Здесь важно, чтобы оба интеграла в правой части сходились.

2. Несобственные интегралы II рода (от неограниченных функций):
Эти интегралы возникают, когда подынтегральная функция f(x) имеет точку разрыва второго рода (то есть, она неограниченна) на конечном промежутке интегрирования [a, b]. Точка, где функция становится неограниченной, называется особой точкой.

• Если f(x) непрерывна на [a, b) и неограниченна в окрестности точки b (lim_x→b− f(x) = ∞), то:
  ∫_a^b f(x)dx = lim_ε→0+ ∫_a^b-ε f(x)dx
• Если f(x) непрерывна на (a, b] и неограниченна в окрестности точки a (lim_x→a+ f(x) = ∞), то:
  ∫_a^b f(x)dx = lim_ε→0+ ∫_a+ε^b f(x)dx
• Если особая точка c находится внутри интервала (a, b) (lim_x→c f(x) = ∞), то интеграл разбивается на сумму двух:
  ∫_a^b f(x)dx = lim_ε1→0+ ∫_a^c-ε₁ f(x)dx + lim_ε2→0+ ∫_c+ε2^b f(x)dx
  Оба предела должны существовать и быть конечными.

Сходимость и расходимость несобственных интегралов

Ключевым вопросом при работе с несобственными интегралами является их сходимость или расходимость.

Несобственный интеграл называется сходящимся, если соответствующий предел (или сумма пределов) существует и конечен. Это означает, что «площадь» под кривой на бесконечном интервале или вокруг особой точки принимает конечное значение, несмотря на кажущуюся бесконечность.

В противном случае, если предел равен бесконечности или не существует, интеграл называется расходящимся. В таком случае, «площадь» оказывается бесконечной.

Исследование на сходимость является фундаментальной частью работы с несобственными интегралами, поскольку не всегда требуется найти их точное значение; зачастую достаточно понять, конечна ли «площадь» вообще.

Критерий Коши сходимости несобственного интеграла I рода

Критерий Коши является одним из наиболее общих и фундаментальных инструментов для исследования сходимости интегралов, когда прямое вычисление предела затруднено или невозможно. Он не требует вычисления самого интеграла, а дает условия для его существования.

Для сходимости несобственного интеграла ∫_a^+∞ f(x)dx необходимо и достаточно, чтобы для любого сколь угодно малого положительного числа ε > 0 существовало такое число N > a, что для любых B’ и B, удовлетворяющих условию B’ > B > N, выполнялось неравенство:
|∫_B^B’ f(x)dx| < ε

Геометрическая интерпретация: Этот критерий означает, что «хвост» интеграла становится сколь угодно малым при удалении в бесконечность. То есть, площадь участка под графиком функции, начинающегося достаточно далеко и имеющего сколь угодно большую длину, может быть сделана меньше любого наперед заданного положительного числа. Это своего рода «условие затухания» функции, которое гарантирует, что «накопленная» площадь не будет бесконечной. Критерий Коши особенно полезен, когда первообразная функции f(x) не может быть выражена через элементарные функции.

Признаки сравнения для несобственных интегралов

Признаки сравнения — это мощные инструменты, позволяющие исследовать сходимость несобственных интегралов, сравнивая их с интегралами, сходимость которых уже известна (эталонными интегралами). Эти признаки применимы для функций, сохраняющих знак на интервале интегрирования.

Первый признак сравнения:
Пусть f(x) и φ(x) — две непрерывные и неотрицательные функции на интервале [a, +∞) (для I рода) или [a, b) (для II рода), и для всех x в этом промежутке выполняется условие:
0 ≤ f(x) ≤ φ(x)

Тогда:

1. Если интеграл ∫ φ(x)dx сходится, то интеграл ∫ f(x)dx также сходится. (Интеграл от «большей» функции сходится → интеграл от «меньшей» функции тоже сходится).
2. Если интеграл ∫ f(x)dx расходится, то интеграл ∫ φ(x)dx также расходится. (Интеграл от «меньшей» функции расходится → интеграл от «большей» функции тоже расходится).

Пример применения: Исследовать сходимость ∫₁^+∞ (sin²x / x²)dx.
Мы знаем, что sin²x ≤ 1. Следовательно, (sin²x / x²) ≤ (1 / x²). Интеграл ∫₁^+∞ (1 / x²)dx является эталонным (интеграл Дирихле ∫₁^+∞ (1 / x^p)dx, который сходится при p > 1). Поскольку ∫₁^+∞ (1 / x²)dx сходится, то по первому признаку сравнения, наш интеграл ∫₁^+∞ (sin²x / x²)dx также сходится.

Второй (предельный) признак сравнения:
Пусть f(x) и φ(x) — две непрерывные и неотрицательные функции на [a, +∞) (или [a, b)). Если существует конечный и отличный от нуля предел:
lim_x→+∞ [f(x) / φ(x)] = k, где k ∈ (0, +∞).

Тогда интегралы ∫ f(x)dx и ∫ φ(x)dx сходятся или расходятся одновременно.

• Если k = 0, то из сходимости ∫ φ(x)dx следует сходимость ∫ f(x)dx.
• Если k = +∞, то из расходимости ∫ φ(x)dx следует расходимость ∫ f(x)dx.

Пример применения: Исследовать сходимость ∫₁^+∞ (1 / (x³ + x + 1))dx.
Для x → +∞ функция (1 / (x³ + x + 1)) ведет себя как (1 / x³).
Возьмем φ(x) = 1/x³. Интеграл ∫₁^+∞ (1 / x³)dx сходится (p = 3 > 1).
Найдем предел: lim_x→+∞ [(1 / (x³ + x + 1)) / (1 / x³)] = lim_x→+∞ [x³ / (x³ + x + 1)] = 1.
Поскольку предел k = 1 (конечен и отличен от нуля), то наш интеграл сходится одновременно с ∫₁^+∞ (1 / x³)dx.

Выбор эталонных интегралов:
Для несобственных интегралов I рода часто используются эталонные интегралы Дирихле: ∫_a^+∞ (1 / x^p)dx, который сходится при p > 1 и расходится при p ≤ 1.
Для несобственных интегралов II рода (с особой точкой в b) используются эталонные интегралы вида ∫_a^b (1 / (b — x)^p)dx, который сходится при p < 1 и расходится при p ≥ 1. Аналогично для особой точки в a: ∫_a^b (1 / (x — a)^p)dx.

При выборе эталонной функции важно, чтобы она была асимптотически эквивалентна подынтегральной функции в окрестности «проблемной» точки (бесконечности или особой точки).

Абсолютная и условная сходимость

Для интегралов от знакопеременных функций (тех, что меняют знак на интервале интегрирования) вводятся понятия абсолютной и условной сходимости.

Несобственный интеграл ∫_a^+∞ f(x)dx называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл ∫_a^+∞ |f(x)|dx.
Это означает, что «площадь» под модулем функции конечна. Важное свойство: если интеграл сходится абсолютно, то он сходится. Абсолютная сходимость — это «сильная» сходимость, она гарантирует, что даже если функция флуктуирует, ее «чистый» вклад в суммарную площадь конечен.

Если интеграл ∫_a^+∞ f(x)dx сходится, но интеграл ∫_a^+∞ |f(x)|dx расходится, то говорят, что интеграл сходится условно.
Это «слабая» сходимость, при которой сумма положительных и отрицательных «площадей» компенсируется, давая конечный результат, но если «отрицательные» части убрать (взять по модулю), сумма становится бесконечной. Классический пример условно сходящегося интеграла — интеграл Дирихле ∫₀^+∞ (sin x / x)dx.

Методы вычисления и исследования несобственных интегралов

Процесс работы с несобственными интегралами включает как исследование на сходимость, так и, при необходимости, их непосредственное вычисление.

1. Вычисление с помощью определения (через предел определенного интеграла):
   Это основной метод, который вытекает непосредственно из определений I и II рода.
   • Сначала вычисляется обычный определенный интеграл от a до B (для I рода) или от a+ε до b (для II рода).
   • Затем находится предел полученного выражения при B → +∞ (или A → -∞) либо ε → 0+.
   • Если предел существует и конечен, интеграл сходится, и его значение равно этому пределу. В противном случае интеграл расходится.

   Пример: ∫₁^+∞ (1 / x²)dx = lim_B→+∞ ∫₁^B x^-2dx = lim_B→+∞ [-1/x]₁^B = lim_B→+∞ (-1/B — (-1/1)) = lim_B→+∞ (1 — 1/B) = 1.
   Интеграл сходится к 1.

2. Применение обобщенной формулы Ньютона-Лейбница:
   Если существует первообразная F(x) функции f(x) на всем интервале интегрирования (включая «проблемные» точки), то можно использовать:
   ∫_a^+∞ f(x)dx = F(+∞) — F(a) = lim_B→+∞ F(B) — F(a)
   ∫_a^b f(x)dx = F(b) — F(a) = lim_x→b− F(x) — F(a) (для II рода с особой точкой b).
   Этот метод по сути является сокращенной записью метода вычисления по определению.
3. Использование критериев и признаков сходимости:
   Как уже упоминалось, критерий Коши и признаки сравнения (первый, предельный) позволяют установить факт сходимости или расходимости без явного вычисления интеграла. Это особенно ценно, когда первообразную найти сложно или невозможно.
4. Замена переменных:
   Иногда замена переменной может привести несобственный интеграл к виду, который либо легко вычисляется, либо может быть исследован известными методами. Например, замена переменной может преобразовать несобственный интеграл I рода в несобственный интеграл II рода, или наоборот, а иногда и в обычный определенный интеграл.
5. Использование гамма- и бета-функций Эйлера:
   Для некоторых специальных типов несобственных интегралов, зависящих от параметра, существуют известные специальные функции (например, Гамма-функция Γ(z) = ∫₀^+∞ t^z-1e^-tdt или Бета-функция B(x,y) = ∫₀¹ t^x-1(1-t)^y-1dt). Если интеграл можно свести к одной из них, это позволяет быстро определить его значение или условия сходимости. Этот метод более продвинутый и обычно изучается на старших курсах.

Выбор метода зависит от конкретной задачи: если требуется найти значение интеграла, то придется вычислять пределы, если только исследовать на сходимость, то признаки сравнения будут эффективнее.

Признаки сходимости числовых рядов и их применение

В мире математического анализа числовые ряды — это не просто бесконечные суммы; это мосты, соединяющие дискретные последовательности с непрерывными функциями, инструменты для аппроксимации и решения дифференциальных уравнений. Однако прежде чем использовать их в этих целях, необходимо понять их фундаментальное свойство: сходятся ли они к конечному числу или их сумма «убегает» в бесконечность? Этот раздел посвящен глубокому пониманию критериев сходимости различных типов числовых рядов, что является ключом к уверенному решению задач.

Основные понятия числовых рядов

Числовой ряд — это формальное выражение вида:
Σ_n=1^∞ a_n = a₁ + a₂ + a₃ + … + a_n + …
Где a_n — это члены ряда, являющиеся действительными числами, а n — индекс, обычно начинающийся с 1 (или 0).

Для того чтобы понять, сходится ли бесконечная сумма к конечному числу, мы вводим понятие частичной суммы.
Частичная сумма S_n ряда — это сумма его первых n членов:
S_n = Σ_k=1ⁿ a_k = a₁ + a₂ + … + a_n

Сходимость и расходимость ряда:

• Числовой ряд называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм {S_n} имеет конечный предел при n → ∞. То есть, существует конечное число S такое, что lim_n→∞ S_n = S. Это число S и называется суммой ряда.
• Если предел последовательности частичных сумм равен бесконечности (±∞) или не существует, то ряд называется расходящимся.

Необходимое условие сходимости ряда:
Это первое, что нужно проверить при исследовании ряда на сходимость.

Теорема: Если числовой ряд Σ_n=1^∞ a_n сходится, то его общий член a_n стремится к нулю при n → ∞.
lim_n→∞ a_n = 0

Важно: Это условие является необходимым, но не достаточным. Если lim_n→∞ a_n ≠ 0 или предел не существует, то ряд однозначно расходится. Однако, если lim_n→∞ a_n = 0, это еще не гарантирует сходимость ряда (классический пример — гармонический ряд Σ 1/n, общий член которого стремится к нулю, но сам ряд расходится).

Ряды с неотрицательными членами (знакоположительные ряды)

Для рядов, у которых все члены неотрицательны (a_n ≥ 0), существуют специальные признаки сходимости, поскольку их частичные суммы образуют монотонно неубывающую последовательность, и для ее сходимости достаточно быть ограниченной сверху.

Признак сравнения (обычная и предельная форма)

Это один из самых интуитивных признаков, позволяющий сравнивать исследуемый ряд с рядом, сходимость которого уже известна (эталонным рядом).

Признак сравнения (в обычной форме):
Пусть даны два ряда с неотрицательными членами: Σ a_n и Σ b_n.
Если существует такой номер N, что для всех n ≥ N выполняется неравенство a_n ≤ b_n, то:

1. Если ряд Σ b_n сходится, то ряд Σ a_n также сходится. (Если «больший» ряд сходится, то «меньший» тоже).
2. Если ряд Σ a_n расходится, то ряд Σ b_n также расходится. (Если «меньший» ряд расходится, то «больший» тоже).

Пример: Исследовать ряд Σ_n=1^∞ (1 / (n² + 1)).
Сравним его с эталонным рядом Σ_n=1^∞ (1 / n²) (обобщенный гармонический ряд или p-ряд, который сходится, так как p = 2 > 1).
Для всех n ≥ 1: (1 / (n² + 1)) < (1 / n²).
Так как «больший» ряд Σ (1 / n²) сходится, то по признаку сравнения, ряд Σ (1 / (n² + 1)) также сходится.

Признак сравнения (в предельной форме):
Пусть даны два ряда с положительными членами: Σ a_n и Σ b_n.
Если существует конечный и отличный от нуля предел:
lim_n→∞ (a_n / b_n) = k, где k ∈ (0, +∞).
Тогда оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

• Если k = 0, то из сходимости ряда Σ b_n следует сходимость ряда Σ a_n.
• Если k = +∞, то из расходимости ряда Σ b_n следует расходимость ряда Σ a_n.

Пример: Исследовать ряд Σ_n=1^∞ (n / (n³ + 5)).
При больших n член a_n = n / (n³ + 5) ведет себя примерно как n / n³ = 1 / n².
Выберем эталонный ряд b_n = 1 / n², который сходится.
Вычислим предел: lim_n→∞ [(n / (n³ + 5)) / (1 / n²)] = lim_n→∞ [n³ / (n³ + 5)] = 1.
Так как предел равен 1 (конечен и не равен нулю), то оба ряда сходятся или расходятся одновременно. Поскольку Σ (1 / n²) сходится, то и наш ряд Σ (n / (n³ + 5)) также сходится.

Признак Даламбера

Признак Даламбера (или признак отношения) особенно эффективен для рядов, члены которых содержат факториалы или степени.

Формулировка (в предельной форме):
Пусть для ряда с положительными членами Σ a_n существует конечный предел:
lim_n→∞ (a_n+1 / a_n) = L.

Тогда:

1. Если L < 1, то ряд сходится.
2. Если L > 1 (включая L = ∞), то ряд расходится.
3. Если L = 1, то признак не дает ответа (в этом случае необходимо использовать другие признаки).

Пример: Исследовать ряд Σ_n=1^∞ (n! / 2ⁿ).
a_n = n! / 2ⁿ
a_n+1 = (n+1)! / 2ⁿ⁺¹
lim_n→∞ (a_n+1 / a_n) = lim_n→∞ [(n+1)! / 2ⁿ⁺¹] · [2ⁿ / n!] = lim_n→∞ [(n+1) · n! · 2ⁿ] / [2 · 2ⁿ · n!] = lim_n→∞ (n+1) / 2 = +∞.
Так как L = +∞ > 1, ряд расходится.

Радикальный признак Коши

Радикальный признак Коши (или признак корня) полезен для рядов, члены которых представлены в виде (выражение)ⁿ.

Формулировка (в предельной форме):
Пусть для ряда с неотрицательными членами Σ a_n существует конечный предел:
lim_n→∞ ⁿ√a_n = L.

Тогда:

1. Если L < 1, то ряд сходится.
2. Если L > 1 (включая L = ∞), то ряд расходится.
3. Если L = 1, то признак не дает ответа (требуется применение других признаков).

Пример: Исследовать ряд Σ_n=1^∞ ( (n / (n+1))ⁿ² ).
a_n = (n / (n+1))ⁿ²
lim_n→∞ ⁿ√a_n = lim_n→∞ ⁿ√[ (n / (n+1))ⁿ² ] = lim_n→∞ (n / (n+1))ⁿ = lim_n→∞ [ (1 — 1 / (n+1))ⁿ⁺¹ ]^{n / (n+1)} · 1 / (1 — 1 / (n+1)) ≈ (1/e)¹ = 1/e.
Так как L = 1/e ≈ 0.368 < 1, ряд сходится.

Интегральный признак Коши-Маклорена

Этот признак устанавливает связь между сходимостью ряда и сходимостью несобственного интеграла.

Формулировка:
Пусть члены ряда a_n = f(n) являются значениями неотрицательной, непрерывной и монотонно убывающей на луче [c, +∞) (где c ≥ 1) функции f(x).
Тогда ряд Σ a_n и несобственный интеграл ∫_c^+∞ f(x)dx сходятся или расходятся одновременно.

Пример: Исследовать гармонический ряд Σ_n=1^∞ (1 / n).
Соответствующая функция f(x) = 1/x. Она непрерывна, положительна и монотонно убывает на [1, +∞).
Рассмотрим несобственный интеграл: ∫₁^+∞ (1 / x)dx = lim_B→+∞ [ln|x|]₁^B = lim_B→+∞ (ln B — ln 1) = +∞.
Так как несобственный интеграл расходится, то по интегральному признаку, гармонический ряд также расходится.

Знакочередующиеся ряды и признак Лейбница

Знакочередующиеся ряды — это ряды, у которых знаки соседних членов чередуются. Они имеют вид:
u₁ — u₂ + u₃ — u₄ + … = Σ_n=1^∞ (-1)ⁿ⁺¹ u_n, где u_n > 0.

Признак Лейбница:
Если знакочередующийся ряд Σ_n=1^∞ (-1)ⁿ⁺¹ u_n удовлетворяет двум условиям:

1. Члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине (или, что то же самое, u_n > u_n+1 для всех n, начиная с некоторого номера), т.е. u₁ > u₂ > … > u_n > …
2. Общий член ряда стремится к нулю при n → ∞, т.е. lim_n→∞ u_n = 0.

Тогда ряд сходится.

Пример: Исследовать знакочередующийся гармонический ряд Σ_n=1^∞ (-1)ⁿ⁺¹ (1 / n).
Здесь u_n = 1/n.

1. u_n = 1/n > 1/(n+1) = u_n+1. Условие монотонного убывания выполняется.
2. lim_n→∞ (1 / n) = 0. Условие стремления общего члена к нулю выполняется.

По признаку Лейбница, знакочередующийся гармонический ряд сходится.

Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов

Для знакопеременных рядов (не обязательно знакочередующихся, но имеющих как положительные, так и отрицательные члены) вводится более тонкая классификация сходимости.

Абсолютная сходимость:
Ряд Σ a_n называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из модулей его членов, т.е. Σ |a_n|.
Важное свойство: Если ряд сходится абсолютно, то он сходится. Абсолютная сходимость — это «сильное» свойство, означающее, что даже если мы «выпрямим» все отрицательные члены, сумма все равно останется конечной.

Условная сходимость:
Ряд Σ a_n называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд из модулей его членов Σ |a_n| расходится.
Классический пример — знакочередующийся гармонический ряд Σ (-1)ⁿ⁺¹ (1 / n). Мы знаем, что он сходится по признаку Лейбница. Однако ряд из его модулей Σ |(-1)ⁿ⁺¹ (1 / n)| = Σ (1 / n) является гармоническим рядом, который расходится. Следовательно, знакочередующийся гармонический ряд сходится условно.

Понимание абсолютной и условной сходимости критически важно, так как свойства таких рядов могут сильно различаться. Например, абсолютно сходящиеся ряды можно переставлять членами, не меняя их суммы, чего нельзя делать с условно сходящимися рядами.

Владение этими признаками сходимости позволяет уверенно анализировать поведение числовых рядов, что является фундаментом для дальнейшего изучения функциональных и степенных рядов, а также их многочисленных приложений в математике и физике.

Область и интервал сходимости функциональных и степенных рядов, алгоритм нахождения радиуса сходимости

Переход от числовых рядов к функциональным и степенным рядам открывает двери в мир, где суммы становятся функциями, а их сходимость зависит от переменной x. Это значительно расширяет возможности математического аппарата, позволяя аппроксимировать сложные функции простыми многочленами, решать дифференциальные уравнения и анализировать их поведение. Центральной задачей при работе с такими рядами является определение их области сходимости — множества значений x, при которых ряд превращается в сходящийся числовой ряд.

Функциональные и степенные ряды: определения

Функциональный ряд — это бесконечная сумма, члены которой являются функциями от одной или нескольких переменных. Для одной переменной x он имеет вид:
Σ_n=1^∞ u_n(x) = u₁(x) + u₂(x) + … + u_n(x) + …
Каждый член u_n(x) определен в некоторой области D.

Точка сходимости функционального ряда — это конкретное значение x₀ из области D, при подстановке которого функциональный ряд превращается в сходящийся числовой ряд.

Область сходимости функционального ряда — это множество всех точек x, для которых функциональный ряд сходится.

Степенной ряд — это особый и наиболее важный вид функционального ряда. Он представляет собой ряд по степеням (x — x₀):
Σ_n=0^∞ a_n(x — x₀)ⁿ = a₀ + a₁(x — x₀) + a₂(x — x₀)² + … + a_n(x — x₀)ⁿ + …
Где a_n — постоянные коэффициенты, а x₀ — центр ряда.
Наиболее часто встречается частный случай, когда x₀ = 0:
Σ_n=0^∞ a_nxⁿ = a₀ + a₁x + a₂x² + … + a_nxⁿ + …

Степенные ряды обладают уникальными и предсказуемыми свойствами сходимости, которые делают их чрезвычайно удобными в анализе.

Теорема Абеля

Теорема Абеля является краеугольным камнем в теории сходимости степенных рядов, определяя их интервальное поведение.

Формулировка теоремы Абеля:

1. Если степенной ряд Σ_n=0^∞ a_n(x — x₀)ⁿ сходится при некотором значении x₁ ≠ x₀, то он абсолютно сходится при всех x, для которых |x — x₀| < |x₁ — x₀|.
2. Если степенной ряд расходится при некотором значении x₁, то он расходится при всяком x, для которого |x — x₀| > |x₁ — x₀|.

Значение теоремы: Эта теорема говорит нам, что область сходимости степенного ряда всегда является интервалом (возможно, с добавлением концевых точек), центрированным в точке x₀. Не бывает такого, что ряд сходится в двух точках, но расходится между ними. Это значительно упрощает поиск области сходимости, поскольку мы знаем, что она всегда будет симметричной относительно центра ряда.

Радиус и интервал сходимости

Из теоремы Абеля следует, что для любого степенного ряда существует такое число R ≥ 0 (или R = +∞), называемое радиусом сходимости, что:

• При |x — x₀| < R (то есть, x ∈ (x₀ — R, x₀ + R)) ряд сходится абсолютно. Этот интервал называется интервалом сходимости.
• При |x — x₀| > R (то есть, x ∈ (-∞, x₀ — R) ∪ (x₀ + R, +∞)) ряд расходится.

Что происходит на концах интервала сходимости?
На самих концах интервала сходимости (при x = x₀ — R и x = x₀ + R) теорема Абеля не дает однозначного ответа. В этих точках ряд может как сходиться (абсолютно или условно), так и расходиться. Сходимость на концах интервала необходимо проверять отдельно, подставляя эти значения x в исходный ряд, который при этом превращается в числовой ряд.

Особые случаи радиуса сходимости:

• Если R = 0, ряд сходится только в одной точке x = x₀.
• Если R = ∞, ряд сходится при всех x ∈ ℜ, то есть на всей числовой оси.

Формулы для нахождения радиуса сходимости R (Даламбер, Коши-Адамар)

Радиус сходимости R можно найти, используя модифицированные признаки Даламбера или Коши-Адамара, примененные к коэффициентам a_n степенного ряда.

1. По признаку Даламбера:
   Для степенного ряда Σ_n=0^∞ a_n(x — x₀)ⁿ, радиус сходимости R находится по формуле:
   R = 1 / L, где L = lim_n→∞ |a_n+1 / a_n|.
   • Если L = 0, то R = ∞ (ряд сходится на всей числовой оси).
   • Если L = ∞, то R = 0 (ряд сходится только в центре x = x₀).
   • Если L ≠ 0 и L ≠ ∞, то R = 1/L.

   Пример: Найти радиус сходимости ряда Σ_n=1^∞ (xⁿ / n!).
   Здесь x₀ = 0, a_n = 1 / n!.
   |a_n+1 / a_n| = | (1 / (n+1)!) / (1 / n!) | = |n! / (n+1)!| = |n! / ((n+1)n!)| = 1 / (n+1).
   L = lim_n→∞ [1 / (n+1)] = 0.
   Так как L = 0, то R = ∞. Ряд сходится при всех x ∈ ℜ.

2. По радикальному признаку Коши (формула Коши-Адамара):
   Для степенного ряда Σ_n=0^∞ a_n(x — x₀)ⁿ, радиус сходимости R находится по формуле:
   R = 1 / L, где L = lim_n→∞ ⁿ√|a_n|.
   • Если L = 0, то R = ∞.
   • Если L = ∞, то R = 0.
   • Если L ≠ 0 и L ≠ ∞, то R = 1/L.

   Пример: Найти радиус сходимости ряда Σ_n=1^∞ (xⁿ / 2ⁿ).
   Здесь x₀ = 0, a_n = 1 / 2ⁿ.
   ⁿ√|a_n| = ⁿ√|1 / 2ⁿ| = 1 / 2.
   L = lim_n→∞ (1 / 2) = 1 / 2.
   Так как L = 1/2, то R = 1 / (1/2) = 2.
   Интервал сходимости (-2, 2).

Алгоритм нахождения области сходимости степенного ряда

Нахождение полной области сходимости степенного ряда — это многоступенчатый процесс, требующий внимательности и последовательности.

1. Найти радиус сходимости R:
   • Используйте формулу Даламбера (R = 1 / lim_n→∞ |a_n+1 / a_n|) или формулу Коши-Адамара (R = 1 / lim_n→∞ ⁿ√|a_n|). Выбор формулы зависит от вида коэффициентов a_n: Даламбер удобен для факториалов, Коши-Адамар — для степеней.
   • Определите, что R = 0, R = ∞, или R — конечное положительное число.
2. Определить интервал сходимости:
   • Если R = 0, ряд сходится только в точке x = x₀. Область сходимости: {x₀}.
   • Если R = ∞, ряд сходится на всей числовой оси. Область сходимости: (-∞, +∞).
   • Если R — конечное положительное число, интервал абсолютной сходимости будет (x₀ — R, x₀ + R).
3. Исследовать сходимость на концах интервала сходимости:
   Это самый важный и часто упускаемый шаг. Подставьте значения x = x₀ — R и x = x₀ + R в исходный степенной ряд. В каждом случае вы получите числовой ряд, сходимость которого нужно исследовать с помощью признаков для числовых рядов (признаки сравнения, Даламбера, Коши, Лейбница и т.д.).
   • Сценарий 1: x = x₀ — R. Подставьте это значение в ряд Σ a_n(x — x₀)ⁿ. Получится числовой ряд. Примените соответствующие признаки сходимости числовых рядов.
   • Сценарий 2: x = x₀ + R. Аналогично, подставьте это значение и исследуйте сходимость полученного числового ряда.
4. Сформировать область сходимости:
   Объедините интервал абсолютной сходимости (x₀ — R, x₀ + R) с теми концевыми точками, в которых ряд оказался сходящимся.

   Радиус R	Сходимость на x0-R	Сходимость на x0+R	Область сходимости
   0	—	—	{x0}
   ∞	—	—	(-∞, +∞)
   Конечное	Расходится	Расходится	(x0 — R, x0 + R)
   Конечное	Сходится	Расходится	[x0 — R, x0 + R)
   Конечное	Расходится	Сходится	(x0 — R, x0 + R]
   Конечное	Сходится	Сходится	[x0 — R, x0 + R]

   Пример продолжения: Для ряда Σ_n=1^∞ (xⁿ / 2ⁿ) мы нашли R = 2 и интервал сходимости (-2, 2).

   • Проверка на x = -2: Ряд становится Σ_n=1^∞ ((-2)ⁿ / 2ⁿ) = Σ_n=1^∞ (-1)ⁿ. Это знакочередующийся ряд, у которого общий член (-1)ⁿ не стремится к нулю. Следовательно, ряд расходится (не выполнено необходимое условие сходимости).
   • Проверка на x = 2: Ряд становится Σ_n=1^∞ (2ⁿ / 2ⁿ) = Σ_n=1^∞ 1. Общий член равен 1 и не стремится к нулю. Следовательно, ряд расходится.

   Таким образом, область сходимости ряда Σ_n=1^∞ (xⁿ / 2ⁿ) — это интервал (-2, 2).

Тщательное следование этому алгоритму гарантирует полное и корректное определение области сходимости степенного ряда, что является фундаментальным навыком в математическом анализе.

Методы разложения функций в ряд Фурье и условия Дирихле для его сходимости

Ряды Фурье — это одно из самых элегантных и мощных достижений математического анализа, позволяющее представлять сложные периодические функции в виде суммы простых гармонических колебаний (синусов и косинусов). Эта концепция, впервые предложенная Жозефом Фурье в начале XIX века для решения задач теплопроводности, нашла широчайшее применение в физике, инженерии, обработке сигналов и многих других областях. Понимание принципов разложения функций в ряд Фурье и условий, гарантирующих его сходимость, является ключевым для работы с периодическими процессами.

Определение тригонометрического ряда Фурье

Тригонометрический ряд Фурье — это бесконечный ряд специального вида, предназначенный для представления периодических функций. Для 2π-периодической функции f(x) он имеет вид:

f(x) = a₀/2 + Σ_n=1^∞ (a_ncos(nx) + b_nsin(nx))

Здесь a₀, a_n, b_n — это так называемые коэффициенты Фурье, которые определяются по исходной функции f(x) с помощью интегральных формул. Член a₀/2 представляет собой среднее значение функции за один период. Остальные члены — это гармоники с возрастающими частотами (n = 1 — первая гармоника, n = 2 — вторая и т.д.).

Формулы коэффициентов Фурье

Вычисление коэффициентов Фурье является центральным шагом в разложении функции в ряд Фурье. Формулы зависят от периода функции.

Для функции с периодом 2π (на отрезке [-π, π] или [0, 2π]):

• Свободный член (среднее значение):
  a₀ = ½π ∫_-π^π f(x)dx
• Косинусные коэффициенты:
  a_n = ½π ∫_-π^π f(x)cos(nx)dx, для n = 1, 2, 3, …
• Синусные коэффициенты:
  b_n = ½π ∫_-π^π f(x)sin(nx)dx, для n = 1, 2, 3, …

Для функции с произвольным периодом 2l (на отрезке [-l, l]):
Если функция f(x) имеет период T = 2l, то формулы коэффициентов изменяются:

• Свободный член:
  a₀ = ½l ∫_-l^l f(x)dx
• Косинусные коэффициенты:
  a_n = ½l ∫_-l^l f(x)cos(nπx/l)dx, для n = 1, 2, 3, …
• Синусные коэффициенты:
  b_n = ½l ∫_-l^l f(x)sin(nπx/l)dx, для n = 1, 2, 3, …
  Обратите внимание на появление множителя (nπx/l) в аргументах синуса и косинуса, который нормализует частоту гармоник под новый период 2l.

Разложение функций в ряд Фурье на отрезке [0, l] (четные и нечетные функции)

Часто функция задана не на всем периоде [-l, l], а только на его половине, например, на отрезке [0, l]. В таком случае мы можем «доопределить» функцию на отрезке [-l, 0] таким образом, чтобы получить либо четную, либо нечетную функцию, что значительно упрощает вычисление коэффициентов.

1. Разложение в ряд Фурье по косинусам (четное доопределение):
   Если функцию f(x), заданную на [0, l], доопределить на [-l, 0] как четную (f(-x) = f(x)), то ряд Фурье будет содержать только свободный член и косинусы. Все синусные коэффициенты b_n обратятся в ноль.
   f(x) = a₀/2 + Σ_n=1^∞ a_ncos(nπx/l)
   Где:
   a₀ = &frac2;l ∫₀^l f(x)dx
   a_n = &frac2;l ∫₀^l f(x)cos(nπx/l)dx
   Пределы интегрирования здесь от 0 до l, а множитель перед интегралом становится &frac2;l.
2. Разложение в ряд Фурье по синусам (нечетное доопределение):
   Если функцию f(x), заданную на [0, l], доопределить на [-l, 0] как нечетную (f(-x) = -f(x)), то ��яд Фурье будет содержать только синусы. Свободный член a₀ и все косинусные коэффициенты a_n обратятся в ноль.
   f(x) = Σ_n=1^∞ b_nsin(nπx/l)
   Где:
   b_n = &frac2;l ∫₀^l f(x)sin(nπx/l)dx
   Аналогично, пределы интегрирования от 0 до l, множитель &frac2;l.

Выбор между четным и нечетным доопределением зависит от требований задачи или желаемой формы ряда.

Условия Дирихле для сходимости ряда Фурье

Далеко не любая функция может быть разложена в сходящийся ряд Фурье. Условия Дирихле — это достаточные условия, которые гарантируют сходимость ряда Фурье к самой функции (или к среднему арифметическому ее односторонних пределов в точках разрыва).

Формулировка условий Дирихле:
Если функция f(x), периодическая с периодом T = 2l, удовлетворяет на отрезке [-l, l] следующим условиям:

1. Ограниченность и конечное число разрывов первого рода: Функция f(x) должна быть ограничена и иметь на отрезке [-l, l] не более конечного числа точек разрыва первого рода. Это означает, что в точках разрыва существуют конечные односторонние пределы, и «скачки» функции не бесконечны.
2. Конечное число экстремумов: Функция f(x) должна иметь на отрезке [-l, l] не более конечного числа точек локальных максимумов и минимумов (то есть, она должна быть кусочно-монотонной).

Значение условий: Если эти условия выполняются, то тригонометрический ряд Фурье этой функции сходится во всех точках отрезка [-l, l]. Эти условия достаточно широки и охватывают большинство функций, с которыми приходится работать в прикладной математике, что делает их крайне ценными для практических задач.

Сумма ряда Фурье в точках непрерывности и разрыва

В зависимости от того, является ли точка x точкой непрерывности или разрыва функции f(x), сумма ряда Фурье S(x) будет отличаться:

• Если x — точка непрерывности функции f(x):
  Тогда сумма ряда Фурье в этой точке точно совпадает со значением функции:
  S(x) = f(x).
• Если x — точка разрыва первого рода функции f(x):
  В точках разрыва сумма ряда Фурье равна среднему арифметическому односторонних пределов функции в этой точке:
  S(x) = (f(x-0) + f(x+0))/2
  Где f(x-0) — левосторонний предел, а f(x+0) — правосторонний предел функции в точке x.
• На границах интервала [-l, l] (x = -l и x = l):
  Так как функция предполагается периодической, то точки -l и l являются, по сути, одной и той же точкой. Сумма ряда в этих точках равна среднему арифметическому односторонних пределов на «стыке» периода:
  S(-l) = S(l) = (f(-l+0) + f(l-0))/2

Алгоритм разложения функции в ряд Фурье

Для успешного разложения функции в ряд Фурье необходимо следовать четкому алгоритму, который минимизирует вероятность ошибок.

1. Определить период и полупериод:
   • Если функция f(x) задана на отрезке [-π, π], то период 2l = 2π, и полупериод l = π.
   • Если функция f(x) задана на отрезке [-l, l], то период 2l, и полупериод l.
   • Если функция f(x) задана на отрезке [0, l] и требуется разложить ее в ряд по косинусам или синусам, то l остается тем же.
2. Записать общий вид ряда Фурье:
   • Для общего случая: f(x) = a₀/2 + Σ_n=1^∞ (a_ncos(nπx/l) + b_nsin(nπx/l)).
   • Для четного разложения: f(x) = a₀/2 + Σ_n=1^∞ a_ncos(nπx/l).
   • Для нечетного разложения: f(x) = Σ_n=1^∞ b_nsin(nπx/l).
3. Вычислить коэффициенты Фурье:
   • Используйте соответствующие формулы для a₀, a_n и b_n, внимательно подставляя функцию f(x) и пределы интегрирования.
   • Будьте предельно внимательны при интегрировании, особенно если функция задана кусочно.
   • Используйте свойства четности/нечетности подынтегральных функций для упрощения вычислений (например, ∫_-l^l g(x)dx = 0, если g(x) нечетная; ∫_-l^l g(x)dx = 2∫₀^l g(x)dx, если g(x) четная).
4. Подставить найденные коэффициенты в формулу ряда Фурье:
   Запишите окончательный вид ряда, подставив вычисленные значения a₀, a_n, b_n.
5. (Дополнительно) Проверить условия Дирихле и указать функцию, к которой сходится ряд:
   • Проанализируйте функцию f(x) на наличие разрывов и экстремумов. Если условия Дирихле выполняются, укажите, что ряд сходится.
   • Четко сформулируйте, к чему сходится ряд в точках непрерывности и в точках разрыва первого рода (и на границах интервала), используя формулы S(x) = f(x) или S(x) = (f(x-0) + f(x+0))/2.

Этот алгоритм, вкупе с глубоким пониманием теоретических основ, позволит не только успешно разлагать функции в ряды Фурье, но и адекватно интерпретировать полученные результаты в контексте сходимости и физического смысла.

Двойные и многократные интегралы в различных системах координат и методы замены переменных

В мире одномерного интегрирования мы привыкли работать с интервалами, но когда мы переходим к многомерным пространствам, «интервалы» превращаются в области, а функция зависит от нескольких переменных. Двойные и тройные интегралы позволяют вычислять объемы, массы, моменты инерции и многие другие физические величины для сложных многомерных объектов. Однако стандартные декартовы координаты не всегда являются наиболее удобным инструментом. Методы замены переменных и переход к альтернативным системам координат (полярной, цилиндрической, сферической) становятся не просто опцией, а необходимостью для эффективного решения задач. Ведь правильный выбор системы координат зачастую определяет простоту решения задачи.

Замена переменных в двойном интеграле

Аналогично тому, как замена переменной упрощает одномерные интегралы, она революционизирует вычисление многократных интегралов. Суть заключается в преобразовании исходной области интегрирования D в новую, более простую область D* в новой системе координат (u, v) с помощью функциональных зависимостей x = φ(u,v) и y = ψ(u,v).

Формула замены переменных в двойном интеграле:
∫∫_D f(x,y)dxdy = ∫∫_D* f(φ(u,v), ψ(u,v)) |J(u,v)| dudv

Здесь:

• f(φ(u,v), ψ(u,v)) — подынтегральная функция, выраженная через новые переменные u и v.
• dxdy — элемент площади в декартовых координатах.
• dudv — элемент площади в новых координатах.
• |J(u,v)| — абсолютное значение якобиана преобразования.

Якобиан преобразования (J):
Якобиан J(u,v) — это определитель, составленный из частных производных старых переменных по новым:

J(u,v) = | ∂x/∂u  ∂x/∂v | = (∂x/∂u)(∂y/∂v) - (∂x/∂v)(∂y/∂u)
         | ∂y/∂u  ∂y/∂v |

Якобиан показывает, как изменяется элемент площади при переходе от одной системы координат к другой. Он по сути является «коэффициентом растяжения» или «сжатия» элементарной площадки.

Алгоритм замены переменных в двойном интеграле

Последовательное выполнение следующих шагов позволяет успешно выполнить замену переменных:

1. Определить преобразования: Запишите формулы, связывающие старые переменные с новыми: x = φ(u,v), y = ψ(u,v).
2. Найти образ области D*: Преобразуйте границы исходной области D в новые переменные (u, v), чтобы получить область D* интегрирования в новой системе координат. Это часто является самой сложной частью, требующей аккуратного анализа геометрии.
3. Вычислить якобиан преобразования: Найдите частные производные ∂x/∂u, ∂x/∂v, ∂y/∂u, ∂y/∂v и составьте определитель Якобиана J(u,v). Возьмите его абсолютное значение |J(u,v)|.
4. Заменить подынтегральное выражение: Подставьте x = φ(u,v) и y = ψ(u,v) в подынтегральную функцию f(x,y).
5. Записать и вычислить новый интеграл: Соберите все компоненты в формулу ∫∫_D* f(φ(u,v), ψ(u,v)) |J(u,v)| dudv и вычислите его.

Двойной интеграл в полярных координатах

Полярные координаты являются наиболее часто используемой заменой переменных для двойных интегралов. Они особенно удобны для областей, имеющих радиальную симметрию (круги, секторы, кольца) или когда подынтегральная функция содержит выражения x² + y².

Формулы перехода:

x = r cosφ
y = r sinφ

Где r ≥ 0 (полярный радиус, расстояние от начала координат), а φ — полярный угол (0 ≤ φ < 2π, иногда [-π, π]), отсчитываемый от положительной полуоси OX.

Якобиан преобразования:

J(r,φ) = | ∂x/∂r  ∂x/∂φ | = | cosφ  -r sinφ | = r cos2φ - (-r sin2φ) = r(cos2φ + sin2φ) = r.
          | ∂y/∂r  ∂y/∂φ |   | sinφ   r cosφ |

Таким образом, |J(r,φ)| = r.

Формула двойного интеграла в полярных координатах:
∫∫_D f(x,y)dxdy = ∫∫_D* f(r cosφ, r sinφ) r drdφ

Это означает, что элемент площади dxdy заменяется на r drdφ.

Тройной интеграл в цилиндрических координатах

Цилиндрические координаты — это расширение полярных координат на трехмерное пространство. Они особенно полезны для тел, симметричных относительно одной из осей (обычно оси Z), таких как цилиндры, конусы, параболоиды вращения.

Формулы перехода:

x = r cosφ
y = r sinφ
z = z

Здесь r и φ — полярные координаты в плоскости XY, а z — декартова координата, перпендикулярная этой плоскости.

Якобиан преобразования:
Якобиан для перехода от (x, y, z) к (r, φ, z) равен якобиану полярных координат, поскольку z остается неизменной: |J(r,φ,z)| = r.

Формула тройного интеграла в цилиндрических координатах:
∫∫∫_V f(x,y,z)dxdydz = ∫∫∫_V* f(r cosφ, r sinφ, z) r drdφdz

Элемент объема dxdydz заменяется на r drdφdz.

Тройной интеграл в сферических координатах

Сферические координаты — это идеальный выбор для тел, обладающих сферической симметрией или симметрией относительно начала координат (шары, части шаров, конусы).

Формулы перехода:

x = ρ sinθ cosφ
y = ρ sinθ sinφ
z = ρ cosθ

Переменные:

• ρ (ро) — сферический радиус, расстояние от начала координат до точки (ρ ≥ 0).
• θ (тета) — зенитный или полярный угол, угол между положительной полуосью OZ и радиус-вектором точки (0 ≤ θ ≤ π).
• φ (фи) — азимутальный угол, угол между положительной полуосью OX и проекцией радиус-вектора на плоскость XY (0 ≤ φ < 2π).

Якобиан преобразования:
Вычисление якобиана для сферических координат является более сложным, но результат всегда один и тот же:
|J(ρ,θ,φ)| = ρ² sinθ

Формула тройного интеграла в сферических координатах:
∫∫∫_V f(x,y,z)dxdydz = ∫∫∫_V* f(ρ sinθ cosφ, ρ sinθ sinφ, ρ cosθ) ρ² sinθ dρdθdφ

Элемент объема dxdydz заменяется на ρ² sinθ dρdθdφ.

Выбор системы координат: советы и рекомендации

Выбор наиболее подходящей системы координат является ключевым моментом, который может кардинально упростить или, наоборот, усложнить процесс вычисления интеграла. Вот практические рекомендации:

1. Анализ области интегрирования:
   • Декартовы координаты (x, y, z): Идеальны для областей, ограниченных прямыми линиями или плоскостями, параллельными осям (прямоугольники, параллелепипеды). Если проекция на плоскость XY представляет собой прямоугольник, а высота z выражается просто, декартовы координаты могут быть оптимальными.
   • Полярные координаты (r, φ): Лучший выбор для областей, имеющих круговую или радиальную симметрию в плоскости (круги, секторы круга, кольца). Если границы описываются уравнениями r = const или φ = const, это явный признак использования полярных координат.
   • Цилиндрические координаты (r, φ, z): Предпочтительны для трехмерных тел, симметричных относительно оси Z. Если проекция тела на плоскость XY является кругом (или частью круга), а верхняя и нижняя границы заданы функциями z = z₁(r,φ) и z = z₂(r,φ) или просто z = const, цилиндрические координаты будут удобны. Примеры: цилиндры, конусы, параболоиды.
   • Сферические координаты (ρ, θ, φ): Лучше всего подходят для тел, симметричных относительно начала координат (сферы, шары, конусы с вершиной в начале координат). Если границы заданы уравнениями ρ = const, θ = const или φ = const, это идеальный случай для сферических координат.
2. Анализ подынтегральной функции:
   • Если подынтегральная функция f(x,y) или f(x,y,z) содержит выражения типа x² + y² или x² + y² + z², это сильный намек на использование полярных, цилиндрических или сферических координат соответственно. Например, x² + y² = r² в полярных/цилиндрических; x² + y² + z² = ρ² в сферических.
   • Если подынтегральная функция включает тригонометрические выражения, которые упрощаются при замене x = r cosφ, y = r sinφ, это также говорит в пользу полярных/цилиндрических координат.
3. Упрощение пределов интегрирования:
   Главная цель замены переменных — сделать пределы интегрирования постоянными числами или простыми функциями, что значительно упрощает вычисление повторных интегралов. Если в декартовых координатах пределы зависят от сложных функций, а в новой системе координат они становятся константами, выбор очевиден.

Пример: Вычислить объем шара радиуса R.
В декартовых координатах это ∫_-R^R dx ∫_{-√(R²-x²)}^√(R2-x2) dy ∫_{-√(R²-x²-y²)}^{√(R2-x2-y2)} dz. Интеграл сложен.
В сферических координатах: ρ изменяется от 0 до R, θ от 0 до π, φ от 0 до 2π.

V = ∫02π dφ ∫0π sinθ dθ ∫0R ρ2 dρ = (2π)(2)(R3/3) = (4/3)πR3.

Очевидно, сферические координаты дали гораздо более простое решение.

Мастерство выбора системы координат приходит с практикой, но понимание этих базовых принципов значительно ускоряет процесс.

Заключение

Мы завершаем наше путешествие по фундаментальным разделам высшей математики, охватив ключевые концепции дифференциального и интегрального исчисления, а также теории рядов. От понимания геометрического смысла определенного интеграла до тонкостей сходимости несобственных интегралов, от признаков сходимости числовых рядов до определения области сходимости функциональных рядов, и, наконец, до мощных инструментов разложения в ряд Фурье и замены переменных в многократных интегралах – каждый раздел представлял собой не просто набор формул, а целую философию, раскрывающую механизмы функционирования математического мира.

Это руководство было создано с целью не просто предоставить готовые «рецепты» для решения задач контрольных работ, но и углубить ваше понимание предмета. Мы стремились интегрировать теоретические основы с практическими алгоритмами, уделив особое внимание анализу типичных ошибок и методам их предотвращения. Понимание того, «почему» возникают ошибки и «как» их избежать, является не менее ценным навыком, чем само умение решать задачи.

Высшая математика — это не самоцель, а мощный инструмент для анализа и решения проблем в самых разных областях: от физики и инженерии до экономики и компьютерных наук. Глубокое понимание этих концепций является не только залогом успешной сдачи экзаменов, но и фундаментом для освоения более сложных дисциплин и, в конечном итоге, для вашего профессионального роста.

Пусть это руководство станет отправной точкой для вашего дальнейшего самообразования. Продолжайте практиковаться, задавайте вопросы, ищите новые способы применения полученных знаний. Помните: математика — это не только наука, но и искусство мышления, которое, будучи освоенным, открывает безграничные возможности. Успехов в ваших дальнейших изысканиях!

Список использованной литературы

1. Данко, П. Е. Высшая математика в примерах и задачах / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова.
2. Пискунов, Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление / Н. С. Пискунов.
3. Вычисление площади с помощью определенного интеграла. URL: https://www.matburo.ru/tv_ma.php?p=3 (дата обращения: 07.11.2025).
4. Вычисление площадей плоских фигур. URL: http://www.pmg.org.ru/math/math-1/Integral/ploshchadi-ploskikh-figur.html (дата обращения: 07.11.2025).
5. Груздков, А. А. ТЕХНИКА ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЁННЫХ ИНТЕГРАЛОВ / А. А. Груздков. Санкт-Петербургский государственный технологический институт (Технический университет).
6. Лекция 21. Приложения определенного интеграла 1. Вычисление площади. URL: https://www.msu.ru/projects/math_lectures/lect21.pdf (дата обращения: 07.11.2025).
7. Челышева, Е. В. ОСНОВНАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЛОЩАДИ ПЛОСКИХ ФИГУР С ПОМОЩЬЮ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА / Е. В. Челышева, Ч. А. Тайлунова. КиберЛенинка.
8. Приложения определенного интеграла. По книге Н. С. Пискунова. URL: http://www.matem.ru/piskunov/prilozh_opredelennogo_integrala.pdf (дата обращения: 07.11.2025).
9. Вычисление площадей с помощью интегралов. Математика. Фоксфорд Учебник.
10. Элементы высшей математики: Приложения определенного интеграла. URL: http://www.studfiles.ru/preview/5549725/page:6/ (дата обращения: 07.11.2025).
11. Демидович, Б. П. ДЕМИДОВИЧ ИНТЕГРАЛ МАТАН / Б. П. Демидович. URL: https://www.scribd.com/document/366712316/ДЕМИДОВИЧ-ИНТЕГРАЛ-МАТАН (дата обращения: 07.11.2025).
12. Определённый интеграл. Формула Ньютона-Лейбница. Вся элементарная математика. URL: https://www.bymath.net/studyguide/anal/sec/anal7.html (дата обращения: 07.11.2025).
13. Калашников, А. Л. Методические указания к решению задач на интегралы с параметром / А. Л. Калашников, Г. В. Потёмин, В. Н. Филиппов. Нижегородский гос-университет.
14. Демидович, Б. П. СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ / Б. П. Демидович. URL: https://nsu.ru/mmf/tvims/chernova/ms/demidovich.pdf (дата обращения: 07.11.2025).
15. Правдин, К. Лекция 20: Несобственный интеграл: исследование на сходимость / К. Правдин. Университет ИТМО.
16. Бутузов, В. Лекция 10. Несобственные интегралы. Часть 1 / В. Бутузов. МГУ им. М.В. Ломоносова.
17. Бутузов, В. Ф. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Учебное пособие / В. Ф. Бутузов, М. В. Бутузова. Кафедра математики.
18. Кудрявцев, Н. Л. Лекции по математическому анализу. Часть II / Н. Л. Кудрявцев. МГУ им. М.В. Ломоносова.
19. Лекция 7. Несобственные интегралы. Критерии и признаки сходимости. Открытые видеолекции учебных курсов МГУ.
20. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА. Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова.
21. Кандаурова, И. Е. Методика исследования на сходимость несобственных интегралов / И. Е. Кандаурова. КиберЛенинка.
22. Несобственные интегралы второго рода. URL: https://www.mathtut.ru/improper-integrals-of-the-second-kind.html (дата обращения: 07.11.2025).
23. Конев, В. В. Несобственные интегралы / В. В. Конев. URL: https://window.edu.ru/catalog/pdf2txt/757/73757/page2.pdf (дата обращения: 07.11.2025).
24. Несобственные интегралы первого рода. Дистанционный курс высшей математики НИЯУ МИФИ.
25. Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода, их свойства. Признаки сходимости. Примеры. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов. Примеры. URL: https://studfile.net/preview/10006240/ (дата обращения: 07.11.2025).
26. Основные теоремы о сходимости рядов. URL: https://www.youtube.com/watch?v=fbINjs8k4c8 (дата обращения: 07.11.2025).
27. Тема: Числовые ряды. Признаки сходимости числовых рядов. 1. Изучить тео. URL: https://studfile.net/preview/10006240/page:2/ (дата обращения: 07.11.2025).
28. Сухотин, А. М. О СХОДИМОСТИ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ / А. М. Сухотин. Современные проблемы науки и образования.
29. Рожкова, С. В. §30. Основные понятия теории числовых рядов / С. В. Рожкова. Лекции по математическому анализу.
30. Нагребецкая, Ю. В. Признаки сходимости рядов с положительными членами / Ю. В. Нагребецкая, Ю. В. Перминова. УрФУ.
31. Признаки сравнения, признак Даламбера и Коши, интегральный признак для числовых рядов с неотрицательными членами. URL: https://math24.ru/convergence-tests-for-number-series.html (дата обращения: 07.11.2025).
32. Признаки сходимости. URL: https://ru.wikiversity.org/wiki/Признаки_сходимости (дата обращения: 07.11.2025).
33. Усмонов, М. Признаки сходимости рядов. Признак Даламбера. Признаки Коши / М. Усмонов. Scienceweb.
34. Янущик, О. В. §15. Сходимость знакоположительных рядов / О. В. Янущик. Лекции по математическому анализу.
35. Мальцева, С. Г. Тема: Числовые ряды / С. Г. Мальцева, Д. Письменный, Н. С. Пискунов. URL: https://studfile.net/preview/10006240/page:3/ (дата обращения: 07.11.2025).
36. Необходимый признак сходимости. СГУПС.
37. Признаки сходимости рядов. Признак Даламбера. Признаки Коши. Примеры решений. Математика для заочников. URL: https://mathprofi.ru/priznaki_shodimosti_ryadov.html (дата обращения: 07.11.2025).
38. Гарист, В. Э. Методические указания к решению задач по теме «Числовые ряды» / В. Э. Гарист, Ю. М. Гребенцов. МГУП (Могилёвский государственный университет продовольствия).
39. Лекция 2. Признаки сходимости положительных рядов. URL: https://studfile.net/preview/10006240/page:4/ (дата обращения: 07.11.2025).
40. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. ОмГТУ.
41. Баландин, М. Ю. Сходимость числовых рядов / М. Ю. Баландин. ИГУ.
42. Кретова, Л. Д. Функциональные ряды методические указания / Л. Д. Кретова, Н. Б. Ускова. ВГТУ.
43. функциональные ряды – степенные ряды – область сходимости. URL: https://studfile.net/preview/10006240/page:5/ (дата обращения: 07.11.2025).
44. Функциональные и степенные ряды. Область сходимости ряда. URL: https://mathprofi.ru/funkcionalnye_i_stepennye_ryady.html (дата обращения: 07.11.2025).
45. Юрченко, И. В. Функциональные ряды / И. В. Юрченко, Ю. М. Гребенцов. Могилевский государственный университет продовольствия.
46. 10.8. Функциональные ряды. Область сходимости. URL: https://studfile.net/preview/10006240/page:6/ (дата обращения: 07.11.2025).
47. Нагребецкая, Ю. В. Степенные ряды / Ю. В. Нагребецкая. УрФУ.
48. Степенные ряды. Викиконспекты. URL: https://ru.wikibooks.org/wiki/Степенные_ряды (дата обращения: 07.11.2025).
49. 1. Радиус сходимости степенного ряда Степенной ряд — это функциональный ряд вида — МФТИ. URL: https://mipt.ru/upload/medialibrary/251/Ryady.pdf (дата обращения: 07.11.2025).
50. Егорова, Ю. Б. Степенные ряды / Ю. Б. Егорова, И. М. Мамонов, А. В. Челпанов. МАТИ.
51. Функциональные ряды. URL: https://studfile.net/preview/10006240/page:7/ (дата обращения: 07.11.2025).
52. № 2812 из сборника задач Б.П.Демидовича (Степенные ряды). ПростоФизМат. YouTube.
53. Кудрявцев, Л. Д. л.д. кудрявцев — курс / Л. Д. Кудрявцев. Высшая школа.
54. 36.1. Сходимость функциональных последовательностей и рядов. URL: https://studfile.net/preview/10006240/page:8/ (дата обращения: 07.11.2025).
55. Мангазеев, Б. В. Сходимость и сумма числового ряда — ИГУ / Б. В. Мангазеев, А. Д. Афанасьев. ИГУ.
56. Формулы для определения радиуса сходимости степенного ряда. URL: https://studfile.net/preview/10006240/page:9/ (дата обращения: 07.11.2025).
57. Козко, А. И. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. ЧАСТЬ 1 / А. И. Козко, Л. М. Лужина, А. А. Лужин, В. Г. Чирский. МГУ им. М.В. Ломоносова.
58. 2. Степенные ряды. URL: https://studfile.net/preview/10006240/page:10/ (дата обращения: 07.11.2025).
59. Фихтенгольц, Г. М. Г.М.Фихтенгольц. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА. ТОМ 2. / Г. М. Фихтенгольц. rutracker.org.
60. Фихтенгольц, Г. М. Г.М.Фихтенгольц — TOM 2 Содержание / Г. М. Фихтенгольц. URL: https://studfile.net/preview/10006240/page:11/ (дата обращения: 07.11.2025).
61. Китаева, Е. В. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ / Е. В. Китаева. Самарский университет.
62. Кудрявцев, А. Ю. О сходимости орторекурсивных разложений по неортогональным всплескам / А. Ю. Кудрявцев. Mathnet.RU.
63. 36.2. Равномерная сходимость последовательностей. URL: https://studfile.net/preview/10006240/page:10/ (дата обращения: 07.11.2025).
64. Фихтенгольц, Г. М. Основы математического анализа том 2 Г.М. Фихтенгольц Москва 1968 стр. 460 / Г. М. Фихтенгольц. URL: https://studfile.net/preview/10006240/page:12/ (дата обращения: 07.11.2025).
65. Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. (В 3-х томах) / Г. М. Фихтенгольц. Alleng. URL: https://alleng.org/d/math/math114.htm (дата обращения: 07.11.2025).
66. 1 Степенной ряд и его область сходимости. URL: https://studfile.net/preview/10006240/page:13/ (дата обращения: 07.11.2025).
67. РЯДЫ ФУРЬЕ. URL: https://www.matburo.ru/tv_ma.php?p=2 (дата обращения: 07.11.2025).
68. Функцию разложить в ряд Фурье: полное руководство. URL: https://fb.ru/article/486241/funktsiyu-razlojit-v-ryad-fure-polnoe-rukovodstvo (дата обращения: 07.11.2025).
69. § 2. Условия Дирихле и теорема о разложении функции в ряд Фурье. Научная библиотека.
70. 32. Теорема Дирихле (достаточное условие разложимости функции в ряд Фурье). URL: https://studfile.net/preview/10006240/page:14/ (дата обращения: 07.11.2025).
71. Lect7.3.1. URL: https://studfile.net/preview/10006240/page:15/ (дата обращения: 07.11.2025).
72. Ряды Фурье. Примеры решений. Математика для заочников. URL: https://mathprofi.ru/ryady_fure.html (дата обращения: 07.11.2025).
73. 1.2. Ряды Фурье для чётных и нечётных. URL: https://studfile.net/preview/10006240/page:16/ (дата обращения: 07.11.2025).
74. §22,23. Ряды Фурье. URL: https://studfile.net/preview/10006240/page:17/ (дата обращения: 07.11.2025).
75. Ряд Фурье и коэффициенты Фурье. URL: https://studfile.net/preview/10006240/page:18/ (дата обращения: 07.11.2025).
76. Определение ряда Фурье. Викиконспекты. URL: https://ru.wikibooks.org/wiki/Определение_ряда_Фурье (дата обращения: 07.11.2025).
77. Ряд Фурье. Википедия. URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Ряд_Фурье (дата обращения: 07.11.2025).
78. Тригонометрический ряд Фурье. Википедия. URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Тригонометрический_ряд_Фурье (дата обращения: 07.11.2025).
79. РЯДЫ ФУРЬЕ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ. Новосибирский государственный университет.
80. Теорема Дирихле о рядах Фурье. Википедия. URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Дирихле_о_рядах_Фурье (дата обращения: 07.11.2025).
81. Фихтенгольц, Г. М. Г.М.Фихтенгольц КУРС ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО И ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ТО / Г. М. Фихтенгольц. URL: https://studfile.net/preview/10006240/page:19/ (дата обращения: 07.11.2025).
82. Мальцева, С. Г. Тема № 4 Ряды Фурье Литература: / С. Г. Мальцева, Д. Письменный, Н. С. Пискунов. URL: https://studfile.net/preview/10006240/page:20/ (дата обращения: 07.11.2025).
83. Фихтенгольц, Г. М. Г.М.Фихтенгольц — TOM 3 Содержание / Г. М. Фихтенгольц. URL: https://studfile.net/preview/10006240/page:21/ (дата обращения: 07.11.2025).
84. Зенков, А. В. Р Я Д Ы и Р Я Д Ы Ф У Р Ь Е / А. В. Зенков. УГТУ–УПИ (Физико-технологический институт).
85. Фихтенгольц, Г. М. г. м. фихтенгольц / Г. М. Фихтенгольц. URL: https://studfile.net/preview/10006240/page:23/ (дата обращения: 07.11.2025).
86. РЯДЫ ФУРЬЕ. МИИГАиК.
87. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. РЯДЫ ФУРЬЕ. Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины.
88. 12. Замена переменных в двойном интеграле. НИЯУ МИФИ.
89. 6. Замена переменных в двойном интеграле. URL: http://math.ru/lib/books/djvu/fikhten/fihtengoltz3.pdf (дата обращения: 07.11.2025).
90. Рожкова, С. В. Двойной интеграл / С. В. Рожкова. Лекции по математическому анализу.
91. Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах. URL: https://3dstroyproekt.ru/analiz/zamenaperemennyhdvoynoyintegraly.html (дата обращения: 07.11.2025).
92. Лекция 3.pdf. URL: https://studfile.net/preview/10006240/page:25/ (дата обращения: 07.11.2025).
93. Метод замены переменной. URL: https://studfile.net/preview/10006240/page:26/ (дата обращения: 07.11.2025).
94. Фихтенгольц, Г. М. Г.М.Фихтенгольц КУРС ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО И ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ТО / Г. М. Фихтенгольц. URL: https://studfile.net/preview/10006240/page:27/ (дата обращения: 07.11.2025).
95. Методы интегрирования. Википедия. URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Методы_интегрирования (дата обращения: 07.11.2025).
96. Формула замены переменных в кратном интеграле. The Univerlib. URL: https://theuniverlib.com/formul-zameny-peremennyh-v-kratnom-integrale.html (дата обращения: 07.11.2025).
97. Метод замены переменной в интегрировании — урок. Алгебра, 11 класс. ЯКласс. URL: https://www.yaklass.ru/p/algebra/11-klass/pervoobraznaia-neopredelennye-i-opredelennye-integraly-11003/neopredelennye-i-opredelennye-integraly-metody-integrirovaniia-11005/re-57f20253-e574-42f0-9430-8a4369ef9973 (дата обращения: 07.11.2025).
98. О замене переменной в интеграле многих переменных. Викиконспекты.
99. Как вычислить тройной интеграл с помощью цилиндрической системы координат? URL: https://mathprofi.ru/troinoi_integral_v_cilindricheskih_koordinatah.html (дата обращения: 07.11.2025).
100. 10 Вычисление Тройного интеграла в цилиндрических координатах. URL: https://studfile.net/preview/10006240/page:28/ (дата обращения: 07.11.2025).
101. 21.Двойной интеграл в полярных координатах. Амурский государственный университет.
102. Как вычислить тройной интеграл в сферических координатах. mathprofi. URL: https://mathprofi.ru/troinoi_integral_v_sfericheskih_koordinatah.html (дата обращения: 07.11.2025).
103. Нагребецкая, Ю. В. Тройной интеграл (приложения, замена) / Ю. В. Нагребецкая. УрФУ.
104. 6.12. Двойной интеграл. URL: https://studfile.net/preview/10006240/page:29/ (дата обращения: 07.11.2025).
105. Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 3. / Г. М. Фихтенгольц.
106. Фихтенгольц, Г. М. Г.М.Фихтенгольц КУРС ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО И ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ТО / Г. М. Фихтенгольц. URL: https://studfile.net/preview/10006240/page:30/ (дата обращения: 07.11.2025).
107. Правдин, К. Triple integral in cylindrical and spherical coordinates. Solution of problems 2.3. IntFNP / К. Правдин. Университет ИТМО.
108. Как вычислить двойной интеграл в полярной системе координат? URL: https://mathprofi.ru/dvoinoi_integral_v_polyarnyh_koordinatah.html (дата обращения: 07.11.2025).
109. Как вычислить двойной интеграл с помощью полярной системы координат? mathprofi. URL: https://mathprofi.ru/dvoinoi_integral_v_polyarnoi_sisteme_koordinat.html (дата обращения: 07.11.2025).
110. Л е к ц и я 35. Замена переменных в двойном интеграле. URL: https://studfile.net/preview/10006240/page:31/ (дата обращения: 07.11.2025).
111. Вычисление двойного интеграла. URL: https://studfile.net/preview/10006240/page:32/ (дата обращения: 07.11.2025).
112. Лекция 11 (10.10.2020) 8. ПОЛЯРНЫЕ, СФЕРИЧЕСКИЕ И ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ. URL: https://studfile.net/preview/10006240/page:33/ (дата обращения: 07.11.2025).