Анализ и решение практических задач по теме «Суждения в формальной логике»

Многие, кто начинает изучать формальную логику, сталкиваются с одной и той же проблемой: теоретические определения кажутся понятными, но как только дело доходит до практической задачи, возникает ступор. Как определить тип суждения? Что такое «распределенность терминов» и зачем она нужна? Эта статья — не просто очередной конспект, а пошаговое руководство, которое проведет вас от фундаментальных понятий до решения конкретных задач. Мы докажем, что решение логических задач — это не интуитивное озарение, а владение четким и понятным алгоритмом. Вместе мы разберем «атомы» суждения, научимся их классифицировать и соберем из них работающие логические конструкции.

Что представляет собой логическое суждение как инструмент мысли

В основе любой сложной аргументации лежит простая мысль. В логике эта мысль называется суждением. Суждение — это форма мышления, в которой мы что-либо утверждаем или отрицаем о предметах, их свойствах или отношениях между ними. Каждое суждение может быть истинным или ложным.

Чтобы научиться анализировать суждения, нужно понимать их «анатомию». Простое атрибутивное суждение состоит из четырех ключевых элементов:

• Субъект (S): То, о чем мы говорим. Предмет нашей мысли.
• Предикат (P): То, что мы говорим о субъекте. Его признак или свойство.
• Связка: Слова «есть», «суть», «является» (или их отсутствие), которые соединяют субъект и предикат.
• Квантор: Слово, указывающее на объем субъекта. Это могут быть слова «все», «каждый», «некоторые», «ни один».

Рассмотрим простой пример: «Все кошки (S) суть млекопитающие (P)». Здесь «все» — это квантор, «кошки» — субъект, «млекопитающие» — предикат, а «суть» — связка. Понимание этой базовой структуры — это первый и самый важный шаг, который превращает хаотичное предложение в четкий логический объект, готовый к анализу.

Четыре кита логики, или классификация суждений по типам A, E, I, O

Мы научились видеть «скелет» суждения. Теперь давайте научимся их классифицировать, чтобы понимать, с каким именно типом мы имеем дело. В логике используется объединенная классификация, которая учитывает два параметра:

1. По количеству: Суждения бывают общими (когда речь идет обо всех предметах класса) и частными (когда речь идет о части предметов).
2. По качеству: Суждения бывают утвердительными (когда связь между S и P утверждается) и отрицательными (когда эта связь отрицается).

Комбинация этих двух параметров дает нам четыре фундаментальных типа суждений, которые принято обозначать латинскими буквами A, E, I, O.

A — Общеутвердительное. Формула: «Все S суть P». Пример: «Все планеты Солнечной системы вращаются вокруг Солнца».

E — Общеотрицательное. Формула: «Ни одно S не есть P». Пример: «Ни один кит не является рыбой».

I — Частноутвердительное. Формула: «Некоторые S суть P». Пример: «Некоторые студенты — отличники».

O — Частноотрицательное. Формула: «Некоторые S не суть P». Пример: «Некоторые грибы не являются съедобными».

Эта классификация — мощный инструмент, который позволяет стандартизировать любое высказывание и подготовить его для дальнейшего, более глубокого анализа.

Как понять скрытый объем высказывания через распределенность терминов

Знание типа суждения — это хорошо, но для решения многих задач нам нужно понимать, какой объем информации несут его части. Для этого в логике существует понятие распределенности терминов. Термин (субъект S или предикат P) считается распределенным, если он взят в полном объеме, то есть мы говорим обо всех представителях этого класса.

Чтобы не запутаться, можно использовать простое мнемоническое правило:

«Субъект распределен в Общих (A, E), предикат — в Отрицательных (E, O)».

Давайте разберем это на примерах для каждого типа:

• A (Все S+ суть P-): «Все студенты (S) — учащиеся (P)». Субъект «студенты» распределен, так как мы говорим обо всех студентах. Предикат «учащиеся» не распределен, потому что студенты — это лишь часть всех учащихся (помимо них есть еще школьники, курсанты и т.д.).
• E (Все S+ не суть P+): «Ни один дельфин (S) не является рыбой (P)». Здесь распределены оба термина. Мы говорим обо всех дельфинах и исключаем их из всего класса рыб.
• I (Некоторые S- суть P-): «Некоторые школьники (S) — спортсмены (P)». Оба термина не распределены, так как мы говорим лишь о части школьников, которые являются лишь частью спортсменов.
• O (Некоторые S- не суть P+): «Некоторые дома (S) не являются высотными (P)». Субъект не распределен (речь о части домов), а предикат распределен, так как эта часть домов исключается из всего класса высотных зданий.

Понимание распределенности критически важно для анализа умозаключений и проверки их правильности. Мы вооружились всей необходимой теорией. Пора переходить к главному — к практике.

Практикум №1. Проводим полный структурный анализ суждения

Давайте применим наши знания для разбора конкретной задачи. Возьмем суждение: «Всякая кража должна быть наказана». Проведем его анализ по четкому алгоритму.

1. Шаг 1: Нормализация. Приводим суждение к стандартной логической форме, четко выделяя все его части. Получаем: «Все кражи (S) суть деяния, которые должны быть наказаны (P)».
2. Шаг 2: Идентификация. Определяем компоненты:
   • S (субъект): «кражи».
   • P (предикат): «деяния, которые должны быть наказаны».
   • Квантор: «все».
   • Связка: «суть».
3. Шаг 3: Классификация. Анализируем количество и качество. Количество — общее (квантор «все»). Качество — утвердительное (связка «суть»). Следовательно, это суждение типа А (общеутвердительное).
4. Шаг 4: Анализ распределенности. Вспоминаем правило для суждения типа А («Все S+ суть P-»). Субъект (S) «кражи» распределен, так как мы говорим обо всех кражах. Предикат (P) «деяния, которые должны быть наказаны» не распределен, так как кражи являются лишь частью всех наказуемых деяний.

Отлично, мы научились «препарировать» одиночное суждение. Теперь усложним задачу и посмотрим, как суждения связаны друг с другом.

Практикум №2. Выстраиваем отношения между суждениями с помощью логического квадрата

Суждения не существуют в вакууме. Они связаны между собой определенными отношениями, которые удобно иллюстрировать с помощью логического квадрата. Разберем задачу: «Съедобные грибы специально разводят». Считаем это суждение истинным.

1. Шаг 1: Анализ исходного суждения. Сначала приводим его к стандартной форме. Слово «съедобные» относится к субъекту, а отсутствие явного квантора обычно подразумевает «некоторые». Получаем: «Некоторые съедобные грибы (S) суть то, что специально разводят (P)». Это частноутвердительное суждение типа I. Мы принимаем его за истину.
2. Шаг 2: Построение квадрата. Теперь сформулируем остальные три типа суждений с теми же S и P:
   • A (общеутвердительное): «Все съедобные грибы специально разводят».
   • E (общеотрицательное): «Ни один съедобный гриб специально не разводят».
   • O (частноотрицательное): «Некоторые съедобные грибы специально не разводят».
3. Шаг 3: Выводы об истинности. Используя правила логического квадрата, делаем выводы на основе того, что наше исходное суждение I — истинно:
   • Отношение противоречия (I → E): Если I истинно, то противоречащее ему суждение E ложно. Не может быть правдой одновременно, что «некоторые разводят» и «ни один не разводят».
   • Отношение подчинения (I → A): Если частное суждение I истинно, то истинность общего суждения А неопределенна. Из того, что некоторые грибы разводят, не следует, что разводят все.
   • Отношение субконтрарности (I → O): Если I истинно, то истинность суждения O также неопределенна. Тот факт, что некоторые грибы разводят, не исключает того, что некоторые другие съедобные грибы не разводят.

Таким образом, зная истинность одного суждения, мы можем сделать строгие выводы об истинности или ложности других связанных с ним суждений.

Практикум №3. Учимся формулировать точное логическое отрицание

Следующий важный навык — умение правильно отрицать мысль. В логике это означает найти противоречащее суждение. Возьмем задачу: «Не все проекты удалось реализовать».

1. Шаг 1: Стандартизация. Выражение «не все» является нестандартным квантором. Логически оно эквивалентно «некоторые не». Таким образом, мы приводим суждение к канонической форме: «Некоторые проекты (S) не есть то, что удалось реализовать (P)». Это частноотрицательное суждение типа O.
2. Шаг 2: Поиск противоречия. Вспоминаем логический квадрат. Суждению типа O противоречит (находится по диагонали) суждение типа А.
3. Шаг 3: Формулировка ответа. Строим суждение типа А с теми же субъектом и предикатом: «Все проекты (S) суть то, что удалось реализовать (P)». Это и есть точное логическое отрицание исходного высказывания.

Заметьте, просто убрать частицу «не» было бы неверно. Логическое отрицание требует изменения не только качества, но и количества суждения.

Шаг в высшую лигу. Как создавать и преобразовывать сложные суждения

До этого мы работали с простыми суждениями. Но в реальной речи мы часто соединяем их в сложные конструкции с помощью логических союзов: конъюнкции («и», ^), дизъюнкции («или», v) и импликации («если… то…», →).

Разбор задачи на создание

Рассмотрим формулу: (A^В)→B. Нам нужно придумать суждение, которое ей соответствует. Эта формула читается так: «Если истинны А и В, то истинно В». Давайте подставим простые жизненные высказывания:

Пусть А = «Идет дождь», а В = «У меня есть зонт».

Тогда все выражение будет звучать так: «Если идет дождь и у меня есть зонт, то у меня есть зонт».

Очевидно, что это высказывание всегда истинно, независимо от того, идет ли дождь на самом деле. В логике такие всегда истинные формулы называются тавтологиями.

Разбор задачи на преобразование

Логические законы, такие как законы де Моргана, позволяют преобразовывать одни сложные суждения в другие, сохраняя их смысл. Возьмем суждение: «Если человек получил высшее образование, то он хорошо воспитан». Преобразуем его с помощью двойного отрицания.

Это импликация (А→В), где А = «человек получил высшее образование», В = «он хорошо воспитан». Известно, что любая импликация А→В эквивалентна дизъюнкции ¬АvВ («неверно А или верно В»).

Применим к этой дизъюнкции двойное отрицание: ¬(¬(¬АvВ)). Теперь, используя законы де Моргана, раскроем внутренние скобки: ¬(¬(¬А) ^ ¬В), что упрощается до ¬(А ^ ¬В).

Словесно это звучит так: «Неверно, что человек получил высшее образование и при этом не является хорошо воспитанным». Мы получили эквивалентное, но иначе сформулированное суждение.

Какие еще методы решения существуют и куда двигаться дальше

Мы разобрали основной метод решения логических задач, основанный на анализе структуры суждения и отношениях между ними (метод рассуждений). Однако арсенал логики этим не исчерпывается. Существуют и другие мощные инструменты:

• Табличный метод (таблицы истинности): Идеален для проверки истинности сложных высказываний. Он позволяет механически перебрать все возможные комбинации истинности простых суждений и вычислить итоговый результат.
• Методы алгебры логики: Позволяют работать с суждениями как с математическими переменными, упрощая сложные формулы с помощью набора аксиом и законов.
• Круги Эйлера: Графический метод, который незаменим для наглядной демонстрации отношений между объемами понятий. Он помогает интуитивно понять, почему в одних случаях термины распределены, а в других нет.

Каждый метод хорош для своего круга задач. Для глубокого освоения предмета рекомендуется изучать их именно в такой последовательности, переходя от наглядных рассуждений к более абстрактным и формализованным системам.

Мы прошли большой путь: от разбора «атомов» мысли — простых суждений — до работы со сложными логическими конструкциями. Мы увидели, как определить структуру высказывания, как классифицировать его, как анализировать распределенность его терминов и как устанавливать связи с другими суждениями. Практикумы показали, что за каждым заданием стоит четкий алгоритм, а не туманная интуиция. Главный вывод прост: практика, основанная на твердом знании теории, — это единственный ключ к освоению логики. Теперь, вооружившись этим знанием, вы готовы к дальнейшей самостоятельной работе и решению новых, еще более интересных задач.

Список литературы

1. Иванов Е.А. Логика. М., 1996.
2. Ивин А.А. Практическая логика. М., 1996.
3. Ивлев Ю.В. Логика. М., 1993.
4. Рузавин Г.И. Методы научного исследования. М., 1974.
5. Свинцов В.И. Логика. М., 1987.
6. Гжегорчик А. Популярная логика. М., 1979.
7. Ивин А.А. Логика. М., 2002.
8. Ивлев Ю.В. Логика. М., 2000.
9. Брюшинкин В.И. Логика. М., 2001.
10. Тарский А. Введение в логику и методология дедуктивных наук. М., 2001.
11. Кириллов В.И., Старченко А.А. Логика. М., 2000.
12. Ивин А.А. Логика: Учебник для гуманитарных вузов. М., 2002.