Рассмотрим классическую задачу из контрольной работы по физике. Мальчик катит обруч по горизонтальной дороге со скоростью 7,2 км/ч. Уклон горки составляет 10 метров на каждые 100 метров пути. Главный вопрос, на который нам предстоит ответить: на какое расстояние обруч сможет вкатиться, используя только свою начальную энергию? Чтобы найти решение, мы должны проследить, как энергия его движения превратится в энергию высоты.
Определяем главный физический принцип нашего решения
Ключевой момент в условии задачи — это отсутствие упоминания сил трения качения или сопротивления воздуха. Это прямая подсказка, что мы можем считать систему замкнутой. Следовательно, для решения идеально подходит фундаментальный закон сохранения механической энергии. Он гласит, что полная механическая энергия системы остается постоянной, если на нее не действуют внешние диссипативные силы.
Таким образом, наша стратегия предельно ясна: полная начальная энергия обруча на горизонтальной дороге будет в точности равна его полной конечной энергии в высшей точке подъема на горку. Это и есть наш ключ к решению: Eначальная = Eконечная.
Из чего складывается начальная энергия катящегося обруча
Важнейшая особенность этой задачи, на которой часто ошибаются, заключается в том, что движение обруча — это не просто полет, а комбинация двух одновременных движений: поступательного (движение его центра масс вперед) и вращательного (вокруг этого центра масс). Каждый из этих видов движения обладает своей кинетической энергией, и мы обязаны учесть обе.
Общая формула для кинетической энергии катящегося тела выглядит так:
KE = KEпоступательная + KEвращательная = 0.5 * m * v2 + 0.5 * I * ω2
Где m — масса, v — линейная скорость, I — момент инерции, а ω — угловая скорость. Для обруча момент инерции I = m*R2, а угловая скорость связана с линейной как ω = v/R. Подставив это в нашу формулу, мы получаем элегантное упрощение:
KEtotal = 0.5 * m * v2 + 0.5 * (m*R2) * (v/R)2 = 0.5 * m * v2 + 0.5 * m * v2 = m*v2.
Этот вывод значительно облегчит нам итоговые расчеты.
Анализируем конечное состояние системы
Теперь рассмотрим, что происходит в конечной точке пути. В самой верхней точке своего подъема, куда обруч смог вкатиться, он на мгновение останавливается. Это означает, что его конечная линейная скорость и конечная угловая скорость равны нулю. Следовательно, и его конечная кинетическая энергия (как поступательная, так и вращательная) также равна нулю. Вся начальная кинетическая энергия полностью перешла в потенциальную энергию (PE = m*g*h), зависящую от высоты подъема h.
Проводим пошаговый математический расчет
Теперь у нас есть все компоненты, чтобы собрать уравнение и найти ответ. Действуем последовательно.
- Перевод единиц измерения. Скорость дана в км/ч, а для расчетов в системе СИ нам нужны м/с. 7,2 км/ч = (7200 м) / (3600 с) = 2 м/с.
- Запись уравнения сохранения энергии. Мы приравниваем начальную кинетическую энергию к конечной потенциальной: m*v2 = m*g*h. Как мы видим, масса (m) присутствует в обеих частях уравнения, поэтому ее можно сократить. Это важный вывод: результат не зависит от того, насколько тяжелым был обруч.
- Расчет высоты подъема (h). Из уравнения v2 = g*h выражаем высоту: h = v2 / g. Подставляем значения (g ≈ 9,8 м/с²): h = (2 м/с)2 / 9,8 м/с² ≈ 0,408 м.
- Расчет итогового расстояния (L). Условие «уклон 10м на 100м пути» означает, что синус угла наклона горки sin(θ) = 10/100 = 0,1. Расстояние по склону L, высота h и угол наклона θ связаны простой формулой: L = h / sin(θ). Подставляем наши значения: L = 0,408 м / 0,1 = 4,08 м.
Итоги и ключевые выводы для запоминания
Итак, наш обруч сможет вкатиться на горку на расстояние примерно 4,08 метра. Однако главным результатом решения этой задачи является не само число, а понимание метода. Важно запомнить два ключевых физических принципа, которые вы сможете применить на любой контрольной: во-первых, полная кинетическая энергия катящегося тела всегда состоит из двух частей — поступательной и вращательной. Во-вторых, закон сохранения энергии — это мощнейший инструмент, который позволяет элегантно решать задачи, не вдаваясь в расчеты сложных сил. Удачи!